十年（2014－2023）年高考真题分项汇编
导数选择、填空
目录
题型一：导数的概念及其几何意义......................................1
题型二：导数与函数的单调性..........................................8
题型三：导数与函数的极值、最值......................................9
题型四：导数与函数的零点...........................................14
题型五：导数的综合应用.............................................16
题型六：定积分.....................................................20
题型一：导数的概念及其几何意义
一、选择题
1．(2021 年新高考Ⅰ卷·第7 题)若过点
可以作曲线
的两条切线，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析:在曲线
上任取一点
，对函数
求导得
，
所以，曲线
在点
处的切线方程为
，即
，
由题意可知，点
在直线
上，可得
，
令
，则
．
当
时，
，此时函数
单调递增，
当
时，
，此时函数
单调递减，
所以，
，
由题意可知，直线
与曲线
的图象有两个交点，则
，
当
时，
，当
时，
，作出函数
的图象如下图所示：
由图可知，当
时，直线
与曲线
的图象有两个交点,故选D．
2．(2020 年高考课标Ⅰ卷理科·第0 题)函数
的图像在点
处的切线方程为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
，
，
，
因此，所求切线的方程为
，即
．
故选：B．
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
3．(2020 年高考课标Ⅲ卷理科·第0 题)若直线l 与曲线y=
和x2+y2=
都相切，则l 的方程为
( )
A．y=2x+1
B．y=2x+
C．y=
x+1
D．y=
x+
【答案】D
解析：设直线在曲线
上的切点为
，则
，
函数
的导数为
，则直线的斜率
，
设直线的方程为
，即
，
由于直线与圆
相切，则
，
两边平方并整理得
，解得
，
(舍)，
则直线的方程为
，即
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题．
4．(2019·全国Ⅲ·理·第6 题)已知曲线
在点
处的切线方程为
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，根据导数的几何意义易得
，解得
，从而得
到切点坐标为
，将其代入切线方程
，得
，解得
，故选D．
【点评】准确求导是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求
导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．另外对于导数的几何意义要注意给定的点是否为
切点，若为切点，牢记三条：①切点处的导数即为切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上。
5．(2018 年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第5 题)设函数
，若
为奇函数，
则曲线
在点
处的切线方程为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：函数
，若
为奇函数，可得
，所以函数
，可
得
，曲线
在点
处的切线的斜率为：1，则曲线
在点
处
的切线方程为：
，故选D．
6．(2014 高考数学课标2 理科·第8 题)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
解析：因为
，所以切线的斜率为
，解得
，选D
7 ．(2014 高考数学大纲理科· 第7 题) 曲线
在点(1,1) 处切线的斜率等于
( )
A．2e
B．
C．2
D．1
【答案】C
解析：因为
，所以
，根据导数的几何意义可知曲线
在
点
处切线的斜率
，故选C．
8．(2016 高考数学四川理科·第9 题)设分别是函数
图像上的点
处的切线，
与
互相垂直并相交于点
，且
分别与
轴相交于点
，则
的面积的取值范围为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题设知：不妨设
点的坐标分别为：
，其中
，
则由于
分别是点
处的切线，直线
的斜率分别为
而
，
得：
的斜率
为
，
的斜率
为
；又
与
垂直，且
，
由题意易知
，
则
直线联立
的方程可得
当且仅当
即
时等号成立
而
，所以
所以
的面积的取值范围
．
9．(2017 年高考数学浙江文理科·第7 题)函数
( )
y
f x
的导函数
( )
y
f
x
的图象如图所示,则函数
( )
y
f x
的图象可能是
(第7 题图)
A B
C D
【答案】 D
【解析】(定义法)导数大于零,原函数递增,导数小于零,原函数递减,对照导函数图象和原函数图象．故选
D．
(特例法)取导函数
( )
(
2)(
1)(
4)
f
x
x
x
x
,勾画原函数
( )
f x 图象．故选D．
二、填空题
1．(2021 年高考全国甲卷理科·第0 题)曲线
在点
处的切线方程为__________．
【答案】
解析：由题，当
时，
，故点在曲线上．
求导得：
，所以
．
故切线方程为
．
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
故答案为：
．
2．(2022 新高考全国II 卷·第14 题)曲线
过坐标原点的两条切线的方程为____________，
____________．
【答案】①．
②．
解析： 因为
，
当
时
，设切点为
，由
，所以
，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以
，解得
，所以切线方程为
，即
；
当
时
，设切点为
，由
，所以
，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以
，解得
，所以切线方程为
，
即
；
故答案为：
；
3．(2022 新高考全国I 卷·第15 题)若曲线
有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是
________________．
【答案】
解析：∵
，∴
，
设切点为
,则
,切线斜率
,
切线方程为：
,
∵切线过原点，∴
,
整理得：
,
∵切线有两条，∴
,解得
或
,
∴
的取值范围是
,
故答案为：
4．(2019·全国Ⅰ·理·第13 题)曲线
在点
处的切线方程为 ．
【答案】答案：
解析：
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
．
5．(2019·江苏·第11 题)在平面直角坐标系
中，点
在曲线
上，且该曲线在点
处的切线
经过点
( 为自然对数的底数)，则点
的坐标是______.
【答案】
【解析】设切点
，因为
，所以切线的斜率
，
又切线过点
，所以
，即
，解得
，则点
的坐标是
.
6．(2018 年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第14 题)曲线
在点
处的切线的斜率为
，则
．
【答案】
解析：记
，则
依题意有
，即
，解得
．
7．(2018 年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第13 题)曲线
在点
处的切线方程为__________．
【答案】
解析：因为
，所以
，切线方程为
，即
．
8．(2014 高考数学江西理科·第14 题)若曲线
x
y
e
上点P 处的切线平行于直线2
1
0
x
y
,则点P
的坐标是________．
【答案】( ln 2,2)
分析:设切点P ( , )
a b ,则由
x
y
e
得:
2,
2,
ln 2,
2
a
a
a
k
e
e
a
b
e
,所以点P 的坐
标是( ln 2,2)
．
9．(2014 高考数学广东理科·第10 题)曲线
在点
处的切线方程为
【答案】答案：
．
解析：
，故切线方程为
．本题易错点在符合函数求导忘记乘以
．
10．(2014 高考数学江苏·第11 题)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线
y=ax 2+ b
x (a，b 为常数)过点
P(2,−5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7 x+2 y+3=0平行，则a+b 的值是 ．
【答案】
解析：曲线
过点
，则
①，
又
，所以
②，由①、②解得
所以
．
11．(2015 高考数学陕西理科·第15 题)设曲线
在点
处的切线与曲线
上点
处的
切线垂直，则
的坐标为 ．
【答案】
解析：因为
，所以
，所以曲线
在点
处的切线的斜率
，
设
的坐标为
(
)，则
，因为
，所以
，所以曲线
在点
处的切线的斜率
，因为
，所以
，即
，解得
，
因为
，所以
，所以
，即
的坐标是
，所以答案应填：
．
12．(2016 高考数学课标Ⅲ卷理科·第15 题)已知
为偶函数,当
时,
,,则曲
线
在点
处的切线方程是_______________.
【答案】
【解析】当
时,
, 则
. 又因为
是偶函数, 所以
, 所以
, 则切线斜率为
, 所以切线方程为
,即
.
13．(2016 高考数学课标Ⅱ卷理科·第16 题)若直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线，则
．
【答案】
【解析】设直线
与曲线
的切点为
，与曲线
的切点
为
则
，所以
所以
，所以
，所以
．
题型二：导数与函数的单调性
1．(2023 年新课标全国Ⅱ卷·第6 题)已知函数
在区间
上单调递增，则a 的最小值
为
( )．
A．
B．e
C．
D．
【答案】C
解析：依题可知，
在
上恒成立，显然
，所以
，
设
，所以
，所以
在
上单调递增，
，故
，即
，即a 的最小值为
．
故选：C．
2．(2015 高考数学福建理科·第10 题)若定义在
上的函数
满足
，其导函数
满足
，则下列结论中一定错误的是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析：由已知条件，构造函数
，则
，故函数
在
上单调
递增，且
，故
，所以
，
，所以结论中
一定错误的是C，选项D 无法判断；构造函数
，则
，所以函数
在
上单调递增，且
，所以
，即
，
，选项A,B
无法判断，故选C．
3．(2014 高考数学大纲理科·第16 题)若函数
在区间
是减函数，则
的取
值范围是 ．
【答案】
解析：因为
，而
时，函数
单调递减，所以
在
恒成立，即
恒成
立，因为
，所以
即
在
恒成立，从而
，因为
的值域为
即
，所以
．
题型三：导数与函数的极值、最值
1．(2021 年高考全国乙卷理科·第0 题)设
，若
为函数
的极大值点，
则
( )
A
B．
C．
D．
【答案】D
解析：若
，则
为单调函数，无极值点，不符合题意，故
．
有
和
两个不同零点，且在
左右附近是不变号，在
左右附近是变号的．
依题意，
为函数
的极大值点，
在
左右附近都是小于零的．
当
时，由
，
，画出
的图象如下图所示：
由图可知
，
，故
．
当
时，由
时，
，画出
的图象如下图所示：
由图可知
，
，故
．
综上所述，
成立．
故选：D
【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答．
2．(2022 年高考全国甲卷数学(理)·第6 题)当
时，函数
取得最大值
，则
( )
A
B．
C．
D．1
【答案】B
【解析】因为函数
定义域为
，所以依题可知，
，
，而
，
所以
，即
，所以
，因此函数
在
上递增，在
上递减，
时取最大值，满足题意，即有
．
故选：B．
3．(2017 年高考数学课标Ⅱ卷理科·第11 题)若
2
x 是函数
2
1`
( )
(
1)
x
f x
x
ax
e
的极值点，则
( )
f x 的极小值为
( )
A．1
B．
3
2e
C．
3
5e
D．1
【答案】A
【命题意图】本题主要考查导数的极值概念及其极大值与极小值判定条件，意在考查考生的运
算求解能力．
【解析】解法一：常规解法
∵
2
1
1
x
f x
x
ax
e
∴ 导函数
2
1
2
1
x
f
x
x
a
x
a
e
∵
2
0
f
∴
1
a
∴ 导函数
2
1
2
x
f
x
x
x
e
令
0
f
x
，∴
1
2
x ，
1
1
x
当x 变化时，
f x ，
f
x
随变化情况如下表：
x
, 2
2
2,1
1
1,
f
x
+
0
-
0
+
f x
极大值
极小值
从上表可知：极小值为
1
1
f
．
二、多选题
1．(2023 年新课标全国Ⅱ卷·第11 题)若函数
既有极大值也有极小值，则
( )．
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
解析：函数
的定义域为
，求导得
，
因为函数
既有极大值也有极小值，则函数
在
上有两个变号零点，而
，
因此方程
有两个不等的正根
，
于是
，即有
，
，
，显然
，即
，A 错误，
BCD 正确．
故选：BCD
三、填空题
1．(2022 年高考全国乙卷数学(理)·第16 题)已知
和
分别是函数
(
且
)的极小值点和极大值点．若
，则a 的取值范围是____________．
【答案】
解析：
，
因为
分别是函数
的极小值点和极大值点，
所以函数
在
和
上递减，在
上递增，
所以当
时，
，当
时，
，
若
时，当
时，
，则此时
，与前面矛盾，
故
不符合题意，
若
时，则方程
的两个根为
，
即方程
的两个根为
，
即函数
与函数
的图象有两个不同的交点，
∵
,∴函数
的图象是单调递减的指数函数，
又∵
,∴
的图象由指数函数
向下关于
轴作对称变换，然后将图象上的每个
点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的
倍得到，如图所示：
设过原点且与函数
的图象相切的直线的切点为
，
则切线的斜率为
，
故切线方程为
，
则有
，解得
，
则切线的斜率为
，
因为函数
与函数
的图象有两个不同的交点，
所以
，解得
，
又
，所以
，
综上所述，
的范围为
．
2．(2018 年高考数学江苏卷·第11 题)若函数
在
内有且只有一个零点，
则
在
上的最大值与最小值的和为
．
【答案】–3
解析：由
得
，因为函数
在
上有且仅有一个零点且
，
所以
，因此
，
，从而函数
在
上，单调递增，在
上单调递减，所以
，
，最大值与最小值的和为
．
3．(2018 年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第16 题)已知函数
,则
的最小值是
．
【答案】
解法一：先求
的最大值，设
，
即
，
故根据
奇函数知，
解法二：导数法+周期函数
当
；
；
解法三：均值不等式法
当且仅当
时，
此时
，
题型四：导数与函数的零点
1．(2014 高考数学课标1 理科·第11 题)已知函数
( )
f x =
3
2
3
1
ax
x
,若
( )
f x 存在唯一的零点
0x ,且
0x
>0,则a 的取值范围为
( )
A．(2,+∞)
B．(-∞,-2)
C．(1,+∞)
D．(-∞,-1)
【答案】B
解析1:由已知
0
a
,
2
( )
3
6
f
x
ax
x
,令
( )
0
f
x
,得
0
x
或
2
x
a
,
当
0
a
时,
2
2
,0 ,
( )
0;
0,
,
( )
0;
,
,
( )
0
x
f
x
x
f
x
x
f
x
a
a
;
且
(0)
1
0
f
,
( )
f x 有小于零的零点,不符合题意．
当
0
a
时,
2
2
,
,
( )
0;
,0 ,
( )
0;
0,
,
( )
0
x
f
x
x
f
x
x
f
x
a
a
要使
( )
f x 有唯一的零点
0x 且
0x >0,只需
2
( )
0
f a
,即
2
4
a
,
2
a ．选B
解析2:由已知
0
a
,
( )
f x =
3
2
3
1
ax
x
有唯一的正零点,等价于
3
1
1
3
a
x
x
有唯一的正零根,令
1
t
x
,则问题又等价于
3
3
a
t
t
有唯一的正零根,即y
a
与
3
3
y
t
t
有唯
一的交点且交点在在y 轴右侧记
3
( )
3
f t
t
t
,
2
( )
3
3
f t
t
, 由
( )
0
f t
,
1
t ,
, 1 ,
( )
0;
1,1 ,
( )
0;
t
f t
t
f t
,
1,
,
( )
0
t
f t
,要使
3
3
a
t
t
有唯一的正零根,只需
( 1)
2
a
f
,选B
2．(2015 高考数学新课标2 理科·第12 题)设函数
是奇函数
的导函数，
，
当
时，
，则使得
成立的
的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：记函数
，则
，因为当
时，
，故当
时，
，所以
在
单调递减；又因为函数
是奇函数，故函数
是偶函数，所以
在
单调递减，且
．当
时，
，
则
；当
时，
，则
，综上所述，使得
成立的
的取值范围
是
，故选A．
3．(2015 高考数学新课标1 理科·第12 题)设函数
,其中
，若存在唯一的
整数
，使得
0，则
的取值范围是( )
A．
B．
C
．D．
【答案】D
解析：设
=
，
，由题知存在唯一的整数
，使得
在直线
的下方．
因为
，所以当
时，
＜0，当
时，
＞0，所以当
时，
=
，
当
时，
=-1，
，直线
恒过(1,0)斜率且
，故
，且
，解得
≤
＜1，故选D．
考点：本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题
4．(2015 高考数学安徽理科·第15 题)设
，其中
均为实数，下列条件中，使得该三次
方程仅有一个实根的是 ．(写出所有正确条件的编号)
①
；②
；③
；④
；⑤
．
【答案】①③④⑤
解析：令
，求导得
，当
时，
，所以
单调递增，
且至少存在一个数使
，至少存在一个数使
，所以
必有一个零点，
即方程
仅有一根，故④⑤正确；当
时，若
，则
，易知，
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
，要使方程仅有一根，则
或
者
，解得
或
，故①③正确．所以使得三次方程仅有一
个实 根的是①③④⑤．
题型五：导数的综合应用
1．(2014 高考数学辽宁理科·第11 题)当
时，不等式
恒成立，则实数a 的
取值范围是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析:
当0≤x≤1 时，ax3-x2+4x+3≥0 可化为
，
令
，则
，
当0≤x≤1 时，f′(x)＞0，f(x)在(0，1]上单调递增，f(x)max=f(1)=-6，∴a≥-6；
当-2≤x＜0 时，ax3-x2+4x+3≥0 可化为
，
当-2≤x＜-1 时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
当-1＜x＜0 时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，f(x)min=f(-1)=-2，∴a≤-2；
综上所述，实数a 的取值范围是-6≤a≤-2，即实数a 的取值范围是[-6，-2]．
2．(2016 高考数学山东理科·第10 题)若函数
的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的
切线互相垂直，则称
具有
性质．下列函数中具有
性质的是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数值的积
为
．当
时，
, 有
, 所以在函数
图像存在两点
使条件成立，故A 正确；函数
的导数值均非负，不符合题意，故
选A．
二、多选题
25．(2022 新高考全国I 卷·第10 题)已知函数
，则
( )
A．
有两个极值点
B．
有三个零点
C．点
是曲线
的对称中心
D．直线
是曲线
的切线
【答案】AC
解析: 由题，
，令
得
或
，
令
得
，
所以
在
上单调递减，在
，
上单调递增，
所以
是极值点，故A 正确；
因
，
，
，
所以，函数
在
上有一个零点，
当
时，
，即函数
在
上无零点，
综上所述，函数
有一个零点，故B 错误；
令
，该函数的定义域为
，
，
则
是奇函数，
是
的对称中心，
将
的图象向上移动一个单位得到
的图象，
所以点
是曲线
的对称中心，故C 正确；
令
，可得
，又
，
当切点为
时，切线方程为
，当切点为
时，切线方程为
，
故D 错误
故选：AC．
三、填空题
1．(2017 年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第16 题)如图,圆形纸片的圆心为O ,半径为5cm ,该纸片上的等边
三角形ABC 的中心为
,
,
,
O D E F 为圆O 上的点, DBC
, ECA
, FAB
分别是以
,
,
BC CA AB 为底
边的等腰三角形．沿虚线剪开后,分别以
,
,
BC CA AB 为折痕折起
DBC
, ECA
, FAB
,使得
,
,
D E F 重合,得到三棱锥．当
ABC
的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:
3
cm )的最大值为
__________．
【答案】4 15
【解析】如下图,设正三角形的边长为x,则
1
3
3
2
OG
x
3
6 x
．
3
5
6
FG
SG
x
,
2
2
2
2
3
3
5
6
6
SO
h
SG
GO
x
x
3
5 5
3
三棱锥的体积
1
1
3
3
5 5
3
3
4
3
ABC
V
S
h
x
4
5
15
3
5
12
3
x
x
．
令
4
5
3
5
3
b x
x
x
,则
3
4
5 3
'
20
3
n
x
x
x
,
令
'
0
n
x
,
4
3
4
0
3
x
x
,
4 3
x
,
max
75
48
5
4
4 15
12
V
．
2．(2016 高考数学北京理科·第14 题)设函数
．
①若
，则
的最大值为____________________；
②若
无最大值，则实数
的取值范围是_________________．
【答案】
，
．
解析：由
，得
如下图，是
的两个函数在没有限制条件时的图象．
y
–1
–2
1
2
3
–1
–2
1
2
O
⑴
；
⑵ 当
时，
有最大值
；
当
时，
在
时无最大值，且
，所以，
．
3．(2021 年新高考全国Ⅱ卷·第16 题)已知函数
，函数
的图象在点
和点
的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M，N 两点，则
取值范围
是_______．
【答案】
解析:由题意，
，则
，
所以点
和点
，
,所以
，所以
，所以
，
同理
,所以
．故答案为
．
题型六：定积分
1．(2014 高考数学陕西理科·第3 题)定积分
的值为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析:
，故选C．
2．(2014 高考数学山东理科·第6 题)直线
与曲线
在第一象限内围成的封闭图形的面积为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】
解析：由题意知
．
3 ．(2014
高考数学江西理科· 第
8
题) 若
1
2
0
( )
2
( )
,
f x
x
f x dx
则
1
0
( )
f x dx
( )
A．1
B．
1
3
C．
1
3
D．1
【答案】 B
分析:设
1
0
( )
f x dx m
,则
2
( )
2 ,
f x
x
m
1
3
1
1
2
0
0
0
1
( )
(
2 )
(
2
)
2 ,
3
3
x
m
f x dx
x
m dx
mx
m
因此
1.
3
m
4．(2014 高考数学湖北理科·第6 题)若函数f ( x)、g( x)满足∫−1
1
f (x)g(x)dx =0，则称f ( x)、g( x)
在区间[−1,1]上的一组正交函数，给出三组函数：①
f ( x)=1
2 sin x
，
g( x)=1
2 cos x
；②
f ( x)=x+1，g( x)=x−1；③f ( x)=x ，g( x)=x2
．其中为区间λ 上的正交函数的组数是
( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
解析：对于①，
＝
＝
＝0．
故①为一组正交函数；
对于②，
＝
＝
，
故②不是一组正交函数；
对于③，
．
故③为一组正交函数，故选C．
二、填空题
1．(2015 高考数学天津理科·第11 题)曲线
2
y
x
与直线y
x
所围成的封闭图形的面积为
．
【答案】
1
6
解析：在同一坐标系内作出两个函数的图象，解议程组
2
y
x
y
x
得两曲线的交点坐标为(0,0),(1,1) ，
由图可知峡谷曲线所围成的封闭图形的面积
1
1
2
2
3
0
0
1
1
1
2
3
6
S
x
x
dx
x
x
．
2
1.5
1
0.5
0.5
1
1.5
2
2 5
4
3
2
1
1
2
3
4
考点：定积分几何意义与定积分运算．
2．(2015 高考数学湖南理科·第11 题)
．
【答案】0 ．
分析：∫0
2
(x−1)dx =( 1
2 x2−x)0
2=0
．
考点：定积分的计算．
【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计
算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解．
