专题06 函数与导数常见经典压轴小题归类
【目录】
..............................................................................................................................................2
...............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................6
............................................................................................................................................12
考点一：函数零点问题之分段分析法模型............................................................................................................12
考点二：函数嵌套问题..........................................................................................................................................14
考点三：函数整数解问题......................................................................................................................................17
考点四：唯一零点求值问题..................................................................................................................................20
考点五：等高线问题..............................................................................................................................................22
考点六：分段函数零点问题..................................................................................................................................25
考点七：函数对称问题..........................................................................................................................................29
考点八：零点嵌套问题..........................................................................................................................................31
考点九：函数零点问题之三变量问题...................................................................................................................34
考点十：倍值函数.................................................................................................................................................36
考点十一：函数不动点问题..................................................................................................................................38
考点十二：函数的旋转问题..................................................................................................................................40
考点十三：构造函数解不等式..............................................................................................................................42
考点十四：导数中的距离问题..............................................................................................................................45
考点十五：导数的同构思想..................................................................................................................................49
考点十六：不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法.................................................................................51
考点十七：三次函数问题......................................................................................................................................54
考点十八：切线条数、公切线、切线重合与垂直问题.........................................................................................56
考点十九：任意存在性问题..................................................................................................................................62
考点二十：双参数最值问题..................................................................................................................................65
考点二十一：切线斜率与割线斜率.......................................................................................................................67
考点二十二：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）......................................................................69
考点二十三：两边夹问题和零点相同问题............................................................................................................72
考点二十四：函数的伸缩变换问题.......................................................................................................................74
考点二十五：V 型函数和平底函数........................................................................................................................76
考点二十六：曼哈顿距离与折线距离...................................................................................................................78
有关函数与导数常见经典压轴小题的高考试题，考查重点是零点、不等式、恒成立等问题，通常与函
数性质、解析式、图像等均相关，需要考生具有逻辑推理、直观想象和数学运算核心素养. 同时，对于实
际问题，需要考生具有数据分析、数学建模核心素养.
考点要求
考题统计
考情分析
零点
2023 年II 卷第11 题，5 分
2022 年I 卷第10 题，5 分
2021 年I 卷第7 题，5 分
【命题预测】
预测2024 年高考，多以小题形式出现，
也有可能会将其渗透在解答题的表达之
中，相对独立．具体估计为：
（1）导数的计算和几何意义是高考命题
的热点，多以选择题、填空题形式考
查，难度较小．
（2）应用导数研究函数的单调性、极
值、最值多在选择题、填空题靠后的位
置考查，难度中等偏上，属综合性问
题．
不等式
2021 年II 卷第16 题，5 分
三次函数
2022 年 I 卷第10 题，5 分
2021 年 乙卷第12 题，5 分
1、求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，
当出现
的形式时，应从内到外依次求值；当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在
分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否
满足相应段自变量的取值范围．
2、含有抽象函数的分段函数，在处理时首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，
其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）．
3、含分段函数的不等式在处理上通常有两种方法：一种是利用代数手段，通过对
进行分类讨论
将不等式转变为具体的不等式求解；另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图象的特点
解不等式．
4、分段函数零点的求解与判断方法：
（1）直接法：直接根据题设条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成球函数值域的问题加以解决；
（3）数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合
求解．
5、动态二次函数中静态的值：
解决这类问题主要考虑二次函数的有关性质及式子变形，注意二次函数的系数、图象的开口、对
称轴是否存在不变的性质，二次函数的图象是否过定点，从而简化解题．
6、动态二次函数零点个数和分布问题：
通常转化为相应二次函数的图象与
轴交点的个数问题，结合二次函数的图象，通过对称轴，根的
判别式，相应区间端点函数值等来考虑．
7、求二次函数最值问题，应结合二次函数的图象求解，有三种常见类型：
（1）对称轴变动，区间固定；
（2）对称轴固定，区间变动；
（3）对称轴变动，区间也变动．
这时要讨论对称轴何时在区间之内，何时在区间之外．讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，
明确函数的单调情况，从而确定函数的最值．
8、由于三次函数的导函数为我们最熟悉的二次函数，所以基本的研究思路是：借助导函数的图象
来研究原函数的图象．如借助导函数的正负研究原函数的单调性；借助导函数的（变号）零点研究原
函数的极值点（最值点）；综合借助导函数的图象画出原函数的图象并研究原函数的零点…
具体来说，对于三次函数
，其导函数为
，根的判别式
．
判别式
图象
单调性
增区间：
，
；
减区间：
增区间：
增区间：
图象
（1）当
时，
恒成立，三次函数
在
上为增函数，没有极值点，有且只有一个零
点；
（2）当
时，
有两根
，
，不妨设
，则
，可得三次函数
在
，
上为增函数，在
上为减函数，则
，
分别为三次函数
的两个不相等的极值点，那么：
① 若
，则
有且只有个零点；
② 若
，则
有个零点；
③ 若
，则
有
个零点．
特别地，若三次函数
存在极值点
，且
，则
地解析式
为
．
同理，对于三次函数
，其性质也可类比得到．
9、由于三次函数
的导函数
为二次函数，其图象
变化规律具有对称性，所以三次函数图象也应当具有对称性，其图象对称中心应当为点
，
此结论可以由对称性的定义加以证明．事实上，该图象对称中心的横坐标正是三次函数导函数的极值点．
10、对于三次函数图象的切线问题，和一般函数的研究方法相同．导数的几何意义就是求图象在该店
处切线的斜率，利用导数研究函数的切线问题，要区分“在”与“过”的不同，如果是过某一点，一定要
设切点坐标，然后根据具体的条件得到方程，然后解出参数即可．
11、恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题．
12、如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用
函数单调性求解函数的最大、最小值．
13、当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函数图象来求解，即利用数
形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定
区间上函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围．
14、两类零点问题的不同处理方法
利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且
．．
①直接法：判断-一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明
．
②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，
在每个单调区间内取值证明
．
15、利用导数研究方程根（函数零点）的技巧
（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．
（2）根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置．
（3）利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．
16、已知函数零点个数求参数的常用方法
（1）分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件
构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
（2）分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合
题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．
1．（2021•新高考Ⅰ）若过点
可以作曲线
的两条切线，则
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】法一：函数
是增函数，
恒成立，
函数的图象如图，
，即切点坐标在
轴上方，
如果
在
轴下方，连线的斜率小于0，不成立．
点
在
轴或下方时，只有一条切线．
如果
在曲线上，只有一条切线；
在曲线上侧，没有切线；
由图象可知
在图象的下方，并且在
轴上方时，有两条切线，可知
．
故选：
．
法二：设过点
的切线横坐标为，
则切线方程为
，可得
，
设
，可得
，
，
，
是增函数，
，
，
是减函数，
因此当且仅当
时，上述关于的方程有两个实数解，对应两条切线．
故选：
．
2．（2021•乙卷）设
，若
为函数
的极大值点，则
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】令
，解得
或
，即
及
是
的两个零点，
当
时，由三次函数的性质可知，要使
是
的极大值点，则函数
的大致图象如下图所示，
则
；
当
时，由三次函数的性质可知，要使
是
的极大值点，则函数
的大致图象如下图所示，
则
；
综上，
．
故选：
．
3．（多选题）（2023•新高考Ⅱ）若函数
既有极大值也有极小值，则
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】函数定义域为
，
且
，
由题意，方程
即
有两个正根，设为
，
，
则有
，
，△
，
，
，
，即
．
故选：
．
4．（多选题）（2022•新高考Ⅰ）已知函数
，则
A．
有两个极值点
B．
有三个零点
C．点
是曲线
的对称中心
D．直线
是曲线
的切线
【答案】
【解析】
，令
，解得
或
，令
，解得
，
在
上
单
调
递
增
，
在
上
单
调
递
减
，
且
，
有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项
正确，选项
错误；
又
，则
关于点
对称，故选项
正确；
假设
是曲线
的切线，设切点为
，则
，解得
或
，
显然
和
均不在曲线
上，故选项
错误．
故选：
．
5．（2022•新高考Ⅰ）若曲线
有两条过坐标原点的切线，则
的取值范围是
，
，
．
【答案】
，
，
．
【解析】
，设切点坐标为
，
，
切线的斜率
，
切线方程为
，
又
切线过原点，
，
整理得：
，
切线存在两条，
方程有两个不等实根，
△
，解得
或
，
即
的取值范围是
，
，
，
故答案为：
，
，
．
6．（2021•新高考Ⅱ）已知函数
，
，
，函数
的图象在点
，
和点
，
的两条切线互相垂直，且分别交
轴于
，
两点，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当
时，
，导数为
，
可得在点
，
处的斜率为
，
切线
的方程为
，
令
，可得
，即
，
当
时，
，导数为
，
可得在点
，
处的斜率为
，
令
，可得
，即
，
由
的图象在
，
处的切线相互垂直，可得
，
即为
，
，
，
所以
．
故答案为：
．
7．（2023•乙卷）设
，若函数
在
上单调递增，则
的取值范围是 ．
【答案】
的取值范围是
，
．
【解析】
函数
在
上单调递增，
在
上恒成立，
即
，化简可得
在
上恒成立，
而在
上
，
故有
，由
，化简可得
，
即
，
，
解答
，
故
的取值范围是
，
．
故答案为：
，
．
8．（2022•乙卷）已知
和
分别是函数
且
的极小值点和极大值点．若
，则
的取值范围是 ．
【答案】
．
【解析】对原函数求导
，分析可知：
在定义域内至少有两个变号零点，
对其再求导可得：
，
当
时，易知
在
上单调递增，此时若存在
使得
，
则
在
单调递减，
，
单调递增，
此时若函数
在
和
分别取极小值点和极大值点，应满足
，不满足题意；
当
时，易知
在
上单调递减，此时若存在
使得
，
则
在
单调递增，
，
单调递减，且
，
此时若函数
在
和
分别取极小值点和极大值点，且
，
故仅需满足
，
即：
，
解得：
，又因为
，故
综上所述：
的取值范围是
．
9．（2022•新高考Ⅱ）曲线
过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
【答案】
，
．
【解析】当
时，
，设切点坐标为
，
，
，
切线的斜率
，
切线方程为
，
又
切线过原点，
，
，
切线方程为
，即
，
当
时，
，与
的图像关于
轴对称，
切线方程也关于
轴对称，
切线方程为
，
综上所述，曲线
经过坐标原点的两条切线方程分别为
，
，
故答案为：
，
．
10．（2022•上海）已知函数
为定义域为
的奇函数，其图像关于
对称，且当
，
时，
，若将方程
的正实数根从小到大依次记为
，
，
，
，
，则
．
【答案】2．
【解析】
函数
为定义域为
的奇函数，其图像关于
对称，且当
，
时，
，
是周期为4 的周期函数，图像如图：
将方程
的正实数根从小到大依次记为
，
，
，
，
，
则
的几何意义是两条渐近线之间的距离2，
．
故答案为：2．
考点一：函数零点问题之分段分析法模型
例1．（2023·浙江宁波·高三统考期末）若函数
至少存在一个零点，则
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数
至少存在一个零点
所以
有解
即
有解
令
，
则
因为
，且由图
象可知
，所以
所以
在
上单调递减，令
得
当
时
，
单调递增
当
时
，
单调递减
所以
且当
时
所以
的取值范围为函数
的值域，即
故选：A
例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
（其中为自然对数的底数）至少
存在一个零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，即
令
，
则函数
与函数
的图象至少有一个交点
易知，函数
表示开口向上，对称轴为
的二次函数
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
作出函数
与函数
的草图，如下图所示
由图可知，要使得函数
与函数
的图象至少有一个交点
只需
，即
解得：
故选：B
例3．（2023·全国·高三校联考专题练习）已知函数
的图象上存在三个不同点，且这三个
点关于原点的对称点在函数
的图象上，其中为自然对数的底数，则实数
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，则由题意可得函数
的图象与函数
的图象有三个交点，即方程
有三个不同的实数根．由
可得
，即
，令
，则直线
与函
数
的图象有三个交点，易得
，当
或
时
，当
时
，所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，所以函数
的极小值为
，极大值为
．又
，
，所以当
时，直线
与函数
的图象有三个交点，故实数
的取值范围为
．故选B．
考点二：函数嵌套问题
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，设关于
的方程
有
个不同的实数解，则
的所有可能的值为
A．
B．或
C．
或
D．或
或
【答案】A
【解析】
在
和
上单增，
上单减，又当
时，
时，
故
的图象大致为：
令
，则方程
必有两个根，
且
，不仿设
，当
时，恰有
，此时
，有个根，
，有
个根，当
时必有
，此时
无
根，
有个根，当
时必有
，此时
有
个根，
，有个根，综上，
对任意
，方程均有个根，故选A.
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，设关于
的方程
有
个不同的实数解，则
的所有可能的值为（ ）
A．3
B．4
C．2 或3 或4 或5
D．2 或3 或4 或5 或6
【答案】A
【解析】根据题意作出函数
的图象：
，当
，函数
单调递增，
当
时，函数
单调递减，所以
；
函数
，
时单调递减，所以
，
对于方程
，令
，则
，所以
，
即方程必有两个不同的实数根
，且
，
当
时，
，3 个交点；
当
时，
，也是3 个交点；
故选：A．
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，设关于
的方程
有
个不同的实数解，则
的所有可能的值为（ ）
A．3
B．1 或3
C．4 或6
D．3 或4 或6
【答案】B
【解析】由已知，
，令
，解得
或
，则函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减，极大值
，最小值
.
f(x)的图象如下：
综上可考查方程
的根的情况如下：
（1）当
或
时，有唯一实根；
（2）当
时，有三个实根；
（3）当
或
时，有两个实根；
（4）当
时，无实根.
令
，则由
，得
，
当
时，由
，
符号情况（1），此时原方程有1 个根，
由
，而
，符号情况（3），此时原方程有2 个根，综上得共有3 个根；
当
时，由
，又
，
符号情况（1）或（2），此时原方程有1 个或三个根，
由
，又
，符号情况（3），此时原方程有两个根，
综上得共1 个或3 个根.
综上所述，
的值为1 或3.
故选B.
考点三：函数整数解问题
例7．（2023·福建龙岩·高三上杭一中校考阶段练习）若函数
没有零点，则整数
的最大值是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】C
【解析】函数
定义域为
，函数没有零点可转化为方程
没有实根，
设
，则
令
，即
①，
又函数
，
，所以
恒成立，所以
在
单调递增，
所以方程①即
，即
，
有唯一的实数解
且函数
在
上
，
单调递减，在
上
，
单调递增，
所以
有最小值
,
又
时，
，所以方程
没有实根，可得
则整数
的最大值是1.
故选：C.
例8．（2023·福建泉州·高三泉州五中校考）关于
的不等式
的解集中有且仅有两个大于
2 的整数，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意，关于
的不等式
的解集中有且仅有两个大于2 的整数，
即
的解集中有且仅有两个大于2 的整数，
构造函数
，
即
的解集中有且仅有两个大于2 的整数，
当
时，对于
，
，
即
的解集中有无数个大于
的整数，不符合题意.
所以
.
.
若
，即
，
设
，
，
设
，
，
在
上递减，且
，
所以当
时，
，
递减，
由于
，
所以当
时，
，
所以当
时，
递减，
所以
，
所以当
时，
恒成立，
即
的解集中有无数个大于
的整数，不符合题意.
所以
，即
，
解得
，所以
的取值范围是
.
故选：D
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知关于
的不等式
有且仅有两个正整数解（其中
为自然对数的底数），则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，由
，可得
（
），
显然当
时，不等式
在
恒成立，不合题意；
当
时，令
，则
在
上单调递增，
令
，则
，故
上
，
上
，
∴
在
上递增，在
上递减，
又
且
趋向正无穷时
趋向0，故
，
综上，
图象如下：
由图知：要使
有两个正整数解，则
，即
，解得
．
故选：D
考点四：唯一零点求值问题
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
有唯一零点，则负实数
A．
B．
C．
D．
或
【答案】A
【解析】函数
有唯一零点，
设
则函数
有唯一零点，
则
设
∴
为偶函数，
∵函数
有唯一零点，
∴
与
有唯一的交点，
∴此交点的横坐标为0，
解得
或
（舍去），
故选A．
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，
分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且
，若函数
有唯一零点，则正实数
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】C
【解析】由题设，
，可得：
，
由
，易知：
关于
对称.
当
时，
，则
，
所以
单调递增，故
时
单调递减，且当
趋向于正负无穷大时
都趋向于正无穷大，
所以
仅有一个极小值点1，则要使函数只有一个零点，即
，解得
.
故选：C
例12．（2023 春·辽宁·高三校联考期末）已知函数
，
分别是定义在
上的奇函数和偶函数，且
，若函数
有唯一零点，则实数
的值为（ ）
A．
或
B．1 或
C．
或
D．
或1
【答案】C
【解析】由题意，函数
，
分别是奇函数和偶函数，且
，
可得
，解得
，
则
，所以
为偶函数，
又由函数
关于直线
对称，
且函数
有唯一零点，可得
，即
，
即
，解得
或
.
故选：C.
例13．（2023 春·福建泉州·高三福建省德化第一中学校考开学考试）已知函数
有唯一零点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【解析】因为函数
，
令
，
则
为偶函数，
因为函数
有唯一零点，
所以
有唯一零点，
根据偶函数的对称性，则
，
解得
，
故选：B
考点五：等高线问题
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为
的函数
的图象关于
对称，当
时，
，若方程
有四个不等实根
，
，
，
时，都有
成立，则实数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】作出函数
的图象，如图，作直线
，它与
图象的四个交点的横坐标依次为
，
，
，
，
因为函数
的图象关于
对称，所以
，
，即
，且
，
显然
，不等式
变形为
，
，
，
所以
，
由勾形函数性质知
在
时是增函数，所以
，
令
，则
，
，
，
当
时，
，
单调递减，所以
，
所以
，即
的最小值是
．
故选：A．
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
（其中是自然对数的底
数），若关于
的方程
恰有三个不等实根
，且
，则
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意设
，根据方程
恰有三个不等实根，
即
必有两个不相等的实根
，不妨设
，则
，
作出
的图象，函数
与
三个不等实根
，且
，
那么
，可得
，
，
所以
，
构造新函数
当
时，
在
单调递减；
当
时，
在
单调递增；
∴当
时，
取得最小值为
，即
的最小值为
；
故选：A
例16．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知函数
，
（其中
e 是自然对数的底数），若关于x 的方程
恰有三个不同的零点
，且
，
则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
解析式，在
上
单调递增且值域为
，在
上
单调递增且值域为
，
函数
图象如下：
所以，
的值域在
上任意函数值都有两个x 值与之对应，值域在
上任意函数值都有一个x 值
与之对应，
要使
恰有三个不同的零点
，则
与
的交点横坐标一个在
上，另一个
在
上，
由
开口向下且对称轴为
，
由上图知：
，此时
且
，
，
结合
图象及
有
，
，则
，
所以
，且
，
令
且
，则
，
当
时
，
递增；当
时
，
递减；
所以
，故
最大值为
.
故选：A
考点六：分段函数零点问题
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，若函数
在
内恰有5 个零点，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，对任意的
，
在
上至多
个零点，不合乎题意，
所以，
.
函数
的对称轴为直线
，
.
所以，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，且
.
①当
时，即当
时，则函数
在
上无零点，
所以，函数
在
上有个零点，
当
时，
，则
，
由题意可得
，解得
，此时
不存在；
②当
时，即当
时，函数
在
上只有一个零点，
当
时，
，则
，则函数
在
上只有个零点，
此时，函数
在
上的零点个数为
，不合乎题意；
③当
时，即当
时，函数
在
上有
个零点，
则函数
在
上有个零点，
则
，解得
，此时
；
④当
时，即当
时，函数
在
上有个零点，
则函数
在
上有
个零点，
则
，解得
，此时，
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
故选：D.
例18．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在
上的函数
若函数
恰有2 个零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，故
，
则函数
恰有2 个零点等价于
有两个不同的解，
故
的图象有两个不同的交点，
设
又
的图象如图所示，
由图象可得两个函数的图象均过原点，
若
，此时两个函数的图象有两个不同的交点，
当
时，
考虑直线
与
的图象相切，
则由
可得
即
，
考虑直线
与
的图象相切，
由
可得
，则
即
.
考虑直线
与
的图象相切，
由
可得
即
，
结合图象可得当
或
时，两个函数的图象有两个不同的交点，
综上，
或
或
，
故选：B.
例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，则函数
的零点
个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解析】令
，
当
时，
且递增，此时
，
当
时，
且递减，此时
，
当
时，
且递增，此时
，
当
时，
且递增，此时
，
所以，
的零点等价于
与
交点横坐标对应的
值，如下图示：
由图知：
与
有两个交点，横坐标
、
：
当
，即
时，在
、
、
上各有一个解；当
，即
时，在
有一个解.
综上，
的零点共有4 个.
故选：B
考点七：函数对称问题
例20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
（
，为自然对数的底数）与
的图象上存在关于
轴对称的点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
上一点
，
，且
关于
轴对称点坐标为
，
在
上，
有解，即
有解．
令
，则
，
，
当
时，
；当
时，
，
在
上单调递减；在
上单调递增
，
，
，
有解等价于
与
图象有交点，
．
故选：B
例21．（2023·上海·高三专题练习）已知函数f（x）＝x2＋ex－
（x<0）与g（x）＝x2＋ln（x＋a）的
图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
关于
轴对称得到的函数为
，依题意可知
与
在
上有公共点，由
得
，
．
对于函数
，在
上单调递减，且
．
对于函数
，在
上单调递增．
当
时，
的图像向右平移
个单位得到
，与
图像在
上必有个交
点．
当
时，
的图像向左平移
个单位得到
，要使
与
图像在
上有交点，则需当
时（也即
轴上），
的函数值小于
的函数值，即
，解得
．
综上所述，
的取值范围是
．
故选：B．
例22．（2023·广西钦州·高一校考阶段练习）若直角坐标平面内的两点
、
满足条件：①
、
都在函
数
的图象上；②
、
关于原点对称，则称点对
是函数
的一对“友好点对”（点
对
与
看作同一对“友好点对”）．已知函数
，则此函数的“友好点
对”有（ ）
A．4 对
B．3 对
C．2 对
D．1 对
【答案】C
【解析】由题意，设点
，则
的坐标为
，
因为
，
所以此函数的“友好点对”的个数即方程
在
时的解的个数，
作
与
的图像如图所示，
两函数图像有两个交点，所以此函数的“友好点对”有2 对
故选：C
考点八：零点嵌套问题
例23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
有三个不同的零点
.其
中
，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，则
，
故当
时，
，
是增函数，
当
时，
，
是减函数，
可得
处
取得最小值
，
，
，画出
的图象，
由
可化为
，
故结合题意可知，
有两个不同的根，
故
，故
或
，
不妨设方程的两个根分别为
，
，
①若
，
，
与
相矛盾，故不成立；
②若
，则方程的两个根
，
一正一负；
不妨设
，结合
的性质可得，
，
，
，
故
又
，
，
．
故选：A．
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
有三个不同的零点
（其中
），则
的值为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，构造
，求导得
，当
时，
；当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，且
时，
，
时，
，
，可画出函数
的图象（见下图），要使函数
有三个不同的零点
（其中
），则方程
需要有两个不同的根
（其中
），则
，解得
或
，且
，
若
，即
，则
，则
，且
，
故
，
若
，即
，由于
，故
，故
不符合题意，舍去.
故选A.
例25．（2023·辽宁·校联考二模）已知函数
有三个不同的零点
，
，
，且
，则
的值为（ ）
A．81
B．﹣81
C．﹣9
D．9
【答案】A
【解析】
∴
∴
令
，
，则
，
∴
令
，解得
∴
时，
，单调递减；
时，
，单调递增；
∴
，
，
∴a
3
﹣
∴
.
设关于t 的一元二次方程有两实根
，
，
∴
，可得
或
.
∵
，故
∴
舍去
∴
6，
.
又∵
，当且仅当
时等号成立，
由于
，∴
，
（不妨设
）.
∵
，可得
，
，
.
则可知
，
.
∴
.
故选：A.
考点九：函数零点问题之三变量问题
例26．（2023·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习）已知函数
，若函数
有三个不同的零点
，且
，则
的取值范围为
A．(0，1]
B．(0，1)
C．(1，+∞)
D．[1，+∞)
【答案】C
【解析】因为函数
有三个不同的零点
以及
，
所以根据函数
的解析式可知，
在区间
上，
在区间
上，
在区间
上，即
，
由
可知
，即
，
因为
以及
在区间
上，
所以
，即
，故选C．
例27．（2023·新疆阿克苏·高三新疆维吾尔自治区阿克苏地区第二中学校考阶段练习）若存在两个不相等
正实数x,y,使得等式x+a(y-2ex)·(ln y-ln x)=0 成立,其中e 为自然对数的底数,则实数a 的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．(-∞,0)
【答案】A
【解析】由题意知,a=
.
设
=t(t>0,且t≠1),
则a=
=(2e-t)ln t.
令f(t)=(2e-t)ln t,f(t)≠0,
则f'(t)=
-(1+ln t).
令
=1+ln t,得t=e.由数形结合可知,当t>e 时,f'(t)<0;当0<t<e 时,f'(t)>0.所以f(t)≤e,且f(t)≠0,所以0<
≤e 或
<0,解得a<0 或a≥
.
例28．（2023·全国·高三专题练习）若存在两个正实数
、
，使得等式
成立，
其中为自然对数的底数，则实数
的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
得
，设
，
，
则
，则
有解，设
，
为增函数，
，
当
时
，
递增，当
时
，
递减，
所以当
时函数
取极小值，
，即
，
若
有解，则
，即
，
所以
或
，
故选：B．
考点十：倍值函数
例29．（2023 春·浙江衢州·高二校联考期中）设函数
的定义域为
，若存在闭区间
，使得函
数
满足：①
在
上是单调函数；②
在
上的值域是
，则称区间
是函数
的“和谐区间”．下列结论错误的是（ ）
A．函数
存在“和谐区间”
B．函数
不存在“和谐区间”
C．函数
存在“和谐区间”
D．函数
（
且
）不存在“和谐区间”
【答案】D
【解析】对于选项A，存在区间
，
在
上是单调增函数，
在
上的值域是
，故
A 正确；
对于选项B，假设存在区间
，函数
在区间
上为增函数，
由
在
上的值域是
，可得
，
解得
，这与
矛盾，故假设错误，所以选项B 正确；
对于选项C，由函数
，
可得
，
取区间
，在此区间上
，所以函数
在区间
上为增函数．
因为
，
，所以函数在区间
上的值域为
，所以选项C 正确；
对于选项D，不妨设
，因为内层函数
为增函数，外层函数
也为增函数，
所以，函数
在其定义域内为增函数，
假设函数
存在“和谐区间”
，则由
得
，
所以
、
是方程
的两个根，
即
、
是方程
的两个根．
令
，可得
，
，
设关于的二次方程
的两根分别为
、
，则
，则
、
，
即关于的二次方程
有两个正根，故函数
存在“和谐区间”，D 错.
故选：D.
例30．（2023·上海金山·高一上海市金山中学校考期末）设函数
的定义域为
，若存在闭区间
，使得
函数满足：（1）
在
上是单调函数；（2）
在
上的值域是
，则称
区间
是函数
的“和谐区间”，下列结论错误的是
A．函数
存在“和谐区间”
B．函数
不存在“和谐区间”
C．函数
存在“和谐区间”
D．函数
（
，
）不存在“和谐区间”
【答案】D
【解析】函数中存在“和谐区间”,则①
在
内是单调函数；②
或
,若
,若存在“和谐区间”
,则此时函数单调递增,则由
,得
存在“和谐区间”
正确.若
,若存在“和谐区
间”
,则此时函数单调递增,则由
,得
,即
是方程
的两个不等的实根,构建函
数
,所以函数在
上单调减,在
上单调增,
函数在
处取
得极小值，且为最小值,
,无解,故函数不存在“和谐区间”,
正确.若函数
,
,若存在“和谐区间”
,
则由
,得
,即存在“和谐区间”
,
正确.若函数
,不妨设
,则函数定义域内为单调增函数,若存在“和谐区间”
, 则
由
,得
,即
是方程
的两个根,即
是方程
的两个根,由于该方程有两个不等的正根，故存在“和谐区间”
,
结论错误,故选D.
考点十一：函数不动点问题
例31．（2023·全国·高三专题练习）设函数
（
为自然对数的底数），若曲线
上存在点
使得
，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】法一：由题意可得，
，
而由
可知
，
当
时，
＝
为增函数，
∴
时，
．
∴ 不存在
使
成立，故A，B 错；
当
时，
＝
，
当
时，只有
时
才有意义，而
，故C 错．故选D．
法二：显然，函数
是增函数，
，由题意可得，
，而由
可知
，
于是，问题转化为
在
上有解．
由
，得
，分离变量，得
，
因为
，
，
所以，函数
在
上是增函数，于是有
，
即
，应选D．
例32．（2023·全国·高二专题练习）设函数
（
），为自然对数的底数，若曲线
上存在点
，使得
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵曲线
上存在点
∴
函数
（
）在
上是增函数，根据单调性可证
即
在
上有解，分离参数，
，
，根据
是增函数可知，
只需
故选A.
例33．（2023·江西南昌·高三专题练习）设函数
（
，为自然对数的底数），若曲
线
上存在
使得
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，可得
，其中
是函数
的反函数，若曲线
上存在
使得
，因为函数
（
，为自然对数的底数），所以
，
，因为
，所以
，因此命题“若曲线
上存在
使
成立”转化为“存在
，使
”，即
的图像与函数
的图像在
上有交点，∵
的图像与
的图像关于直线
对称，∴
的
图像与函数
的图像的交点必定在直线
上，由此可得，
的图像与直线
的图像在
上
有交点，根据
，化简整理得
，记
，在同一坐标系内
作出它们的图像，可得
，所以
，解得
，即实数
的取值范围为
，故B，C，D 错误.
故选：A．
考点十二：函数的旋转问题
例34．（2023·全国·高三专题练习）设
是含数1 的有限实数集，
是定义在
上的函数，若
的图
象绕原点逆时针旋转
后与原图象重合，则在以下各项中
的取值只可能是
A．
B．1
C．
D．0
【答案】B
【解析】由题意可得：
问题相当于圆上由6 个点为一组，每次绕原点逆时针旋转
个单位后与下一个点会重合．
设
处的点为
，
的图象绕原点逆时针旋转
后与原图象重合，
旋转后
的对应点
也在
的图象上，
同理
的对应点
也在图象上，
以此类推，
对应的图象可以为一个圆周上6 等分的6 个点，
当
（1）
时，即
，此时
，不满足函数定义；
当
（1）
时，即
，此时
，不满足函数定义；
当
（1）
时，即
，此时
，
，
，
，不满足函数定义；
故选
．
例35．（2023·上海杨浦·高三上海市控江中学校考阶段练习）
是定义在
上的函数，且
，若
的图像绕原点逆时针旋转
后与原图像重合，则在以下各项中，
的可能取值只能是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】由题意得到：问题相当于圆上由12 个点为一组，每次绕原点逆时针旋转
个单位后与下一个
点会重合．
我们可以通过代入和赋值的方法当f（
）= ，，3 时，
此时得到的圆心角为，
，
，
然而此时x=0 或者x=
时，都有2 个y 与之对应，
而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y，
因此只有当
=
，此时旋转
，
此时满足一个x 只会对应一个y，
故答案为：C
例36．（2023·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考期末）设D 是含有数1 的有限实数集，
是定义在D
上的函数，若
的图象绕原点逆时针旋转90°与原图象重合，则
的值一定不可能为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】D
【解析】对于
上一点
绕原点逆时针旋转90°后对应点为
，也在
图象上，
所以，
绕原点逆时针旋转90°后对应点为
，且
绕原点逆时针旋转90°后对应点为
，均在
图象上，
所以，在含有数1 的有限实数集D 中
，
若
，则有
，若
，则有
，
若
，则有
，若
，则有
，
显然当
时有2 个y 与之对应，不符合函数的定义，
的值一定不可能为1.
故选：D.
考点十三：构造函数解不等式
例37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
是定义在
的奇函数，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，
当
时，
，
当
时，
，
在
上单调递减；
又
为
的奇函数，
，即
为偶函数，
在
上单调递增；
又由不等式
得
，
当
，即
时，不等式可化为
，即
，
由
在
上单调递减得
，解得
，故
；
当
，即
时，不等式可化为
，即
，
由
在
上单调递增得
，解得
，故
；
综上所述，不等式
的解集为：
．
故选：D．
例38．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在
上的函数
满足
为
的导函数，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，所以
，因为
，所以
，化简得
，
所以
是
上的奇函数；
，
因为当
时，
，
所以当
时，
，从而
在
上单调递增，又
是
上的奇函数，所以
在
上单调递增；
考虑到
，由
，
得
，即
，
由
在
上单调递增，得
解得
，
所以不等式
的解集为
，
故选：B.
例39．（2023·湖北孝感·高三校联考阶段练习）对于问题“求证方程
只有一个解”，可采用如
下方法进行证明“将方程
化为
，设
，因为
在
上单
调递减，且
，所以原方程只有一个解
”.类比上述解题思路，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由不等式
，
得
.
设函数
，则
，
所以
在
上单调递增.
因为
，
所以
.解得
或
.
故选：A.
例40．（2023·全国·高三专题练习）
是定义在
上的函数，满足
，
，
则下列说法正确的是（ ）
A．
在
上有极大值
B．
在
上有极小值
C．
在
上既有极大值又有极小值
D．
在
上没有极值
【答案】D
【解析】根据题意，
，故
，
又
，得
，故
，
令
，
则
，
即
，
记
，
所以
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上递减，在
上递增，
所以
，即
，即
，
所以
在
上单调递增，故
在
上没有极值.
故选项ABC 说法错误，选项D 说法正确.
故选：D
考点十四：导数中的距离问题
例41．（2023·浙江·高三专题练习）已知函数
，若对任意的正实数
t，
在R 上都是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意
在
R 上恒成立，其中
，
整理得
对
恒成立，
所以
对
恒成立，
，
令
，
，
时，
，
递减，
时，
，
递增，
所以
，
所以
的最小值是16，
所以
．
故选：D．
例42．（2023·全国·高三专题练习）若对任意的正实数，函数
在
上都是增
函数，则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数
在
上都是增函数，
所以
恒成立，
即对任意的实数
，
在
上恒成立，
所以，
，
，
故只需
的最小值．
令
，
，
由于
时，
；
时，
，即
时，
取得最小
，
故选：A
例43．（2023·全国·高三专题练习）已知实数
满足
，
，则
的最
小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】D
【解析】
，
令
，则
，
其几何意义为点A
与点
之间距离的平方，
设
，则点A 和B 分别在
和
的图像上，如下图，
显然
和
互为反函数，其图像关于y=x 对称，
则A 与B 的最短距离必然在直线y=x 的垂线上，点A 与点B 关于y=x 对称，
不妨设
，则
，
，设
，
，
当
，
，在x=1 处取得最小值
，
即
，∴当
取最小值时，即是
取得最小值，
的最小值为
；
故选：D.
例44．（2023·全国·高三专题练习）已知点
为函数
的图象上任意一点，点
为圆
上任意一点，则线段
的长度的最小值为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】依题意，圆心为
，设
点的坐标为
，由两点间距离公式得
，设
，
，令
解得
，由于
，可知当
时，
递增，
时，
，
递减，故当
时取得极大值也是最大值为
，故
，故
时，
且
，所
以
，函数单调递减.当
时，
，
，
当
时，
，即
单调递增，且
，即
，
单调
递增，而
，故当
时，
函数单调递增，故函数在
处取得极小值也是最小值
为
，故
的最小值为
，此时
.故选A.
例45．（2023 春·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第四中学校考期中）直线
分别与函数
，
交于
，
两点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，且
在
上递增；
，且
在
上递增.
所以
，且
都有唯一解，
，
，
构造函数
，
所以在区间
递减；在区间
递增.
所以
的最小值为
.
所以
的最小值为
.
故选：A
考点十五：导数的同构思想
例46．（2023·全国·高三专题练习）若关于
的不等式
在
上恒成立，
则实数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由已知可得
，
，由
可得
，
所以，
，
构造函数
，其中
，则
，
故函数
在
上为增函数，由
可得
，
所以，
，即
，
令
，其中
，则
.
当
时，
，此时函数
单调递减，
当
时，
，此时函数
单调递增，则
，
，解得
，故实数
的最大值为
.
故选：A.
例47．（2023·上海·高三专题练习）若关于x 的不等式
对
恒成立，则实数a 的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题设可得
，令
，则
在
上恒成立，
由
，在
上
；在
上
；
所以
在
上递增；在
上递减，且
，
在
上
，
上
，而
，
所以，只需
在
上恒成立，即
恒成立，
令
，则
，即
在
上递增，故
.
故a 的取值范围为
.
故选：B
例48．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式
对
恒成立，则实数a 的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
所以
，
即
，
构造函数
，
所以
，
令
，解得：
，令
，解得：
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
与1 的大小不定，但当实数a 最小时，只需考虑其为负数的情况，此时
因为当
时，
单调递减，
故
，
两边取对数得：
，
令
，则
，
令
得：
，令
得：
，
所以
在
单调递增，在
单调递减，
所以
故a 的最小值是
．
故选：C
考点十六：不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法
例49．（2023·全国·模拟预测）已知函数
，对于
恒成立，则
满足题意的a 的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数
，对于
恒成立，
所以
，对于
恒成立，
所以
，对于
恒成立，
设
，则
为
上的增函数，所以
，
则
，对于
恒成立，
设
，则
，
当
时，
恒成立，所以
在
上为增函数，
因为
，所以存在
，使得
，不满足
，对于
恒成立；
当
时，令
，得
，
所以当
时，
，
为减函数，
当
时，
，
为增函数，
所以
，则
，
设
，则
，
令
，得
，
当
时，
，
为增函数，
当
时，
，
为减函数，
所以
，当且仅当
时，等号成立，
又
，所以
，即
.
综上所述：
的取值集合为
.
故选：D
例50．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知函数
对任意的
，
恒成
立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，且
恒成立，
则
在
上恒成立，令
，
则
，令
，则
，
所以
在
上单调递增，
又因为
，
，
所以存在
，使得
，
当
时，
，也即
，此时函数
单调递减；
当
时，
，也即
，此时函数
单调递增；
故
，
因为
，所以
，
则
，令
，则
，所以
在
上单
调递增，则有
，
所以
，
所以
，则
，
故选：
.
例51．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）若存在
，使得对于任意
，不
等式
恒成立，则实数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，其中
，则
，
当
时，
，则函数
在
上单调递增，且
，
令
，则
，
因为函数
在
上单调递增，
，
，
所以，存在
，使得
，
当
时，
，此时函数
单调递增，
当
时，
，此时函数
单调递减，如下图所示：
由题意得
，
直线
恒位于
的图象上方，
的图象下方，
代表直线
在
轴上的截距，当直线变化时观察得当直线过
且与曲线
相切时，
最小．
设切点为
，则
，
整理可得
，
令
，则
，
，
而当
时，
，
，
所以，
，
所以当
时，
，则函数
在
上单调递增，
所以
有唯一的零点，
所以
，此时直线方程为
，故
.
故选：C.
考点十七：三次函数问题
例52．（2023·全国·高三专题练习）函数
的图象关于点
成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数．已知任意一个一元三次函数的图象均为中心对称图形，若
，则
的值为（ ）
A．－4
B．－2
C．0
D．2
【答案】A
【解析】设
的对称中心为
，
设
，
则
为奇函数，由题可知
，且
，
所以
，即
，
则
，
整理得
，
所以
，解得
，
所以函数
的对称中心为
；
所以
，
．
故选：A．
例53．（2023 秋·北京·高三校考阶段练习）如图是某高山滑雪场的一段滑道的示意图，图中该段滑道对应
的曲线可以近似看作某个三次函数图像的一部分，A，B 两点分别是这段滑道的最高点和最低点（在这个三
次函数的极值处）.在A，B 两点之间的滑道的最陡处，滑道的坡度为
（坡度即坡面与水平面所成角的正
切值），经测量A，B 两点在水平方向的距离为90m，则它们在竖直方向上的距离约为（ ）
A．20m
B．30m
C．45m
D．60m
【答案】B
【解析】把函数图象平移到
在
轴，
在
轴上，如图，新函数计算出的竖直方向上的距离与原函数结
果相同，
由题意题中三次函数
的导函数是二次函数，记为
，
的最小值是
，设
，则
，
，
，
因此可设
，
，
，
，
所以它们在竖直方向上的距离约为30 m，
故选：B．
例54．（2023·全国·高三专题练习）一般地，对于一元三次函数
，若
，则
为三
次函数
的对称中心，已知函数
图象的对称中心的横坐标为
（
），且
有
三个零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由函数
求导得：
，则
，
由
解得
，则有
，
，当
或
时，
，当
时，
，
则
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
因此，当
时，
取得极大值
，当
时，
取得极小值
，
因函数
有三个零点，即函数
的图象与x 轴有三个公共点，由三次函数图象与性质知，
，
于是得
，解得
，
综上得：
，
实数a 的取值范围是
.
故选：A.
考点十八：切线条数、公切线、切线重合与垂直问题
例55．（2023 春·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知函数
．则下列四个说法
中正确的个数为（ ）
①曲线
上存在三条互相平行的切线；
②函数
有唯一极值点；
③函数
有两个零点；
④过坐标原点O 可作曲线
的切线．
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【解析】
，
，
，
则当
或
，
，
，在
，
，
.
对①，
大致图象如图所示，可知方程
可能有三个根，即存在三个极值点，故存在三条互相
平行的切线，①正确；
对②，结合
单调性及大致图象，
，
则存在
，使得
，则当
；
，故②正确；
对③，
，则
，则
大致图象如图，故③正确；
④设过原点
的直线
与
相切于点
，则有
，
，
，
消元整理可得
，易知此方程无解，故④错误．
综上，正确的是①②③．
故选：B.
例56．（2023 春·全国·高三校联考开学考试）已知过点
不可能作曲线
的切线．对于满足上述
条件的任意的b，函数
恒有两个不同的极值点，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
是曲线
上的任意一点，
，
所以在点
处的切线方程为
，
代入点
得
，
，
由于过点
不可能作曲线
的切线，
则直线
与函数
的图象没有公共点，
，
所以函数
在区间
上导数大于零，函数单调递增；
在区间
上导数小于零，函数单调递减，
所以当
时，函数
取得极大值也即是最大值
，
则
．
对于满足此条件的任意的b，函数
恒有两个不同的极值点，
等价于
恒有两个不同的变号零点，
等价于方程
有两个不同的解．
令
，则
，
，
即直线
与函数
的图象有两个不同的交点．
记
，则
，
记
，则
，
所以
在
上单调递增．
令
，得
．
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，
上单调递增．
所以
．
所以
．因为
，所以
，所以
．
即实数a 的取值范围是
．
故选：A
例57．（2023 秋·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）若函数
的图像上存在两个不同的点
，使得在这两点处的切线重合，则称
为“切线重合函数”，下列函数中不是“切线重合函数”的
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A，
显然是偶函数，
，
当
时，
，单调递减，当
时，
单调递增，
当
时，
，单调递减，当
时，单调递增；
在
时，
，都取得极小值，由于是偶函数，在这两点的切线是重合的，故A 是“切线重
合函数”；
对于B，
是正弦函数，显然在顶点处切线是重合的，故B 是“切线重合函数”；
对于C，考察
两点处的切线方程，
，
两点处的切线斜率都等于1，在A 点处的切线方程为
，化简得：
，
在B 点处的切线方程为
，化简得
，显然重合，
C 是“切线重合函数”；
对于D，
，令
，则
，
是增函数，不存在
时，
，所以D 不是“切线重合函数”；
故选：D.
例58．（2023 秋·天津滨海新·高三大港一中校考阶段练习）已知函数
，其导函数为
，
设
，下列四个说法：
①
；
②当
时，
；
③任意
，都有
；
④若曲线
上存在不同两点
，
，且在点
，
处的切线斜率均为
，则实数
的取值范围为
.
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．3 个
B．2 个
C．1 个
D．0 个
【答案】B
【解析】对于①，函数
，
，
，
当
时，取到等号，故①不正确；
对于②，
，设
，
，所以
在
恒成立，
则
在
上单调递减，故
，即
，
又
，则
，所以
，可得
令
，所以
在
恒成立，
则
在
上单调递减，故
，即
，所
以
，
综上，
恒成立，故②正确；
对于③，设
，则
，
因为
，所以
，又
，设
，
所以
，又
，所以
，则
恒成立，
所以
在
上单调递增，则
，
所以
，
单调递减，则
恒成立，
所以
，即
，故③正确；
对于④，因为
，所以
，令
，则
得
，
所以
，
，
单调递增，
，
，
单调递减，
所以
，又
得
，且
则可以得
的图象如下：
因为曲线
上存在不同两点
，
，且在点
，
处的切线斜率均为
，所以
，
则
与
应存在两个不同的交点，所以
，故④不正确.
综上，②③正确，①④不正确.
故选：B.
例59．（2023·全国·高三专题练习）若函数
的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
因为函数
的图象上存在两条相互垂直的切线，
不妨设函数
在
和
的切线互相垂直，
则
，即
①，
因为a 一定存在，即方程①一定有解，所以
，
即
，解得
或
，
又
，所以
或
，
，
所以方程①变为
，所以
，故A，B，D 错误.
故选：C.
考点十九：任意存在性问题
例60．（2023·全国·高三专题练习）某同学对函数
进行研究后，得出以下结论，其中正确的
有（ ）个.
（1）函数
的图像关于y 轴对称； （2）对定义域中的任意实数
的值，恒有
成立；（3）
函数
的图像与x 轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等；（4）对任意常数
，存在
常数
，使函数
在
上单调递减，且
.
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】对于（1）：
∵函数
的定义域为
，
，
∴
为偶函数，图象关于
轴对称，故（1）正确.
对于（2）：
由（1）知
为偶函数，当
时，
∴
令
，
∵
，∴
，所以
在
上单调递增，
∴
，即
恒成立.故（2）正确.
对于（3）：
函数
的图象与
轴的交点坐标为
，
交点
与
的距离为
，其余任意相邻两点的距离为
，故（3）错误.
对于（4）：
，
，
当
，
时，
，
，每段区间的长度为
，
所以对任意常数
，存在常数
，
，
，
使
在
上单调递减且
，故（4）正确.
故选：C.
例61．（2023·全国·高三专题练习）对于任意
都有
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，令
，
则
，所以
在
上单调递减，在
上单调递减，
所以
，所以
，
所以
转化为：
，令
，
，
①当
时，
，所以
在
上单调递增，所以
，所以
.
②当
时，您
，所以
，
（i）当
即
时，
，所以
在
上单调递增，
，所以
.
(ii)当
即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
所以
，所以
.
综上，
的取值范围为：
.
故选：B.
例62．（2023·全国·高三专题练习）已知
且
，若任意
，不等式
均恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题设，
，令
，则
恒成立，
令
，则
，
，
当
时
，
递减；当
时
，
递增；
所以
，故
递增，
当
，即
时，
，不合题意；
当
，即
时，要使
恒成立，则
恒成立，
令
且
，则
，
，
当
时
，
递减；当
时
，
递增；
所以
，故
在
上递增，而
，
此时
时
，即
恒成立.
综上，
的取值范围为
.
故选：A
例63．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）已知函数
（
，
）在区间
上总存在零点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设为函数
在区间
上的零点，
因为函数
（
，
）在区间
上总存在零点，
所以
，即
，
，
则点
是直线
上的点，
所以
（
），
设
（
），
则
设
，
，
则
，
，
令
，
，
则
，
当
时，
，所以
在
上是增函数，
则
，即当
时，
，
所以
在
是增函数，则
，
即
时，
，所以
在
上是增函数，
则
，
综上：
的最小值为
，
故选：A.
考点二十：双参数最值问题
例64．（2023·全国·高三专题练习）已知在函数
，
，若对
，
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意，
令
，
则
，
恒成立，即
恒成立，即
令
令
，即
在
单调递增；
令
，即
在
单调递减.
令
令
，即
在
单调递增；
令
，即
在
单调递减；
故选：B
例65．（2023·全国·高三专题练习）已知实数
，
满足
，则
的值
为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，
，则
，
令
，
(m)=
m<1,
(m)>0, m>1,
(m)<0,则
在
单调递增
单调递
减
，
令
，
则
单调递减，
单调递
增
由题意
，
，
，
，
,故x+y=2
故选A
例66．（2023 春·河南南阳·高二统考期中）已知e 为自然对数的底数，a，b 为实数，且不等式
对任意的
恒成立．则
的最大值为______．
【答案】
【解析】依题意：不等式
对任意的
恒成立，
即
①对任意的
恒成立，
在
上递增，则
，
由①，令
得
，整理得
.
当
时，
，
此时，①即
，
只需
对任意的
恒成立，
令
，
所以
在区间
递增；在区间
递减，
所以
.
故答案为：
考点二十一：切线斜率与割线斜率
例67．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，在函数
图象上任取两
点
，若直线
的斜率的绝对值都不小于，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
在
单调递减，
设
.设
则
在
上单调递减，则
对
恒成立，则
对
恒成立， 则
，解之得
或
.又
，所以
.
例68．（2023 春·全国·高三校联考阶段练习）已知函数
，在函数
图
象上任取两点
，若直线
的斜率的绝对值都不小于，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，在
单调递减
设
，则
设
，则
在
上单调递减
则
对
恒成立
则
对
恒成立，
因为
，
则
，即
解得
或
，又
，所以
.
故选：B
例69．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，在其图象上任取两个不同的点
、
，总能使得
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
以及
，
，
所以，
，
构造函数
，则
，
所以，函数
在
上为增函数，
由于
，则
对任意的
恒成立，
由
，可得
，
当
时，则
，当且仅当
时，等号成立，
所以，
，因此实数
的取值范围是
.
故选：B.
考点二十二：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）
例70．（2023·湖北·高一校联考阶段练习）设函数
，若对任意的实数a，b，总存在
使得
成立，则实数
的最大值为（ ）
A．－1
B．0
C．
D．1
【答案】C
【解析】由已知得
设构造函数
满足
，即
，解得
，
则
，令
，
则函数
可以理解为函数
与函数
在横坐标相等时，纵坐标的竖直距离，
∵
，且
（当且仅当
时取等号），
∴若设直线的方程为
，直线
的方程为
，由此可知当
，直线
位于直线
和直线
中间时，纵坐标的竖直距离取得最大值中的最小值，故
，
所以实数
的最大值为
.
故选：
.
例71．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，若对任意的实数a，b，总存在
，使得
成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由存在
，使得
成立，故
，
又对任意的实数a，b，
，则
，
可看作横坐标相同时，函数
与函数
图象上的纵向距离的最大值中的最小值，
又
，作示意图如图所示：
设
，则直线
的方程
，设
与
相切，
则
，得
，有
，
得
或
，由图知，切点
，则
，
当直线
与，
平行且两直线距离相等时，即恰好处于正中间时，
函数
与
图象上的纵向距离能取到最大值中的最小值，
此时
，
，故
.
故选：B
例72．（2023·全国·高三专题练习）设函数
，当
时，记
的最大值
为
，若
恒成立，则
的最大值为（ ）
A．e
B．
C．0
D．
【答案】C
【解析】∵
取绝对值后有以下四种情况:
，
，
，
设
,故
在
恒成立,
∴函数
在
上单调递增,函数
在
上单调递减,
又∵函数
在
上为增函数,
所以函数
，
在
上为增函数,
函数
，
在
上为减函数,
∴
，
，
，
∴
∴
，
∴
∵
恒成立，
∴
，解得
.
∴
的最大值为
故选：C.
例73．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，当
时设
的最大值为
，则当
取到最小值时
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．
【答案】A
【解析】
，
当
时设
的最大值，在端点处或最低点处取得
，最小值为2
，最小值为
，最小值为4.5
，最小值
综上可得，
取到最小值时
0.
故选：A
考点二十三：两边夹问题和零点相同问题
例74．（2023·全国·高三专题练习）若存在正实数x，y 使得不等式
成立，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】记
，
当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
．
记
，
当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
．
由题意
，
又因为
，所以
，
故
．
故选：D.
例75．（2023·全国·高三专题练习）已知实数
，
满足
，则
的值
为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，
，则
，
令
，
(m)=
m<1,
(m)>0, m>1,
(m)<0,则
在
单调递增
单调
递减
，
令
，
则
单调递减，
单调递
增
由题意
，
，
，
，
,故x+y=2
故选A
例76．（2023·江苏·高一专题练习）若不等式
对任意实数
恒成立，则
（
）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【解析】当
时，即
时，
恒成立，
所以
恒成立，所以
且
；
当
时，即
时，
恒成立
所以
或
恒成立，所以
且
，
综上，
故选：D.
考点二十四：函数的伸缩变换问题
例77．（2023 春·四川·高一阶段练习）定义域为
的函数
满足
，当
时，
，若当
时，函数
恒成立，则实数的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当x∈[0,1)时，f(x)=x2−x∈[−
,0]当x∈[1,2)时，f(x)=−(0.5)|x−1.5|∈[−1,−
]，
∴当x∈[0,2)时，f(x)的最小值为−1，
又∵函数f(x)满足f(x+2)=2f(x)，
当x∈[−2,0)时，f(x)的最小值为
，
当x∈[−4,−2)时，f(x)的最小值为
，
若x∈[−4,−2]时，
恒成立，
∴
恒成立．
即t2−4t+3⩽0，
即(t−3)(t−1)⩽0，
即1⩽t⩽3，
即t∈[1,3]，
本题选择D 选项.
例78．（2023 秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）定义域为
的函数
满足
，
当
时，
.若
时，
恒成立，则实数的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当x∈(2,3),则x−2∈(0,1)，
则f(x)=2f(x−2)−1=2(x−2)2−2(x−2)−1，
即为f(x)=2x2−10x+11，
当x∈[3，4]，则x−2∈[1，2]，
则f(x)=2f(x−2)−1=
.
当x∈(0,1)时,当x=
时,f(x)取得最小值,且为−
；
当x∈[1,2]时,当x=2 时,f(x)取得最小值,且为
；
当x∈(2,3)时,当x=
时,f(x)取得最小值,且为−
；
当x∈[3,4]时,当x=4 时,f(x)取得最小值，且为0.
综上可得,f(x)在(0,4]的最小值为−
.
若x∈(0,4]时,
恒成立，
则有
.
解得
.
当x∈(0,2)时,f(x)的最大值为1,
当x∈(2,3)时,f(x)∈[−
,−1)，
当x∈[3,4]时,f(x)∈[0,1]，
即有在(0,4]上f(x)的最大值为1.
由
，即为
，解得
，
综上，即有实数t 的取值范围是
.
故选：C.
例79．（2023·全国·高三专题练习）定义域为
的函数
满足
，当
时，
，若当
时，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为当
时，不等式
恒成立，所以
，
当
时，
当
时，
，当
时，
，因此当
时，
，选B.
考点二十五：V 型函数和平底函数
例80．（浙江省衢州市2022-2023 学年高二下学期数学试题）已知等差数列
满足：
，则
的最大值为（ ）
A．18
B．16
C．12
D．8
【答案】C
【解析】
不为常数列，且数列的项数为偶数，设为
则，一定存在正整数k 使得
或
不妨设
，即，
从而得，数列
为单调递增数列，
，且，
，同理
即，
根据等差数列的性质，
所以n 的最大值为12，选项C 正确，选项ABD 错误
故选：C.
例81．（浙江省宁波市镇海中学2022-2023 学年高二下学期期中数学试题）已知等差数列
满足，
，则
的最大值为（ ）
A．14
B．13
C．12
D．11
【答案】A
【解析】由题意，等差数列
满足
，
可得等差数列不是常数列，且
中的项一定满足
或
，且项数为偶数，
设
，等差数列的公差为
，不妨设
，
则
，且
，即
，
由
，则
，即
，
即有
，
则
，
可得
，解得
，
即有
的最大值为，
的最大值为
.
故选：A.
例82．（上海市川沙中学2022-2023 学年高一第二学期期末数学试题）等差数列
，
满足
，则（ ）
A．
的最大值为50
B．
的最小值为50
C．
的最大值为51
D．
的最小值为51
【答案】A
【解析】
为等差数列，则使
，所以数列
中的项一
定有正有负，不妨设
，因为
为定值，故设
，
且
，解得
.若
且
，则
，同理若
，则
.所以
，所以数列
的项数为
，所以
，由于
，所以
，解得
，故
，故选A.
考点二十六：曼哈顿距离与折线距离
例83．（2023·全国·高三专题练习）“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19 世纪德国犹太人数学家赫
尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面
内，若
，
，则
，
两点的“曼哈顿距离”为
，下列直角梯形中的虚线
可以作为
，
两点的“曼哈顿距离”是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意：
，
两点的“曼哈顿距离”为
，再结合四个选项可以判断只有C 选
项符合题意.
故选：C．
例84．（2023·四川·高二树德中学校考阶段练习）“曼哈顿距离”是由赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是
一种使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐标系中，点
，
的曼哈顿距离为
.若点
，Q 是圆
上任意一点，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题意,
是圆
上任意一点,
设
的坐标为
,
，
则
，
若
，即
时，则
，
，
则当
时，即
时，
取得最大值
，
当
时，即
时，
取得最小值
，则有
,
若
,即
时，则
，
则当
时，即
时，
取得最大值
，
当
时，即
时，
，但此时无法取到，
综上所述
,
故选：B.
例85．（2023·高二课时练习）“曼哈顿距离”是19 世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创之间，定义如下：在直
角坐标平面上任意两点
，
的曼哈顿距离为：
.在此定义下，已
知点
，满足
的点M 轨迹围成的图形面积为（ ）
A．2
B．1
C．4
D．
【答案】A
【解析】设
，
因为
，所以
，
当
时，则
当
时，
，当
时，
，
当
时，
，当
时，
，
当
时，
，当
，
，
所以点M 的轨迹如图所示，是一个边长为
的正方形，
所以点M 轨迹围成的图形面积为
，
故选：A
例86．（2023·全国·高三专题练习）“曼哈顿距离”是由赫尔曼闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几
何度量空间的几何学用语．例如在平面直角坐标系中，点
、
的曼哈顿距离为：
．若点
，点
为圆
上一动点，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设点
，则
.
①当
时，即当
，
，
因为
，所以，
，
当
时，
取得最大值
；
②当
时，即当
时，
，
因为
，则
，
当
时，
取得最大值
.
综上所述，
的最大值为
.
故选：D.
