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专题05 解析几何（解答题10 种考法）
1．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知
，
分别是椭圆
：
的右顶点和
上顶点，
，直线
的斜率为
.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线
，与
，
轴分别交于点
，
，与椭圆相交于点
，
.
（i）求
的面积与
的面积之比；
（ⅱ）证明：
为定值.
【答案】(1)
(2)（i）1（ⅱ）证明见解析
【解析】（1）∵
、
是椭圆
，的两个顶点，且
，
直线
的斜率为
，由
，
，得
，
又
，
解得
，
，
∴椭圆的方程为
；
（2）
设直线的方程为
，则
，
，
联立方程
消去
，
整理得
，
，得
设
，
，∴
，
.
（i）
，
，
∴
，
∴
的面积与
的面积之比为1；
（ii）证明：
综上，
.
2．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知椭圆
的左右焦点分别为
是椭圆的中心，点
为其上的一点满足
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)设定点
，过点
的直线交椭圆
于
两点，若在
上存在一点
，使得直线
的斜率与直线
的斜率之和为定值，求的范围．
【答案】(1)
(2)
或
【解析】（1）设
，在
中，设
，
，
，
，
，
所以椭圆
的方程为：
（2）设
，直线的方程为
，
，
，
，
设
，
若
为常数，则
，
即
，而此时
，
又
，即
或
，
综上所述，
或
，存在点
，使得直线
的斜率与直线
的斜率之和为定值
3（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）已知椭圆
的左、右顶点分别为
，长轴长为短轴长的2 倍，点
在
上运动，且
面积的最大值为8．
(1)求
的方程；
(2)若直线经过点
，交
于
两点，直线
分别交直线
于
，
两点，试问
与
的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)
与
的面积之比为定值
【解析】（1）由题意得
，即
①．
当点
为
的上顶点或下顶点时，
的面积取得最大值，
所以
，即
②．
联立①②，得
．
故
的方程为
．
（2）
与
的面积之比为定值．
由（1）可得
，
由题意设直线
．
联立
得
，
则
，
，
所以
．
直线
的方程为
，
令
，得
，即
．
同理可得
．
故
与
的面积之比为
，
即
与
的面积之比为定值
．
4．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知椭圆
的离心率为
，且直线
是
抛物线
的一条切线．
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
的动直线
交椭圆
于
两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点
，使得以
为直径的圆恒过定点
？若存在，求出
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【解析】（1）由
得
直线
是抛物线
的一条切线．所以
，所以椭圆
（2）
当直线
与
轴平行时，以
为直径的圆方程为
当直线
与
轴重合时，以
为直径的圆方程为
所以两圆的交点为点
猜想：所求的点
为点
．
证明如下．当直线
与
轴垂直时，以
为直径的圆过点
当直线
与
轴不垂直时，可设直线
为：
由
得
，设
，
则
则
所以
，即以
为直径的圆过点
所以存在一个定点
，使得以
为直径的圆恒过定点
．
5．（2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测）椭圆E 的方程为
，左、右顶点分别为
，
，点P 为椭圆E 上的点，且在第一象限，直线l 过点P
(1)若直线l 分别交x，y 轴于C，D 两点，若
，求
的长；
(2)若直线l 过点
，且交椭圆E 于另一点Q（异于点A，B），记直线
与直线
交于点M，试问点
M 是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，说明理由．
【答案】(1)
；
(2)点M 在定直线
上，理由见解析.
【解析】（1）设
，
则
①，
②，
由①②可得
，
，即
，
（2）依题可设直线l 的方程为
，
，
，
．
联立方程组
，整理得
，
，
则
，
直线
的方程为
，直线
的方程为
，
联立方程组
，得
，
因为
，
，
由
，得
，得
．
所以
.
故点M 在定直线
上．
6．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知椭圆
：
的离心率为
，右焦点为
，
，
分别为椭圆
的左、右顶点.
(1)求椭圆
的方程；
(2)过点
作斜率不为的直线，直线与椭圆
交于
，
两点，记直线
的斜率为
，直线
的
斜率为
，求证：
为定值；
(3)在（2）的条件下，直线
与直线
交于点
，求证：点
在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）依题可得
，解得
，所以
，
所以椭圆
的方程为
．
（2）设
，
，因为直线过点
且斜率不为，
所以可设的方程为
，代入椭圆方程
得
，
其判别式
，所以
，
.
两式相除得
，即
．
因为
分别为椭圆
的左、右顶点，所以点
的坐标为
，点
的坐标为
，
所以
，
．
从而
．
（3）由（1）知
，设
，则
，
所以直线
的方程为
，直线
的方程为
，
联立
可得
，
所以直线
与直线
的交点
的坐标为
，
所以点
在定直线
上.
7．（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知曲线
．
(1)若曲线C 是椭圆，求m 的取值范围．
(2)设
，曲线C 与y 轴的交点为A，B（点A 位于点B 的上方），直线
与曲线C 交于不同的
两点M，N．设直线AN 与直线BM 相交于点G．试问点G 是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不
是，说明理由．
【答案】(1)
(2)在定直线
上，理由见详解.
【解析】（1）因为曲线C 是椭圆，所以
，解得
；.
（2）是在定直线
上，理由如下：
当
时，此时椭圆
，设点
与直线l 联立得
，
，且
，
所以
易知
，则
，
两式作商得
是定值，
故G 在定直线
上.
8．（2023·河南·襄城高中校联考三模）设双曲线
的左、右焦点分别为
，
，且E 的渐近线方程为
．
(1)求E 的方程；
(2)过
作两条相互垂直的直线和
，与E 的右支分别交于A，C 两点和B，D 两点，求四边形ABCD 面积
的最小值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意，得
的渐近线方程为
，
因为双曲线
的渐近线方程为
，所以
，即
，
又因为
，所以
，则
，
故
的方程为
．
（2）根据题意，直线，
的斜率都存在且不为0，
设直线
，
，其中
，
因为，
均与
的右支有两个交点，所以
，
，所以
，
将的方程与
联立，可得
，
设
，则
，
，
所以
，
用
替换
，可得
，
所以
．
令
，所以
，
则
，
当
，即
时，等号成立，
故四边形
面积的最小值为
．
9．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知双曲线
的离心率为
，点
，
分别是其左右焦点，过点
的直线交双曲线的右支于P，A 两点，点P 在第一象限.当直线PA 的斜
率不存在时，
.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)线段
交圆
于点B，记
，
，
的面积分别为S1，S2，S，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：因为双曲线
的离心率为
，
所以
，又过点
的直线PA 的斜率不存在时，
，
所以
.
解得
，
所以双曲线的方程为：
；
（2）设
，则
，且
，
所以
，
，
，
由双曲线定义得
，
所以
，则
，
所以
，
，
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值
.
10．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知双曲线
的一条渐近线方程为
，
焦点到渐近线的距离为.
(1)求
的方程；
(2)过双曲线
的右焦点
作互相垂直的两条弦（斜率均存在）
、
.两条弦的中点分别为
、
，那
么直线
是否过定点?若不过定点，请说明原因；若过定点，请求出定点坐标.
【答案】(1)
(2)直线
过定点
【解析】（1）设双曲线的焦点坐标为
，
依题意渐近线方程为
，即
，
有
，解得
，
；
（2）由（1）可知右焦点
，
设直线
：
，
，
，
由联立直线与双曲线
，
化简得
，
，
故
，
，
，
又
，则
，
同理可得：
，
，
化简得
，
故直线
过定点
.
11．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知椭圆
的左、右焦点
分别为
，
，A，B 分别是C 的右、上顶点，且
，D 是C 上一点，
周长的最大值为8.
(1)求C 的方程；
(2)C 的弦
过
，直线
，
分别交直线
于M，N 两点，P 是线段
的中点，证明：以
为
直径的圆过定点.
【答案】(1)
；
(2)证明见解析.
【解析】1）依题意，
，
周长
，当且仅当
三点共线时等号成立，
故
，
所以
，所以
的方程
；
（2）设
，直线
，代入
，整理得
，
，
，
易知
，令
，得
，同得
，
从而中点
，
以
为直径的圆为
，
由对称性可知，定点必在
轴上，
令
得，
，
，
所以
，即
，因为
，
所以
，即
，
解得
，所以圆过定点
.
12．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知抛物线
：
，过点
作斜率互为相反数的直线
，
分别交抛物线
于
及
两点．
(1)若
，求直线
的方程；
(2)求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）设
，
，∵
，∴
，
，
∵
，∴
，
．
又∵
，∴
，即
，
又∵
，∴
，
或
，
当
时，
，∴
，
；
当
时，
，∴
，
，此时直线AB 的斜率不存在，舍去，
∴
，
，∴直线
的方程为：
．
（2）设直线
：
，则直线
：
，
设
，
，
，
，
由
，即
，则
，所以
，
，
又∵
，
，
∴
，同理可证：
，
∴
，∴
，
又∵
，∴
，∴
．
13．（2023·广东梅州·统考三模）已知双曲线
的右焦点，右顶点分别为
，
，
，
，点
在线段
上，且满足
，直线
的斜率为1，
为坐标原点.
(1)求双曲线
的方程.
(2)过点
的直线与双曲线
的右支相交于
，
两点，在
轴上是否存在与
不同的定点
，使得
恒成立？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【解析】（1）设
，所以
，
，
，
因为点
在线段
上，且满足
，所以点
，
因为直线
的斜率为1，所以
，所以
，
因为
，所以
，解得
，
，
.
所以双曲线
的方程为
.
（2）假设在
轴上存在与
不同的定点
，使得
恒成立，
当直线l 的斜率不存在时，E 在x 轴上任意位置，都有
；
当直线l 的斜率存在且不为0 时，设
，直线l 的方程为
，
直线与双曲线
的右支相交于
，
两点，则
且
，
设
，
，
由
，得
，
，
，
所以
，
，
因为
，即
，所以
平分
，
，
有
，即
，得
，
所以
，由
，解得
.
综上所述，存在与
不同的定点
，使得
恒成立，且
.
14．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知椭圆
的左顶点为
，过右焦点
且平行
于
轴的弦
．
(1)求
的内心坐标；
(2)是否存在定点
，使过点
的直线交
于
，交
于点
，且满足
？若存在，
求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在定点
【解析】（1）
∴椭圆
的标准方程为
，
不妨取
，则
；
因为
中，
，所以
的内心在
轴，设直线
平分
，交
轴于
，则
为
的内心，且
，所以
，则
；
（2）∵椭圆和弦
均关于
轴上下对称．若存在定点
，则点
必在
轴上∴设
当直线斜率存在时，设方程为
，直线方程与椭圆方程联立
，
消去
得
，
则
①
∵点
的横坐标为1，
均在直线上，
，整理得
，
因为点
在椭圆外，则直线的斜率必存在．∴存在定点
满足题意
15（2023·广东佛山·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，点
为坐标原点，
，
，
为线
段
上异于
的一动点，点
满足
.
(1)求点
的轨迹
的方程；
(2)点
是曲线
上两点，且在
轴上方，满足
，求四边形
面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
，
，
，
，
点轨迹是以
为焦点，长轴长为
的椭圆，
设椭圆方程为
，则
，
，
，
点
的轨迹
的方程为：
.
（2）连接
，延长交椭圆
于点
，连接
，
由椭圆对称性可知：
，又
，
四边形
为平行四边形，
，
，
且
三点共线
四边形
的面积
，
设直线
，
，
由
得：
，
，
，
，
又
，
点
到直线
的距离即为点
到直线
的距离，
点
到直线
的距离
，
，
设
，则
，
，
，
又
，
当
，即
时，四边形
面积取得最大值，最大值为.
16．（2023·四川成都·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）设椭圆
过点
，且左焦点为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)
内接于椭圆
，过点
和点
的直线与椭圆
的另一个交点为点
，与
交于点
，满足
，求
面积的最大值.
【答案】(1)
；
(2)
.
【解析】（1）令椭圆
的半焦距为c，依题意，
，解得
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）设点
的坐标分别为
，
显然
均不为零，依题意，令
，有
且
，
又
四点共线，从而
，
即
，
，
于是
，从而
①，
②，
又点
在椭圆
上，即
③，
④，
①+②
并结合③，④得
，即动点
总在定直线
上，因此直线
方程为
，
由
消去y 得
，
，
设
，则
，
于是
，设
，
则点
到直线
的距离
，其中锐角
由
确定，
因此
，当且仅当
时
取等号，
所以
的面积最大值为
.
17．（2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）设椭圆
过点
，且左焦点为
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)
内接于椭圆
，过点
和点
的直线与椭圆
的另一个交点为点
，与
交于点
，满足
，证明：
面积为定值，并求出该定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定值为
【解析】（1）由题意得
，
解得
，
所以椭圆C 的方程为
．
（2）设点
的坐标分别为
，
，
．
由题设知
，
，
，
均不为零，
记
，则
且
又
四点共线，从而
，
于是
，
，
，
从而
①，
②，
又点
在椭圆
上，即
③，
④，
①＋②×2 并结合③、④得
，
即点
总在定直线
上．
∴
所在直线为
上．
由
消去y 得
，
，
设
，则
，
于是
，
又
到
的距离
，
∴
∴
面积定值为
．
18（2023·河北·统考模拟预测）已知椭圆
的左焦点为
，过点
作直线交
于点
，
.
(1)若
，求直线的斜率；
(2)设
，
是
上异于
的点，且
，
，
三点共线，求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【解析】（1）依题意，椭圆
的左焦点
，
当直线的斜率为0 时，此时
、
两点是椭圆长轴上的两点，
向量
，
或
，
均不满足
，
不合题意，所以直线的斜率不为0.
故可设直线的方程为
，
，
，
由
得：
，
，
则
，
①，
由
可得
，
所以
，即
②，
由①②可得
，
，
化简整理得
，所以
，
所以直线的斜率为
.
（2）证明：由
，
可得直线
的方程为
，
由
得：
，
所以
，结合
可得：
，
，即
，
又
，则
，
所以
，所以
.
19．（2023·重庆巴南·统考一模）在平面直角坐标系
中，已知点
、
，
的内切
圆与直线
相切于点
，记点M 的轨迹为C.
(1)求C 的方程；
(2)设点T 在直线
上，过T 的两条直线分别交C 于A、B 两点和P，Q 两点，连接
.若直线
的
斜率与直线
的斜率之和为0，试比较
与
的大小.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为点
、
，
的内切圆与直线
相切于点
，
所以
，
因此根据双曲线的定义可知，点
的轨迹为以
，
为焦点的双曲线的右支，
设点
的轨迹C 的方程为
，焦距为
，
所以
，
，
所以
，
，
，
所以点
的轨迹方程C 为
（2）由题意，直线
的斜率互为相反数，记
，
则
，
，
，
，
，
设
，则直线
，
.
联立直线
和双曲线方程
，
整理得
.
该方程有两个不等实根
，
，
则
根据韦达定理可得
，
，
同理可得
，
.
又因为
，
.
，
.
则
，
同理可得
即
进而可得
相似于
，
即
，
，
也即A，B，Q，P 四点共圆，可得
从而得
.
因此
20．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知椭圆
，
，
为C 的左右焦点.
点
为椭圆上一点，且
.过P 作两直线与椭圆C 相交于相异的两点A，B，直线PA、
PB 的倾斜角互补，直线AB 与x，y 轴正半轴相交.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)点M 满足
，求M 的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，所以
，即
，
把
代入
，得
，所以
，
故椭圆C 的方程为
；
（2）由题意，直线AB 斜率存在，不妨设其方程为
，
设点
，
联立椭圆方程
，得
，
其中
，则
，
所以
，
因为直线
、
的倾斜角互补，所以
，
所以
，化简得
，
即
，
所以
，若
，此时直线AB 过点P，不合题意舍去；
故
，所以
，所以直线AB 方程为
，
设
，因为
，所以M 为AB 的中点，
所以
，则
，
消去m 得
，又
，且
，所以
，
所以
，所以点M 的轨迹方程为
.
21．（2023·重庆·统考模拟预测）已知椭圆
：
的长轴长是短轴长的2 倍，直线
被椭圆截得的弦长为4．
(1)求椭圆
的方程；
(2)设M，N，P，Q 为椭圆
上的动点，且四边形MNPQ 为菱形，原点О 在直线MN 上的垂足为点H，求H
的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意可得
，则椭圆
：
，
联立
，解得
或
，
所以弦长
，解得
，所以
，
所以椭圆
的方程为
，即
；
（2）因为四边形MNPQ 为菱形，所以
垂直且平分，
设
，
则
，
两式相减得
，
即
，
设菱形的中心为
，
若直线
的斜率都存在，设直线
的斜率分别为
，
由
，得
，
所以
，即
，
同理
，
所以
，
由
得
，所以
，即菱形的中心为原点，
则直线
的方程为
，直线
的方程为
，
联立
，解得
，
所以
，
同理
，
因为
，
所以
，
所以点
在圆
上；
若直线
中有一条直线的斜率不存在，由对称性可知棱形的中心为原点，
四点分别为椭圆的顶点，不妨设
为右顶点，
为上顶点，
则
，
同理可得
，
点
任在圆
上，
综上所述，H 的轨迹方程为
.
22（2023·海南海口·海南中学校考二模）已知过点
的直线与双曲线
：
的左右两支分别
交于
、
两点.
(1)求直线的斜率
的取值范围；
(2)设点
，过点
且与直线垂直的直线
，与双曲线
交于
、
两点.当直线变化时，
恒为一定值，求点
的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当
时，显然符合题意，
当
时，设直线的方程为
，其中
，设
、
，
与双曲线方程联立可得
，
因为直线与双曲线交于不同的两支，所以
，又
，
所以
，解得
，即
，所以
且
，解得
或
，
综上可得
；
（2）由（1）知，因为
，
所以
，
设
，则直线
的方程为：
，设
，
直线
与双曲线方程联立可得
，
即
，
所以
，
所以
，
得
，
又因为
，
所以
，
当
时，
即
时，
为定值
，
所以
或
，又因为
，
所以点
的轨迹方程为
.
23．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知双曲线
：
（
，
）的离心率
为
，右顶点
到渐近线的距离等于
.
(1)求双曲线
的方程.
(2)点
，
在
上，且
，直线
是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)直线
过定点
【解析】（1）由题意，取渐近线
，
右顶点
到该渐近线的距离
，
又
，
，解得
，
，
，
的方程为
.
（2）由题意知直线
的斜率存在且不为，
设直线
：
，
与
的方程联立，消去
得
，
易知
，
由韦达定理得
，则
.
因为
，所以
，
用
代替
（显然此时
），
同理得
，
得
，
直线
：
，
过定点
.
当
时，直线
的斜率不存在，
易知直线
的方程为
，过左焦点
.
综上，直线
过定点
.
24．（2023·福建三明·统考三模）已知
是椭圆
的右焦点，
为坐标原点，
为
椭圆上任意一点，
的最大值为
.当
时，
的面积为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)
、
为椭圆的左、右顶点，点
满足
，当
与
、
不重合时，射线
交椭圆
于点
，
直线
、
交于点
，求
的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：设点
，则
，
，
因为
，
所以，
，
设椭圆左焦点为
，因为
，所以
.
即
，
又因为
，所以
，
所以
，所以
，所以
，
因为此时
，所以
，所以
，所以
.
因为
，所以
，
，所以椭圆
的方程为
.
（2）解：设点
，
，
，
因为点
满足
，则
，解得
，所以
，
由题知
不与
轴重合，设直线
的方程为
，
联立方程组
，消
整理得
，
，
设
、
，则
，
.
因为
的方程为
，
的方程为
两直线方程联立得：
.
因为
.
所以
，解得
，
所以动点
的轨迹方程为
.
由椭圆的对称性不妨设
，直线
、
的倾斜角为
、
，
由图可知
，且
，
因为
，则
，
因为
，
，
所以
，
当且仅当
时等号成立，此时
，
，
所以
的最大值为
.
25．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）
中，
是边
上的点，
，
且
．
(1)若
，求
面积的最大值；
(2)若
内是否存在点
，使得
？若存在，求
；若不存
在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
存在，
【解析】（1）由面积公式可得：
，
，
因为
，故
，
由
可得
即
，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则
，设
，
则
，整理得到：
，
即点A 的轨迹是以
圆心，
为半径的圆，
故
的
边上的高的最大值为
，故其面积的最大值为
.
（2）因为
，故
，又
，故
，
故
为直角三角形，且
，
假设
内存在点
，使得
，
法一：如图，设
，
则
，故
，
在
中，由正弦定理可得
，即
，
故
，故
，
因为
为锐角，故
，
故
存在且
．
法二：如图，设
，则
，故
，
同理
，故
，
而
，故
，
在
中，由余弦定理可得：
，
整理得到：
，
所以
，
整理得到：
，解得
或
，
但
为锐角，故
，故
，
故
存在且
．
26．（2023·河北·校联考三模）已知椭圆
，其焦距为
，连接椭圆
的四个顶点
所得四边形的面积为6．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)已知点
，过点
作斜率不为0 的直线交椭圆
于不同两点
，求证：直线
与直线
所成的较小角相等．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意得，
，
解得
，
，
，
所以椭圆
的标准方程为
.
（2）证明：由题意，直线
的斜率一定存在，
设直线
的方程为
，
，设
，
，
联立
，整理得
，
所以
，即
，且
，
，
，
因为直线
平行于
轴，
所以要证直线
与直线
所成的较小角相等，
即证直线
的倾斜角互补，
即证
，下面进行证明：
所以直线
与直线
所成的较小角相等.
27．（2023·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）阿基米德（公元前287 年-公元前212 年，古希腊）不仅是
著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率
等于椭圆
的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系
中，椭圆
：
的面积为
，
两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.过点
的直线与椭圆C 交于不同的两点A，B.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为P，Q，直线PA 与直线
交于点F，试证明B，Q，F 三点共线.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）依题意有
，解得
，所以椭圆C 的标准方程是
.
（2）（i）当直线的斜率不存在，易知
，
，或
，
，
当
，
时，直线PA 的方程为：
，所以点
，
此时，
，
，显然B，Q，F 三点共线，
同理
，
时，B，Q，F 三点共线；
（ii）当直线的斜率存在时，显然斜率
，设直线的方程：
，
设
，
，
由
整理可得：
，
，
，
由（1）可得左右顶点分别为
，
，
直线PA 的方程为
，又因为直线
与
交于F，所以
，
所以
，
，
因为
，
又
，
所以
，所以
，所以B，Q，F 三点共线；
28．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）椭圆
的焦距为
为椭圆右焦
点，
.
(1)求椭圆
的方程与离心率；
(2)设
为原点，
为椭圆上一点，
的中点为
.直线
与直线
交于点
，过
且平行于
的直
线与直线
交于点
.求证：
.
【答案】(1)
，
.
(2)证明见解析.
【解析】（1）椭圆的焦距为
，所以
，
，
又
，所以
，椭圆
的方程是
，
离心率为
.
（2）由（1）得
.设
的中点为
，
.
设直线
的方程为:
，
将其代入椭圆方程，整理得
，所以
，
所以
，
，即
，
所以直线
的斜率是
，
所以直线
的方程是
，令
得
，
直线
的方程是
，令
得
，
由
，得直线
的斜率是
，所以
，记垂足为
;
因为直线
的斜率是
，所以
，记垂足为
.
在
和
中，
和
都与
互余，所以
.
29．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知椭圆C：
经过圆
：
的圆心，C 的左焦点F 到圆
上的点的距离的最小值为
．
(1)求C 的标准方程．
(2)过点F 作斜率之积为－1 的两条直线，
，与C 相交于A，B 两点，
与C 相交于M，N 两点，点
P，Q 分别满足
，
，问：直线PQ 是否过定点?若过定点，求出该定点的坐标；
若不过定点，试说明理由．
【答案】(1)
(2)直线PQ 过定点
．
【解析】（1）圆
的方程可化为
，故
，半径
，将
代入椭圆方程得
．
设C 的左焦点F 的坐标为（－c，0），则
，解得
，
所以
，所以C 的标准方程为
．
（2）直线PQ 过定点
，理由如下．
由（1）知
，因为，
的斜率之积为－1，所以
，易知，
的斜率存在且不为0．
由
，
，可知点P 为线段AB 的中点，点Q 为线段MN 的中点．
设的方程为
，
，
，
由
消去y，得
，
则
，所以
，
所以点P 的坐标为
．
将点P 坐标中的k 换成
，可得
当
时，解得
，此时直线PQ 的方程为
，恒过x 轴上的点
；
当
时，
，
，
所以
，即直线PQ 过定点
．
综上所述，直线PQ 过定点
．
30．（2023·浙江·校联考三模）已知双曲线
为其左右焦点，点
为其右支上一点，
在
处作双曲线的切线.
(1)若
的坐标为
，求证：为
的角平分线；
(2)过
分别作的平行线
，其中交双曲线于
两点，
交双曲线于
两点，求
和
的面积之积
的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）解：由题意点
处的切线为
，
所以过点
处的切线方程为
，
交
轴于点
，则
，
即
，所以为
的角平分线；
（2）过
的切线
，
当
时，即
不为右顶点时，
，
即
，
（或由直线与单支有两个交点，则
也可）
联立
设
，则
所以
又
所以
，
，
当
时，即点
为右顶点时，
，
所以
，
所以
的最小值为
.
