文档内容
2023 年高考数学模拟考试卷
高三数学（文科）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自
己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：高中全部知识点。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的．
1．已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将复数z代入目标式，结合复数的除法和共轭复数求解即可.
【详解】因为 ，所以 ．
故选：B．
2．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】确定 ， ，再计算交集得到答案.
【详解】 ， ，
则 .
故选：D
3．刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载：“刍甍者，下有表有广，
而上有袤无广，刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有
宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”如图为一个刍甍 的三视图，其中正视
图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则异面直线 与 所成角的正弦值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据异面直线夹角的定义构造三角形，解三角形即可.
【详解】
过点E做平面ABCD的垂线，得垂足G，过E点做直线BC的垂线，得垂足H，如上图，
由几何体的对称性和题目所给的条件可知，GH=2，CH=2，EG=4，
在直角三角形EGH中， ，
在直角三角形ECH中， ，
，异面直线EC与AD的夹角就是EC与BC的夹角，设为 ，
则 ；
故选：D.
4．已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ，右顶点为B，虚轴的上
端点为C，若线段BC与双曲线的渐近线的交点为E，且 ，则双曲线的离心
率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出双曲线的渐近线方程，求得CB的方程，解得E的坐标，运用等腰三角形的
性质可得 ，再由两点的距离公式和离心率公式，解方程可得所求值．
【详解】双曲线C： 的渐近线方程为 ，
由 ，可得直线CB的方程为 ，联立渐近线方程 解得 ，即有E为CB的中点，
由 ，即 平分 ，可得三角形 为等腰三角形，
即有 ，即 ，
又 ，可得 ，
由 可得 ，解得 .
故选：A．
5．在如图的直角梯形 中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面
积之和等于直角梯形面积”．可以简洁明了地推证出勾股定理，把这一证明方法称为“总统
证法”．设 ，在梯形 中随机取一点，则此点取自等腰直角 中（阴
影部分）的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 计算即可．
【详解】解：记此点取自等腰直角 中（阴影部分）为事件A，
此点取自梯形 为事件 ，
在 中，
， ，
，
，
，．
故选：A．
6．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 可得 ，根据角的范围可得到答案.
【详解】由题意知 ，
则 ，即 ，
所以 ，即 ，
又 ， ，则 ，所以 ，
， ，则
所以有 即 .
故选：A.
7．2019年11月26日，联合国教科文组织宣布3月14日为“国际数学日”（昵称： ），
2020年3月14日是第一个“国际数学日”．圆周率 是圆的周长与直径的比值，是一个在数
学及物理学中普遍存在的数学常数． 有许多奇妙性质，如莱布尼兹恒等式
，即为正奇数倒数正负交错相加等．小红设计了如图所示的程序框图，
要求输出的 值与 非常近似，则①、②中分别填入的可以是（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量
的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【详解】解：由题可知， ，输出的 值与 非常近似，
则输出的
当 时，不符合题意，当 时，符合题意，输出对应的 值，
则
即 ，
可知，循环变量 的初值为1，终值为1011， 的步长值为1，循环共执行1011次，
可得②中填入的可以是 ，
又 的值为正奇数倒数正负交错相加，
可得①中填入的可以是 .
故选：D．
【点睛】本题考查由循环程序框图的输出值选择条件，解题时应模拟程序框图的运行过程，
以便得出正确的结论，是基础题．
8．已知 是定义在 上的奇函数，且图象关于直线 对称，当 时，
，则不等式 成立的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据奇函数的性质求得 ，再根据函数图象的解析式与性质画出
的图象，结合函数图象平移的性质得出 的图象，再根据函数的周期，数形结合分析即可
【详解】因为 是定义在 上的奇函数，故 ，解得 ，根据当
时， ，结合奇函数的性质与直线 对称作图，设 是
的图象往左平移2个单位所得，画出图如下.
由题意，因为 的图象关于直线 对称，故 ，又 为奇函数，故
，即 ，故 ，所以 ，
故 的周期为8.又不等式 成立即 在 的函数图象下
方，由对称性可得，当 时 与 的交点的横坐标为 ，结合图
象可得 与 的交点的横坐标满足 ，结合选项，当
时，可考查 即 时的情况，满足 在
的函数图象下方，其他选项均不符合.
故选：C
9．已知 为抛物线 的焦点，A、B、C为抛物线上三点，当 时，
则在点A、B、C中横坐标大于2的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1 D．0个
【答案】D
【分析】首先判断出点 是 的重心，根据重心坐标公式可得
，结合基本不等式，可得出 ，结合抛物线的定义
化简得出 ，同理可得 ，可得答案.
【详解】设 ，先证 ，
由 ，则点 是 的重心，
由 ， ，则 ，
，当且仅当 时等号成立，
，则 ，即 ，
由 ，则 ， ，
同理可得 .
故选：D.
10．已知数列 的前n项和为 ，且 ，则使得
成立的n的最大值为（ ）
A．32 B．33 C．44 D．45【答案】C
【分析】分奇偶项讨论，根据题意利用并项求和求 ，运算求解即可.
【详解】当 为偶数时，
，
令 ，且n为偶数，
解得 ，故n的最大值为44；
当 为奇数时，
，
令 ，且 为奇数，
解得 ，故n的最大值为43；
综上所述：n的最大值为44.
故选：C.
【点睛】方法点睛：并项求和适用的条件和注意事项：
1.适用条件：数列中出现 等形式时，常用利用并项求和求 ；
2.注意分类讨论的应用，比如奇偶项，同时还需注意起止项的处理.
11．已知函数 ，若 成立，则实数a的取值范围
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ，根据函数的奇偶性及复合函数的单调性可得函
数为偶函数且在 单调递增，进而 关于直线 对称，且在 单调递增，
结合条件可得 ，解不等式即得.
【详解】因为 的定义域为R，又
，故函数 为偶函数，
又 时， ， 单调递增，故由复合函数单调性可得函数 在
单调递增，函数 在定义域上单调递增，
所以 在 单调递增，
所以 ，
所以 关于直线 对称，且在 单调递增．
所以 ，
两边平方，化简得 ，解得 ．故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数 ，然后根据函数的单
调性及对称性化简不等式进而即得.
12．表面积为 的球内有一内接四面体 ，其中平面 平面 ， 是边
长为3的正三角形，则四面体PABC体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】四面体PABC体积最大需要 到底面 的距离为 最大，分析出 最大时满足
，进而利用几何关系求出其最大值.
【详解】
如图所示， 是四面体 外接球的球心，设球 的半径为 ，
是 外接圆的圆心，设圆 的半径为 ，设 到底面 的距离为 ，
取 中点 ，连接 ，过 作 ，
由题意可得 ,则 ，
因为 是边长为3的正三角形，
所以由正弦定理可得 ，则 ，
四面体PABC体积为 ，
四面体PABC体积的最大需要 最大，
由题意可知 在过 并且与底面 垂直的圆面上运动，
当 运动到圆面的最高点时， 最大，
由圆的对称性可知此时 ,则 ,
又平面 平面 ，则 平面
在 中， ，
，
则 ，
则 ， ，
在 中， ，
则 ,.
故选：D.
【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明
确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正
方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方
体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若 ， ，点 在线段 的延长线上，且 ，则点 坐标为
_________.
【答案】
【分析】由题可得 ，可得 ，即求．
【详解】 点 在线段 的延长线上，且 ，
，
所以点P的坐标为 .
故答案为：
14．已知数列 满足 ， ，则下列结论正确的有_____________．
① 为等比数列； ② 的通项公式为 ；
③ 为递减数列； ④ 的前n项和 ．
【答案】①②③④
【分析】根据题意中的递推公式和构造法可得 ，由等比数列的定义即可判断①；
结合等比数列的通项公式即可判断②；根据数列的单调性即可判断③；根据
，结合放缩法和等比数列前n项求和公式计算即可判断④.
【详解】数列 满足 ， ，
整理可得 ，即 ，
所以 是以 为首项，2为公比的等比数列，
故： ，整理得 ，则 ，所以数列 为递减数列，
由 ，得 ，
所以 的前n项和：
，
故答案为：①②③④．
15．已知函数 的图像关于点 对称，且方程 在
上至少有两个解，写出满足条件的 的一个值：______.
【答案】 .(答案不唯一)
【分析】由函数 的图像关于点 对称，得出 ，再根据
在 上至少有两个解，限定 的范围，得出结果.
【详解】由题意得 ，即 .
由方程 得 在 上至少有两个解，
若 ，则 ，则 ，即 ，
可得 ，当 时， .
故答案为： .
16．已知 ，若对于任意的 ，不等式 恒成立，则 的
最小值为__________.
【答案】 ##
【分析】先利用同构法将题设不等式转化为 ，再构造函数
，利用导数与函数单调性的关系得到 ，从而将问题转化为
，再次构造函数 求得最值即可得解.
【详解】因为 ，
所以 可化为 ，
令 ，则 ，
所以 在 上递增，因为 ， ，所以 ， ， ，
所以 可化为 ，则 ，
即 在 上恒成立，即 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ；令 ，则 ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，即 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：本题的突破口是利用同构法将题设不等式转化为
，从而构造函数 得到 ，由此得解.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．江西省新高考改革自2021年执行，在取消文理科后实行“ ”考试模式，即除语数
外三科，学生需从物理、历史2科中任选1科，化学、生物、政治、地理4科任选2科参
加高考．某学校为了解学生对全理（选择物理、化学、生物）的选择是否与性别有关，从
该校高一年级的500名男生和400名女生中按男女分层随机抽样抽取90人进行模拟选科，
经统计，选择全理的人数比不选全理的人数多10人．
选择全理 不选择全理 合计
男生 15
女生
合计
(1)完成上面的 列联表并判断是否有99.5%的把握认为选择全理与性别有关；
(2)为了解学生选科的理由，随机选取了男生4名，女生2名进行座谈，再从中抽取2名代
表作问卷调查，求至少抽到一名女生的概率．
附： ，其中 ．
0.02 0.01 0.00
0.10 0.05 0.001
5 0 5
2.70 3.84 5.02 6.63 7.87 10.82
k
6 1 4 5 9 8【答案】(1)填表见解析；有99.5%的把握认为选择全理与性别有关；
(2) .
【分析】（1）根据给定的数据信息完善 列联表，再计算 的观测值，与临界值表比
对作答.
（2）利用列举法结合古典概率、对立事件的概率公式求解作答.
【详解】（1）依题意，高一男生的人数为 ，则女生人数为 ，
而选择全理的人数比不选全理的人数多10人，则选择全理的人数为50，不选全理的人数
40，
所以 列联表为：
选择全理 不选择全理 合计
男生 35 15 50
女生 15 25 40
合计 50 40 90
的观测值 ，
所以有99.5%的把握认为选择全理与性别有关．
（2）设“至少抽到一名女生”为事件A，设4名男生分别为1，2，3，4，两名女生分别为
5，6，
从6名学生中抽取2名学生的所有可能结果为：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，
(4,6)，(5,6)，共15种．
不包含女生的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种．
所以至少抽到一名女生的概率 ．
18．在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足 ．
(1)求角B的大小．
(2)若 ，求 周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理、正弦的两角和公式可求解；
（2）由正弦定理、辅助角公式及三角函数求范围可求得结果.
【详解】（1）由于（2a﹣c）cosB＝bcosC，由正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosB＝
sinBcosC，
即2sinAcosB＝sinCcosB+sinBcosC，即2sinAcosB＝sin（B+C），可得：2sinAcosB＝
sinA，
因为sinA≠0，所以 ，因为 ，所以 ．
（2）因为 ， ，由正弦定理可得 ，
于是， ＝ ＝ ，因为△ABC为锐角三角形，且 ，
所以 ， ，
所以 ，可得： ，
所以△ABC周长的取值范围为： ．
19．设四边形 为矩形，点 为平面 外一点，且 平面 ，若
.
(1)求异面直线 和 所成角的余弦值;
(2)在 边上是否存在一点 ，使得点 到平面 的距离为 ，若存在，求出 的
值，若不存在，请说明理由;
(3)若点 是 的中点，在 内确定一点 ，使 的值最小，并求出此时 的
值.
【答案】(1)
(2)存在，
(3)答案见解析，
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明 平面 ，由异面直线夹角的定义得到
和 所成的角为 ，在 中，由边角关系求解即可.
（2）假设BC边上存在一点G满足题设条件，不放设 ，则 ，
再根据 得 ，进而得答案.
（3）延长 到 ，使得 ，连接 ，过 作 于 ，利用三点共线，
两线段和最小，得到 ，过 作 于 ，连接HB，在
中，求解HB即可.
【详解】（1）因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为底面 是矩形，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
又 ，故异面直线 和 所成角的大小为 ，
因为 ， ，所以
故直线PC与 所成角的大小为 ；
（2）假设BC边上存在一点G满足题设条件，不妨设 ，则
因为 平面 ， 到平面 的距离为 ，
由等体积法得 ，即
因为 ，
代入数据解得 ，即 ，故存在点G，当 时，使得点D到平面PAG的距离为 ；
（3）延长 到 ，使得 ，连接 ，过 作 于 ，
则
当且仅当 三点共线时等号成立，故 ，
过 作 于 ，连接HB，在 中， ，
20．已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，求a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求函数 的导数，分 或 两种情况讨论；
（2）由 ，令 ， ，分 ， 或 三种
情况讨论.
【详解】（1） 的定义域为 .
当 时， ，则 ，
当 时 ，可知 在 上单调递增，
当 时，令 ，得 ，今 ，得 .
因为 ，所以 为偶函数，
所以当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；当 时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为
， ；
（2）令 ，可得 ，
令 ，则 .
当 时， ， 显然成立.
当 时， ， 在区间 上单调递增，若 ，由 ，
可得 ，
有 ，与
矛盾.
当 时，令 ，可得 ，可知函数 的单调递减区间为 ，单调递增
区间为 ，可得 .
若 ，则必有 ，可化为 ，
令 ，由 ，可得 ，令 ，
得 ，
可知 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
则 ，可知 .
综上，a的取值范围为 .
【点睛】导数恒成立问题方法点睛：
1.含参不等式恒成立问题首选的方法是通过分离变量，转化为求函数的最值问题.
2.不能参变分离时，通过构造函数，分类进行讨论，求导得到函数的单调性，求此函数的
最值.
21．已知椭圆 的焦距为 ，离心率为 ，直线
与 交于不同的两点 .
(1)求 的方程；
(2)设点 ，直线 与 分别交于点 .
①判段直线 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点.请说明理由：
②记直线 的倾斜角分别为 ，当 取得最大值时，求直线 的方程.
【答案】(1)(2)①过定点，定点 ，②
【分析】（1）由题意得 ，解方程即可得出答案.
（2）①设 ， ，联立直线和椭圆的方程，得到韦达定理结合
直线 的方程表示出 点的坐标，即可求出直线 的方程，即可证明直线 定点；
②由分析知，当 取得最大值时， 取得最大值，由两角差的正切公式结合基
本不等式求解即可.
【详解】（1）由题意得 ，解得 ，所以 ，
所以 的方程为 .
（2）①由题意得 整理得 ，设
，
，直线 的方程为 ，
代入 整理得， ，
设 ，则 ，所以 ，
，即 ，同理 .
，
所以直线 的方程为 ，即 ，所以直线 过定
点 .
②因为 ，所以 与 正负相同，且 ，所以 ，
当 取得最大值时， 取得最大值.由 时， ；
所以当且仅当 时等号成立， 取得最大值， 取得最大值，
此时直线 的方程为 .
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的
第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 的
极坐标方程为 ．
(1)求 的参数方程；
(2)已知点 在 上，若 在 处的切线与直线 平行，求点 的极坐标．
【答案】(1) （ 为参数， ）；
(2) .
【分析】（1）首先根据 的极坐标方程求出 的普通方程，然后即可求出 的参数方程；
（2）根据几何关系求出直线 倾斜角，然后利用参数方程求出点 的直角坐标，再利用
极坐标公式求出点 的极坐标.
【详解】（1）由 ，所以 ，
结合 ，得 ，
化简得 ，
所以C的参数方程为 （ 为参数， ）.
（2）由（1）所得 的参数方程，可设点
因为 在 处的切线与直线 平行，所以 ，
化简得 ，又 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ，则 ，所以点 的极坐标为 .
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知 ， ．
(1)若 ，求不等式 的解集；
(2) ，若 图象与两坐标轴围成的三角形面积不大于2，求正数m的
取值范围．
【答案】(1){ 或 }；
(2) .
【分析】（1）利用零点分段法求解出绝对值不等式；
（2）作出函数的大致图象，结合条件表示出三角形面积，结合条件列出不等式，进而即得.
【详解】（1）当 时, ，
由 ，可得 或 或 ，
解得 或 ，
所以不等式 的解集为 或 ；
（2）由题可得 ，
可得函数的大致图象如图所示，
图象与两坐标轴交于点 ， ，
所以 ，
依题意 ，所以 ， ，
所以 ．
