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专题04 统计概率（解答题11 种考法）
1．（2023·陕西咸阳·校考三模）某大型企业生产的产品细分为
个等级，为了解这批产品的等级分布情况，
从流水线上随机抽取了
件进行检测、分类和统计，并依据以下规则对产品进行评分:检测到级到级
的评为优秀，检测到
级到6 级的评为良好，检测到级到级的评为合格，检测到
级的评为不合格.以
下把频率视为概率，现有如下检测统计表:
等级
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
频数
10
90
100
150
150
200
100
100
50
50
(1)从这
件产品中随机抽取件，请估计这件产品评分为优良的概率；
(2)从该企业的流水线上随机抽取
件产品，设这
件产品中评分为优秀的产品个数为
，求
的分布列及
期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【解析】（1）记事件A：产品的评分为优秀，事件
：产品的评分为良好.
根据统计学原理，可以用样本来估计总体，由统计表得
，
.
因为
互斥，所以可以估计该件产品为优良的概率为
.
（2）由(1)知，评分为优秀的概率为
，由题意得
，
则
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
.
所以
的分布列为
0
1
2
3
4
数学期望
.
2．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）某区在高中阶段举行的物理实验技能操作竞赛分基本操作与技能操
作两步进行，第一步基本操作：每位参赛选手从
类7 道题中任选4 题进行操作，操作完后正确操作超过
两题的（否则终止比赛），才能进行第二步技能操作：从
类5 道题中任选3 题进行操作，直至操作完为
止.
类题操作正确得10 分，
类题操作正确得20 分.以两步总分和决定优胜者.总分80 分或90 分为二等奖，
100 分为一等奖.某校选手李明
类7 题中有5 题会操作，
类5 题中每题正确操作的概率均为
，且各题
操作互不影响.
(1)求李明被终止比赛的概率；
(2)现已知李明
类题全部操作正确，求李明
类题操作完后得分的分布列及期望；
(3)求李明获二等奖的概率.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【解析】（1）解：设“李明被终止比赛”事件为
表示选的4 题均会操作或3 题会操作，
故李明被终止比赛的概率
.
（2）解：设李明在竞赛中，
类题全部操作正确后得分为
，
则
的取值为
，且
类题正确操作题数
，
可得
；
；
；
所求
的分布列
40
60
80
100
.
（3）解：设李明获二等奖的事件为
，事件
即
类题全部操作正确，
类题正确操作2 题
或
类题操作正确3 题，
类题全部正确操作，
所以李明获二等奖的概率为
.
3．（2023·新疆乌鲁木齐·统考二模）2022 年的男足世界杯在卡塔尔举办，参赛的32 支球队共分为8 个小
组，每个小组有4 支球队，小组赛采取单循环赛制，即每支球队都要和同组的其他3 支球队各比赛一场.每
场比赛获胜的球队积3 分，负队积0 分.若打平则双方各积1 分，三轮比赛结束后，积分从多到少排名靠前
的2 支球队小组出线（如果积分相等，还要按照其他规则来排名）.已知甲、乙、丙、丁4 支球队分在同一
个组，且甲队与乙、丙、丁3 支球队比赛获胜的概率分别为
，
，
，与三支球队打平的概率均为
，
每场比赛的结果相互独立.
(1)某人对甲队的三轮小组赛结果进行了预测，他认为三场都会是平局，记随机变量X＝“结果预测正确的
场次”，求X 的分布列和数学期望；
(2)假设各队先后对阵顺序完全随机，记甲队至少连续获胜两场的概率为p，那么甲队在第二轮比赛对阵哪
个对手时，p 的取值最大，这个最大值是多少？
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【解析】（1）由于甲队每场比赛平局的概率都是
，所以甲队三场比赛打平的场次，即随机变量
服从
二项分布，由题意得
，其分布列如下：
，
，
，
，
X
0
1
2
3
P
数学期望
.
（2）由已知得不同的对阵情况共有
种，每种可能性出现的概率均为
.
设甲队第二轮对阵乙队至少连续获胜两场的概率为
，甲队第二轮对阵丙队至少连续获胜两场的概率为
，甲队第二轮对阵丁队至少连续获胜两场的概率为
，则
；
；
；
因为
，所以甲队在第二轮对阵乙队时，p 的取值最大，最大值为
.
4．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）某地区举行数学核心素养测评，要求以学校为单位参赛，最终
学
校和
学校进入决赛．决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有4 道选择题和2 道填空题，乙箱中
有3 道选择题和3 道填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两校每位参赛同学在甲或乙两个纸箱中
随机抽取两题作答，作答后放回原箱；环节二：由
学校和
学校分别派出一名代表进行比赛．两个环节
按照相关比赛规则分别累计得分，以累计得分的高低决定名次．
(1)环节一结束后，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道从
学校抽取12
人，其答对题目的平均数为1，方差为1，从
学校抽取8 人，其答对题目的平均数为1.5，方差为0.25，
求这20 人答对题目的均值与方差；
(2)环节二，
学校代表先从甲箱中依次抽取了两道题目，答题结束后将题目一起放入乙箱中，然后
学校
代表再从乙箱中抽取题目，已知
学校代表从乙箱中抽取的第一题是选择题，求
学校代表从甲箱中取出
的是两道选择题的概率．
【答案】(1)这20 人答对题目的均值为
，方差为
(2)
【解析】（1）设
学校答对题目的样本数据为
，
学校答对题目的样本数据为
，
由题意得
，由题意得
，
所以这20 人答对题目的均值为
，
由
，得
，
由
，得
，
，
，
这20 人答对题目的方差为
.
（2）记
“
学校代表从乙箱中抽取的第一道题是选择题”，
“
学校代表先从甲箱中依次抽取了两道选择题”，
“
学校代表先从甲箱中依次抽取了一道选择题，一道填空题”，
“
学校代表先从甲箱中依次抽取了两道填空题”，
易知
彼此互斥，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
所以
学校代表从甲箱中取出的是两道选择题的概率为
.
5．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）哈六中举行数学竞赛，竞赛分为初赛和决赛两阶
段进行.初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个学年派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮
比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格.高三学年派出甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮
比赛的概率分别是
，
，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是
，
，且每名同学所有轮次比赛的
结果互不影响.
(1)若高三学年获得决赛资格的同学个数为
，求
的分布列和数学期望.
(2)已知甲和乙都获得了决赛资格.决赛的规则如下：将问题放入
两个纸箱中，
箱中有3 道选择题和2
道填空题，
箱中有3 道选择题和3 道填空题.决赛中要求每位参赛同学在
两个纸箱中随机抽取两题作
答.甲先从
箱中依次抽取2 道题目，答题结束后将题目一起放入
箱中，然后乙再抽取题目.已知乙从
箱
中抽取的第一题是选择题，求甲从
箱中抽出的是2 道选择题的概率.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【解析】（1）依题意得甲获得决赛资格的概率为
，乙获得决赛资格的概率为
，
的所有可能取值为
，
，
，
，
所以
的分布列为：
0
1
2
所以
.
（2）记
“甲从
箱中抽出的是
道选择题”，
“乙从
箱中抽取的第一题是选择题”，
则
，
，
，
，
，
，
所以
.
甲从
箱中抽出的是2 道选择题的概率为
.
6．（2023·广西柳州·统考模拟预测）新高考改革后广西省采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文数学
､
､
外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理历史里选一门；“
､
2”指考生要在生物学化学思想政
､
､
治地理
､
4 门中选择2 门.
(1)若按照“3+1+2”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数；
(2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生5000 名参加语数
外的网络测试满分
､
450 分，假设该次网络测试成绩服从正态分布
.
①估计5000 名学生中成绩介于120 分到300 分之间有多少人；
②某校对外宣传“我校200 人参与此次网络测试，有10 名同学获得430 分以上的高分”，请结合统计学知
识分析上述宣传语的可信度.
附：
，
，
.
【答案】(1)
种
(2)①4093 人；②不可信
【解析】（1）甲乙两个学生必选语文数学外语，若另一门相同的选择物理历史中的一门，有
､
､
､
种，在
生物学化学思想政治地理
､
､
､
4 门中甲乙选择不同的2 门，则
，即
种；
若另一门相同的选择生物学化学思想政治地理
､
､
､
4 门中的一门，则有
种，
所以甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数共
种方法；
（2）①设此次网络测试的成绩记为
，则
，
由题知
，
，
，
则
，所以
，
所以估计5000 名学生中成绩介于120 分到300 分之间有4093 人；
②不可信.
，
则
，
5000 名学生中成绩大于430 分的约有
人，
这说明5000 名考生中，会出现约7 人的成绩高于430 分的“极端”样本，
所以说“某校200 人参与此次网络测试，有10 名同学获得430 分以上的高分”，
说法错误，此宣传语不可信.
7．（2023·福建厦门·厦门一中校考二模）法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面
包店购买一个面包.该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是
，上下浮动不超过
.这
句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为
，标准差为
的正态分布.
(1)已知如下结论：若
，从X 的取值中随机抽取
个数据，记这k 个数据的平均
值为Y，则随机变量
，利用该结论解决下面问题.
（i）假设面包师的说法是真实的，随机购买25 个面包，记随机购买25 个面包的平均值为Y，求
；
（ii）庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25 天后，得到的数据都落在
上，并经计算25
个面包质量的平均值为
.庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的
理由；
(2)假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6 个面包，其中黑色面包有2 个；
第二箱中共装有8 个面包，其中黑色面包有3 个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2 个面包.求取出
黑色面包个数的分布列及数学期望.
附：①随机变量
服从正态分布
，则
，
，
；
②通常把发生概率小于
的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.
【答案】(1)（i）
；（ii）理由见解析
(2)分布列见解析，
【解析】（1）（i）因为
，所以
，因为
，所以
，因为
，
所以
；
（ii）由第一问知
，庞加莱计算25 个面包质量的平均值为978.72g，
，而
，为小概率事件，小概率事件基本不会发生，这就是庞加莱举报该面包师
的理由；
（2）设取出黑色面包个数为随机变量
，则
的可能取值为0，1，2.
则
，
，故分布列为：
0
1
2
其中数学期望
.
8．（2023·江西赣州·统考模拟预测）随着《2023 年中国诗词大会》在央视持续热播，它将经典古诗词与新
时代精神相结合，使古诗词绽放出新时代的光彩，由此，它极大地鼓舞了人们学习古诗词的热情，掀起了
学习古诗词的热潮.某省某校为了了解高二年级全部1000 名学生学习古诗词的情况，举行了“古诗词”测
试，现随机抽取100 名学生，对其测试成绩（满分：100 分）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图
所示.
(1)根据频率分布直方图，估计这100 名学生测试成绩的平均数（单位：分）；（同一组中的数据用该组区
间的中点值为代表）
(2)若该校高二学生“古诗词”的测试成绩X 近似服从正态分布
，其中
近似为样本平均数，规
定“古诗词”的测试成绩不低于87 分的为“优秀”，据此估计该校高二年级学生中成绩为优秀的人数；
（取整数）
(3)现该校为迎接该省的2023 年第三季度“中国诗词大会”的选拔赛，在五一前夕举行了一场校内“诗词
大会”.该“诗词大会”共有三个环节，依次为“诗词对抗赛”“画中有诗”“飞花令车轮战”，规则如下：
三个环节均参与，在前两个环节中获胜得1 分，第三个环节中获胜得4 分，输了不得分.若学生甲在三个环
节中获胜的概率依次为
，
，
，假设学生甲在各环节中是否获胜是相互独立的.记学生甲在这次“诗词
大会”中的累计得分为随机变量
，求
的分布列和数学期
.
（参考数据：若
，则
，
，
.
【答案】(1)74 分
(2)159 人
(3)分布列见解析，
【解析】（1）由频率分布直方图估计平均数为：
（分）
（2）由题意可得测试成绩X 近似服从正态分布
所以
，则
所以
人
故该校高二年级学生中成绩为优秀的人数约为
人；
（3）随机变量
的所有可能取值为：
，
，
，
所以
的分布列如下：
数学期望
.
9．（2023·福建宁德·福鼎市第一中学校考模拟预测）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100
人的成绩进行了统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，规定成绩为80 分及以上者晋级成功，否则晋
级失败．
(1)求图中
的值；
(2)根据已知条件完成下面
列联表，并判断能否有
的把握认为能否晋级成功与性别有关；
晋级情况性
别
晋级成功
晋级失败
总计
男
16
女
50
总计
(3)将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4 人进行约谈，记这4 人中晋级失败的人数为
，
求
的分布列与数学期望．
参考公式：
，其中
．
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
【答案】(1)
(2)列联表见解析，有
(3)分布列见解析，3
【解析】（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1，
可知
，解得
．
（2）由频率分布直方图，知晋级成功的频率为
，
所以晋级成功的人数为
，
填表如下：
晋级情况性
别
晋级成功
晋级失败
总计
男
16
34
50
女
9
41
50
总计
25
75
100
所以
，
所以有
的把握认为能否晋级成功与性别有关．
（3）由（2）知晋级失败的频率为
，
将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1 人进行约谈，此人晋级失败的概率为
，
易知
，
则
，
，
，
，
．
所以
的分布列为
0
1
2
3
4
则
．
10．（2023·广东韶关·统考模拟预测）研究表明，如果温差本大，人们不注意保暖，可能会导致自身受到
风寒刺激，增加感冒患病概率，特别是对于几童以及年老体弱的人群，要多加防范某中学数学建模社团成
员研究了昼夜温差大小与某小学学生患感冒就诊人数多少之间的关系，他们记录了某六天的温差，并到校
医室查阅了这六天中每天学生新增感冒就诊的人数，得到数据如下：
日期
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
昼夜温差x（
）
4
7
8
9
14
12
新增感就诊人数y（位）
参考数据：
，
(1)已知第一天新增感冒就的学生中有4 位男生，从第一天多增的感冒就诊的学生中随机取2 位，其中男生
人数记为X，若抽取的2 人中至少有一位女生的概率为
，求随机变量X 的分布列和数学期望；
(2)已知两个变量x 与y 之间的样本相关系数
，请用最小二乘法求出y 关于x 的经验回归方程
，据此估计昼夜温差为15
时，该校新增感冒就诊的学生人数. 参考数据：
，
【答案】(1)
的分布列见解析；
(2)15
【解析】（1）因为
，所以
，
所以
，解得
，即第一天新增患感冒而就诊的学生有9 位，其中男生4 位，女
生5 位，则随机变量X 的可能取值为
，且
服从超几何分布，其中
，
，
，
，
的分布列为
0
1
2
数学期望为
；
（2）因为
，所以
，所以
，
由于
，
所以
，所以
，
因为
，
，
解得
，所以
，所以
，
当
时，
，
据此估计昼夜温差为15
时，该校新增感冒就诊的学生人数为
.
11．（2023·河南·襄城高中校联考模拟预测）某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的
综合型科技创新企业．该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴
熟，才能发挥更大的作用．已知在单位时间内，甲、乙两种类型的无人运输机操作成功的概率分别为
和
，假设每次操作能否成功相互独立．
(1)该公司分别收集了甲型无人运输机在5 个不同的地点测试的两项指标数
，
（
），数据如
下表所示：
地点1
地点2
地点3
地点4
地点5
甲型无人运输机指标数
2
4
5
6
8
甲型无人运输机指标数
3
4
4
4
5
试求
与
间的相关系数，并利用说明
与
是否具有较强的线性相关关系；（若
，则线性相关
程度很高）
(2)操作员连续进行两次无人机的操作有两种方案：
方案一：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该类型
设备；若初次操作不成功，则第二次使用另一类型进行操作．
方案二：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，无论初次操作是否成功，第二次均使用初次
所选择的无人运输机进行操作．
假定方案选择及操作不相互影响，试比较这两种方案的操作成功的次数的期望值．
附：参考公式及数据：
，
．
【答案】(1)
，是
(2)方案一操作成功的次数的期望值大于方案二操作成功的次数的期望值
【解析】（1）
，
，
，
，
相关系数
，
因为
，所以
与
具有较强的线性相关关系．
（2）设方案一和方案二操作成功的次数分别为
，
，则
，
的所有可能取值均为0，1，2，
方案一：
，
，
，
所以
．
方案二：选择其中一种操作设备后，进行2 次独立重复试验，
所以
，
所以
，即方案一操作成功的次数的期望值大于方案二操作成功的次数的期望值．
12．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金
属的分布情况，测得了平均金属含量
（单位：
）与样本对原点的距离
（单位：
）的数据，并作
了初步处理，得到了下面的一些统计量的值.（表中
）
6
60
(1)利用样本相关系数的知识，判断
与
哪一个更适宜作为平均金属含量
关于样本对原点
的距离
的回归方程类型？
(2)根据（1）的结果回答下列问题：
（i）建立
关于
的回归方程；
（ii）样本对原点的距离
时，金属含量的预报值是多少？
(3)已知该金属在距离原点
米时的平均开采成本
（单位：元）与
关系为
，
根据（2）的结果回答，
为何值时，开采成本最大？
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）
(3)10
【解析】（1）因为
的线性相关系数
，
的线性相关系数
，
，
更适宜作为平均金属含量
关于样本对原点的距离
的回归方程类型.
（2）（i）依题意，可得
，
，
，
关于
的回归方程为
.
（ii）当
时，金属含量的预报值为
.
（3）因为
，
令
，则
，
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减，
在
处取得极大值，也是最大值，此时
取得最大值，
故
为10 时，开采成本最大.
13．（2023·江西·校联考二模）2023 年高考进入倒计时，为了帮助学子们在紧张的备考中放松身心，某重
点高中通过开展形式多样的减压游戏，确保同学们以稳定心态，良好地状态迎战高考，游戏规则如下：盒
子中初始装有2 个白球和1 个红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮.如
果每一轮取到的两个球都是红球，则记该轮为成功，否则记为失败.在抽取过程中，如果某一轮成功，则停
止；否则，在盒子中再放入一个白球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功.
(1)如果某同学进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的
轮次数为随机变量
，求
的分布列和数学期望；
(2)为验证抽球试验成功的概率不超过
，假设有1000 名学生独立的进行该抽球试验，记表示成功时抽球
试验的轮次数，
表示对应的人数，部分统计数据如下：
1
2
3
4
5
120
62
33
20
15
求
关于的回归方程
，并通过回归方程预测成功的总人数（
取整数部分）；
(3)证明：
．
附：经验回归方程系数：
，
；
参考数据：
，
，
（其中
，
）．
【答案】(1)分布列见解析，
；
(2)
，270；
(3)证明见解析.
【解析】（1）依题意，X 的取值可能为1，2，3，则
；
；
，
所以X 的分布列为：
X
1
2
3
P
所以数学期望为
．
（2）令
，则
，
依题意，
，
于是
，
则
，
所以所求的回归方程为：
，
估计t=6 时，
；估计t=7 时，
；估计t=8 时，
；
估计t=9 时，
；估计t≥10 时，
，从而
，
所以预测成功的总人数为270．
（3）依题意，在前n 轮就成功的概率为
，
又因为在前n 轮没有成功的概率为
，则
，
所以
．
14（2023·山东日照·统考二模）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增
长.从中国信息通信研究院发布的《云计算白皮书（2022 年）》可知，我国2017 年至2021 年云计算市场规
模数据统计表如下：
年份
2017 年
2018 年
2019 年
2020 年
2021 年
年份代码x
1
2
3
4
5
云计算市场规模y/亿元
692
962
1334
2091
3229
经计算得：
=36.33，
=112.85.
(1)根据以上数据，建立y 关于x 的回归方程
（为自然对数的底数）.
(2)云计算为企业降低生产成本､提升产品质量提供了强大助推力.某企业未引入云计算前，单件产品尺寸与
标准品尺寸的误差
，其中m 为单件产品的成本（单位：元），且
=0.6827；引入云
计算后，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差
.若保持单件产品的成本不变，则
将会
变成多少？若保持产品质量不变（即误差的概率分布不变），则单件产品的成本将会下降多少？
附：对于一组数据
其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
=
，
.
若
，则
，
，
【答案】(1)
(2)
，成本下降3 元.
【解析】（1）因为
，所以
，
所以
，
所以
，
所以
.
（2）未引入云算力辅助前，
，所以
，
又
，所以
，所以
.
引入云算力辅助后，
，所以
，
若保持产品成本不变，则
，
所以
若产品质量不变，则
，所以
，
所以单件产品成本可以下降
元.
15．（2023·辽宁鞍山·统考二模）2020 年，是人类首次成功从北坡登顶珠峰60 周年，也是中国首次精确测
定并公布珠峰高程的45 周年.华为帮助中国移动开通珠峰峰顶5G，有助于测量信号的实时开通，为珠峰高
程测量提供通信保障，也验证了超高海拔地区5G 信号覆盖的可能性，在持续高风速下5G 信号的稳定性，
在条件恶劣地区通过简易设备传输视频信号的可能性.正如任总在一次采访中所说：“华为公司价值体系的
理想是为人类服务.”有人曾问，在珠峰开通5G 的意义在哪里？“我认为它是科学技术的一次珠峰登顶，告
诉全世界，华为5G、中国5G 的底气来自哪里.现在，5G 的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革，某IT
公司基于领先技术的支持，5G 经济收入在短期内逐月攀升，该IT 公司在1 月份至6 月份的5G 经济收入y
（单位：百万元）关于月份x 的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.
月份x
1
2
3
4
5
6
收入y（百万元）
6.6
8.6
16.1
21.6
33.0
41.0
(1)根据散点图判断，
与
（a，b，c，d 均为常数）哪一个更适宜作为5G 经济收入y 关于
月份x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的结果及表中的数据，求出y 关于x 的回归方程，并预测该公司7 月份的5G 经济收入.（结果
保留小数点后两位）
(3)从前6 个月的收入中抽取2 个，记收入超过20 百万元的个数为X，求X 的分布列和数学期望.参考数据：
3.50
21.15
2.85
17.70
125.35
6.73
4.57
14.30
其中，设
（i=1，2，3，4，5，6）.
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（
，
）（i=1，2，3，…，n），其回归直线
的
斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
.
【答案】(1)
更适宜
(2)
，65.35 百万元
(3)分布列见解析，1
【解析】（1）根据散点图判断，
更适宜作为5G 经济收入y 关于月份x 的回归方程类型；
（2）因为
，所以两边同时取常用对数，得
，设
，所以
，因为
，所以
所以
.
所以
，即
，所以
.
令
，得
，
故预测该公司7 月份的5G 经济收入大约为65.35 百万元.
（3）前6 个月的收入中，收入超过20 百万元的有3 个，所以X 的取值为0，1，2，
所以X 的分布列为：
0
1
2
P
所以
.
16．（2023·河南·校联考模拟预测）小李从家出发步行前往公司上班，公司要求不晚于8 点整到达，否则
视为迟到.小李上班路上需要经过4 个路口，每个路口遇到红灯的概率均为
，且相互独立.已知每遇到红灯
的平均等候时长皆为1 分钟，若没有遇到任何红灯则小李仅需10 分钟即可到达公司.求：
(1)要保证不迟到的概率高于90%，小李最晚在几点几分从家出发；
(2)若小李连续两天7 点48 分从家出发，则恰有一天迟到的概率；
(3)小李上班路上的平均时长.
【答案】(1)7 点47 分
(2)
(3)12
【解析】（1）根据题意可知若7 点46 分出门，则一定不会迟到；若7 点47 分出门，仅当遇到4 个红灯时
才会迟到，则迟到的概率为
，不迟到的概率为
，
若7 点48 分出门，则遇到3 个或4 个红灯会迟到，迟到的概率为
，
迟到的概率为
，
所以若保证不迟到的概率高于90%，小李最晚在7 点47 分从家出发.
（2）由（1）可知，小李7 点48 分从家出发迟到的概率为
，不迟到的概率为
，
所以若两天都是7 点48 分出发，则恰有一天迟到的概率为
.
（3）方法1：根据题意可知小李每天上班时长
可能得取值为
，11，12，13，14（分钟），则
，
，
，
的分布列为
所以上班路平均时长为
（分钟）.
方法2：设小李每天上班时长
，11，12，13，14（分钟），
易知遇到的红灯个数
，1，2，3，4 服从
，
所以
，
所以
（分钟）.
17．（2023·河北秦皇岛·校联考模拟预测）某班从6 名男生和4 名女生中，随机抽取5 人组成数学兴趣小组，
另5 人组成物理兴趣小组．
(1)求数学兴趣小组中包含男生A，但不包含女生a 的概率；
(2)用X 表示物理兴趣小组中的女生人数，求X 的分布列与数学期望
．
【答案】(1)
.
(2)分布列见解析，
.
【解析】（1）从6 名男生和4 名女生中，随机抽取5 人组成数学兴趣小组，另5 人组成物理兴趣小组，共
有
种，
其中数学兴趣小组中包含男生A，但不包含女生a 的有
种，
所以所求概率为
.
（2）
的所有可能取值为
，
，
，
，
，
，
所以
的分布列为：
0
1
2
3
4
.
18．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）国内某大学想了解本校学生的运动状况，采用简单
随机抽样的方法从全校学生中抽取2000 人，调查他们平均每天运动的时间（单位：小时），统计表明该校
学生平均每天运动的时间范围是
，记平均每天运动的时间不少于2 小时的学生为“运动达人”，少于
2 小时的学生为“非运动达人”.整理分析数据得到下面的列联表：
单位：人
性别
运动时间
合计
运动达人
非运动达
人
男生
1100
300
1400
女生
400
200
600
合计
1500
500
2000
零假设为
：运动时间与性别之间无关联.根据列联表中的数据，算得
，根据小概率值
的
独立性检验，则认为运动时间与性别有关，此推断犯错误的概率不大于
.
(1)如果将表中所有数据都缩小为原来的
，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断运动时间与性别之
间的关联性，结论还一样吗？请用统计语言解释其中的原因.
(2)采用样本性别比例分配的分层随机抽样抽取20 名同学，并统计每位同学的运动时间，统计数据为：男
生运动时间的平均数为2.5，方差为1；女生运动时间的平均数为1.5，方差为0.5，求这20 名同学运动时
间的均值与方差.
附：
，其中
.
临界值表：
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)答案见解析
(2)均值为2.2，方差为1.06
【解析】（1）解法一：改变数据之后的列联表为：
性别
运动时间
合计
运动达
人
非运动达人
男生
110
30
60
女生
40
20
200
合计
150
50
则调整后的
.
根据小概率值
的独立性检验，没有充分证据推断运动时间与性别有关
与之前结论不一样，
原因是每个数据都缩小为原来的
，相当于样本容量缩小为原来的
，导致推断结论发生了变化，
当样本容量越大，用样本估计总体的准确性会越高.
解法二：调整后的
，
根据小概率值
的独立性检验，没有充分证据推断运动时间与性别有关，
与之前结论不一样，原因是每个数据都缩小为原来的
，相当于样本容量缩小为原来的
，导致推断结
论发生了变化，
当样本容量越大，用样本估计总体的准确性会越高.
（2）男生抽取
人，女生抽取
人，
由已知男生运动时间的平均数为
，样本方差为
；
女生运动时间的平均数为
，样本方差为
.
所以样本均值为
，
记样本方差为
，则
，
所以这名
同学运动时间的均值为
，方差为
.
19．（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）足球运动的发展离不开足球文化与足球运动兴趣的培
养.2022 年世界杯的开赛像春风一样吹暖了大地，某足球队的训练趁机搞得热火朝天.同时又开展“赢积分
换奖励”的趣味活动：将球门分为9 个区域（如图），在点球区将球踢中①、③、⑦、⑨号区域积3 分，
踢中②、④、⑥、⑧号区域积2 分，踢中⑤号区域积1 分，末踢中球门区域不积分.有甲乙两名球员踢中①、
③、⑦、⑨号区域的概率都是
，踢中②、④、⑥、⑧号区域的概率都是
，踢中⑤号区域的概率为
.
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
(1)设甲连踢3 球的积分和为
，求
的概率；
(2)设甲乙各踢一球的积分和为
，求
的分布列与期望值.
【答案】(1)
；
(2)分布列见解析，3.4.
【解析】（1）由题意知，每位球员踢球一次积3 分的概率为
，积2 分的概率为
，积1 分的概率为
，
积0 分的概率为
，
，
，
，
，
则
.
（2）因为
的可能值为
，则
，
；
；
；
；
；
；
所以
的分布列为：
0
1
2
3
4
5
6
.
20．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考模拟预测）中日围棋擂台赛是由中国围棋队与日本围棋队
各派若干名棋手，以擂台制形式举行的围棋团体赛.这是中国和国外开设的最早的围棋对抗赛，由中国围棋
协会、日本棋院和中国《新体育》杂志社联合举办，日本电器公司（NEC）赞助，因此也称NEC 杯中日围
棋擂台赛.该赛事从1984 年开始至1996 年停办，共进行了11 届，结果中国队以7 比4 的总比分获胜.该赛
事对中国围棋甚至世界围棋发展产生了很大影响，被认为是现代围棋最成功的比赛之一.中日围棋擂台赛由
中日双方各派同样数量的若干名棋手组成队伍，两队各设一名主帅，采用打擂台的形式，决出最后的胜负.
比赛事先排定棋手的上场顺序（主帅最后上场），按顺序对局，胜者坐擂，负方依次派遣棋手打擂，直至
一方“主帅”被击败为止.设中、日两国围棋队各有
名队员，按事先排好的顺序进行擂台赛，中国队的
名队员按出场的先后顺序记为
；日本队的
名队员按出场的先后顺序记为
.假设
胜
的概率为
（
为常数）.
(1)当
时，若每个队员实力相当，求中国队有四名队员被淘汰且最后战胜日本队的概率；
(2)记中国队被淘汰
人且中国队获得擂台赛胜利的概率为
，求
的表达式；
(3)写出中国队获得擂台赛胜利的概率
的表达式（不用说明理由）.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
.
【解析】（1）方法一：由于每个队员实力相当，则每场比赛胜的概率均为
，
列举出中国队的
出场且获得胜利的所有对阵形式，共分五种情况：
①
负于
，只有一种情况，
获胜的概率为
；
②
负于
，此前共淘汰4 人，
及
，共进行4 场比赛，而日本队负1 场，有
种情况，
获胜
的概率为
；
③
负于
，此前共进行5 场比赛，日本队负2 场，共有
种情况，
获胜的概率为
；
④
负于
，此前共进行6 场比赛，日本队负3 场，共有
种情况，
获胜的概率为
；
⑤
负于
，此前共进行7 场比赛，日本队负4 场，共有
种情况，
获胜的概率为
，
这五种情况是互斥的，所以所求事件的概率为：
.
方法二：由于两队的实力相当，则可认为
与
（
）比赛时，
获胜的概率为
，
而每进行一场比赛淘汰一人，中国队的
出场且获得胜利，就有9 人被淘汰，则共进行了9 场比赛，
且最后一场是中国队胜，在此之前的8 场比赛中，中国队必胜4 场，负4 场（若胜5 场，则
不必出场），
所以所求事件的概率为
.
（2）中国队被淘汰
人且中国队获得擂台赛胜利，则共进行了
场比赛，
前
场比赛中，中国队被淘汰了
人，负了
场，
所以
.
（3）中国队获得擂台赛胜利的事件是
胜
的
个互斥事件的和，
由（2）知，
胜
的概率为
，
所以中国队获得擂台赛胜利的概率
.
21．（2023·山东淄博·统考三模）有一大批产品等待验收，验收方案如下：方案一：从中任取6 件产品检
验，次品件数大于1 拒收；方案二：依次从中取4 件产品检验；若取到次品，则停止抽取，拒收；直到第
4 次抽取后仍无次品，通过验收.
(1)若本批产品次品率为
，选择“方案二”，求需要抽取次数X 的均值；
(2)若本批产品次品率为
，比较选择哪种方案容易通过验收？
【答案】(1)均值为
(2)答案见解析
【解析】（1）随机变量需要抽取次数
.
其分布列为：
，
，
，
；
.
需要抽取次数
的均值为
.
（2）按照方案一：通过验收的概率为：
按照方案二：通过验收的概率为：
当
时，即
，解得
，
此时选择方案一更容易通过验收；
当
时，
，此时选择方案一、方案二结果相同；
当
时，即
，解得
，
此时选择方案二更容易通过验收；
22．（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）一场始于烟火，归于真诚的邂逅，让无数人赴山赶海
“进淄赶烤”，淄博某烧烤店趁机推出150 元烧烤套餐.某同学调研发现，烧烤店成本
（单位：千元，包
含人工成本、原料成本、场地成本、设备损耗等各类成本）与每天卖出套餐数
（单位：份）的关系如下：
1
3
4
6
7
5
6.5
7
7.5
8
与
可用回归方程
（其中
为常数）进行模拟．
参考数据与公式：设
，则线性回归直线
中，
．
0.54
6.8
1.53
0.45
(1)试预测该烧烤店一天卖出100 份的利润是多少元．（利润=售价-成本，结果精确到1 元）
(2)据统计，由于烧烤的火爆，饮料需求也激增.4 月份的连续16 天中某品牌饮料每天为淄博配送的箱数的
频率分布直方图，用这16 天的情况来估计相应的概率．供货商拟购置
辆小货车专门运输该品牌饮料，一
辆货车每天只能运营一趟，每辆车每趟最多只能装载40 箱该饮料，满载发车，否则不发车．若发车，则每
辆车每趟可获利500 元；若未发车，则每辆车每天平均亏损200 元．若
或4，请从每天的利润期望角
度给出你的建议．
【答案】(1)3236 元
(2)答案见解析
【解析】（1）根据题意，
，
所以
，
所以
，
又
，所以
，
所以
时，
（千元），
即卖出
份的成本为
元，故利润
（元）．
（2）根据频率分布直方图，可知送货箱数的概率分布表为：
箱
数
设该运输户购辆车和购
辆车时每天的利润分别为
、
元，
则
的可能取值为1500，800，100，其分布列为：
故
，
则
的可能取值为2000，1300，600，
，其分布列为
故
，
因为
，即购置3 辆小货车的利润更高，建议购买3 辆车．
23．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）十四届全国人大一次会议于2023 年3 月5 日在北京顺利召开，会议
过后，某市宣传部组织市民积极参加“学习十四大”知识竞赛，并从所有参赛市民中随机抽取了100 人，
统计了他们的竞赛成绩
，制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求这100 位市民竞赛成绩的第75 百分位数；
(2)该市某企业赞助了本次知识竞赛，并对每位参赛市民给予一定的奖励，奖励方案有以下两种：方案一：
按竞赛成绩
进行分类奖励：当
时，每人奖励60 元；当
时，每人奖励120 元；当
时，每人奖励180 元.方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中竞赛成绩低于样本中位数的只有一次
抽奖机会，竞赛成绩不低于样本中位数的有两次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率如表.
奖
金
60
120
概
率
若该市某社区的所有参赛市民决定选择同一种奖励方案，试利用样本的频率估计总体的概率，从数学期望
的角度分析，该社区参赛市民选择哪种奖励方案更有利？
【答案】(1)79.75
(2)方案二更有利
【解析】（1）由频率分布直方图可知：
，
，
故第75 百分位数位于
之间，
，
故这100 位市民的竞赛成绩的第75 百分位数是79.75；
（2）方案一、设奖励为X，则X 的可能取值为60，120，180，结合频率分布直方图可知，
，
故X 的分布列为：
X
60
120
180
P
0.36
0.56
0.08
则
，
方案二、设奖励为Y，则Y 的可能取值为60，120，180，240，
则
，
故Y 的分布列为：
Y
60
120
180
240
P
则
,
显然103.2＜120，故方案二更有利.
24．（2023·江苏苏州·校联考三模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为
的四个外观相同的空箱子
中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请
抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得.现有抽奖人甲选择了2 号箱，
在打开2 号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子.按游戏规则，主持人将随机打开甲的选
择之外的一个空箱子.
(1)计算主持人打开4 号箱的概率；
(2)当主持人打开4 号箱后，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2 号箱，还是改选1 号
或3 号箱？（以获得奖品的概率最大为决策依据）
【答案】(1)
(2)甲应该改选1 号或3 号箱.
【解析】（1）设
分别表示1，2，3，4 号箱子里有奖品，
设
分别表示主持人打开
号箱子，
则
，且
两两互斥.
由题意可知，事件
的概率都是
，
，
，
，
.
由全概率公式，得
.
（2）在主持人打开4 号箱的条件下，1 号箱､2 号箱､3 号箱里有奖品的条件概率分别为
，
，
，
通过概率大小比较，甲应该改选1 号或3 号箱.
25．（2023·江苏南通·统考模拟预测）某微型电子集成系统可安装3 个或5 个元件，每个元件正常工作的概
率均为
且各元件是否正常工作相互独立．若有超过一半的元件正常工作，则该系统能稳定工
作．
(1)若该系统安装了3 个元件，且
，求它稳定工作的概率；
(2)试比较安装了5 个元件的系统与安装了3 个元件的系统哪个更稳定．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）设安装3 个元件的系统稳定工作的概率为P，则3 个元件中至少2 个元件正常工作．
又因为各元件是否正常工作相互独立，
所以
．
所以安装3 个元件的系统稳定工作的概率为
．
（2）由（1）知，安装3 个元件的系统稳定工作的概率
．
设安装5 个元件的系统稳定工作的概率为
，则
．
所以
．
当
时，
，两个系统工作的稳定性相同；
当
时，
，3 个元件的系统比5 个元件的系统更稳定；
当
时，
，5 个元件的系统比3 个元件的系统更稳定．
26．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）杭州2022 年第19 届亚运会（The 19th Asian Games
Hangzhou 2022）将于2023 年9 月23 日至10 月8 日举办．本届亚运会共设40 个竞赛大项，包括31 个奥运
项目和9 个非奥运项目．同时，在保持40 个大项目不变的前提下，增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛
不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．
传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才
会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分
组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜
者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到
败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总
决赛的胜者即为冠军．双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛
就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因
此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？
这里我们简单研究一下两个赛制．假设四支队伍分别为
，其中
对阵其他三个队伍获胜概率均为
，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为
．最初分组时
同组，
同组．
(1)若
，在淘汰赛赛制下，
获得冠军的概率分别为多少？
(2)分别计算两种赛制下
获得冠军的概率（用
表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，
是否如很多人质疑的“对强者不公平”？
【答案】(1)
；
；
(2)淘汰赛制获得冠军概率为
，双败赛制获得冠军概率为
；双败赛制下，会使得强者拿到冠军
概率变大，弱者拿到冠军的概率变低，更加有利于筛选出“强者”，人们“对强者不公平”的质疑是不对
的．
【解析】（1）记
拿到冠军分别为事件
淘汰赛赛制下，
只需要连赢两场即可拿到冠军，因此
，
对于
想拿到冠军，首先得战胜
，然后战胜
中的胜者，
因此
．
（2）记两种寒制下
获得冠军的概率分别为
，则
.
而双败赛制下，
获得冠军有三种可能性：
（1）直接连赢三局；（2）从胜者组掉入败者组然后杀回总决赛；（3）直接掉入败者组拿到冠军.
因此
，
，
.
则不论哪种赛制下，
获得冠军的概率均小于
，
.
若
，双败赛制下，
队伍获得冠军的概率更大，其他队伍获得冠军的概率会变小，
若
，双败赛制下，
以伍获得冠军的概率更小，其他队伍获得冠军的概率会变大，
综上可知：双败赛制下，会使得强者拿到冠军概率变大，弱者拿到冠军的概率变低，更加有利于筛选出
“强者”，人们“对强者不公平”的质疑是不对的．
27．（2023·广东东莞·东莞实验中学校考模拟预测）为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中
学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划.活动共计50 多个班级参与，1000 余
件物品待出售.摄影社从中选取了20 件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生
们的笔记本，已知高三1，2，3 班分别有
，
，
的同学有购买意向.假设三个班的人数比例为
.
(1)现从三个班中随机抽取一位同学：
（i）求该同学有购买意向的概率；
（ii）如果该同学有购买意向，求此人来自2 班的概率；
(2)对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以0 元为
初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于2，则在已叫价格基础上增加1 元更新叫价，若点数小于
3，则在已叫价格基础上增加2 元更新叫价；重复上述过程，能叫到10 元，即获得以10 元为价格的购买资
格，未出现叫价为10 元的情况则失去购买资格，并结束叫价.若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，试
估计其获得该笔记本购买资格的概率（精确到0.01）.
【答案】(1)（i）
；（ii）
(2)0.75.
【解析】（1）（i）设事件
“该同学有购买意向”，事件
“该同学来自班”
.
由题意可知
，
，
所以，由全概率公式可得：
.
（ii）由条件概率可得
.
（2）由题意可得每次叫价增加1 元的概率为
，每次叫价增加2 元的概率为
.
设叫价为
元的概率为
，叫价出现
元的情况只有下列两种：
①叫价为
元，且骰子点数大于2，其概率为
；
②叫价为
元，且骰子点数小于3，其概率为
.
于是得到
，易得
，
由于
，
于是当
时，数列
是以首项为
，公比为
的等比数列，
故
.
于是
于是，甲同学能够获得笔记本购买资格的概率约为0.75.
28（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）在新高考的数学试卷中，有4 道题为多项选择题，在每
个试题所给的4 个选项中有多项符合题目要求，其评分规则为：全部选对得5 分，部分选对得2 分，有错
选得0 分．
(1)若某两个多项选择题中分别有2 个和3 个正确选项．如果小茗同学不能判断两个题中任何一个选项是否
符合题目要求．他每个题均随机选取了2 项，记他这两题的总得分为X，求X 的分布列和数学期望
；
(2)若某个多项选择题所给的四个选项中有3 个符合题目要求，小茗同学只能判断其中的一个选项符合题目
要求，不能判断其它选项是否符合题目要求，若你是小茗同学，除了能判断的符合题目要求的选项外，从
得分均值的角度分析，你是否再随机选取1 个或2 个选项作为答题结果？请说明理由．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)不再选取，理由见解析
【解析】（1）随机变量X 的所有可能取值为0，2，5，7．
则
，
，
，
，
所以X 的分布列为：
X
0
2
5
7
P
所以
．
（2）不再选取，理由如下：
如果小茗同学只选择能判断符合题目要求的那个选项为解答结果，则他本题得分为2 分，若他再随机选取
1 个，则他本题的得分Y 可能为：0 或2，
，
，
，
因为
，所以不再随机选取一个选项作为答题结果.
若他再随机选取2 个，则他本题的得分Z 可能为：0 或5，
，
，
，
因为
，所以不再随机选取2 个选项作为答题结果.
综上，除了能判断的正确选项外，不再随机选取1 个或2 个选项作为答题结果.
29．（2023·湖北武汉·统考三模）某考生在做高考数学模拟题第12 题时发现不会做．已知该题有四个选项，
为多选题，至少有两项正确，至多有3 个选项正确．评分标准为：全部选对得5 分，部分选对得2 分，选
到错误选项得0 分．设此题正确答案为2 个选项的概率为
．已知该考生随机选择若干个（至
少一个）．
(1)若
，该考生随机选择2 个选项，求得分X 的分布列及数学期望；
(2)为使他此题得分数学期望最高，请你帮他从以下三种方案中选一种，并说明理由．
方案一：随机选择一个选项；
方案二：随机选择两个选项；
方案三：随机选择三个选项．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)选择方案一，理由见解析
【解析】（1）设多选题正确答案是“选两项”为事件
，正确答案是“选三项”为事件
，
则
．
考生得0 分，2 分，5 分为事件
，
，
，
，
．
当
时，
，则
正确答案是“选两项”时，考生选2 项，全对得5 分，有选错得0 分；
正确答案是“选三项”时，考生选2 项，选出了2 个正确选项得2 分，有选错得0 分．
因为
，
所以
．
因为
，
所以
，
．
所以，得分X 的分布列为：
X
0
2
5
P
得分X 的数学期望
．
（2）（2）方案一：随机选择一个选项
正确答案是“选两项”时，考生选1 项，选对得2 分，选错得0 分；
正确答案是“选三项”时，考生选1 项，选对得2 分，选错得0 分．
因为
，
所以
．
因为
，
所以
所以，随机选择一个选项得分的数学期望
．
方案二：随机选择两个选项；
，
，
．
所以，随机选择两个选项得分的数学期望
．
方案三：随机选择三个选项．
正确答案是“选两项”时，考生选3 项，得0 分；
正确答案是“选三项”时，考生选3 项，选对得5 分，有选错得0 分．
，
，
所以，随机选择三个选项得分的数学期望
．
因为
，
．
所以选择方案一．
30．（2023·安徽铜陵·统考三模）某校承接了2023 年某大型考试的笔试工作，考试前，学校将高二年级的
201~205 五个班级内部的墙壁装饰画取下后打包，统一放置，考试结束后再恢复原位.学校安排了三位校工
甲、乙、丙进行该项工作，每位校工至少负责一个班级的装饰画复原工作.已知每位校工能够完全还原一个
班级装饰画的概率均为
，并且他们之间的工作相互独立.
(1)求校工甲将自己负责的所有班级的装饰画完全还原的概率；
(2)设校工乙能够完全还原的班级数为X，求X 的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【解析】（1）设事件
：甲分的班级数为个（
，2，3），事件
：甲完成班级的装饰画复原.
∴
，
，
，又
，
所以
.
（2）又题意可知
的可能取值为0，1，2，3
所以
的分布列为：
0
1
2
3
.
31．（2023·重庆·统考三模）投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏，投壶礼来源于射礼．
投壶的横截面是三个圆形，投掷者站在距离投壶一定距离的远处将箭羽投向三个圆形的壶口，若箭羽投进
三个圆形壶口之一就算投中．为弘扬中华传统文化，某次文化活动进行了投壶比赛，比赛规定投进中间较
大圆形壶口得分，投进左右两个小圆形壶口得分，没有投进壶口不得分．甲乙两人进行投壶比赛，比赛
分为若干轮，每轮每人投一支箭羽，最后将各轮所得分数相加即为该人的比赛得分，比赛得分高的人获胜．
已知甲每轮投一支箭羽进入中间大壶口的概率为
，投进入左右两个小壶口的概率都是
，乙每轮投一支
箭羽进入中间大壶口的概率为
，投进入左右两个小壶口的概率分别是
和
，甲乙两人每轮是否投中相
互独立，且两人各轮之间是否投中也互相独立．若在最后一轮比赛前，甲的总分落后乙分，设甲最后一
轮比赛的得分为
，乙最后一轮比赛的得分为
．
(1)求甲最后一轮结束后赢得比赛的概率；
(2)求
的数学期望．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设甲一轮的得分为
，
则
，
，
；
设乙一轮的得分为
，
则
，
，
；
则甲最后一轮反败为胜的概率
.
（2）由题意知：
所有可能的取值为
，
；
；
；
；
的数学期望
.
32．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模）探索浩瀚宇宙，发展航天事业，建设航天强国，是
我们不懈追求的航天梦．某学校为了了解学生对航天知识的知晓情况，组织开展航天知识竞赛活动．本次
活动中有一个风险答题环节，竞赛规则如下：风险题分为10 分、20 分、30 分三类，答对得相应分数，答
错扣相应分数，每位选手可以从中任选三道题作答．甲选手在回答风险题时，答对10 分题的概率为0.9，
答对20 分题的概率为0.8，答对30 分题的概率为0.5．
(1)若甲选手选三道题，第一道选择了10 分题，第二道选择了20 分题，第三道选择了30 分题，求最终得分
为0 的概率．
(2)若甲选手第一道题选择30 分风险题，第二道题和第三道题都选择20 分的风险题作答，记他的最终得分
为X，求X 的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【解析】（1）由已知，得甲选手最终得分为0 有两种情况：
①第一次和第二次答错，第三次答对，其概率
．
②第一次和第二次答对，第三次答错，其概率
．
所以甲选手最终得分为0 的概率
．
（2）由已知，得X 的所有可能取值为
，
，
，10，30，70．
①三道题全答错，
，此时
．
②第一道题答错，第二道题和第三道题有一道题答对，另一道题答错，
，
此时
．
③第一道题答对，第二道题和第三道题都答错，
，
此时
．
④第一道题答错，第二道题和第三道题全答对，
，
此时
．
⑤第一道题答对，第二道题和第三道题有一道题答对，另一道题答错，
，
此时
．
⑥三道题全答对，
，此时
．
所以
的分布列为
X
10
30
70
P
0.02
0.16
0.02
0.32
0.16
0.32
所以X 的数学期望
．
33．（2022·北京·统考高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到
以上（含
）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙
以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
【答案】(1)0.4
(2)
(3)丙
【解析】（1）由频率估计概率可得
甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，
故答案为0.4
（2）设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3
，
，
，
.
∴X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
∴
（3）丙夺冠概率估计值最大.
因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85 的概率为
，甲获得9.80 的概率为
，
乙获得9.78 的概率为
.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.
34．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）甲、乙两选手进行一场体育竞技比赛，采用
局
胜
制
的比赛规则，即先赢下
局比赛者最终获胜. 已知每局比赛甲获胜的概率为
，乙获胜的概率为
，比赛结束时，甲最终获胜的概率为
.
(1)若
，结束比赛时，比赛的局数为
，求
的分布列与数学期望；
(2)若采用5 局3 胜制比采用3 局2 胜制对甲更有利，即
.
(i)求
的取值范围；
(ii)证明数列
单调递增，并根据你的理解说明该结论的实际含义.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（i）
；（ii）证明见解析，比赛局数越多，对实力较强者越有利
【解析】（1）
，即采用3 局2 胜制，
所有可能取值为
，
，
的分布列如下表：
2
3
所以
的数学期望为
.
（2）采用3 局2 胜制：不妨设赛满3 局，用
表示3 局比赛中甲胜的局数，则
，甲最终获胜的
概率为：
，
采用5 局3 胜制：不妨设赛满5 局，用
表示5 局比赛中甲胜的局数，则
，甲最终获胜的概率为：
，
，
得
.
（ii）由（i）知
.
局比赛中恰好甲赢了
局的概率为
，
局比赛中恰好甲赢了
局的概率为
，
则
局比赛中甲至少赢
局的概率为
.
考虑
局比赛的前
局：
如果这
局比赛甲至少赢
局，则无论后面结果如何都胜利，其概率为
，
如果这
局比赛甲赢了
局，则需要后两场至少赢一局，其概率为
，
如果这
局比赛甲赢了
局，则需要后两场都赢，其概率为
，
因此
局里甲最终获胜的概率为：
，
因此
，即数列
单调递增.
该结论的实际意义是：比赛局数越多，对实力较强者越有利.
35．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）某数学学习小组的7 名学生在一次考试后调整了学习方
法，一段时间后又参加了第二次考试．两次考试的成绩如下表所示（满分100 分）：
学生1
学生2
学生3
学生4
学生5
学生6
学生7
第一次
82
89
78
92
92
65
81
第二次
83
90
75
95
93
61
76
(1)从数学学习小组7 名学生中随机选取1 名，求该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率；
(2)设
表示第名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差.从数学学习小组7 名学生中随机
选取2 名，得到数据
，定义随机变量
，
如下：
（i）求
的分布列和数学期望
；
（ii）设随机变量
，
的的方差分别为
，
，试比较
与
的大小．（结论不要求证
明）
【答案】(1)
(2)（i）分布列见解析，
；（ii）
.
【解析】（1）根据表中数据，可知这7 名学生中有4 名学生的第二次考试成绩高于第一次考试成绩，分别
是学生1，学生2，学生4，学生5，
则从数学学习小组7 名学生中随机选取1 名，
该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率为
（2）（i）随机变量
可能的取值为0，1，2.
这7 名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差分别为1，1，
，3，1，
，
.
时，若
，有
，
，
共3 种，
若
，有
，
共2 种，
若
，有
，
，
，
共4 种，
故
；
时，若
，有
，
，
共3 种，
若
，有
，
，
共3 种，
故
；
时，若
，有
，
，
，
共4 种，
若
，有
共1 种，
若
，有
共1 种，
故
.
则随机变量
的分布列为：
0
1
2
所以
的数学期望
.
（ii）由（i）知
，
这7 名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差分别为1，1，
，3，1，
，
.
随机变量
可能的取值为0，1，2，3.
时，若
，有
，
，
共3 种，
若
，有
，
共2 种，
故
；
时，若
，有
，
，
，
共4 种，
故
；
时，若
，有
，
，
共3 种，
若
，有
，
，
共3 种，
故
；
时，若
，有
，
，
，
共4 种，
若
，有
共1 种，
若
，有
共1 种，
故
.
则随机变量
的分布列为：
0
1
2
3
所以
的数学期望
.
所以
，
因为
，所以
.
26（2023·重庆·统考模拟预测）李医生研究当地成年男性患糖尿病与经常喝酒的关系，他对盲抽的60 名成
年男性作了调查，得到如下表统计数据，还知道被调查人中随机抽一人患糖尿病的概率为
.
经常喝
酒
不经常喝酒
患糖尿病
4
没患糖尿病
6
(1)写出本研究的
列联表，依据小概率值
的独立性检验，判断当地成年男性患糖尿病是否和喝
酒习惯有关联？
(2)从该地任选一人，
表示事件“选到的人经常喝酒”，
表示事件“选到的人患糖尿病”，把
与
的比值叫“常喝酒和患糖尿病的关联指数”，记为
.
（ⅰ）利用该调查数据求
的值；
（ⅱ）证明：
.
参考公式及数表：
，
0.15
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)联立表见解析；当地成年男性患糖尿病与喝酒习惯无关联；
(2)
；证明见解析.
【解析】（1）根据题意可知，患糖尿病的人数为
人，这10 人中不经常喝酒的有6 人，
经常喝
酒
不经常喝酒
患糖尿病
4
6
没患糖尿病
6
44
，
因此依据小概率值
的独立性检验，当地成年男性患糖尿病与喝酒习惯无关联.
（2）（ⅰ）经常喝酒且患糖尿病的人数有4 人，则
，
经常喝酒的人数有10 人，则
，
，
经常喝酒且没患糖尿病的人数有6 人，则
，
，
；
（ⅱ）证明：患糖尿病的人数有10 人，则
；没患糖尿病的人数有50 人，则
，
，
，
.
27．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考三模）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习
和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其
数学定义为：假设我们的序列状态是…，
，
，
，
，…，那么
时刻的状态的条件概率仅
依赖前一状态
，即
．
现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为
，且每局赌赢可以赢得1 元，每
一局赌徒赌输的概率为
，且赌输就要输掉1 元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束
赌博游戏：一种是手中赌金为0 元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B 元，赌徒停止赌博．记赌徒的
本金为
，赌博过程如下图的数轴所示．
当赌徒手中有n 元（
，
）时，最终输光的概率为
，请回答下列问题：
(1)请直接写出
与
的数值．
(2)证明
是一个等差数列，并写出公差d．
(3)当
时，分别计算
，
时，
的数值，并结合实际，解释当
时，
的
统计含义．
【答案】(1)
，
(2)证明见解析；
(3)
时，
，当
时，
，统计含义见解析
【解析】（1）当
时，赌徒已经输光了，因此
.
当
时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率
.
（2）记M：赌徒有n 元最后输光的事件，N：赌徒有n 元上一场赢的事件,
,
即
，
所以
，
所以
是一个等差数列，
设
，则
，
累加得
，故
，得
，
（3）
，由
得
,即
,
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，因此可知久赌无赢家，
即便是一个这样看似公平的游戏，
只要赌徒一直玩下去就会
的概率输光．
38．（2023·四川成都·校考三模）某单位开展职工文体活动，其中跳棋项目比赛分为初赛和决赛，经过初
赛后，甲、乙、丙三人进入决赛．决赛采用以下规则：①抽签确定先比赛的两人，另一人轮空，后面每局
比赛由前一局胜者与轮空者进行，前一局负者轮空；②甲、乙进行比赛，甲每局获胜的概率为
，甲、丙
进行比赛，甲每局获胜的概率为
，乙、丙进行比赛，乙每局获胜的概率为
；③先取得两局胜者为比赛
的冠军，比赛结束．假定每局比赛无平局且每局比赛互相独立．通过抽签，第一局由甲、乙进行比赛．
(1)求甲获得冠军的概率．
(2)记比赛结束时乙参加比赛的局数为
，求
的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
．
【解析】（1）设甲与乙比赛，甲获胜为事件
，丙与甲比赛，甲获胜为事件
，丙与乙比赛，乙获胜为
事件
，且
相互独立，
则
，
记“甲获得冠军”为事件A，则
（2）由题意知
的所有可能取值为1，2，3．
，
，
．
所以
的分布列为
1
2
3
P
则数学期望
．
