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2004年数学（三）真题解析
一、填空题
（1）【答案】 1,-4.
【解】由 lim X (cos 工一b ) = 5 ,得 lim(e^ — a) = 0 ,于是 a = \
— a
•*or- g—0
ci p qr
再由 5 = lim--------(cos x — b) = lim(cos x — b)=l—b,得 b= —4.
x*-o- e" — 1 x*o-
(2)【答案】一笃罢・
gt)
【解】令“ *3, y ,则"金'3—
于是 /(u , V)= ~ + g(P ).
g(p)
由等=血'得 32f g'（Q）
dudv g2 (77)
丄
（3）【答案】
'2\ f G — l*z)d = f' 2J /(J7 — l)d(j： — 1) = I 1 /(J7 )dj?
【解】
J ~~2
7 J T7
.~12
1 3c
工2
dx +
1
1 (— Ddjc =
fl
] (— l)dz
丄
J ~2
7
（4）【答案】2.
【解】/'（工 工 （工 +工 尸+（S —乞 （工 +工
1，22， 3）= 1 2 3）2 + 3 1）'
=2je j + 2x 2 + 2j： 3 + 2攵1•Z 2 + ! JC 3 — 2 工 2 工 3 9
/2 1 1 \
则二次型/（g，工2，S）的矩阵为人= 1 2 -1
1 -1 2
1 2 _ 1
由A 0 -3 3 ,得r（A） = 2,即二次型的秩为2.
'0 0 0
（5）【答案】 -
e
【解】 由X〜E（入），得D（X）=g，且其分布函数为
0 2 V 0
9 9
FQ)=
1 — e_Ax ,工 $ 0，
于是 P{X >yn(xy} =f{x >y) = i-p(x< y-) = i-F(y) = -^.
方法点评：本题考查指数分布的数字特征及分布函数的概念.
重要的随机变量及其数字特征有：(1) 二项分布
设 X 〜B5,p),则 E(X) =np , D(X) =npq .
(2) 泊松分布
设 X 〜P(A),则 E(X) =A , D(X) =A ・
(3) 指数分布
2
X 〜E(X)，则 E(X)= I ,D(X)
且密度函数及分布函数为
A e%， 〉0, 1 _ e» - 0,
fCx)= FG)=
,0. 1 攵W 0, 0, x < 0.
(4)正态分布
设 X 〜N(〃 ,a2)，则 E(X)=“ ,D(X) =a2.
(6)【答案】 C72
"1 工“2
(Y,—W
【解】 X = 1 X2 (/?i — 1), 7 = 1 X2(n2 — 1)，
62 (J2
nl _ “2
—丫)
2
由E匕一 (J - = Tl\ 一 ] 9 E 7 = 1 <72 ="2 —1,得
nl n2
E[工(X,—乂)* = (“]—I)/ E [工(匕-y)2]=(n2-l)a2 ,
i = l
j = 1
n2
W1 _
艺(Xi -X)2 +》(Yj -y)2'
n! 一 1 )cr2 + (“2 — 1)<72
于是E t = 1 j = 1 (72
_ "1 + "2 — 2 _ n ] + n2 — 2
二、选择题
(7)【答案】 (A).
sin(j; 一 2)
【解】
(re — 1) (jc 一 2)2 ，
sinQ — 2) ]
当H w (—1 ,0)时，| /(J7 ) | = V -，应选(A).
(jc — 1) Q — 2)2 I (jc — 1) (j? — 2)2 |
(8)【答案】 (D).
【解】limg(a: ) = lim/(—) = lim/(i) — a , g(0)=0,
x->0 x*0- ' JC / i->oo
当a=0时，g(z )在x —0处连续；
当a HO时，攵=0为g(H)的可去间断点，
即g(z )在攵=0处连续与否与a的取值有关，应选(D).
(9)【答案】(C).
X 2 — H 9 •Z W 0, 2jc 一 19 z < 0,
【解】方法一 X ― X2 0 V z VI, 2oc 0 V 工 V 1,
9 1 — 9
[X2 •z M 1, — 1, •Z > 1 ,
— H 92 , z V 0,
7""（工）=<—2 , 0 V 工 V 1,
[2, z > 1,
当工<0时,f'〈工）=2工—1V0；
当0 0,则z = 0为fCx）的极小值点； 二（9）题图
又当工V 0时，严（工）=2 > 0；当0 <工< 1时，f〃（工）=一2 < 0,
则（0,0）为曲线，=/■（#）的拐点，应选（C）.
方法二 函数/'&） = |工（1 一工）|的图像如右图所示，显然工=0为/'（工）的极值点，（0,
0）为曲线y = fCx ）的拐点，应选（C）.
（10） 【答案】（E）.
OO OO
【解】 取un = （-1）"，显然工（畑-1 +“2”）收敛，但工““发散，①不对；
n=\ n=\
因为增加、减少、改变级数的有限项不改变级数的敛散性，所以②正确；
由lim —> 1,得limun H0,由级数收敛的必要条件得发散，③正确；
un L8
n_8 ” = 1
取"” =\ + — ,vn = W------，显然》（"”+◎”）收敛，但工"”与工都发散，④不
兀
7Z Z7 " n = 1 n = 1 ” = 1
对，应选（E）.
（11） 【答案】（D）.
【解】f' （a） = 1曲"）_化?〉0,由极限保号性，存在">0,当工6 （a,a+&i ）时，
W Ma）〉0,从而 心）>y（a）,于是存在乩 e （a ,b），使得 f <.x ;
/z Cb ） = lim 了 ----['b' v 0 ,由极限保号性，存在&2>0‘当広C（〃 一九』）时,
"）_ 严）V0,从而 fS > fCb），于是存在工。E（a,b）,使得 y（H。）>f（6）,
x 一 b
则（A）,（B）正确；
因为fd 连续且/（a）/（^） <0,所以由零点定理，存在工。6 （a』），使得y'（G）= 0,
则（C）正确，应选（D）.
方法点评：本题考查极限保号性与零点定理.
关于函数在一点导数的符号有如下结论：
W （a — 5 卫）9
G （a + 5）;
€ （a — 5）,
W （a 9。+ & ）;
（3）若f'（a）〉0,则函数/（x）在工=a的邻域内不一定单调增加，如:+ x2sin —, z 工 °， r /(x) — /(O) 1、小
/(乂)=〈2 壬 f (0) = lim-------------------=可 > 0，
Jff 0 JC Lj
[0, H = 0,
丄一cos'丄，:rHO, * o . ； , 「「 「
f\jc ) =5 2 X 显然/(H )在z =0的邻域内不单调.
0, 兀=0,
(12) 【答案】(D).
【解】 方法一 因为矩阵A,B等价，所以根据矩阵等价的定义，存在可逆矩阵P,Q,使
得 PAQ=B,于是当 |A | =0 时,\B\ =0,应选(D).
方法二 矩阵A,_B等价的充分必要条件为r(A)=r(B),所以当|A | =0时,r(A)<«,
于是r(B)h}= l-2P{X>x}= a,得 P{X$_z}=宁.
再由 P{X > ua} a 9 得工 ，应选(C).
=U]_a
三、解答题
(15)【解】方法一
1 COS2 J： . JC 2 sm. 2 x cos 2 x [. x 2 一 si*2n x cos 2x
lim =lim —— =lim
■o \sin2 X 2 x 2 sm. 2 x ■zf 0 X 4
x + sin x cos x x 一 sin x cos x
=lim
0 X 3
sin x x 一 sin x cos x
lim 1 + -------cos x
x*0- \ x X 3
[. 2jc 一 2sin x cos x y. 2jc 一 sin 2j? — sin
lim-------------------------= lim 81im
x*0- XJC 3 工— 0 JC 3 x*0- (2工乂
= t t 一 sin t 8 y. 1 一 cos t 4
Slim------------= -—lim
z*o- t 3 3 Lo 2 3
方法二
1 cos2 JC 2 si• n 2 x cos 2 Jc x2 si• n 2 x cos 2 x
lim =lim — =lim ——
•o \sin2jc X 2 x*-0- x 2 si• n 2 x x—*-0 X 4
x + sm x cos x x 一 sin x cos x
lim----------------------
x->0 x JC 3
a. x — sin x cos x 1 一 cos 2无
=zlim 21im
x*0- X 3 •*z- 0 3^2
2 1 一 cos 4
—lim
3工〜。 OC 3
2方法三
1 COS 2X )=lim x 2 — si・ n 2 x cos 2 jc
lim
x*o- \sin2 j： JC 2~ / x—*0 jc 2 si・ n 2 x
1 • 2.
x2 ----sin Lx
X —si• n 2 x cos 2x 4
2
=lim lim——
H f 0
X4
■T f 0
JC4
2jc — sin 2x cos 2无 4z — sin 4«r
=lim =lim
x*0- 4攵3 x—*0 8 j: 3
— sin 4j? 4h = t
=81im 811m
x->0 (4a：)3 —0 3
1 — cos t
=81im
LO 3t2 3
方法四
1 COS2 J； 2 —si• n 22 x cos 2 X
lim =lim
■o \sm2 j: X2~ x*0~ jc 2 si・ n 2 x
1 .2?
X2 —sin Lx
X 2 si・ n 2 jc cos 2 x 4
=lim lim——
x*0-
X4
x*0~
X4
1 — cos 4z
JC
2
8 2 — 1 + cos 4
=lim
x-^O -X4 X 4
X 2 4 +狰
由 cos x =1 — 土----F 吕-- o (f )得 cos 4h =1 — 8a:2 + o(d),
22!! 4!
39 ，故lira].； cos2jc __4
于是 8j; 2 — 1 + cos 4re 〜—x4
x—0 \sin x JC =T
2
(16)【解】如右图所示，
方法一 令 Di ： + y2 £4, D2 : (j; + I)2 + y2 则
jj (Jx2 + y2 + 3/)djcdj/ = Ij ( J芒十)2 + y ) dr djy —
D
Di
JJ( Jx1 ++ y )dr djy ,
D2
ffnjj (Vjc2 + y2 + 夕)dzdy =』Jr2 + y2 dzdjy
Di Di
九=罟
0 0
«3n
Jj(Vt2 + y2 + y )dr dy =』 a/j: 2 y2 dr djy = j ： d0 1—2cos & r2 dr
0
D2 D2
§ 凹 o =乳cos讥心等
n cos3 0(10 =— [cos3 0 d0
7
于是 JJ (yj:2 + y2 +y)clzdy 16 3 k 32
了.
D方法二 令 Di={O,y) | J：2 + j^2 4,j： NO},
D2 — {Cj: ,y) | — 2je + y2 ^0},
■ A ,n_
p ^ 8 8
而』("芒 + b +夕)d_z dy = d0 J | o (r + rsin 9)rdr —— 3 - [(1 + sin 3)d6 = ~3^ ；
Di
jj(Vt2 + yz + y )dH dy =
JJ a/z 2 + _/ dz dy = J； d& *2
r2 dr
0
D2 D2 7 —2 cos
,3x
：(1 + cos30)d0
~1
7
>n_
o — n = t 8
2 n (1 — cos3Z )dz
"3
今F(i—曲朋今 7T 2 8 32
3 J o 3 亍兀 T
所以』(Jx2 + y2 + y)djcdy = JJ (a/j:2 y2 + 3/)drc dj/ +』(2 y2 + 夕)d«z dy
D D1 D2
16 32
=---TT-------
3 9 -
(17)【证明】 由 f(t)dt g(Z)df,得 [_/(£)—g(t)]dt 2 0,
从而『吐「『(/)—g(/)]d/鼻0,
'b 'b
而 f dx [ [_/(/)—g(t)]dt = dij [y(t) — g(/)]dz = J (6 — —g(?)]dz
=4加)业—加)曲]-[[ — J £g(t)dt
tf (t)dt — J tg 2 0,
'b 'b Cb
故[^1 tg Ct) dt，即 | xf(^x )dj; W| xg (jc )dx .
p p
(⑻【解】(I)Ed= —Q •而=—(一 5)X]00_5p 20-P
(n)R=PQ, ^=Q + P ^=Q-5P ,
dF ar
又 QC1-EP =Q-5P，所以 ^=Q(1—EG ,
ar
p
J D
若价格降低收益增加，则器 V 0,故1 — Ed < 0,即1 —莎二卫V 0,解得P > 10.
注意到0 V P V 20,故当10 < P < 20时，价格降低反而使收益增加.
4 6 8
(19)【解】(I)令3&)=衣+ ^^ +泳4><6応+…‘则
3 5 7 3
3
故S(z)满足的微分方程为S'Q) — xS(a：)=—.3
(n)由 s‘(_z)— xs(x)=专-，得
S Cz ) = (J L j dr + C) e「j =(J ye"Vdj; + C)eV = CeV - y - 1 ,
, € 工
2
由 S (0) = 0,得 C = l,故 S(z)=e2---------1.
(20)【解】 方法一 0可否由叭,a2,a3线性表示等价于非齐次线性方程组^1«1+^2«2 +
x3a3 是否有解.
- I1 1 -1 1 \ 1 1 -1 1
A — Ca^ ,a2 ,a3，P)= 2 a + 2 -6-2 3 — 0 a 一 b 1
'o — 3a
—3)
a + 26 0 —3a a+2b —3
(I )当a =0, b为任意常数时，因为r(A)#r(A),所以0不可由a1,a2,a3线性表示;
(II )当a工0且a 工b时,0可由ai ,a2 ,a3唯一线性表示,
1
1 0 0 1------
a
,得 0=(1------[a】 a Oa 3.
由A 1 2 +
0 1 0 \ a / a
a
.0 0 1 0
(UI )当a工0且a =5时，
, 11
11-1 1 1 0 0 1------
a
1
由A 0 1-1 —A 1
a 0 1-1
a
0 0 0 0
0 0 0 0 ‘
1 1〕
1------ 1------
0 a a
。 + ——
得 x}aY+x2a2 +鼻 3 3 =0 的通解％X = C 1 c 小 + — 1 (C为任意常数)，
a a
.o c
a1 + (C + ^)a2+Ca3(C 为任意常数).
故
。
方法二 令 A = (a】,a2 ,a3), A (a \ 9 卩)
9 (X 2 9 3 9
1 1 -1 1 1 -1
a ,a2,a3 = 2 a + 2 —b — 2 = 0 a —b = a(a 一 b )
0 —-3a a 十26 0 —-3a a 十2b
(I)当 a =0时，
z1 1 -1 3 1 \ 卜 I1 1 -1 : 1 \ I1 1 -1 : 1 \
A= 2 2 -b-2\ 0 0 —b ； 1 0 0 —b i 1
'o 0 2b \ — 3/ 'o 0 2b I —3/ 0 0 1 -1'则当a=0, b为任意常数时，因为r(A)^r(A),所以0不可由a】,a2 ,a3线性表示;
_ Z1 1 — 1 !\
当 a H 0 时,A*- 0 a 一 b 1，则
'o
0 a 一 b
(n )当a HO且a工b时，因为r(A)=r(A)=3,所以“可由ax ,a2 ,a3唯一线性表示,
r 1
1 0 0 1------
八 1 -1 I1 1 0 a
由A*- 0 a —b 1 - a 0 1
J J 0 1 0
0 a 一 b '0 0 1 a
0 0 1 0 ‘
得*(1 — + )5+占2十陋;
(皿)当aHO且a = b时,r(A) = r(A)<3,/3可由叭,a2 ,a3线性表示,但表示方法不唯一.
1 1 -1 1 ] 1 0 0
-I1 1 一 1 卜
1
由 A*- 0 a — a 0 1 -1 --- --► 丄
a 0 1 -1
'o 0 0 o' a
0 0 0
0 0 0
1 1
1------ 1——
/° a a
得方程组①血+^2。2+工303 = 0的通解为X= C 1 1 —— c。 -\,-1- (C为任意常数)，
a a
4
.o C
故卩=(1一¥)® + (C + ^)a2+Ca3( C 为任意常数).
A — 1 一 b … 一 b
一 b A 一 1 … 一 b
(21)【解】(1)由|疋—山=
—b — b … A 一 1
=[A -l-(/?-l)6](A — l+b)"T = 0,
得 A 的特征值为 A ! = 1 + (?7 — 1)6，入 2=入3 = •••=入” =1 一 b .
情形一：b H0
当入1 =1 + (" —1)5时，因为A为实对称矩阵，所以入1=1 + 5 —l)b只有一个线性无关
(z? 一 1)6 一 b … 一 b
,,, 、亠— b (?? — 1)6 — b
的特征向量，注意到[1 +(” 一 —A = . . . 的每
、 一b —b … (n一1)6
行元素不为零，于是入1 =1 + (" — l)b对应的特征向量为.
当入2 =入3 =•••=入” =1 — b时，,-b —b ・ • — b rl 1 . .1
-b —b • ・ 一b 0 0 . • 0
(1-6)E-A = —A
一 b —b • ・ —b .0 0 . • 0 ,
则A =1-6对应的线性无关的特征向量为
§2= (-l,l,O,-,O)T,爲=(-i,o,i,o,-,o)T, • =(-l,O,-,O,l)T
情形二：b =0
此时入1 =入2 =••• — A„ =1,任意非零向量皆为矩阵A的特征向量.
(U)当b H0时，取P = (® ,良，…，霜)，则
f(/2 -1)6 + 1 0 0
0 1-6 0
P~1AP =
0 0 1-6
当b =0时，对于任意可逆矩阵P,有P~ AP^E.
P (A B )
(22)【解】 由 P(B | A) =?营,得 P(AB) =P(A)P(B I A)
=12
又由戸3僅)=網，得叫)=腭£=4・
(I)(X,Y)的可能取值为(0,0), (0,1), (1,0), (1,1),
P{X -0,Y = 0} =P(AB) = P(A+B)=1-P(A+B)
2
=1 -P(A) -P(B) + P(AB) =§ ；
— 1
P{X =0,Y = l} =P(AB) =P(B) -P(AB)=—；
P{X =1,Y = O} =P(A 巨)= P(A) —P(AE) = £
0
P{X =1,Y = 1} =P(AB)=寺
i i 3
E(X)=「EX)=「D(X)=E(X—[E(X)F=r
5
E(Y)=*, EY)=*
D(Y) =E(y2) 一 EE(Y)]2 ,由 E(XY)=吉得 Cov(X,y)=E(XY) —E(X)E(Y)=卜莽召
1
Cov(X,Y) 24
则pXY
VD(X) • a/D(Y) V3 V5 15
TXT
(ni)z=x2+y2的可能取值为o,i,2,
2
P{Z=0}=P{X=09Y = 0}=— 9
P{Z=1}=P{X=O,Y = 1}+P{X=1,Y = oT
P{Z=2}=P{X=1,Y = 1}=石，
/O 1 2
故z的分布律为z〜 2 1 1
' 3
T 12
（23）【解】（I ）当a =1时，随机变量X的密度函数为
严十'，
•z > 1,
f © ；“)=
lo, 工W 1,
E(X)=J ■z/'Q ,0)cLr =/?J x
0 — 1
一 - x
令E(X)=X，则0的矩估计量为B= —•
X — 1
（U）当a =1时，似然函数为
L（Z 1 ,02，…，攵”；目）1 ；0）于（2 2 ；0）…/'（攵” ；0）=P" Q 1攵2 …S ,
其中 g > 1（ i = 1,2 , ••• ,/7 ）,
n
取对数得 In L =nln 0 — (0 + 1) Y In g ,
t = 1
由書In L =----£ In g =0,得0的最大似然估计值为p = ----
邙 p i=i
/ j In x
i = l
0的最大似然估计量为B= 一.
SlnX,
i = 1
(HI)当”=2时，X的密度函数为
12a2 a: ~3 9 x > a 9
fix ;a ) = \
【0， 工W a 9
似然函数为
L (jc i 9H2,…，2” ；a) =/(jc i ;a)/'(H2；a)・・・/(w” ；a) = 2n a "(工 i 工 2 …工 〃)一3，
其中 x i〉a ( i = 1,2 , ••• ).
n
取对数得 In L =7? In 2 + 2nln a —3 In x t ,
i = 1因为gin L =— > 0,即L为a的增函数，所以a的最大似然估计值为& = min {, },
da a W
最大似然估计量为a = min {X, }.
1 w”
方法点评：参数的矩估计法即通过总体的原点矩与样本相应阶的原点矩相等求出参数
的估计量，如E(X) =X等.
参数的极大似然估计法分为两种类型：
(1) 总体为离散型
先求 L(0) =P{Xi =g}P{X2 =工”}，再由 21n L(0)=O 求出参数 0
at/
的极大似然估计量.
(2) 总体为连续型
先求 L(0) ;^)，再由 £lnL(0) =0 求出参数 0 的极大似
然估计量.
