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资料来源：微信公众号 智慧学库
专题05 解析几何（解答题10 种考法）
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考法一 定点
【例1-1】（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知点
为双曲线
上一点，
的左焦点
到一条渐近线的距离为
.
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)不过点
的直线
与双曲线
交于
两点，若直线PA，PB 的斜率和为1，证明：直线
过定点，并求该定点的坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点为
.
【解析】（1）设
到渐近线
，即
的距离为
，
则
，结合
得
，
又
在双曲线
上，所以
，得
，
所以双曲线
的标准方程为
.
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（2）联立
，消去
并整理得
，
则
，
，即
，
设
，
，
则
，
，
则
，
所以
，
所以
，
所以
，
整理得
，
所以
，
所以
，
因为直线
不过
，即
，
，
所以
，即
，
所以直线
，即
过定点
.
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【例1-2】（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆
的离心率是
，点
在
上．
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线交
于
两点，直线
与
轴的交点分别为
，证明：线段
的中点为
定点．
【答案】(1)
(2)证明见详解
【解析】（1）由题意可得
，解得
，
所以椭圆方程为
.
（2）由题意可知：直线
的斜率存在，设
，
联立方程
，消去y 得：
，
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则
，解得
，
可得
，
因为
，则直线
，
令
，解得
，即
,
同理可得
，
则
，
所以线段
的中点是定点
.
【例1-3】（2023·江西九江·统考一模）已知过点
的直线与抛物线
交于
两点，
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过线段
的中点
作直线
轴，垂足为
，且
.
(1)求抛物线
的方程；
(2)若
为
上异于点
的任意一点，且直线
与直线
交于点
，证明：以
为直径的圆
过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意，可设直线的方程为
，
将
代入
，消去
得
，
设
，
，则
，
，
是线段
的中点，
，
，
即
， 又
轴，
垂足
的坐标为
，
则
，
，
，
对任意的
恒成立，
，又
，解得
，
故抛物线
的方程为
.
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（2）
设
，
，
，由（1）可知，
，
，
则
，直线
的方程为
，
令
，则
，
，同理
，
由抛物线的对称性可知，若以线段
为直径的圆过定点，则定点必在
轴上，
设该点坐标为
，
则
，
，且
，
，
，
或
，
以
为直径的圆过定点
和
.
【变式】
1．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过
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两点．
(1)求E 的方程；
(2)设过点
的直线交E 于M，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T，点H 满足
．证明：直线HN 过定点．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：设椭圆E 的方程为
，过
，
则
，解得
，
，
所以椭圆E 的方程为：
.
（2）
，所以
，
①若过点
的直线斜率不存在，直线
.代入
，
可得
，
，代入AB 方程
，可得
，由
得到
.求得HN 方程：
，过点
.
②若过点
的直线斜率存在，设
.
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联立
得
，
可得
，
，
且
联立
可得
可求得此时
，
将
，代入整理得
，
将
代入，得
显然成立，综上，可得直线HN 过定点
2．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知椭圆
的离心率是
，上、下顶点分别为
，
.圆
与
轴正半轴的交点为
，且
.
(1)求
的方程；
(2)直线与圆
相切且与
相交于
，
两点，证明：以
为直径的圆恒过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由已知得
，
，
.
则
，
，
，所以
.
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因为
，又
，所以
，
.
故
的方程为
.
（2）当直线的斜率存在时，设的方程为
，即
.
因为直线与圆
相切，所以
，即
.
设
，
，则
，
.
由
化简，得
，
由韦达定理，得
所以
，
所以
，
故
，即以
为直径的圆过原点
.
当直线的斜率不存在时，的方程为
或
.
这时
，
或
，
.
显然，以
为直径的圆也过原点
.综上，以
为直径的圆恒过原点
.
3（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆
的焦距为2，圆
与椭圆
恰有
两个公共点．
(1)求椭圆
的标准方程；
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(2)已知结论：若点
为椭圆
上一点，则椭圆在该点处的切线方程为
．若椭圆
的短轴长小于4，过点
作椭圆
的两条切线，切点分别为
，求证：直线
过定点．
【答案】(1)
或
(2)证明见解析
【解析】（1）设椭圆
的半焦距为．当圆
在椭圆
的内部时，
，椭
圆
的方程为
．
当圆
在椭圆
的外部时，
，
椭圆
的方程为
．
（2）证明：设
．
因为椭圆
的短轴长小于4，所以
的方程为
．
则由已知可得，切线
的方程为
的方程为
，
将
代入
的方程整理可得，
．
显然
的坐标都满足方程
，
故直线
的方程为
，
令
，可得
，即直线
过定点
．
考法二 定值
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【例2】（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知椭圆
的左、右焦点
为
，
，离心率为
．点P 是椭圆C 上不同于顶点的任意一点，射线
、
分别与椭圆C 交于点
A、B，
的周长为8．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若
，
，求证：
为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）∵
，
∴
，
由离心率为
得
，从而
，
所以椭圆C 的标准方程为
．
（2）
设
，
，则
，
可设直线PA 的方程为
，其中
，
联立
，化简得
，
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则
，同理可得，
．
因为
，
．
所以
，
所以
是定值
.
【变式】
1．（2023·河北保定·统考二模）已知椭圆
的中心在原点，焦点在
轴上，长轴长为短轴长的2 倍，若椭
圆
经过点
，
(1)求椭圆
的方程；
(2)若
是椭圆上不同于点
的两个动点，直线
与
轴围成底边在
轴上的等腰三角形，证明：直
线
的斜率为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）设椭圆的方程为
根据题意得
，解得
故所求椭圆方
程为
（2）如下图所示：
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设直线
交该椭圆
与
两点．
将
代入
得
所以
由直线
能与
轴共同围成底边在
轴上的等腰三角形，
可得
，
即
整理得
，
即
即
，
所以当
时，不论
为何值时
都成立，
所以直线
与
轴共同围成底边在
轴上的等腰三角形时直线
的斜率为定值
2．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知椭圆
的左、右焦点为
，离心率为
.点
是椭圆
上不同于顶点的任意一点，射线
分别与椭圆
交于点
，
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的周长为8.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)设
，
，
的面积分别为
.求证：
为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）解：因为
的周长为，即
所以
，可得
，
由椭圆的离心率
，可得
，从而
，
所以椭圆
的标准方程为
．
（2）证明：设
，则
，
可设直线PA 的方程为
，其中
，
联立方程
，整理得
，
则
，
同理可得，
．
因为
，
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所以
所以
是定值．
3.（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知抛物线T 的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过
，
，
，
四点中的两点.
(1)求抛物线T 的方程：
(2)已知圆
，过点
作圆的两条切线，分别交抛物线T 于
，
和
，
四个点，试判断
是否是定值?若是定值，求出定值，若不是定值，
请说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值16．
【解析】（1）抛物线T 的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过
，
，
，
四点中
的两点，由对称性，点
和点
不可能同时在抛物线T 上，点
和点
也不可能同时
在抛物线T 上，则抛物线只可能开口向上或开口向右，
设
，若过点
，则
，得
，
∴
，抛物线过点
，∴
符合题意；
设
，若过点
，则
，得
，
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∴
，但抛物线不过点
，不合题意．
综上，抛物线T 的方程为
．
（2）
，设直线
，即
，
由AB 与圆相切得
，∴
，
设
，同理可得
，
∴
是方程
的两根，
．
联立
，消y 得
，∴
，
同理
，
∴
所以
为定值16．
考法三 定直线
【例3】（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为
，离心率为
．
(1)求C 的方程；
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(2)记C 的左、右顶点分别为
，
，过点
的直线与C 的左支交于M，N 两点，M 在第二象限，直线
与
交于点P．证明:点
在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【解析】（1）设双曲线方程为
，由焦点坐标可知
，
则由
可得
，
，
双曲线方程为
.
（2）由(1)可得
，设
，
显然直线的斜率不为0，所以设直线
的方程为
，且
，
与
联立可得
，且
，
则
，
直线
的方程为
，直线
的方程为
，
联立直线
与直线
的方程可得：
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，
由
可得
，即
，
据此可得点
在定直线
上运动.
【变式】
1．（2023·湖南永州·统考一模）已知点A 为圆
上任意一点，点
的坐标为
，线段
的垂直平分线与直线
交于点
．
(1)求点
的轨迹
的方程；
(2)设轨迹E 与
轴分别交于
两点（
在
的左侧），过
的直线与轨迹
交于
两点，直
线
与直线
的交于
，证明：
在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由
得
，其半径为4，
因为线段
的垂直平分线与直线
交于点
，
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故
，则
,
而
，故点
的轨迹
为以
为焦点的双曲线，
则
，
故点
的轨迹
的方程为
.
（2）证明：由题意知
，
若直线l 斜率为0，则其与双曲线的交点为双曲线的两顶点，不合题意；
故直线l 的斜率不能为0，故设其方程为
，
联立
，得
，
，
故
，
设
，则直线
的方程为
，
直线
的方程为
，
故
，
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则
，
即
，解得
，
故直线
与直线
的交点
在定直线上.
2．（2023·江苏常州·校考一模）已知椭圆
：
的短轴长为
，离心率为
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
的动直线与椭圆
相交于不同的
两点，在线段
上取点
，满足
，
证明：点
总在某定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意可知
，因为
，所以解得
，
．
所以所求椭圆的方程为
（2）设
，
，
，
，
直线
的斜率显然存在，设为
，则
的方程为
．
因为
，
，
，
四点共线，不妨设
，
则
，
，
，
，
由
，可得
，
化简得
．（*）
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联立直线
和椭圆的方程，得
，
消去
，得
，
，得
，
由韦达定理，得
，
．代入（*）
化简得
，即
．
又
，代入上式，得
，化简得
．
所以点
总在一条定直线
上．
考法四 最值
【例4】（2023·全国·统考高考真题）已知直线
与抛物线
交于
两点，且
．
(1)求
；
(2)设F 为C 的焦点，M，N 为C 上两点，
，求
面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设
，
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由
可得，
，所以
，
所以
，
即
，因为
，解得：
．
（2）因为
，显然直线
的斜率不可能为零，
设直线
：
，
，
由
可得，
，所以，
，
，
因为
，所以
，
即
，
亦即
，
将
代入得，
，
，
所以
，且
，解得
或
．
设点
到直线
的距离为
，所以
，
，
所以
的面积
，
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而
或
，所以，
当
时，
的面积
．
【变式】
1．（2023·浙江·模拟预测）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合
百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C 上任意一点
满足
.
(1)化简曲线
的方程；
(2)已知圆
（
为坐标原点），直线经过点
且与圆
相切，过点A 作直线的垂
线，交
于
两点，求
面积的最小值.
【答案】(1)
；
(2)
【解析】（1）
，由
得
．
所以曲线
的方程是
；
（2）设
，直线
方程是
，则直线方程为
，即
,
直线与已知圆相切，所以
，则
，
由
得，
，
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由题意
（∵
），
，
，∴
或
，
，
又原点
到直线
的距离为
，
∴
，
由
或
得
，设
，
，当且仅当
时等号成立，
，当且仅当
时等号成立，
∴
时，
，
∴
，即
时，
．
2．（2023·浙江·模拟预测）已知椭圆
，点
，斜率不为0 的直线与椭圆
交于点
，
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与圆
相切且切点为
为
中点.
(1)求圆
的半径的取值范围；
(2)求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）如图所示，
由题意知，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 方程为
（
），
，
，设圆N
的半径为r，
，
，
，
，
所以
，
又因为M 为
的中点，所以
，
又因为圆N 与直线l 相切于点M，所以
，且
，
所以
，
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所以
，解得
，
所以
，
，解得：
，
所以
（
），
所以
，即
，
所以圆N 的半径r 的取值范围为
.
（2）由（1）知，
，
所以
（
），
令
，则
（
），
所以
，
显然
在
上单调递减，
所以
，所以
，即
，
故
的取值范围为
.
3．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）已知双曲线
实轴的一个端点是
，虚轴的一个端
点是
，直线
与双曲线的一条渐近线的交点为
.
(1)求双曲线的方程；
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(2)若直线
与曲线
有两个不同的交点
是坐标原点，求
的面积最小值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设点
，点
，则直线
的方程为
，
与渐近线
联立，得
，解之得
，
即直线
与双曲线的一条渐近线交点为
，
又直线
与双曲线的一条渐近线的交点为
，
所以
，即
，因此双曲线方程为
.
（2）
设
，把
代入
，
得
，
则
，
，
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，
点
到直线
的距离
，所以
的面积为
，
令
，所以
，令
，则
，
因为
，所以
，由
，得
，由
，
得
，由
，得
，
即当
时，等号成立，
此时满足
，所以
面积的最小值为
.
考法五 轨迹问题
【例5】（2023·湖南·校联考二模）已知
为双曲线
的左右焦点，且该双曲线离
心率小于等于
，点
和
是双曲线上关于
轴对称非重合的两个动点，
为双曲线左右顶点，
恒成立．
(1)求该双曲线
的标准方程；
(2)设直线
和
的交点为
，求点
的轨迹方程．
【答案】(1)
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(2)
【解析】（1）设双曲线
的焦距为
，
由
及双曲线的定义，得
，解得
，
由
可得
，
又
恒成立，所以
，解得
．
因为该双曲线离心率小于等于
，所以
，即
，解得
，
所以
，则
，
所以双曲线
的标准方程为
．
（2）因为
，所以点
只能在双曲线的右支上，
设
，则
，
因为
在双曲线上，所以
，
易得
，所以直线
的斜率为
，
直线
的方程为
①，
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同理可求得直线
的方程为
②，
由①×②得
③，
将
代入③得
，化简得
，
令①=②即
，化简得
，
因为
，所以
，
即点
的轨迹方程为
．
【变式】
1（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知过右焦点
的直线交双曲线
于
两点，曲线
的左右顶点分别为
，虚轴长与实轴长的比值为
．
(1)求曲线
的方程；
(2)如图，点
关于原点
的对称点为点
，直线
与直线
交于点，直线
与直线
交于点
，
求
的轨迹方程．
【答案】(1)
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(2)
【解析】（1）由题意得
，又
，则
，曲线
的方程为
；
（2）设直线
的斜率分别为
，直线
为
，
由
，得
，
，
，
则
，
，
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由于点
关于原点
的对称点为点
，
，
则直线
为
，直线
为
，显然
，
由
，得
，
即
，
则直线
的方程为
，
由
得
，即
，
当
时，由对称性可知在
轴上，
此时直线
平行于直线
，不符合题意，
故
的轨迹方程为
．
2．（2023·江西·校联考二模）已知过曲线
上一点
作椭圆
的切线，则切线
的方程为
.若
为椭圆
上的动点，过
作
的切线
交圆
于
，
过
分别作
的切线
，直线
交于点
.
(1)求动点
的轨迹
的方程；
(2)已知
为定直线
上一动点，过
的动直线
与轨迹
交于两个不同点
，在线段
上取一点
，
满足
，试证明动点
的轨迹过定点.
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【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）设点
，由题意知切线
的方程为
，
同理，设点
，
则切线
的方程分别为：
，
又点Q 在直线
上，所以
，
所以直线
的方程为：
，和
比较可得
，
又
在曲线
上，即
，
所以
，即点Q 的轨迹E 的方程为
；
（2）设点
，
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则由
知
，设
，则
且
，
则：
，
即
，
，
整理可得
且
，
又
在曲线E 上，则
，
故
，
所以
，
所以
，
即
，由于
,故
时，
，
所以动点T 的轨迹过定点
.
3．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知椭圆C：
，直线l 与椭圆C 交于A，B 两点．
(1)点
为椭圆C 上的动点（与点A，B 不重合），若直线PA，直线PB 的斜率存在且斜率之积为
，
试探究直线l 是否过定点，并说明理由；
(2)若
．过点O 作
，垂足为点Q，求点Q 的轨迹方程．
【答案】(1)直线l 过定点
；
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(2)
【解析】（1）直线
过定点
，下面证明：
设
，
，
，
又
，
，∴
，
∴直线
过原点满足
．
又当PA 两点固定时
为定值，有且仅有一个斜率值与之相乘之积为
，
则直线
重合，则
重合，
∴直线l 过定点
．
（2）设
，
，
，不妨设
，
∴
，
，又点A，B 在椭圆上，
∴
，
，
∴
，
，两式相加得
，
由
，
得
，
∴点Q 的轨迹是以点O 为圆心以
为半径的圆，
∴点Q 的轨迹方程为
．
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考法六 长度比值
【例6】（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲
线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了De Casteljau 算法：已知三个
定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成
比例的结论．如图所示，抛物线
，其中
为一给定的实数.
(1)写出抛物线
的焦点坐标及准线方程；
(2)若直线
与抛物线只有一个公共点，求实数k 的值；
(3)如图，A，B，C 是H 上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E，F，证明：
．
【答案】(1)
，
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）焦点为
，准线为
；
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（2）将
代入
，
化简得
（*），
方程（*）的判别式
，
化简得
，解得
；
（3）设
，
设抛物线
在
点处的切线方程为
，
由
，消去
并化简得
，
，
，
，
解得
，故切线方程为
，
，
，即
，
同理可求得抛物线
上过点B，C 的切线方程分别为：
，
，
联立
，解得
，即
，
同理可得
，
，
因为
，
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，
，
所以
．
【变式】
1．（2023·云南·校联考三模）如图，已知椭圆
的上、下顶点为
，
右顶点为
，离心率为
，直线
和
相交于点
，过
作直线交
轴的正半轴于
点，交椭圆于
点，连接
交
于点
.
(1)求
的方程；
(2)求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）依题意可得
，
，又
，解得
，所以
的方程为
.
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（2）在椭圆
中
，
，所以
，
，
设直线
（
），直线
（
），
因为直线
与直线
相交于点
，由
，解得
，所以
，
又点
在椭圆上，所以
，整理得
，
因为直线
交
轴正半轴于
点，令
得
，即
，
又因为
，所以
，
，所以
，
因为直线
交
于点
，令
得
，故
，
又
，所以
，
，
所以
，又
，所以
，
所以
，所以
.
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
.过
的直
线l 交C 的右支于M，N 两点，当l 垂直于x 轴时，M，N 到C 的一条渐近线的距离之和为
.
(1)求C 的方程；
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(2)证明：
为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）根据题意有
，C 的一条渐近线方程为
，
将
代入C 的方程有
，
，
所以M，N 到直线
的距离之和为
，
所以
，C 的方程为
.
（2）
方法1：当l 垂直于x 轴时，由（1）可知，
，
且由双曲的定义可知
，故
.
当l 不垂直于x 轴时，由双曲线的定义可知
，
，
故
.
设
，代入C 的方程有：
，
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设
，
，则
，
，
所以
，
所以
.
综上，
的值为6.
方法2：当l 垂直于x 轴时，由（1）可知，
，
且由双曲的定义可知
，
故
.
当l 不垂直于x 轴时，设
，
代入C 的方程有：
.
设
，
，则
，
，
所以
.
综上，
的值为6.
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考法七 存在性
【例7】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知椭圆
经过点
，过点
的直线交该椭圆于
，
两点.
(1)求
面积的最大值，并求此时直线
的方程；
(2)若直线
与
轴不垂直，在
轴上是否存在点
使得
恒成立？若存在，求出的值；
若不存在，说明理由.
【答案】(1)
面积的最大值为
，此时直线
的方程为
或
；
(2)存在，
【解析】（1）将
代入椭圆方程，
得到
，故
，
故椭圆方程为
.
当直线
的斜率为0 时，此时
三点共线，不合要求，舍去；
当直线
的斜率不为0 时，设直线
的方程为
，
与椭圆方程
联立，得
，
设
，则
，
则
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，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故
面积的最大值为
，
此时直线
的方程为
或
.
（2）在x 轴上存在点
使得
恒成立，
理由如下：
因为
，所以
，即
，
整理得
，
即
，
所以
，
则
，解得
，
故在x 轴上存在点
，使得
恒成立.
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【变式】
1．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）椭圆
的离心率为
，过椭圆焦点并
且垂直于长轴的弦长度为1．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若直线与椭圆
相交于
，
两点，与
轴相交于
点，若存在实数
，使得
，
求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为该椭圆的离心率为
，所以有
，
在方程
中，令
，解得
，
因为过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1，
所以有
，由
可得：
，
所以椭圆的方程为
；
（2）当直线不存在斜率时，由题意可知直线与椭圆有两个交点，与纵轴也有两个交点不符合题意；
当直线存在斜率时，设为
，所以直线的方程设为
，
于是有
，
因为该直线与椭圆有两个交点，所以一定有
，
化简，得
，
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设
，于是有
，
因为
，
所以
，
代入
中，得
，
于是有
，
化简，得
，代入
中，得
.
2．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知动点
到定点
的距离与动点
到定直线
的距离之比
为
．
(1)求点
的轨迹
的方程；
(2)对
，曲线
上是否始终存在两点
，
关于直线
对称？若存在，求实数
的取值范围；
若不存在，请说明理由．
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【答案】(1)
(2)存在，
【解析】（1）设
，则
，
即
，整理得
，
所以点
的轨迹
的方程为
．
（2）假设曲线
上始终存在两点
，
关于直线
对称，
当
时，设直线
方程为
，
，
，
联立
，整理得
，
则
，
所以
，
．
设
的中点为
，
则
，
，
将
代入
，则
，
所以
，所以
对
恒成立，
即
对
恒成立，
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因为
，所以
，则
．
易知当
时，曲线
上存在两点，关于直线
对称．
所以
的取值范围为
．
3．（2023·四川成都·模拟预测）已知椭圆
的中心为O，左、右焦点分别为
，
，
M 为椭圆C 上一点，线段
与圆
相切于该线段的中点N，且
的面积为4.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)椭圆C 上是否存在三个点A，B，P，使得直线AB 过椭圆C 的左焦点
，且四边形
是平行四边形？
若存在，求出直线AB 的方程；若不存在.请说明理由.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）连接
，则
，
因为
为
的中点，
为
的中点，所以
，故
，
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，
，解得
，
由椭圆定义可知，
，解得
，
由勾股定理得
，即
，解得
，
故
，
故椭圆方程为
；
（2）由题意得
，当直线
的斜率不存在时，即
，
此时
，解得
，设
，
由于
，由对称性可知，
为椭圆左顶点
，但
，故不合要求，舍去，
当直线
的斜率存在时，设为
，
联立
得，
，
，
设
，则
，
，
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则
中点坐标为
，
假设存在点P，使得四边形
是平行四边形，则
，
将
代入椭圆
中，得
，
解得
，
此时直线AB 的方程为
.
考法八 角度关系转斜率
【例8】（2022·全国·统考高考真题）已知点
在双曲线
上，直线l 交C 于P，Q
两点，直线
的斜率之和为0．
(1)求l 的斜率；
(2)若
，求
的面积．
【答案】(1)
；
(2)
．
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【解析】（1）因为点
在双曲线
上，所以
，解得
，即双曲
线
．
易知直线l 的斜率存在，设
，
，
联立
可得，
，
所以，
，
且
．
所以由
可得，
，
即
，
即
，
所以
，
化简得，
，即
，
所以
或
，
当
时，直线
过点
，与题意不符，舍去，
故
．
（2）［方法一］：【最优解】常规转化
不妨设直线
的倾斜角为
，因为
，所以
，由（1）知，
，
当
均在双曲线左支时，
，所以
，
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即
，解得
（负值舍去）
此时PA 与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；
当
均在双曲线右支时，
因为
，所以
，即
，
即
，解得
（负值舍去），
于是，直线
，直线
，
联立
可得，
，
因为方程有一个根为
，所以
，
，
同理可得，
，
．
所以
，
，点
到直线
的距离
，
故
的面积为
．
［方法二］：
设直线AP 的倾斜角为
，
，由
，得
，
由
，得
，即
，
联立
，及
得
，
，
同理，
，
，故
，
而
，
，
由
，得
，
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故
【变式】
1．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知点P 是平面直角坐标系
异于O 的任意一点过点P 作直线
及
的平行线，分别交x 轴于M，N 两点，且
．
(1)求点P 的轨迹C 的方程；
(2)在x 轴正半轴上取两点
，且
，过点A 作直线l 与轨迹C 交于E，F 两点，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意，
设点P 坐标为
，则根据题意，得
，
由
得：
，
化简得：
，所以轨迹C 的方程为：
（2）由题意，
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当直线l 的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，
成立．
当直线l 的斜率存在，由题意，设直线l 的方程为：
、
、
，
由
得：
，
有
得：
，且
，
，
则
，
又
，
因为
，
所以
，则
．
综上所述，
．
2．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知椭圆
的三个顶点所确定的三角形的面积为
，
（是
的离心率）是
上一点.
(1)求
的方程；
(2)若直线
与
交于
两点，设
，直线
与
分别交于
（不同于
）两
点，当
时，记直线
的倾斜角分别为
，
，求
的最大值.
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【答案】(1)
(2)
【解析】（1）依题意可得
，得
，得
，
得
，得
，得
，得
，则
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）设
，
，
联立
，消去
并整理得
，
因为
在椭圆内，所以判别式恒大于，
，
，
当
时，直线
：
，
联立
，消去
并整理得
，
因为
，即
，
所以
，
所以
，
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因为
在椭圆内，所以判别式恒大于，
，
，
，
所以
，
当
时，直线
：
，易得
，也满足，
故
，同理可得
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，
当且仅当
，又
，即
时，等号成立，
所以
的最大值为
.
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考点九 三点共线
【例9】（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知
是抛物线
的焦点，过点
的直线交抛
物线
于
两点，当
平行于
轴时，
.
(1)求抛物线
的方程；
(2)若
为坐标原点，过点
作
轴的垂线交直线
于点
，过点
作直线
的垂线与抛物线
的另一
交点为
的中点为
，证明：
三点共线.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）抛物线
的焦点为
，
当
平行于
轴时，设直线
的方程为
，设点
、
，
，解得
，
所以，抛物线
的方程为
.
（2）设直线
的方程为
，设点
、
，
联立
可得
，
由韦达定理可得
，
，
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又因为直线
的方程为
，
将
代入直线
的方程可得
，可得
，即点
，
所以，
，
因为
，则
，
所以，直线
的方程为
，
联立
可得
，则
，
故
，则
，
由
的中点为
，可得
，
故
、
、
三点共线．
【变式】
1．（2022 秋·云南昆明 ）过抛物线
：
上一动点
作x 轴的垂线，记垂足为
，设线段
的中
点为
，动点
的轨迹为曲线
，设
为坐标原点
(1)求曲线
的方程；
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(2)过抛物线
的焦点
作直线与曲线
交于
两点，设抛物线
的准线为，过点
作直线的垂线，记
垂足为
，证明：
、
、
三点共线，
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）解：设
，则
，
，
因为
是
的中点，所以
，即
，
所以
，即
，
所以曲线C 的方程
；
（2）证明：由题意得
，准线
，
设点
，
，则
设过抛物线
的焦点
的直线为
当
时，则
，
，
，
所以直线
的方程为
，即
，
因为
过原点
，所以
、
、
三点共线；
当
时，联立方程
，化简得
，
则
，且
，
直线
的方程为
，
将
代入
的方程，即当
成立时，
、
、
三点共线.
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下面证明
成立：
因为
，
欲证
成立，
只需证
成立，
即证
成立，
即证
成立，
又
，所以
所以
成立，
所以
、
、
三点共线.
2．（2023·江苏镇江）已知过抛物线
的焦点，斜率为
的直线交抛物线于两点
、
，其中
，且
.
（1）求该抛物线的方程；
（2）设O 为坐标原点，过点A 作抛物线的准线的垂线，垂足为C，证明：B、O、C 三点共线.
【答案】（1）
；（2）证明见解析.
【解析】（1）依题意可知抛物线的焦点坐标为
，故直线
的方程为
，
联立
，可得
.
∵
，
，
，解得
.
∴经过抛物线焦点的弦
，解得
.
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∴抛物线方程为
；
（2）由（1）知A 点的坐标为
，B 点的坐标为
，
过点A 作抛物线的准线的垂线，垂足为C，则C 点的坐标为
，
，又直线
与直线
有一个公共点O，
所以B、O、C 三点共线.
3．（2023·江苏南京）在平面直角坐标系
中，已知抛物线
：
的准线方程为：
.
（1）求抛物线
的方程；
（2）过抛物线
的焦点
作直线与抛物线相交于
，
两点，过点
作直线的垂线，交于点
，求证：
，
，
三点共线.
【答案】(1)
；(2)证明见详解.
【解析】（1）因为抛物线
的准线方程为：
，
故可得
，解得
.
故抛物线方程为
.
（2）由（1）中抛物线方程可得
，
设
坐标分别为
，
故可设直线
方程为
，联立抛物线方程可得：
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，
；
又根据抛物线定义可知
点坐标为
，
故可得
.
故可得
斜率相同，且有公共点
，
故可得
三点共线.即证.
考法十 三角形类型的转化
【例10】（2022·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考三模）已知椭圆
，左焦点为
，上顶点为
，直线BF 与椭圆交于另一点Q，且
，且点
在椭圆上.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设
，
，M 是椭圆C 上一点，且不与顶点重合，若直线
与直线
交于点P，直线
与直线
交于点
.证明：
是等腰三角形.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）因为
，
，
，故
，
故
，所以
即
，
而
在椭圆上，故
，故
，解得
，
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所以
，故椭圆方程为：
.
（2）设
，
，故
，而
，
由
可得
，同理
.
,
因为
在椭圆上，故
，故
即
，
而
所以
，
故
是等腰三角形.
【变式】
1.（2022·浙江·模拟预测）已知直线l：
为双曲线C：
的一条渐近线，且双
曲线C 经过点
.
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(1)求双曲线C 的方程；
(2)设A，B 是双曲线右支上两点，若直线l 上存在点P，使得
为正三角形，求直线AB 的斜率的取值
范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）双曲线C：
的渐近线为
直线l：
为曲线C：
的渐近线，所以
即
，所以双曲线方程为
，又因为双曲线C 经过点
.
即
，所以
，所以双曲线方程为：
（2）当
的斜率不存在时，则
为原点，则
，舍去.
由题意得
的斜率一定不为零，当
的斜率存在时，设方程为
，点
.把直线方
程代入双曲线方程得：
并且
即
则
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故线段
的中点为
，又
为正三角形，
故
，由正三角形可得
即
则
即
代入
，若
，则
，不满足
，则
，得
则
，又
两点在右支上，故
，则
，解得
.
2．（2023·福建·统考一模）已知椭圆
的离心率为
，其左焦点为
．
(1)求
的方程；
(2)如图，过
的上顶点
作动圆
的切线分别交
于
两点，是否存在圆
使得
是以
为斜边
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的直角三角形？若存在，求出圆
的半径；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【解析】（1）由题意设焦距为
，则
，
由离心率为
，所以
，
则
，
的方程为
．
（2）不存在，
证明如下：假设存在圆
满足题意，当圆
过原点
时，直线
与
轴重合，
直线
的斜率为0，不合题意．
依题意不妨设为
：
，
：
，
，
，圆
的半径为，
则圆心到直线
的距离为
，
即
是关于
的方程
的两异根，
此时
，
再联立直线
与椭圆方程
得
，
所以
，即
，得
所以
，同理
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由
，得
，
由题意，
，即
，此时
，
所以
，
因为
，所以方程无解，命题得证．
