十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—数列小题
目录
题型一：数列的概念与通项公式........................................1
题型二：等差数列....................................................8
题型三：等比数列...................................................12
题型四：等差与等比数列综合.........................................17
题型五：数列的求和.................................................19
题型六：数列与数学文化.............................................22
题型七：数列的综合应用.............................................26
题型一：数列的概念与通项公式
一、选择题
1 ．(2016 高考数学浙江理科· 第6 题) 如图，点列
分别在某锐角的两边上，且
，
(
表示点
与
不重合)
若
，
为
的面积，则
( )
( )
A．
是等差数列
B．
是等差数列 C．
是等差数列
D．
是等差数列
【答案】A
【命题意图】本题考查等差数列的概念、平行线的性质等基础知识，意在考查学生分析问题和解决问
题的能力．
解析：不妨设
，过点
，分别作直线
的垂线，高线分别记为
，根据平行线的性质，所以
成
等差数列，又
，所以
是等差数列．故选A．
2 ．(2019· 浙江· 第10 题) 已知
，
，数列
满足
，
，
，则
( )
A．当
时，
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
【答案】A
【解析】解法一：对于B，由
，得
．取
，则
，所以
，不合
题意；
对于C，由
，得
或
．取
，则
，所以
，不合题意；
对于D，由
，得
．取
，则
，所以
，不合题意．
对于A，
，
，
，
，
递增，当
时，
，
，迭乘法得
，
，A 正确．故选A．
解法二:借助图形
12
10
8
6
4
2
2
5
a7
a6
a1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.5
0.5
1
a7
a6
a1
3
2
1
1
2
3
4
2
2
a10
a7
H
a1
5
4
3
2
1
1
2
3
4
4
2
2
a10
a1
其中选项
中均含有不动点，由于
的不确定性，故都不能说明
．故选A．
3．(2017 年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第12 题)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件．
为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为
下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,,其中第一项是
0
2 ,接下来的两项
是
0
2 ,
12 ,再接下来的三项是
0
2 ,
12 ,
2
2 ,依此类推．求满足如下条件的最小整数N :
100
N
且该数列
的前N 项和为2 的整数幂．那么该款软件的激活码是
( )
A．440
B．330
C．220
D．110
【答案】A
【解析】解法一:本题考查了等比数列的求和,不等式以及逻辑推理能力．
不妨设
1
1
1
2
1
2
4
1
2
2
1
2
2
2
n
t
m
(其中0
t
n
)
则有
1
1
2
n n
N
t
,因为
100
N
,所以
13
n
由等比数列的前n 项和公式可得
1
1
2
2
2
1
2
n
t
m
n
因为
13
n
,所以2
2
n
n
所以
1
2
2
2
n
n
n
即
1
2
2
2
n
n
n
,因为
1
2
1
0
t
所以
1
2
2
2
2
m
n
n
n
,故
1
m
n
所以
1
m
n
,从而有
1
2
3
t
n
,因为
13
n
,所以
3
t
,当
3
t
时,
95
N
,不合题意
当
4
t
时,
440
n
,故满足题意的N 的最小值为440 ．
解题关键:本题关键在于利用不等式的知识得出
1
m
n
．
解法二:将数列的前N 项按照
0
0
1
0
1
2
2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,分组,不妨设这样的分组共有n 组不满足此特点的
单独为一组, 则
1
(
1)
2
2
2
n n
n
n
N
, 从而数列的前N 项的和为:
1
1
1
1
2
0
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
3
2
n n
n n
N
N
n
n
n
所以若使数列的前N 项和为2 的整数幂,则必存在正整数t ,使得2
3
t
n
,即
2
3
t
n
又
100
N
,所以
1
2
100
2
n
n
,所以
13
n
,所以
2
3
13
t
n
,所以
4
t
当
4
t
时,
13
n
,此时100
105
N
,所以N 的可能值为101,102,103,104,105 ,经验证均不符合题
意,当负结合选项也可知道
4
t
不合题意,直接排除掉101,102,103,104,105 的可能性
当
5
t
时,
29
n
,此时435
465
N
,结合选项特点可知:
440
N
,故选A．
事实上验证:
29
435
n
N
或
29
436
n
N
或
29
437
n
N
或
29
438
n
N
或
29
439
n
N
或
29
440
n
N
只有
29
440
n
N
成立．
点评:此题就是分组和以及和与结论中隐藏的整除性问题,通过构建t 的不等式限定n 的可能值,进而求
出N 最小值,还好选项提供的数据减少,很好验证操作．
解法三:检验法
由于这是选择题,为求最小值,从最小的开始检验
选项D:若
110
N
,由
13
13 1
91 110
2
,知第110 项排在第14 行,第19 个
14
19
14
19
10
15
2
13
2
2
1
2
2
16
16
2
2
1
N
S
由
10
15
2
2
1
是奇数知
N
S 不能写成2 整数幂;
选项C:若
220
N
,由
20
20 1
210
220
2
知,第220 项排在第21 行,第10 个
21
10
21
10
2
20
2
2
1
2
2
23
N
S
是大于1 的奇数,不能写成2 整数幂;
选项B,若
330
N
,由
25
25 1
325
330
2
知第330 项排在第26 行,第5 个
26
5
26
24
2
25
2
2
1
2
4
4
2
1
N
S
,同理,不能写成2 整数幂;
选项A 时,当
440
N
时,由
1
1
2
440
2
2
n n
n
n
,可解出
29
n
所以这前440 和为:
1
2
29
0
1
2
3
4
30
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
,符合题意,故选
A．
解法四:直接法
由
1
1
2
2
2
1
2
2
3
n
k
n
k
N
S
n
n
能写成2 的整数幂可知,2
3
0
k
n
,
2
log
3
k
n
Z
, 且由
100
N
知
13
n
, 故满足条件的n 的最小值为29 , 得
5
k
, 此时
29
29 1
5
440
2
N
．
解法五:二进制转化法
按照上面形式重新排列后,第n 层:1,2,4,,
1
2n的和为
(2)
1
2
1
11
11
n
n
个
把每一层的和的二时制数重新排列(低位对齐)
第1 层: 1
第2 层: 11
第3 层: 111
第n 层: 1111
由于2 的数幂的二进制数为:
(2)
0
2
100
00
n
n
个
,前n 层的和再加多少可以写成2 的整数幂?
为方便相加,首先,每层都加1,则总共加了n ,得:
第1 层: 10
第2 层: 100
第3 层: 1000
第n 层: 1000
此时n 层总的和为:
1
11
110
n
个
,仍然不是2 的整数幂,再加上2 即可!
所以在前n 层总和的基础上,再加上
2
n
可使和成为2 的整数幂
设第
1
n 层的前k 个数的和为
2
n
,即2
3
0
k
n
后面的方法同“解法四”．
【考点】等差数列、等比数列的求和．
【点评】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起,首先需要读懂题目所表达的具体含义,以及观
察所给定数列的特征,进而判断出该数列的通项和求和．另外,本题的难点在于数列里面套数列,第一
个数列的和又作为下一个数列的通项,而且最后几项并不能放在一个数列中,需要进行判断．
4．(2016 高考数学课标Ⅲ卷理科·第12 题)定义“规范01 数列”
如下:
共有
项,其中
项为
项为1,且对任意
,
中0 的个数不少于1 的个数.若
,则不同的“规范01
数列”共有
( )
A．18 个
B．16 个
C．14 个
D．12 个
【答案】C
【解析】由题意,得必有
1
0
a
,
8
1
a
,则具体的排法列表如图所示,共14 个,故选C.
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
5．(2021 年高考浙江卷·第10 题)已知数列
满足
．记数列
的前n 项和
为
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析:因为
，所以
，
．
由
，即
根据累加法可得，
，当且仅当
时取等号，
，当且仅当
时取等号，
所以
，即
．
故选A．
二、填空题
1．(2022 高考北京卷·第15 题) 己知数列
各项均为正数，其前n 项和
满足
．
给出下列四个结论：
①
的第2 项小于3； ②
为等比数列；
③
为递减数列； ④
中存在小于
的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】①③④
解析:由题意可知，
，
，
当
时，
，可得
；
当
时，由
可得
，两式作差可得
，
所以，
，则
，整理可得
，
因为
，解得
，①对；
假设数列
为等比数列，设其公比为
，则
，即
，
所以，
，可得
，解得
，不合乎题意，
故数列
不
等比数列，②错；
当
时，
，可得
，所以，数列
为递减数列，③对；
假设对任意
，
，则
，
所以，
，与假设矛盾，假设不成立，④对．
故答案为：①③④．
2．(2015 高考数学新课标2 理科·第16 题) 设
是数列
的前
项和，且
，
，则
________．
【答案】
解析：由已知得
，两边同时除以
，得
，故数列
是
以
为首项，
为公差的等差数列，则
，所以
．
考点：等差数列和递推关系．
3．(2017 年高考数学上海（文理科）·第14 题) 已知数列{
}
na
和{ }
nb
,其中
2
na
n
,
*
nN ,{ }
nb
的项是
互不相等的正整数,若对于任意
*
nN ,{ }
nb
的第
na 项等于{
}
na
的第
nb 项,则
1 4 9 16
1 2 3 4
lg(
)
lg(
)
b b b b
b b b b
________．
【答案】2
【解析】
2
2
2
1 4 9 16
1 4 9 16
1 2 3 4
1 2 3 4
lg(
)
(
)
2
lg(
)
n
n
a
b
n
n
b b b b
b
a
b
b
b b b b
b b b b
b b b b
．
4．(2016 高考数学浙江理科·第13 题) 设数列
的前
项和为
．若
，则
，
．
【答案】
【命题意图】本题主要考查等比数列的概念、通项公式，通项
与前
项和
之间的关系等知识，意在考
查学生的运算求解能力、分析问题和解决问题的能力．
解析：由于
，解得
，由
得
，所以
，
所以
是以
为首项，以为公比的等比数列，所以
，即
，所以
．
题型二：等差数列
一、选择题
1．(2020 北京高考·第8 题)在等差数列
中，
，
．记
，则数列
( )．
A．有最大项，有最小项
B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项
D．无最大项，无最小项
【答案】B
【解析】由题意可知，等差数列的公差
，
则其通项公式为：
，
注意到
，且由
可知
，
由
可知数列
不存在最小项，
由于
，
故数列
中的正项只有有限项：
，
．故数列
中存在最大项，且最大项
为
．
故选：B．
2 ．(2019· 全国Ⅰ· 理· 第9 题) 记
为等差数列
的前
项和．已知
，
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：
，
所以
，故选A．
3．(2018 年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第4 题)记
为等差数列
的前
项和，
,
．
则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解
析
：
∵
为
等
差
数
列
的
前
项
和
，
，
，
∴
，把
，代入得
∴
，
故选B．
4 ．设
是等差数列，
，
，则这个数列的前6 项和等于
( )
Ａ．12 Ｂ．24 Ｃ．36 Ｄ．48
【答案】B
解：
是等差数列，
∴
，则这个数列的前6
项和等于
，选B．
5．(2016 高考数学课标Ⅰ卷理科·第3 题)已知等差数列
前9 项的和为27，
，则
( )
A100 B99 C98 D97
【答案】C【解析】由等差数列性质可知：
，故
，而
，因此公差
∴
．故选C．
6．(2014 高考数学福建理科·第3 题)等差数列
的前n 项和为
，若
，则
等于
( )
A．8
B．10
C．12
D．14
【答案】解析：由题意可得
，解得
，∴公差
，
，故选：C．
7 ．(2015 高考数学重庆理科· 第2 题) 在等差数列
中，若
，
，则
( )
A．
B．0
C．1
D．6
【答案】B
解析：由等差数列的性质得
，选B．
8 ．(2015 高考数学北京理科· 第6 题) 设
是等差数列．下列结论中正确的是
( )
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】C
解析：先分析四个答案支，A 举一反例
，
而
，A 错误，
B 举同样反例
，
，而
，B 错误，下面针对C 进行研究，
是等差数列，若
，则
设公差为
，则
，数列各项均为正，由于
，
则
，故选C．
9．(2017 年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第4 题)记
n
S 为等差数列{
}
na
的前n 项和．若
4
5
24
a
a
,
6
48
S
,则{
}
na
的公差为
( )
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】 C
【
解
析
】
设
公
差
为
d ,
4
5
1
1
1
3
4
2
7
24
a
a
a
d
a
d
a
d
,
6
1
1
6 5
6
6
15
48
2
S
a
d
a
d
,联立
1
1
2
7
24 ,
6
15
48
a
d
a
d
解得
4
d
,故选C．
秒
杀
解
析
:
因
为
1
6
6
3
4
6(
)
3(
)
48
2
a
a
S
a
a
,
即
3
4
16
a
a
,
则
4
5
3
4
(
)
(
)
24 16
8
a
a
a
a
,即
5
3
2
8
a
a
d
,解得
4
d
,故选C．
【考点】等差数列的基本量求解
【点评】求解等差数列基本量问题时,要多多使用等差数列的性质,如{
}
na
为等差数列,若
m
n
p
q
,则
m
n
p
q
a
a
a
a
．
10．(2014 高考数学辽宁理科·第8 题)设等差数列
的公差为d，若数列
为递减数列，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析：根据题意可得
∵数列
为递减数列,∴
，
．
解析2 ：由数列
为递减数列,根据指数函数
的性质，知
，得
，或
，当
时，
，所以
，，当
时，
，所以
，综上：
．
二、填空题
1．(2019·全国Ⅲ·理·第14 题) 记
为等差数列{an}的前n 项和，
，则
___________．
【答案】4．
【解析】因
，所以
，即
，所以
．
【点评】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．
2．(2019·江苏·第8 题) 已知数列
是等差数列，
是其前n 项和.若
，
则
的值是 .
【答案】16
【解析】由
，得
，从而
，即
，解得
，所以
.
3．(2019·北京·理·第10 题) 设等差数列
的前
n 项和为
，若
a2=−3，S5=−10，则
a5=__________，Sn的最小值为__________．
【答案】 (1) 0； (2) -10．
【解析】等差数列
中，
，得
，则公差
，
∴
，
由等差数列
的性质得
时，
，当
时，
大于0，所以
的最小值为
或
，
值为
．
4．(2018 年高考数学上海·第6 题) 记等差数列
的前
项和为
．若
，
，则
．
【答案】14
解析：
，
，
，
，
．
5．(2018 年高考数学北京（理）·第9 题) 设
是等差数列，且
，
，则
的通项
公式为__________．
【答案】
解析：
，∴
，
∴
．
6．(2014 高考数学北京理科·第12 题) 若等差数列ABF 满足π
6
, H
, 则当(u,v,w)=
时, H 的前PC 项和最大．
【答案】8
解析：
，
，
，
∴
时，数列
的前n 项和最大．
7．(2015 高考数学陕西理科·第13 题) 中位数1010 的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的
首项为 ．
【答案】
解析：设数列的首项为
，则
，所以
，故该数列的首项为
，所以答
案应填：
．
8．(2015 高考数学广东理科·第10 题) 在等差数列{an }中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8 =
．
【答案】10
解析：因为
na
是等差数列，所以
，
，即
，故应填入10
9．(2016 高考数学江苏文理科·第8 题) 已知
是等差数列，
是其前
项和．若
，
，则
的值是
．
【答案】
．
解析：设公差为
，则由题意可得
，
，解得
，
，则
．
10．(2016 高考数学北京理科·第12 题) 已知
为等差数列，
为其前
项和，若
，
则
=__________．
【答案】
解析：∵
∴
，∵
，
∴
，∴
．
题型三：等比数列
一、选择题
1．(2023 年天津卷·第6 题)已知
为等比数列，
为数列
的前
项和，
，则
的
值为
( )
A．3
B．18
C．54
D．152
【答案】C
解析：由题意可得：当
时，
，即
， ①
当
时，
，即
， ②
联立①②可得
，则
．
故选：C．
2．(2023 年新课标全国Ⅱ卷·第8 题)记
为等比数列
的前n 项和，若
，
，则
( )．
A．120
B．85
C．
D．
【答案】C
解析：方法一：设等比数列
的公比为
，首项为
，
若
，则
，与题意不符，所以
；
由
，
可得，
，
①，
由①可得，
，解得：
，
所以
．
故选：C．
方法二：设等比数列
的公比为
，
因为
，
，所以
，否则
，
从而，
成等比数列，
所以有，
，解得：
或
，
当
时，
，即为
，
易知，
，即
；
当
时，
，
与
矛盾，舍去．
故选：C．
3．(2023 年全国甲卷理科·第5 题)设等比数列
的各项均为正数，前n 项和
，若
，
，则
( )
A．
B．
C．15
D．40
【答案】C
解析：由题知
,
即
,即
,即
．
由题知
,所以
．
所以
．
故选:C．
4．(2022 年高考全国乙卷数学(理)·第8 题)已知等比数列
的前3 项和为168，
，则
( )
A．14
B．12
C．6
D．3
【答案】D
解析：设等比数列
的公比为
，
若
，则
，与题意矛盾，
所以
，
则
，解得
，
所以
．故选：D．
5．(2019·全国Ⅲ·理·第5 题)已知各项均为正数的等比数列
的前4 项和为15，且
，
则
( )
A．16
B．8
C．4
D．2
【答案】C
【解析】设正数的等比数列
的公比为
，则
，解得
，
，故选C．
另解：数感好的话由
，立即会想到数列：
，检验是否满足
，可以
迅速得出
．
【点评】在数列相关问题中，用基本量的通性通法是最重要的，当然适当积累一些常见数列，对解题
大有裨益．
6 ．(2018
年高考数学浙江卷· 第
10
题) 已知
成等比数列，且
，若
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：由
的结构，想到对数放缩最常用公式
，
所以
，得到
，于是公比
．
若
，则
，
而
，即
，矛盾，
所以
，于是
，故选B．
7 ．(2014 高考数学重庆理科· 第2 题) 对任意等比数列{an}, 下列说法一定正确的是
( )
A．
成等比数列
B．
成等比数列
C．
成等比数列
D．a3,a6,a9成等比数列
【答案】D
解析：根据等比数列中等比中项的性质可得，如果数列为等比数列，即若
则有
8 ．(2015 高考数学新课标2 理科· 第4 题) 已知等比数列
满足
，
，则
( )
A．21
B．42
C．63
D．84
【答案】B
解析：设等比数列公比为
，则
，又因为
，所以
，解得
，所以
，故选B．
9．(2015 高考数学湖北理科·第5 题)设
，
．若
：
成等比数列；
：
，则
( )
A．
是
的充分条件，但不是
的必要条件
B．
是
的必要条件，但不是
的充分条件
C．
是
的充分必要条件
D．
既不是
的充分条件，也不是
的必要条件
【答案】A
解析：对命题p：
成等比数列，则公比
q= an
an−1
(n≥3)
且an≠0 ；
对命题q ，①当an=0 时，
成立；
②当an≠0 时，根据柯西不等式，等式
成立，
则
a1
a2
=a2
a3
=¿⋅¿=an−1
an ，所以
成等比数列，
所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件．
二、填空题
1．(2023 年全国乙卷理科·第15 题) 已知
为等比数列，
，
，则
______．
【答案】
解析：设
的公比为
，则
，显然
，
则
，即
，则
，因为
，则
，
则
，则
，则
，
故答案为：
．
2．(2019·全国Ⅰ·理·第14 题) 记
为等比数列
的前
项和．若
，
，则
．
【答案】
解析：由
，得
，所以
，又因为
，所以
，
．
3．(2014 高考数学广东理科·第13 题) 若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5
，则
【答案】
．
解析：由等比数列的性质得
，．依题意有
，运用对数的运算可得所求等式左
边
4．(2014 高考数学江苏·第7 题) 在各项均为正数的等比数列
中，
，则
的值是
．
【答案】4
解析：设公比为
，因为
，则由
得
，
，解得
或
(舍)，所以
．
5．(2015 高考数学安徽理科·第14 题) 已知数列
是递增的等比数列，
，则数列
的前
项和等于 ．
【答案】
解析：由题意，
，解得
或者
，而数列
是递增的等比数
列，所以
，即
，所以
，因而数列
的前
项和
．
6．(2017 年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14 题) 设等比数列
na
满足
1
2
1
a
a
,
1
3
3
a
a
，则
4a
．
【答案】8
【解析】设等比数列
na
的公比为q ，则依题意有
1
1
2
1
1
1
3
a
qa
a
a q
，解得
1
1
2
a
q
所以
3
3
4
1
1
2
8
a
a q
．
7．(2017 年高考数学江苏文理科·第9 题) 等比数列{
}
n
a
的各项均为实数,其前n 项的和为
n
S ,已知
3
6
7
63
4
4
S
S
,
,则
8a =____．
【答案】 32
解析:当
1
q 时,显然不符合题意;
当
1
q 时,
3
1
6
1
(1
)
7
1
4
(1
)
63
1
4
a
q
q
a
q
q
,解得
1
1
4
2
a
q
,则
7
8
1
2
32
4
a
．
【考点】等比数列通项
【点评】在解决等差、等比数列的运算问题时,有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元
问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规
律的深刻体现,是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具,应有意识地去应用．但在应用性质时要注
意性质的前提条件,有时需要进行适当变形． 在解决等差、等比数列的运算问题时,经常采用“巧用性质、
整体考虑、减少运算量”的方法．
8．(2016 高考数学课标Ⅰ卷理科·第15 题) 设等比数列满足
，
，则
的最
大值为 ．
【答案】64
【解析】由于
是等比数列，设
，其中
是首项，
是公比．
∴
，解得：
．
故
，∴
当
或
时，
取到最小值
，此时
取到最大值
．
所以
的最大值为64．
题型四：等差与等比数列综合
一、选择题
1．(2015 高考数学浙江理科·第3 题)已知
是等差数列，公差
不为零，前
项和是
，若
，
，
成等比数列，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B．
解析：∵等差数列{an}，a3 ，a4 ，a8 成等比数列，∴
(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d)⇒a1=−5
3 d
，
∴
S4=2(a1+a4)=2(a1+a1+3d)=−2
3 d
，∴
a1d=−5
3 d2<0
，
dS 4=−2
3 d2<0
，故选B．
2．(2017 年高考数学课标Ⅲ卷理科·第9 题)等差数列
na
的首项为1，公差不为0 ．若
2
3
6
,
,
a a a 成等比
数列，则
na
前6 项的和为
( )
A．24
B．3
C．3
D．8
【答案】 A
【解析】数列
na
的首项
1
1
a
，设公差为d ，则由
2
3
6
,
,
a a a 成等比数列可得
2
3
2
6
a
a a
，所以
2
1
1
1
2
5
a
d
a
d
a
d
，即
2
1
2
1
1 5
d
d
d
，整理可得
2
2
0
d
d
，因为
0
d
，
所以
2
d
，所以
6
1
6 5
6
6 1 15 2
24
2
S
a
d
，故选A．
【考点】等差数列求和公式；等差数列基本量的计算
【点评】(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求
另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代
换作用，而a1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．
二、填空题
3．(2014 高考数学天津理科·第11 题) 设
是首项为
,公差为
的等差数列,
为其前
项和．若
成等比数列,则
的值为_________．
【答案】
解析:由已知得
,即
,解得
．
4．(2014 高考数学安徽理科·第12 题) 数列
是等差数列，若
构成公比为
的等比数
列，则
．
【答案】1
解析：设数列
的公差为d ，由题意可得(a3+3)2=(a1+1)(a5+5)，
即(a3+3)2=(a3−2d+1)(a3+2d+5)，所以d=−1，所以q=1．
5．(2015 高考数学湖南理科·第14 题)设
为等比数列
的前n 项和．若
，且
，
，
成等差数列，则
．
【答案】3n−1．
分析：∵3S1，2S2，S3 成等差数列，∴2×2(a1+a2)=3a1+a1+a2+a3⇒a3=3a2⇒q=3 ，
又∵等比数列{an}，∴an=a1qn−1=3n−1
．
考点：等差数列与等比数列的性质．
【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比
数列基本量q 的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想．
6．(2017 年高考数学北京理科·第10 题)若等差数列
na
和等比数列
nb
满足
1
1
1
a
b
,
4
4
8
a
b
,
则
2
2
a
b
_______．
【答案】1
【解析】设等差数列的公差和等比数列的公比为d 和q ,
3
1 3
8
d
q
,求得
2,
3
q
d
,那么
2
2
1 3
1
2
a
b
．
【考点】等差数列和等比数列
【点评】在等差、等比数列中,各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这
些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程(组),因此数列中的绝大部分运算
题可看作方程应用题,用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法．
7．(2020 江苏高考·第11 题)设
是公差为
的等差数列，
是公比为
的等比数列．已知数列
的前
项和
，则
的值是_______．
【答案】
【解析】设等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为，根据题意
．
等差数列
的前
项和公式为
，
等比数列
的前
项和公式为
，
依题意
，即
，
通过对比系数可知
，故
．故答案为：
题型五：数列的求和
一、选择题
1．(2014 高考数学大纲理科·第10 题)等比数列
中，
，则数列
的前8 项和等于
( )
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】C
解
析
：
依
题
意
可
得
，
所
以
，
所
以
，所以数列
为等差数列，从而所求的前8 项和为
，故选C．
2．(2020 年高考课标Ⅱ卷理科·第6 题)数列
中，
，
，若
，则
( )
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
解析：在等式
中，令
，可得
，
，
所以，数列
是以
为首项，以
为公比的等比数列，则
，
，
，则
，解得
．
故选：C．
【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能
力，属于中等题．
二、填空题
1．(2020 年浙江省高考数学试卷·第11 题) 已知数列{an}满足
，则S3=________．
【答案】10
解析：因为
，所以
．
即
．
2．(2020 年新高考全国卷Ⅱ数学（海南）·第15 题) 将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数
列{an}，则{an}的前n 项和为________．
【答案】
解析：因为数列
是以1 为首项，以2 为公差的等差数列，
数列
是以1 首项，以3 为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列
是以1 为首项，以6 为公差的等差数列，
所以
的前
项和为
，
故答案为：
．
3．(2019·上海·第8 题)已知数列
前n 项和为
，且满足
，则
______.
【答案】
【解析】由
得：
(
)
【点评】本题主要考查数列求和，
的递推式．
∴
为等比数列，且
，
，∴
.
4．(2018 年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第14 题)记
为数列
的前
项和．若
,则
．
【答案】
解析：
为数列
的前
项和．若
，①
当
时，
，解得
，
当
时，
，②，
由①﹣②可得
，
∴
，
∴
是以
为首项，以2 为公比的等比数列，
∴
．
5．(2015 高考数学江苏文理·第14 题)设向量
(
)，则
的值为_______．
【答案】
解析： akak+1
因为
的周期皆为
，一个周期的和皆为零，
因此
(akak+1)
6．(2015 高考数学江苏文理·第11 题)设数列
满足
，且
(
), 则数列
前10 项的和为_______．
【答案】
解析：由题意得：
所以
7．(2017 年高考数学课标Ⅱ卷理科·第15 题)等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，
3
3
a
，
4
10
S
，则
1
1
n
k
kS
．
【答案】
2
1
n
n
【解析】设等差数列的首项为
1a ，公差为d ，
由题意有：
1
1
2
3
4 3
4
10
2
a
d
a
d
，解得
1
1
1
a
d
，
数列的前n 项和
1
1
1
1
1
1
2
2
2
n
n n
n n
n n
S
na
d
n
，
裂项有：
1
2
1
1
2
1
1
kS
k k
k
k
，据此：
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
......
2 1
2
2
3
1
1
1
n
k
k
n
S
n
n
n
n
。
8．(2016 高考数学上海理科·第11 题)无穷数列
由
个不同的数组成，
为
的前
项和．若对
任意
，
，则
的最大值为________．
【答案】4
解析：要满足
，说明
的最大值为
，最小值为
所以涉及最多的项的数列可以为
，所以最多由4 个不同的数组成．
题型六：数列与数学文化
一、选择题
1．(2020 年高考课标Ⅱ卷理科·第0 题)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层
中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9
块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9 块，向外每环依次也增加9 块，已知每层环数相同，且
下层比中层多729 块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)
( )
( )
A．3699 块
B．3474 块
C．3402 块
D．3339 块
【答案】C
解析：设第n 环天石心块数为
，第一层共有n 环，
则
是以9 为首项，9 为公差的等差数列，
，
设
为
的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为
，因为下层比中层多729 块，
所以
，
即
即
，解得
，
所以
．
故选：C
【点晴】本题主要考查等差数列前n 项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题．
2．(2022 新高考全国II 卷·第3 题)图1 是中国古代建筑中的举架结构，
是桁，相邻桁
的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2 是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中
是举，
是相等的步，相邻桁的举步之比分别为
．已知
成公差为0．1 的等差数列，且直线
的
斜率为0．725，则
( )
( )
A．0．75
B．0．8
C．0．85
D．0．9
【答案】D
解析：设
，则
，
依题意，有
，且
，
所以
，故
． 故选 D．
3．(2021 高考北京·第6 题)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗
面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗的长
(单位:cm)成等
差数列，对应的宽为
(单位:cm),且长与宽之比都相等，已知
，
，
，则
A．64
B．96
C．128
D．160
【答案】C
解析：由题意，五种规格党旗的长
(单位:cm)成等差数列，设公差为
，
因为
，
，可得
，
可得
，
又由长与宽之比都相等，且
，可得
，所以
．
故选：C．
4．(2018 年高考数学北京(理)·第4 题)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法
计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依
次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于
．
若第一个单音的频率为
，则第八个单音的频率为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：单音的频率构成以
为首项，
为公比的等比数列，则
．
5．(2017 年高考数学课标Ⅱ卷理科·第3 题)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍
塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7 层塔共挂了381 盏
灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1 盏
B．3 盏
C．5 盏
D．9 盏
【答案】 B
【解析】解法一：常规解法
一座7 层塔共挂了381 盏灯，即
7
381
S
；相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍，即
2
q
，塔的顶层为
1a ；由等比前n 项和
1 1
1
1
n
n
a
q
S
q
q
可知：
1
7
1
2
381
1
2
n
a
S
，解得
1
3
a
．
解法二：边界效应
等比数列为递增数列，则有
1
n
n
a
S
，∴
8
7
381
a
S
，解得
1
2.9
a
，∴
1
3
a
．
二、填空题
1．(2023 年北京卷·第14 题) 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、
用来测量物体质量的“环权”．已知9 枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9 的数列
，该数列
的前3 项成等差数列，后7 项成等比数列，且
，则
___________；数列
所有项的和为____________．
【答案】①． 48 ②． 384
解析：方法一：设前3 项的公差为
，后7 项公比为
，
则
，且
，可得
，
则
，即
，可得
，
空1：可得
，
空2：
方法二：空1：因为
为等比数列，则
，
且
，所以
；
又因为
，则
；
空2：设后7 项公比为
，则
，解得
，
可得
，
所以
．
故答案为：48；384．
2．(2021 年新高考Ⅰ卷·第16 题)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴
把纸对折，规格为
的长方形纸，对折1 次共可以得到
，
两种规
格的图形，它们的面积之和
，对折2 次共可以得到
，
，
三种规格的图形，它们的面积之和
，以此类推，则对折4 次共可以得到不同
规格图形的种数为______；如果对折
次，那么
______
．
【答案】 5
解析:(1) 对折
次可得到如下规格：
，
，
，
，
，共
种；
(2)由题意可得
，
，
，
，
，
，
设
，
则
，
两式作差得
，
因此，
,故答案为
；
．
题型七：数列的综合应用
一、选择题
1．(2023 年北京卷·第10 题)已知数列
满足
，则
( )
A．当
时，
为递减数列，且存在常数
，使得
恒成立
B．当
时，
为递增数列，且存在常数
，使得
恒成立
C．当
时，
为递减数列，且存在常数
，使得
恒成立
D．当
时，
为递增数列，且存在常数
，使得
恒成立
【答案】B
解析：法1：因为
，故
，
对于A ，若
，可用数学归纳法证明：
即
，
证明：当
时，
，此时不等关系
成立；
设当
时，
成立，
则
，故
成立，
由数学归纳法可得
成立．
而
，
，
，故
，故
，
故
为减数列，注意
故
，结合
，
所以
，故
，故
，
若存在常数
，使得
恒成立，则
，
故
，故
，故
恒成立仅对部分
成立，
故A 不成立．
对于B，若
可用数学归纳法证明：
即
，
证明：当
时，
，此时不等关系
成立；
设当
时，
成立，
则
，故
成立即
由数学归纳法可得
成立．
而
，
，
，故
，故
，故
为增数列，
若
，则
恒成立，故B 正确．
对于C，当
时， 可用数学归纳法证明：
即
，
证明：当
时，
，此时不等关系成立；
设当
时，
成立，
则
，故
成立即
由数学归纳法可得
成立．
而
，故
，故
为减数列，
又
，结合
可得：
，所
以
，
若
，若存在常数
，使得
恒成立，
则
恒成立，故
，
的个数有限，矛盾，故C 错误．
对于D，当
时， 可用数学归纳法证明：
即
，
证明：当
时，
，此时不等关系成立；
设当
时，
成立，
则
，故
成立
由数学归纳法可得
成立．
而
，故
，故
为增数列，
又
，结合
可得：
，所以
，
若存在常数
，使得
恒成立，则
，
故
，故
，这与n 的个数有限矛盾，故D 错误．
故选：B．
法2：因为
，
令
，则
，
令
，得
或
；
令
，得
；
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
令
，则
，即
，解得
或
或
，
注意到
，
，
所以结合
的单调性可知在
和
上
，在
和
上
，
对于A，因为
，则
，
当
时，
，
，则
，
假设当
时，
，
当
时，
，则
，
综上：
，即
，
因为在
上
，所以
，则
为递减数列，
因为
，
令
，则
，
因为
开口向上，对称轴为
，
所以
在
上单调递减，故
，
所以
在
上单调递增，故
，
故
，即
，
假设存
常数
，使得
恒成立，
取
，其中
，且
，
因为
，所以
，
上式相加得，
，
则
，与
恒成立矛盾，故A 错误；
对于B，因为
，
当
时，
，
，
假设当
时，
，
当
时，因为
，所以
，则
，
所以
，
又当
时，
，即
，
假设当
时，
，
当
时，因为
，所以
，则
，
所以
，
综上：
，
因为在
上
，所以
，所以
为递增数列，
此时，取
，满足题意，故B 正确；
对于C，因为
，则
，
注意到当
时，
，
，
猜想当
时，
，
当
与
时，
与
满足
，
假设当
时，
，
当
时，所以
，
综上：
，
易知
，则
，故
，
所以
，
因为在
上
，所以
，则
为递减数列，
假设存在常数
，使得
恒成立，
记
，取
，其中
，
则
，
故
，所以
，即
，
所以
，故
不恒成立，故C 错误；
对于D，因为
，
当
时，
，则
，
假设当
时，
，
当
时，
，则
，
综上：
，
因为在
上
，所以
，所以
为递增数列，
因为
，
令
，则
，
因为
开口向上，对称轴为
，
所以
在
上单调递增，故
，
所以
，
故
，即
，
假设存在常数
，使得
恒成立，
取
，其中
，且
，
因为
，所以
，
上式相加得，
，
则
，与
恒成立矛盾，故D 错误．
故选：B．
2．(2020 年浙江省高考数学试卷·第7 题)已知等差数列{an}的前n 项和Sn，公差d≠0，
．记
b1=S2，bn+1=Sn+2–S2n，
，下列等式不可能成立的是
( )
A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6
C．
D．
【答案】D
解析：对于A，因为数列
为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由
可得，
，A 正确；
对于B，由题意可知，
，
，
∴
，
，
，
．
∴
，
．
根据等差数列的下标和性质，由
可得
，B 正确；
对于C，
，
当
时，
，C 正确；
对于D，
，
，
．
当
时，
，∴
即
；
当
时，
，∴
即
，所以
，D 不正确．
故选：D
3．(2022 高考北京卷·第6 题)设
是公差不为0 的无穷等差数列，则“
为递增数列”是“存在正整
数
，当
时，
”的
( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C 充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
解析:设等差数列
的公差为
，则
，记
为不超过
的最大整数．
若
为单调递增数列，则
，
若
，则当
时，
；若
，则
，
由
可得
，取
，则当
时，
，
所以，“
是递增数列”
“存在正整数
，当
时，
”；
若存在正整数
，当
时，
，取
且
，
，
假设
，令
可得
，且
，
当
时，
，与题设矛盾，假设不成立，则
，即数列
是递增数列．
所以，“
是递增数列”
“存在正整数
，当
时，
”．
所以，“
是递增数列”是“存在正整数
，当
时，
”的充分必要条件．
故选,C．
4．(2020 年高考课标Ⅱ卷理科·第11 题)0-1 周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列
满
足
，且存在正整数
，使得
成立，则称其为0-1 周期序列，并称
满足
的最小正整数
为这个序列的周期．对于周期为
的0-1 序列
，
是描述其性质的重要指标，下列周期为5 的0-1 序列中，满足
的序列是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析：由
知，序列
的周期为m，由已知，
，
对于选项A，
，不满足；
对于选项B，
，不满足；
对于选项D，
，不满足；
故选：C
【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算
能力，是一道中档题．
5．(2023 年全国乙卷理科·第10 题)已知等差数列
的公差为
，集合
，若
，则
( )
A．－1
B．
C．0
D．
【答案】B
解析：依题意，等差数列
中，
，
显然函数
的周期为3 ，而
，即
最多3 个不同取值，又
，
则在
中，
或
，
于是有
，即有
，解得
，
所以
，
．
故选：B
二、填空题
1．(2018 年高考数学江苏卷·第14 题)已知集合
，
．将
的所有元素从小到大依次排列构成一个数列
．记
为数列
的前n 项和，则使得
成立的n 的最小值为 ．
【答案】27
解析：设
，则
＝
＝
＝
由
得
，
，所以
，即
．
所以只需研究
是否有满足条件的解，此时，
＝
＝
，
，m 为等差数列的项数，且m＞16．
由
＞
，
＞0，所以
，
，
所以满足条件的
最小值为27．
