2023年高考数学二轮复习（全国版文）第3部分思想方法　第2讲　数形结合思想_02高考数学_通用版（老高考）复习资料_2023年复习资料_二轮复习_2023年高考数学二轮复习讲义（全国版文科）

第 2 讲 数形结合思想
思想概述 数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解
决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽
象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；
(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确．
方法一 利用数形结合求解函数与方程、不等式问题
利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不等式问题．
例1 (1)已知函数f(x)＝若函数F(x)＝a－f(x)有四个零点，分别为x ，x ，x ，x ，则xxxx
1 2 3 4 1 2 3 4
的取值范围是( )
A. B.
C. D.
思路分析 作fx的图象→xx ＝1→x ，x 是方程－3x2＋3x＋1＝a的两根→结合函数图象得
1 2 3 4
xx 及a的范围
3 4
答案 B
解析 由题意知，函数f(x)＝的图象如图所示，
函数F(x)＝a－f(x)有四个零点x，x，x，x，
1 2 3 4
即函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有四个交点，
且这些交点的横坐标分别为x，x，x，x，
1 2 3 4
不妨令x<x<0<x<x，
1 2 3 4
则log (－x)＝－log (－x)，可得xx＝1.
2 1 2 2 1 2
当x≥0时，函数f(x)＝－3x2＋3x＋1
＝－32＋，且f(0)＝1，
要使y＝f(x)的图象与直线y＝a有两个交点，则1≤a<.
令－3x2＋3x＋1＝a，即3x2－3x－1＋a＝0，可得xx＝，即0≤xx<，
3 4 3 4
所以xxxx 的取值范围是.
1 2 3 4
(2)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2,1] D．[－2,0]思路分析 作出函数y＝|fx|的图象和函数y＝ax的图象→结合图象可知直线y＝ax介于l与
x轴之间→利用导数求出直线l的斜率，数形结合即可求解
答案 D
解析 由题意可作出函数y＝|f(x)|的图象和函数y＝ax的图象．
由图象可知，函数y＝ax的图象是过原点的直线，
当直线介于l与x轴之间符合题意，
直线l为曲线的切线，且此时函数y＝|f(x)|在第二象限的部分的解析式为y＝x2－2x，
求其导数可得y′＝2x－2，当x＝0时，y′＝－2，
故直线l的斜率为－2，
故只需直线y＝ax的斜率a∈[－2,0]．
规律方法 方程的根可通过构造函数，转化为两函数的交点横坐标；不等式 f(x)<g(x)可转化
为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的位置关系．
方法二 利用数学概念、表达式的几何意义求解最值、范围问题
向量、复数、圆锥曲线等数学概念具有明显的几何意义，可利用图形观察求解有关问题；
灵活应用一些几何结构的代数形式，如斜率、距离公式等．
例2 (2022·朔州模拟)若|a|＝|b|＝|c|＝2，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的取值范
围是( )
A．[0,2＋2] B．[0,2]
C．[2－2,2＋2] D．[2－2,2]
思路分析 作以O为圆心，2为半径的圆→a，b，c的终点在圆上→∠AOB＝90°→点C在劣
弧AB上→作a＋b＝OD→求|CD|的最值.
答案 D
解析 如图所示，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝a＋b，
∵(a－c)·(b－c)≤0，
∴点C在劣弧AB上运动，
∴|a＋b－c|表示C，D两点间的距离|CD|.|CD|的最大值是|BD|＝2，
|CD|最小值为|OD|－2＝2－2.
规律方法 应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值
——可考虑直线的斜率；②二元一次式—可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到
直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．
方法三 几何动态问题中的数形结合
对一些几何动态中的代数求解问题，可以结合各个变量的形成过程，找出其中的相互关
系求解．
例3 过双曲线x2－＝1的右支上一点P，分别向圆C ：(x＋7)2＋y2＝4和圆C ：(x－7)2＋y2
1 2
＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为________．
思路分析 利用相切、勾股定理，找|PM|与|PC |，|PN|与|PC |的关系→利用双曲线定义：|
1 2
PC |－|PC |＝2a→利用|PC |＋|PC |≥|C C |即可求解．
1 2 1 2 1 2
答案 25
解析 由双曲线方程知其焦点坐标为(±7,0)，
由圆的方程知，圆C 圆心为C (－7,0)，半径r＝2；圆C 圆心为C (7,0)，半径r＝1.
1 1 1 2 2 2
∵PM，PN分别为两圆切线，
∴|PM|2＝|PC |2－r＝|PC |2－4，
1 1
|PN|2＝|PC |2－r＝|PC |2－1，
2 2
∴|PM|2－|PN|2＝|PC |2－|PC |2－3
1 2
＝(|PC |＋|PC |)(|PC |－|PC |)－3，
1 2 1 2
∵P为双曲线右支上的点，
且双曲线焦点为C ，C ，∴|PC |－|PC |＝2，
1 2 1 2
又|PC |＋|PC |≥|C C |＝14(当P为双曲线右顶点时取等号)，
1 2 1 2
∴|PM|2－|PN|2＝(|PC |＋|PC |)(|PC |－|PC |)－3≥14×2－3＝25，
1 2 1 2
即|PM|2－|PN|2的最小值为25.
规律方法 几何图形有关的最值问题，通常是利用函数的观点，建立函数表达式求解，但一
味地强调函数观点，有时使思维陷入僵局，此时若能合理利用圆锥曲线的定义，以形助数，
会使问题变得特别简单．