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专题07 函数的性质及其应用
[ π π]
1、【2022年全国甲卷】函数y=(3x−3−x)cosx在区间 − , 的图象大致为（ ）
2 2
A． B．
C． D．
2、【2022年全国乙卷】已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f(x−4)=7．
❑ 22
若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则∑ ❑f(k)=（ ）
k=1
A．−21 B．−22 C．−23 D．−24
3、【2022年新高考2卷】已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+ y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=1，则
22
∑❑f(k)=（ ）
k=1
A．−3 B．−2 C．0 D．1
4、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）A． B． C． D．
5、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
6、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设 是定义域为R的奇函数，且 .若
，则 （ ）
A． B． C． D．
7、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数 的定义域为R， 为奇函数，
为偶函数，当 时， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））设函数 ,则 （ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
9、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））设函数 ，则f(x)（
）
A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减10、（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））设 是定义域为 的偶函数，且在
单调递减，则
A．
B．
C．
D．
题组一 运用函数的性质进行图像的辨析
1-1、（2022·江苏无锡·高三期末）已知函数 ，则函数 的图象可能是（
）
A． B．C． D．
1-2、（2022·广东汕尾·高三期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，
数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来研究函数图象的特征，
函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
1-3、（2022·湖南娄底·高三期末）函数 的图象大致是（ ）
A． B．C． D．
1-4、（2021·天津高三三模）意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图所示）中，女士
颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达·芬奇提出：固定项
链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得
出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为 的“双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函
数”图象的是（ ）
A． B．
C． D．题组二 函数的性质
2-1、（2022·山东烟台·高三期末）若定义在R上的奇函数 在 上单调递减，且 ，则满
足 的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2-2、（2022·江苏如皋·高三期末）“函数f(x)＝sinx＋(a－1)cosx为奇函数”是“a＝1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2-3、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）设 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
2-4、（2022·山东青岛·高三期末）已知 是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f (x)=2x−2，则不等式
f (x)≤2的解集是_______；
2-5、（2022·江苏海门·高三期末）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f (x)=__________．
f x fx0
① 为偶函数；②f (x x )=f (x )+f (x )；③当x∈(0,+∞)时， .
1 2 1 2
题组三、函数性质的综合运用
f x
3-1、（2021·山东青岛市·高三二模）已知定义在R上的函数 的图象连续不断，有下列四个命题：
f x
甲： 是奇函数；
f x
x1
乙： 的图象关于直线 对称；
f x 1,1
丙： 在区间 上单调递减；
f x
丁：函数 的周期为2.如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3-2、（2022·江苏无锡·高三期末）（多选题）高斯被人认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学
王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则
称为高斯函数，又称为取整函数.如： ， .则下列结论正确的是（ ）
A．函数 是 上的单调递增函数
B．函数 有 个零点
C． 是 上的奇函数
D．对于任意实数 ，都有
3-3、（2022·广东揭阳·高三期末）（多选题）已知函数 ，实数 满足不等式
，则（ ）
A． B．
C． D．
3-4、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）（多选题）若两函数的定义域、单调区间、奇偶性、值
域都相同，则称这两函数为“伙伴函数”.下列函数中与函数f (x)=x4不是“伙伴函数”是（ ）
x2 x2
A．y=2|x|−1 B．y= C．y= +cosx−1 D．y=ln|x|
1+x2 2
1、（2022·山东济南·高三期末）已知函数 的定义域为 ，则“ 是偶函数”是“ 是偶函
数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2、（2022·山东德州·高三期末）已知函数 ，则函数 的大致图象为
（ ）
A． B．
C． D．
3、（2022·江苏海安·高三期末）（多选题）下列函数在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
x x
4、（2022·山东青岛·高三期末）（多选题）已知函数f (x)= − 为偶函数，则（ ）
2x+1 a
A．a=2
f x 0,
B． 在区间 上单调递增
f x
C． 的最大值为0
1
D．f (x)>− 的解集为(−1,1)
6
5、（2022·山东德州·高三期末）写出一个同时满足①②的函数f (x)=___________.① 是偶函数，②
f (x+2)=−f (x).
f x x0,1
6、（2022·江苏宿迁·高三期末）设函数 的定义域为R，满足f (x+1)=2f (x)，且当 时，
(7)
f (x)=x2−x，则f 的值为__________.
2k−2x
7、（2022·湖北江岸·高三期末）函数g(x)= (k<0)为奇函数，则实数k的取值为___________.
1+k⋅2x
{ex−1,x≤1
8、（2022·广东罗湖·高三期末）已知函数f (x)= 1 ，则f (x)的最大值为______．
−x+1,x>1
x
