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专题06 导数（解答题10 种考法）
1．（2023 秋·河南信阳·高三校考阶段练习）已知函数
.
(1)已知
，求
最小值；
(2)讨论函数
单调性.
【答案】(1)0
(2)答案见解析
【解析】（1）当
时，
，
所以
.
时，
，
时，
，
时，
，
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
故
最小值为
.
（2）
，
时，当
时，
，当
时，
，
在
上单调递减，在
上单调递增.
当
时，当
或
时，
在
和
上单调递增；
当
时，
在
上为减函数.
当
时，
上，
在
上为增函数.
当
时，当
或
时，
在
和
为增函数；
当
时，
在
上为减函数.
综上，
时，
在
上单调递减，在
上单调递增；
时，
在
和
上单调递增，在
上为减函数；
时，
在
上为增函数；
时，
在
和
为增函数，在
上为减函数.
2．（2023 秋·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）当
时，
，
所以
由于
，
，
所以切线为
，即
.
（2）因为
，
所以
.
当
时，
.
所以，在区间
上，
；在区间
上，
.
故
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
当
时，由
，得
，
所以，在区间
和
上，
；在区间
上，
.
故
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
.
当
时，
，故
的单调递增区间为
.
当
时，由
，得
，
.
所以在区间
和
上，
；在区间
上，
.
故
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
.
综上所述：当
时，
的单调递增区间是
，单调递减区间是
；
当
时，
的单调递增区间是
和
，单调递减区间是
；
当
时，
的单调递增区间是
；
当
时，
单调递增区间是
和
，单调递减区间是
.
3．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）设函数
(1)若
时函数
有三个互不相同的零点，求m 的范围；
(2)若函数
在
内没有极值点，求a 的范围；
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当
时，
，
因为
有三个互不相同的零点，所以
，
即
有三个互不相同的实数根．
令
，则
．
令
，令
，
所以
在
和
均为减函数，在
为增函数，
即
的极小值为
，极大值为
，
故m 的取值范围
．
（2）由题意可知，
在
上没有变号零点，
又因为
，所以
，解之得
．
故a 的范围为
.
4．（2023·浙江杭州·校考模拟预测）设函数
，
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)若函数
有两个零点
，
，求满足条件的最小正整数
的值.
【答案】(1)答案详见解析
(2)
【解析】（1）
的定义域是
，
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
当
时，
，
所以
在区间
上
单调递减；
在区间
上
单调递增.
（2）
，
，
依题意，
，所以
在区间
上
单调递减；
在区间
上，
单调递增.
所以
在
时取得极小值也即是最小值.
要使函数
有两个零点
，
，
则首先要满足
，
时，
，不符合.
时，
，不符合.
时，
，
，所以
，
此时
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，
，满足函数
有两个零点，
所以最小正整数
的值为.
5．（2023·江西南昌·校考模拟预测）已知函数
和
有相同的最小值．
(1)求
；
(2)是否存在直线
，其与两条曲线
和
共有三个不同的交点且从左到右的三个交点的横
坐标成等差数列？说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；理由见解析
【解析】（1）由题意可得
，
．
①若
，
在
上恒成立，
在
上单调递增，
即
无最小值；
②若
，当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增．
所以
在
处取得最小值
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
所以
在
处取得最小值
，
又
与
有相同的最小值，
所以
，
，
设
，
，则
，
令
，则
，
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增．
所以
在
处取得最小值
，则当
时，
恒成立，
单调递增．
又
，所以
．
（2）由（1）得
，
，
且
在
上单调递减，在
上单调递增，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
所以
和
的图象在
上有唯一交点，且交点的纵坐标大于1，
由函数的单调性及图象可得存在直线
，其与两条曲线
和
共有三个不同的交点，
当直线
与曲线
和
共有三个不同交点时，设三个交点的横坐标分别为
，且
，
则
，
因为
，
，
所以
，
由
图象可知
无解，
所以
，
，所以
，
，
则
，
，
上述两式相减得
，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
6．（2023·海南海口·农垦中学校考模拟预测）已知函数
．
(1)判断函数
的单调性；
(2)设
，证明：当
时，函数
有三个零点．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）根据题意得，
，
，
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，得
；
令
，得
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）当
时，
，
则
，
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，故
的最小值为
，
又
，
；
，
，
故
．
，
设
，
，
则
，
，
则
，
由
，得
．
因此，当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增．
由于
，故
，又
，
由零点存在定理，存在
，使得
，
所以
有两个零点
和
，即方程
有两个根
和
．
的图象如下，
当
时，因为
，
故方程
有一个根
；
当
时，其中
，
因为
，
故由
图角可知，
有两个不同的根
，
，且
．
综上，当
时，函数
有三个零点．
7．（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）已知函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，证明：函数
有两个不同的零点．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）由
，得
．
当
时，
，函数
单调递增．
当
时，
，
所以当
时，
，函数
单调递增；
当
时，
，函数
单调递减．
综上，当
时，函数
在区间
上单调递增；
当
时，函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减．
（2）证明：由
得
，
所以
，
因为
，所以
，
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以当
时，
，
因为
，所以
，下面证明
在区间
上与
上分别存在一个零点，
因为
，
所以在区间
上存在唯一零点
，且
．
因为
，
当
时，
，
所以
，
所以
，
所以
在区间
上存在唯一零点
，且
，
所以当
时，函数
有两个不同的零点．
8．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）已知函数
，其中常数
，
是自然对数的底数．
(1)若
，求
的最小值；
(2)若函数
恰有一个零点，求a 的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当
时，
，则
，
，
记
，则
，
①当
时，
，
，可得
，可知函数
在区间
上单调递减；
②当
时，
，
，可知函数
单调递增，又由
，可知当
时，
；
当
时，
，可知函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
由①②知函数
的减区间为
，增区间为
，故有
；
（2）因为函数
恰有一个零点，
且
，0 是函数
的一个零点，又
，
不妨设
，函数定义域为
，则
，
当
时，
，又
，
，
所以
在
恒成立，
则函数
在
上单调递增，即函数
在
上单调递增，
又
，
当
时，可得
，且
时，
，
则存在
，使得
，此时在
上，有
，
在
上，
，故
在
上为减函数，在
上为增函数，
故当
时，
，而
时，
，
故
在
上存在一个零点，
则此时函数
至少存在两个零点，又因为0 是函数
的唯一零点，故不符合题意；
当
时，可得
，又
，
所以在区间
上存在一点
，使得
，
故当在
上，有
，在
上，有
，
故
在
上为增函数，在
上为减函数，
故当
时，
，而当
时，
，
故此时函数
在
上至少存在一个零点，
又因为0 是函数
的唯一零点，故不符合题意；
当
时，即
时，由（1）知，当
时，函数
取得最小值，
最小值
，
当
时，因为
，符合题意.
综上，满足条件的
值为
.
9．（2023·河南开封·统考模拟预测）已知函数
．
(1)若函数
的图象与直线
相切，求实数
的值；
(2)若函数
有且只有一个零点，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
;
(2)
.
【解析】（1）设直线
与函数
的图象相切于点
，
因为
,
所以
，由②③可得
④，易知
.
由①得
，代入④可得
，
即
，即
，解得
.
故
.
（2）令
，可得
，
由题意可得
只有一个根.
易知
不是方程
的根，所以
，
所以由
，可得
.
设
，则
与
的图象只有一个交点.
，
当
时，
，函数
单调递增；
当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递增.
设
，则
，
当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递增.
所以
.
所以
.
又
，
时，
，
时，
，
画出函数
的图象如图所示：
由图可知，若
与
的图象只有一个交点，
则
.
所以实数
的取值范围是
.
10．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知函数
，
.
(1)若函数
在
处的切线的斜率为
，求实数a 的值（e 是自然对数的底数）；
(2)若函数
有且仅有两个零点，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，所以
，
又
，所以
，所以
，
即
，令
，则
，
又因为
在
上单调递增，且
，所以
，
所以
，即
.
（2）因为函数
有且仅有两个零点，
所以
有且仅有两个大于0 的实数根，
又
，则
，即
，
令
，则
，
由
得
，由
得
，由
得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，
，所以
，则
，
即
，令
，则
，
由
得
，由
得
，由
得
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
当
无限趋近于0 且为正数时，
无限趋向于负无穷大，
当
无限趋向于正无穷大时，
无限趋向于0，
所以
，所以
，故实数a 的取值范围为
.
11．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知函数
，
．
(1)若函数
在
处的切线的斜率为
，求实数a 的值（e 是自然对数的底数）；
(2)若函数
有且仅有两个零点，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
．
【解析】（1）因为
，定义域为
，故
，
则
，即
，
即
，
令
，则
，
又因为
在
上单调递增，且当
时，
，
所以
，即
，
．
（2）因为函数
有且仅有两个零点，
所以
有且仅有两个大于1 的实数根，
又
，则
，
即
，
令
，则
，
由
，得
，当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减且
，
在
上单调递增且
时
，
又
，
，则
，则
，
即得
，
所以
，即
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
当
时，
，且无限趋近于0，
所以
，故实数a 的取值范围为
．
12．（2023·四川·校联考一模）已知函数
.
(1)求
的单调区间；
(2)令
（a 为常数），若
有两个零点
，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
的单调递减区间是
，单调递增区间是
(2)
【解析】（1）由题意可知：
的定义域为
，
，
令
，解得
；令
，解得
；
所以
的单调递减区间是
，单调递增区间是
.
（2）由题意可知：
，其定义域为
，
则
有两个零点
，即
有两解，即
有两解，
令
，则
.
令
，解得
；令
，解得
；
则
的单调递减区间是
，单调递增区间是
，
可知
，
又因为
，且当
趋近于
，
趋近于0，
要使得
有两解，只需
，所以
，
故实数a 的取值范围为
.
13．（2023·云南·校联考模拟预测）已知
.
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)当
时，证明：函数
有且仅有一个零点.
【答案】(1)函数的单调递增区间为
,
，单调递减区间为
,
(2)证明见解析
【解析】（1）当
时，
，
，
由
得
或
，解得
或
由
得
或
，解得
或
，
故函数
的单调递增区间为
,
，单调递减区间为
,
.
（2）当
时，
，定义域为
，
，
设
，
，所以
在区间
上是增函数，
，
存在唯一
，使
，即
，
当
时，
，即
；
当
时，
，即
；
当
时，
，即
，
在区间
上是增函数，在区间
上是减函数，在区间
上是增函数，
当
时，
取极大值为
，
设
，
，
所以
在区间
上是减函数.
在
内无零点，
，
在
内有且只有一个零点，
综上所述，
有且只有一个零点.
14．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，证明：函数
在
上有两个零点．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）
的定义域为
，
令
，得
或
，
当
时，
在
上恒成立，
单调递增，
当
时，在
上，
单调递增，
在
上，
单调递减， 在
上，
单调递增，
当
时，在
上，
单调递增，
在
上，
单调递减，在
上，
单调递增，
综上所述， 当
时，
在
上单调递增，
当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减.
（2）
，
当
时，
，
则
，
令
，则
，
所以在
上
单调递减，在
上
单调递增，
所以
，
又
时，
，
，
所以存在
，使得
，即
所以在
上
，
单调递减，在
上
单调递增，
所以
，
当且仅当
，即
时，取等号，
因为
，所以
，
由
，
，
所以在
上存在
的两个零点，得证.
15．（2023·北京·统考高考真题）设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求
的值；
(2)设函数
，求
的单调区间；
(3)求
的极值点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)3 个
【解析】（1）因为
，所以
，
因为
在
处的切线方程为
，
所以
，
，
则
，解得
，
所以
.
（2）由（1）得
，
则
，
令
，解得
，不妨设
，
，则
，
易知
恒成立，
所以令
，解得
或
；令
，解得
或
；
所以
在
，
上单调递减，在
，
上单调递增，
即
的单调递减区间为
和
，单调递增区间为
和
.
（3）由（1）得
，
，
由（2）知
在
，
上单调递减，在
，
上单调递增，
当
时，
，
，即
所以
在
上存在唯一零点，不妨设为
，则
，
此时，当
时，
，则
单调递减；当
时，
，则
单调递增；
所以
在
上有一个极小值点；
当
时，
在
上单调递减，
则
，故
，
所以
在
上存在唯一零点，不妨设为
，则
，
此时，当
时，
，则
单调递增；当
时，
，则
单调递减；
所以
在
上有一个极大值点；
当
时，
在
上单调递增，
则
，故
，
所以
在
上存在唯一零点，不妨设为
，则
，
此时，当
时，
，则
单调递减；当
时，
，则
单调递增；
所以
在
上有一个极小值点；
当
时，
，
所以
，则
单调递增，
所以
在
上无极值点；
综上：
在
和
上各有一个极小值点，在
上有一个极大值点，共有个极值点.
16．（2023·云南·校联考模拟预测）已知函数
，
.
(1)求函数
的极值；
(2)请在下列①②中选择一个作答（注意：若选两个分别作答则按选①给分）.
①若
恒成立，求实数
的取值范围；
②若关于
的方程
有两个实根，求实数
的取值范围.
【答案】(1)极大值为，无极小值
(2)选①，
；选②，
的取值范围为
【解析】（1）函数
的定义域为
，
，解得
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
单调递减；
所以
，无极小值.
（2）若选①：由
恒成立，即
恒成立，
整理得：
，即
，
设函数
，则上式为
，
因为
恒成立，所以
单调递增，所以
，
即
，
令
，
，则
，
当
时，
；
当
时，
；
所以
在
处取得极大值，
的最大值为
，故
，即
.
故当
时，
恒成立.
若选择②：由关于
的方程
有两个实根，
得
有两个实根，
整理得
，
即
，
设函数
，则上式为
，
因为
恒成立，所以
单调递增，
所以
，即
，
令
，
，
则
，
当
时，
；
当
时，
；
所以
在
处取得极大值，
的最大值为
，又因为
所以要想
有两个根，只需要
，
即
，所以
的取值范围为
.
17．（2023·全国·统考高考真题）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：当
时，
．
f x
3
2ln
2
f
x
a
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）因为
，定义域为
，所以
，
当
时，由于
，则
，故
恒成立，
所以
在
上单调递减；
当
时，令
，解得
，
当
时，
，则
在
上单调递减；
当
时，
，则
在
上单调递增；
综上：当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，
在
上单调递增.
（2）方法一：
由（1）得，
，
要证
，即证
，即证
恒成立，
令
，则
，
令
，则
；令
，则
；
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，则
恒成立，
所以当
时，
恒成立，证毕.
R
0
a
e
0
x
a
f x
R
0
a
e
1
0
x
f
x
a
ln
x
a
f x
, ln a
( )
0
f
x
>
ln ,a
0
a
f x
R
0
a
f x
, ln a
f x
ln ,a
ln
min
2
ln
ln
ln
e
1
a
f
a
a
x
a
f
a
a
a
2
3
1
2ln
2
ln
a
a
a
2
1
ln
0
2
g a
a
a a
0
g
a
0
g
a
g a
2 ,
2
0
g a
3
( )
2ln
2
f x
a
方法二：
令
，则
，
由于
在
上单调递增，所以
在
上单调递增，
又
，
所以当
时，
；当
时，
；
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，则
，当且仅当
时，等号成立，
因为
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以要证
，即证
，即证
，
令
，则
，
令
，则
；令
，则
；
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，则
恒成立，
所以当
时，
恒成立，证毕.
18．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求
的最大值；
(2)若
存在极大值点，且极大值不大于
，求a 的取值范围．
e
1
x
h x
x
ex
y
R
0
0
e
1
0
h
0
h x
0
h x
,0
0,
e
1
x
x
ln
x
a
3
( )
2ln
2
f x
a
2
1
ln
0
2
a
a
2
1
ln
0
2
g a
a
a a
2
1
2
1
2
a
g
a
a
a
a
0
g
a
2
0
2
a
0
g
a
2
2
a
g a
2
0, 2
2 ,
2
2
min
2
2
1
2
ln
ln
2
0
2
2
2
2
g a
g
0
g a
0
a
3
( )
2ln
2
f x
a
【答案】(1)最大值为
(2)
【解析】（1）当
时，
，定义域为
，
，
当
时，
；当
时，
，
∴
在
上单调递增；在
上单调递减，
故
的最大值为
．
（2）
，
，
①当
时，
，
当
时，
；当
时，
，
∴
在
上单调递增；在
上单调递减，
所以
的极大值为
，符合题意．
②当
时
，
当
时，
；当
时，
，∴
在
上单调递增，
此时，
无极值点．
③当
时，令
，
解得
，且
，
当
时，
；当
时，
，当
时，
∴
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
的极大值
，
令
，则
，设
，
则
，所以
在
上单调递增，
由题意知
，即
，
所以
，即
，故
④当
时，
，
解得
或
，且满足
，
当
时，
；当
时，
，当
时，
，
∴
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
的极大值为
，符合题意．
综上
．
19．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求函数
在
上的最大值．
(2)若函数
在定义域内有两个不相等的零点
，
，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）∵当
时，
，
∴
．
当
时；
，函数
在
上单调递减；
当
时，
，函数
在
上单调递增．
∵
，
，∴
，
∴函数
在
上的最大值为
．
（2）要证
，只需证
．
∵
，
，
∴由①－②得
，
整理得
．
只需证
，
即证
，即证
．
不妨设
，令
，则只需证
，即证
．
设
，则只需证当
时，
即可．
∵
，令
，则
，
∴
在
上单调递减，当
时，
，
∴
在
上单调递增，当
时，
，
∴原不等式得证．
20．（2023·福建龙岩·统考二模）已知函数
，
．
(1)若
满足
，证明：曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线；
(2)若
，且
，证明：
．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）由已知有
，
,
曲线
在点
处的切线方程为：
,
即：
，将
代入即有：
,
由
得
令
得：
，此时
,
可得：曲线
在点
处的切线方程为：
，将
代入化简，
可得：
故曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线．
（2）∵
，
∴
，令
，得：
，
∴
，
为方程
的两根，
∴
即：
，
∴
∴
，
∴
，
令
，则
，
令
，则
，
∴
在
单调递减 ∴
即
21．（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知函数
，
.
(1)求实数
的值；
(2)证明：
时，
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）因为
，则
，
则
，
令
，其中
，则
，
由
可得
，由
可得
，
所以，函数
的单调减区间为
，单调增区间为
.
故
有最小值
，故
.
（2）由（1）可知，
，
当
时，要证
，即证
，即证
，
令
，则上式等价于
，
构造函数
则
故当
时，
为增函数；
当
时，
为减函数；
由
得，
故
，
故
.
当
时，
，
故
又
是
的增区间，而
故
故
即
，
当
时，
，即
在
上，
为减函数，故
即
，
故原命题得证.
22．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数
有两个零点
.
(1)证明：
；
(2)求证：①
；②
.
【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析；②证明见解析
【解析】（1）由
，当
时
，
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，则
，
所以
，
当
时
，
，所以
，
若
，即
时，则
时
，此时
在
上不存在零点，
要使
有两个零点，故
.
（2）①要证
，不妨设
，则证
，
因为
在
上单调递增，即证
，
令
，
，则
，
所以
在
单调递增，所以
，即
，得证；
②引理1：当
时
：
证明：当
时
，得证.
利用引理1：
，所以
①，
引理2：
：
证明：令
，
则
，当
时
，
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
，
利用引理2，因为
，所以
，
所以
，所以
②，
由①，②知：
.
23．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知各项均为正数的数列
，满足
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
，试比较
与9 的大小，并加以证明．
【答案】(1)
(2)
，证明见解析
【解析】（1）因为
，
所以
，
因为
的各项均为正，所以
，故
，即
，
所以
是以2 为公比的等比数列，
因为
，又公比为2，
所以
，所以
.
（2）
，证明如下：
令
，则
，
当
时，
，即
在
上单调递减，
所以
，则
，即
，
设
，所以
，
所以
，
记
，则
，
所以
，
即
，则
，所以
，所以
.
24．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知函数
，且
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，函数
有三个零点
，
，
，且
，试比较
与2 的大
小，并说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)
，理由见解析
【解析】（1）由
，得
，又
，所以
，
则
，所以
，
．
当
时，令
，得
或
；令
，得
；
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，令
，得
；令
，得
或
；
所以
在
与
上单调递减，在
上单调递增．
（2）
，理由如下：
因为
，
由
，得
，解得
或
．
因为
，所以
，
，
是
的正根，则
，
又
，所以
，
，
两式相减得
．
令
，
，则
，得
，则
．
令
，则
，
所以
，
，可得
，
．
设
，则
，
再设
，则
，
所以
在
上为增函数，则
，
即
，则
在
上为增函数，
从而
，
所以
，即
，
所以
，即
．
25．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知函数
（
）有两个零点.
(1)求实数
的取值范围；
(2)设函数
的两个零点分别为
，
，证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）当
时，
恒成立，所以
在
上没有零点.
所以若
，则
.
设
（
），则
.
当
时，
，所以函数
在
上单调递减；
当
时，
，所以函数
在
上单调递增.
所以，
时，
在
处取得唯一极小值，也是最小值
.
设
，则
在
上单调递减，
在
上单调递增.
当
时，
，
所以
最多有一个零点，即
最多有一个零点，不满足题意；
当
时，
因为
，所以
，
，
所以
.
又
，
，
根据函数
的单调性以及零点存在定理可知，
，有
；
，有
.
且当
时，
恒成立；
当
时，
恒成立.
所以，
有两个零点，即
存在两个零点.
综上，
.
（2）由（1）知
，
，且
，
得
，即
.
设
，
得
，即
，则
.
设
，则
，
设
，
.
当
时，有
，所以
在
上单调递减；
当
时，有
，所以
在
上单调递增.
所以，
在
处取得唯一极小值，也是最小值
，
所以
，即
在
上恒成立，
所以函数
在
上单调递增.
又
，所以
时，有
，
即
，
即
，即
，
即
.
26．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)证明：当
时，
【答案】(1)当
时，函数
在
上单调递增；当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
(2)证明见解析
【解析】（1）函数
的定义域为
，因为
，
当
时，
，所以函数
在
上单调递增；
当
时，由
得
，由
得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）①因为
，不等式
等价于
，
令
，则
，由
，得
，
所以不等式
（
）等价于：
，即：
（
），
由（1）得：函数
在
上单调递增，
所以
，即：
．
②因为
，不等式
等价于
，
令
，则
，所以
，
所以函数
在
上为减函数，所以
，即
．
由①②得：
时，
.
27．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若函数
有两个零点
，
，且
，求证:
(其中是自然对数的底数).
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）函数
定义域为
，
，
当
时
恒成立，所以当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时令
，解得
或
，
当
，即
时
恒成立，所以
在
上单调递增；
当
即
时，令
，解得
或
，则
在
，
上单调递增，
令
，解得
，则
在
上单调递减；
当
即
时，令
，解得
或
，则
在
，
上单调递增，
令
，解得
，则
在
上单调递减；
综上可得，当
时
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时
在
上单调递增；
当
时
在
，
上单调递增，在
上单调递减；
当
时
在
，
上单调递增，在
上单调递减；
（2）因为
，
由题意
，
是方程
的两个根，
①，
②，
①②两式相加，得
③，
①②两式相减，得
④，
联立③④，得
，
，
设
，
，
，
，
，
因为
，所以
，则
，
若
，则一定有
，
只需证明当
时，不等式
成立即可，即不等式
成立，
设函数
，
，
在
上单调递增，故
时，
，
即证得当
时，
，即证得
，
，即证得
，则
．
28．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数
有三个零点.
(1)求
的取值范围；
(2)设函数
的三个零点由小到大依次是
.证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）因为
定义域为
，又
，
（ⅰ）当
单调递减；
（ⅱ）当
，记
，则
，
当
；当
，
所以
在
单调递增，在
上单调递减，
，
又
，所以
，
①当
，则
单调递减，至多一个零点，与题设矛盾；
②当
，由（ⅱ）知，
有两个零点，
记
两零点为
，且
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，
因为
，令
，则
，
所以
，
所以
，且
趋近0，
趋近于正无穷大，
趋近正无穷大，
趋近负无穷大，
所以函数
有三零点，
综上所述，
；
（2）
等价于
，即
，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
由（1）可得
，则
，
所以
，所以
，
则
满足
，
，
要证
，等价于证
，
易知
，令
，则
，
令
得
，令
得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
下面证明
，由
，即证
，
即证
，
即证
，
即证
，
令
，
，
令
，则
，所以
，
所以
，则
，所以
，
所以
，所以
，
所以
，所以原命题得证.
29．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知函数
.
(1)求不等式
的解集；
(2)若方程
有两个不相等的实数根
，
，证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由
，得
.
所以
，所以
.
因为
，所以
.又因为
，
所以可设
，
，则
.
当
时，
，可得函数
在
上单调递增，
所以
，即
.
故不等式
的解集为
.
（2）
等价于
，
令
，其中
，则
，显然
.所以
.
令
，则
，
所以
在
，
上单调递减，在
上单调递增.
所以
的极小值为
.
因为方程
有两个不相等的实数根
，
，
所以关于t 的方程
有两个不相等的实数根
，
，且
，
.
要证
，即证
，
即证
，只需证
.
因为
，所以
，
整理可得
.
不妨设
，则只需证
，
即证
.
令
，
，
，则只需证
即可.
因为
，所以
在
上单调递增.
所以
.
故
.
30．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考三模）已知函数
.
(1)求函数
的单调区间和极值；
(2)若
，求证:
；
(3)已知点
，是否存在过点P 的两条直线与曲线
，
相切？若存在，求出m
的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)当
时，函数
在
上单调递增，无极值；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，当
时，函数
取极小值
，无极大值.
(2)证明过程见详解
(3)存在，
【解析】（1）因为函数
，
则
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，无极值；
当
时，令
，解得
，所以函数
在
上单调递增，
若
时，
，所以函数
在
上单调递减，当
时，函数
取极小值
，无极大值，
综上：当
时，函数
在
上单调递增，无极值；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，当
时，函数
取极小值
，无极大值.
（2）由题意可得
；
当
时，
，函数
在
上单调递增，所以函数
最多一个零点,与题意矛盾；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
因为
，不妨设
，
则有
，两式相减得
，
两式相加得
，
欲证
，即证
，
即证
，也即证
，
即证
，令
，
，
则
，所以函数
在
上单调递增，
因为
，所以
，
所以得证，即
.
（3）存在，理由如下：
设切点为
，因为
，所以切线的斜率为
，
则切线方程为
，因为切线过点
，
所以
，即
，
若过点
可以作两条直线与曲线
，
相切，
则上述关于
的方程至少有两个不同的解，显然
不是该方程的解，
所以关于
的方程
在
上至少有两个不同的解，
令
，
则
，
令
，则
，
当
时，
，所以函数
在
上单调递减；
当
时，
，所以函数
在
上单调递增；
所以
，则当
时，
，函数
在
上单调递减；在
上单调递
增，
因为
，
，则
函数
的大致图象如下图所示：
结合图象可知：当
时，
关于
的方程
在
上有两个不同的解，
此时过点
可以作两条直线与曲线
，
相切，
所以实数
的取值范围为
.
31．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数
，
，
.
(1)若
，求证：
；
(2)若函数
与函数
存在两条公切线，求
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）当
时，
，
构建
，
，则
，
构建
，
因为
，所以
在
上单调递增，且
，
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
则当
时，
取得最小值，可得
所以当
时，
.
（2）设函数
与函数
的公切线分别相切于点
和点
因为
，
，
所以的方程可表示为
或
，
整理得
或
，
则有
①，
②
由①可得
，代入②可得：
,
即
，
构建
，
，则
,
构建
，则
，
且
，令
，解得
；令
，解得
；
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，则
，可得
；
当
时，
在
上单调递增，
，
可得当
时，
，当
时，
；
综上所述：当
时，
，当
时，
.
即当
时，
，即
，所以
在
单调递增；
当
时，
，即
，所以
在
单调递减；
所以
，且当x 趋近于
时，
趋近于
，当x 趋近于
时，
趋近于
，
由上可知，要使函数
与函数
存在两条公切线，只需直线
与函数
图象有两个交点，
由图可知a 的取值范围为
.
32．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求实数
的值；
(2)已知
且
，求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由
，得
.
令
，则
.
注意到
，所以
是函数
的极小值点，则
，
所以
，得
.
当
时，
，则函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，满足条件，故
.
（2）由（1）可得，
.
令
，则
，
所以
，即
.
令
，则
，且
不恒为零，
所以函数
在
上单调递增，
故
，则
，
所以
，
令
分别取
，累加得：
.
即证.
33．（2023·江苏无锡·校联考三模）已知函数
.
(1)求
的极值；
(2)求证：
.
【答案】(1)
的极大值为，没有极小值
(2)证明见解析
【解析】（1）因为函数
，所以
，
设
，
，
所以
在
上单调递增.
又
，所以当
时，
；当
时，
.
又因为
对
恒成立，
所以当
时，
；当
时，
.
即
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
故
，
没有极小值.
（2）由（1）可知
，
所以
当且仅当
，取“＝”.
由（1）得
，
累加得
；
由②得
，
累加得
.
综上所述，
.
34．（2023·上海普陀·曹杨二中校考三模）已知函数
，
.
(1)若
存在极值，求
的取值范围；
(2)若
，求
的值；
(3)对于任意正整数
，是否存在整数
，使得不等式
成立？若存在，请求出
的最小值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)3
【解析】（1）函数
的定义域为
，
，
当
时，
恒成立，此时
在
上单调递增，无极值；
当
时，令
得
，
时，
，
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
此时
有极小值为
，无极大值.
综上所述，若
存在极值，则
的取值范围是
.
（2）
，
由（1）可知，当
时，
恒成立，此时
在
上单调递增，
与
恒成立矛盾；
当
时，由（1）可知，
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，则需
，
若
，则
，符合题意；
若
，则
，不合题意舍去；
若
，则
，不合题意舍去.
综上所述，
.
（3）由（2）可知当
时
，即
，
所以
恒成立，当且仅当
时取等号，
所以
，
，
一方面，
，
即
，
另一方面，
，
从而当
时，
，
因为
为正整数，且对于任意正整数
，
恒成立，
故
的最小值为3.
35．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知函数
.
(1)若
有两个不同的零点，求a 的取值范围；
(2)若函数
有两个不同的极值点
，证明：
.
【答案】(1)
(2)见解析
【解析】（1）
的定义域为
，且
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，不可能有两个零点，舍去.
当
时，令
，解得：
，令
，解得：
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
因为
有两个不同的零点，则
，解得
，
当
时，
，
，所以
在
上存在唯一的一个零点；
当
时，取正整数
，则
，
，
而
，
当
时，令
，
令
，
，所以
在
上单调递增，
，所以
，
所以
在
上单调递增，
，故
又
，所以
，于是
，要使
，
只需
，即
，
这样，当
时，只需取正整数
，则
，又
，
所以
在
上存在唯一的一个零点；
综上，
.
（2）
（
），则
.
因为
有两个不同的极值点
，
（
），则
，
，
要证
，只要证
，
因为
，所以只要证
，
又∵
，
，作差得
，所以
，
所以原不等式等价于要证明
，即
.
令
，
，则以上不等式等价于要证
，
.
令
，
，则
，
，
所以
在
上单调递增，
，即
，
，
所以
.
36．（2023·广东广州·统考三模）已知函数
，记
的导函数为
．
(1)当
时，讨论
的极值点的个数；
(2)若
有三个零点
，
，
，且
，证明：
．
【答案】(1)当
时，函数
的极值点的个数为；
(2)证明见解析.
【解析】（1）函数
的定义域为
，
导函数
，
即
，
所以
，
因为
，
，所以
，
所以
，
所以
在
上单调递减，又
，
所以当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
所以
为函数
的极大值点，函数
没有极小值点；
所以函数
只有一个极值点；
（2）因为
，
由（1）可得当
时，函数
有且只有一个零点，不满足要求，
当
时，
，
令
，可得
，
当
时，
，
所以
，故
，
函数
在
上单调递增，且
，
函数
在
上只有一个零点，不满足要求，
当
时，方程
有两个不相等的实数解，
设其解为
，不妨设
，
则
，
所以
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
因为函数
在
上单调递减，
，
，
所以
，
，
又当
时，
，当
时，
由
，
，
所以函数在
，
上各存在在一个零点，
所以
，
又若
为
的零点，则
，
则
，
所以
为函数
的一个零点，
所以若
为
的零点，则
必为函数
的一个零点，
所以
，
要证明
，
只需证明
，
只需证明
，
又
，故
，
所以只需证明
只需证明
，
设
，
则
，
函数
在
上单调递减，
所以当
时，
，
所以当
时，
，即
，
又
，所以
，
所以
.
37．（2023·广东汕头·统考三模）设
，
，
(1)证明：
；
(2)若存在直线
，其与曲线
和
共有3 个不同交点
，
，
，求证：
，
，
成等比数列.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）因为
，
，所以
等价于
，
即
，
令
，则只需证
，
设
，则
，
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增；
故
，即
成立，
所以
成立，即
得证；
（2）记
，则
，
当
时，
；当
时，
．
故
在
内单调递增，在
内单调递减，故
；
记
，则
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
内单调递增，在
内单调递减，故
.
所以函数
与函数
有相同的最大值，画出
与
的图象如下图：
可知，
且
，又当
时，
，故
，
当
时，直线
与两条曲线
和
各有两个不同的交点，
则直线
与曲线
的两个交点分别位于区间
和
，
而直线
与曲线
的两个交点分别位于区间
和
，
构造
，当
时，
；当
时，
，
当
时，1-x<0，
，
，
，
故
在
内单调递减，又
，
，
结合零点存在性定理可知：
在
内存在唯一零点，
故曲线
和
在
有唯一一个公共点，
由图可得：若直线
与两条曲线
和
共有三个不同的交点
，
，
，
其中
，即
，即
，
，
，
，
由
，又
，
结合
在
内单调递增，故
，
由
，又
，
，
结合
在
内单调递减，故
，
故
，故
，
，
成等比数列.
38．（2023·云南·校联考模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的极值；
(2)若
（e 是自然对数的底数），且
，
，
，证明：
．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【解析】（1）函数
的定义域为
，求导得
，
若
，则
，无极值；
若
，由
，可得
，
若
，当
时，
，则
单调递减，当
时，
，则
单调递增，
此时，函数
有唯一极小值
，无极大值；
若
，当
时，
，则
单调递增，当
时，
，则
单调递减，
此时，函数
有唯一极大值
，无极小值；
所以当
时，函数
无极值；
当
时，函数
有极小值
，无极大值；
当
时，函数
有极大值
，无极小值；
（2）证明：由
，两边取对数可得
，即
，
当
时，
，
，
由（1）可知，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
，
而
，
时，
恒成立，
因此，当
时，存在
且
，满足
，
若
，则
成立；
若
，则
，
记
，
，
则
，
即有函数
在
上单调递增，所以
，即
，
于是
，而
，
，
，
函数
在
上单调递增，因此
，即
.
39．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知函数
为其极小值
点．
(1)求实数
的值；
(2)若存在
，使得
，求证：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）
的定义域为
，
，依题意得
，得
，
此时
，
当
时，
，
，
，故
，
在
内单调递减，
当
时，
，
，
，故
，
在
内单调递增，
故
在
处取得极小值，符合题意.
综上所述：
.
（2）由（1）知，
，
不妨设
，
当
时，不等式
显然成立；
当
，
时，不等式
显然成立；
当
，
时，由（1）知
在
内单调递减，因为存在
，使得
，所
以
，
要证
，只要证
，
因为
，所以
，又
在
内单调递减，
所以只要证
，又
，所以只要证
，
设
，
则
，
令
，则
，
因为
，所以
，
在
上为减函数，所以
，
即
，
所以
在
上为减函数，
所以
，即
.
综上所述：
.
40．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)若
有2 个不同的零点
（
），求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）因为函数
的定义域为
，所以
成立，等价于
成立.
令
，则
，
令
，则
，所以
在
内单调递减，
又因为
，所以当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递
减，
所以
在
处取极大值也是最大值.
因此
，即实数
的取值范围为
.
（2）
有2 个不同的零点等价于
有2 个不同的实数根.
令
，则
，当
时，解得
.
所以当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
在
处取极大值为
.
又因为
，当
时，
，当
时，
.
且
时，
.
所以
，且
.
因为
是方程
的2 个不同实数根，即
.
将两式相除得
，
令
，则
，
，变形得
，
.
又因为
，
，因此要证
，只需证
.
因为
，所以只需证
，即证
.
因为
，即证
.
令
，则
，
所以
在
上单调递增，
，
即当
时，
成立，命题得证.
