专题06 零点（选填题8 种考法）
考法一 零点区间
【例1】（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）方程
的根所在区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，则方程
根所在区间即为
零点所在区间，
与
在
上均为增函数，
在
上单调递增；
对于A，
，
当
时，
，A 错误；
对于B，
，
，即
，
，使得
，B 正确；
对于CD，当
时，
，
在区间
和
上无零点，C 错误，D 错误.
故选：B.
【变式】
1．（2023·海南·模拟预测）函数
的零点所在的大致区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
在
连续不断，且单调递减，
，
所以零点位于
，故选：C
2．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）函数
的零点所在的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
在
上单调递增，
在
上单调递增，
函数
在
上单调递增，
∵
，
，
，
函数
的零点所在的区间为
.
故选：C
3．（2023·广东梅州·统考二模）用二分法求方程
近似解时，所取的第一个区间可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，
因为函数
在
上都是增函数，
所以函数
在
上是增函数，
，
所以函数
在区间
上有唯一零点，
所以用二分法求方程
近似解时，所取的第一个区间可以是
.
故选：B.
考法二 零点区间求参数
【例2-1】（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）函数
在区间
上存在零点，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由零点存在定理可知，若函数
在区间
上存在零点，
显然函数为增函数，只需满足
，即
，
解得
，所以实数
的取值范围是
.
故选：D
【例2-2】（2023·浙江绍兴·统考二模）已知函数
，若
在区间
上有零点，则
的最大值为 .
【答案】
【解析】设
，则
，
此时
，则
，
令
，
当
时，
，
记
，则
，
所以
在
上递增，在
上递减，
故
,所以
，
所以
的最大值为
.
故答案为：
.
【变式】
1．（2023·北京·统考模拟预测）已知函数
，若方程
的实根在区间
上，则k 的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，
，当
时，解得
；
当
时，
，其中
，
，
当
时，解得
，综上k 的最大值是1.
故选：C.
2．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知函数
在区间
上有零点，则实数m 的取
值范围是________．
【答案】
【解析】因为
与
在
上都单调递增，
所以
在
上单调递增，
因为
在区间
上有零点，
所以
，即
，即
，解得
，
所以实数m 的取值范围为
.故答案为：
.
3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数
在区间
上存在零点，则
的最小值为 .
【答案】
【解析】设函数的零点为，则
，则点
在直线
上.
因为
表示
与
的距离，所以则
的最小值即为原点到直线
的距
离的最小值平方，即
，
sin
2
f x
x
x
m
π
0, 2
1
π,0
sin
y
x
2
y
x
m
π
0, 2
sin
2
f x
x
x
m
π
0, 2
sin
2
f x
x
x
m
π
0, 2
0
0
π
0
2
f
f
sin 0
2 0
0
π
π
sin
2
0
2
2
m
m
0
1
π
0
m
m
1
π
0
m
1
π,0
1
π,0
令
，
令
，当
时，
单调递增，
当
时，
单调递减，所以当
时，
，
所以
的最小值为
.
故答案为：
考法三 判断零点个数
【例3-1】（2023·河南·校联考模拟预测）函数
的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】由
，得
，因此函数
的零点即为函数
与
的图象交
点横坐标，在同一坐标系内作出函数
与
的图象，如图，
观察图象知，函数
与
的图象有唯一公共点，
所以函数
的零点个数为1.故选：B
【例3-2】．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）函数
在
内零点的个数为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】由
，得
，
由
，得
或
或
，
则
或
或
所以
在
内零点的个数为3.
故选：C.
【例3-3】（2023·河南·校联考模拟预测）设
是定义在
上的周期为5 的奇函数，
，则
在
内的零点个数最少是（ ）
A．4
B．6
C．7
D．9
【答案】D
【解析】因为
是定义在
上的周期为5 的奇函数，
所以
，又
，所以
，
则
，则
．
所以
，
故零点至少有
，则
在
内的零点个数最少是9．
故选：D
【变式】
1．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）函数
在区间
上的零点个数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【解析】求函数
在区间
上的零点个数，
转化为方程
在区间
上的根的个数.
由
，得
或
，
解得：
或
或
，
所以函数
在区间
上的零点个数为3.
故选：A.
2．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知方程
的解个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】易知
不是方程
的解，所以方程
等价于
，
构造函数
，
，
所以
在
上单调递增，
又
，
所以方程
在区间
上有且仅有一个解，
，
所以方程
在区间
上有且仅有一个解，
所以方程
的解的个数为
，即方程
的解个数为
.
故选：C.
3．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）已知函数
在
上单调
递增，则f（x）在
上的零点可能有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】A
【解析】由
，
，即
只能取0，得
，
因为
在
上单调递增，则
解得
，
由
，则
，设
，
则
，因为
，
，
所以函数
在
上的零点最多有2 个；
故选：A.
4．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）
是定义在
上的奇函数，当
时，
，
，令
，则函数
的零点个数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【解析】由
可得，
的图象关于
对称，
又由
可得
，
所以
，所以
以4 为周期，
所以作出
的图象如下，
的零点个数即为方程
的根的个数，
也即
的图象与
图象的交点个数，
因为
，
所以数形结合可得
的图象与
图象的交点个数为5 个，
故选:B.
5．（2023·江西上饶·统考一模）已知函数
，则
在
上的零点个数
是（ ）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2026
【答案】B
【解析】因为
，
所以函数
是周期为
的周期函数，
又
，
当
时，令
，
可得
或
或
当
时，
，当且仅当
时，
函数
在
上单调递增，
因为
，
，所以函数
在
存在一个零点；
当
时，
，当且仅当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，
因为
，
，
所以函数
在
存在一个零点；
当
时，
，所以函数
在
上单调递增，
因为
，
，
所以函数
在
不存在零点；
所以当
时，函数
有两个零点，且零点位于区间
内，
所以
在
上共有
个零点.
故选：B.
考法四 根据零点个数求参数
【例4-1】（2023·全国·统考高考真题）已知函数
在区间
有且仅有3 个零点，
则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
令
，则
有3 个根，
令
，则
有3 个根，其中
，
结合余弦函数
的图像性质可得
，故
，
故答案为：
.
【例4-2】（2022·天津·统考高考真题）设
，对任意实数x，记
．若
至少有3 个零点，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【解析】设
，
，由
可得
.
要使得函数
至少有个零点，则函数
至少有一个零点，则
，
解得
或
.
①当
时，
，作出函数
、
的图象如下图所示：
此时函数
只有两个零点，不合乎题意；
②当
时，设函数
的两个零点分别为
、
，
要使得函数
至少有个零点，则
，
所以，
，解得
；
③当
时，
，作出函数
、
的图象如下图所示：
由图可知，函数
的零点个数为，合乎题意；
④当
时，设函数
的两个零点分别为
、
，
要使得函数
至少有个零点，则
，
可得
，解得
，此时
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式】
1．（2023·广西梧州·校考一模）若函数
在区间
内恰有一个零点，则实数a 的取值
范围是 ．
【答案】
【解析】当
时，
，符合题意，
当
时，二次函数
的判别式为：
，
若
，此时函数
的零点为
，符合题意；
当
时，只需
，所以
且
；
当
时，
，经验证符合题意；当
时，
，经验证符合题意；
所以实数a 的取值范围为
.
故答案为：
2．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知函数
有三个零点，则a 的
取值范围是______.
【答案】
【解析】由
得，
，
所以若函数
有三个零点，则方程
有三个根，
设
，则
，
令
得，
或
，
当
时，
，
递减，
当
时，
，
递增，
当
时，
，
递减，
又
，
作出函数
的大致图像，如图，
由图可知，当
时，函数
有三个零点.
2
ln
f x
x
ax
2
4
0, e
0
f x
2
ln x
a
x
2
ln
f x
x
ax
2
ln x
a
x
2
ln x
g x
x
2
ln
2
ln
x
x
g
x
x
0
g
x
1
x
2e
x
0,1
x
0
g
x
g x
2e
x1,
0
g
x
g x
2e ,
x
0
g
x
g x
2
2
4
e
e
g
g x
2
4
0,
a
e
f x
故答案为：
.
3（2023 春·湖北）设函数
在区间[
上有零点，则实数
的取值范围是___________.
【答案】
【解析】令
，则
，函数
在区间[
，3]上有零点等价于直线
与曲线
在
上有交点，
则
，当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
，
，显然
，
，
即当
时，函数
在
上有零点；
故答案为：
.
4．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数
有3 个零点，则实数a 的取值范围
为 ．
【答案】
2
4
0, e
e
2
x
f x
mx
1 ,3
2
m
3
e e
,
2 6
e
2
0
x
f x
mx
e
2
x
m
x
e
2
x
f x
mx
1
2
y
m
e
2
x
g x
x
1 ,3
2
x
'
2
1 e
2
x
x
g
x
x
1 ,1
2
x
'
0,
g
x
g x
＜
1,3
x
'
0,
g
x
g x
＞
min
e
1
2
g x
g
1
3
2
1
e
e ,
3
2
6
g
g
1
3
2
e
e
6 ＞
3
e e
,
2 6
g x
m
3
e e
,
2 6
f x
1 ,3
2
3
e e
,
2 6
【解析】设
，则
，
设
，则
，
设
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，
①当
时，
，则
，
所以
在
上单调递增，
所以
在
上至多一个零点，
所以
至多有一个零点，不符合题意；
②当
时，
，
令
，（
），
则
，
所以
在
上单调递增，
所以
，
所以
，
所以
，
又因为
，
，
，
所以由零点存在性定理可知，存在
，使得
；存在
，使得
，
所以当
时，
，当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增．
又因为
，
，
，
，
，
令
（
），则
，
所以
在
上单调递减，
所以
，
所以
，
所以
，
所以由零点存在性定理知，
在
，
，
上各有一个零点，
所以当
时，
在
，
，
上各有一个零点，
即：当
时，
在
，
，
上各有一个零点.
所以实数a 的取值范围为
.
故答案为：
.
考法五 比较零点的大小
【例5-1】（2022·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）已知函数
，
，
的零点分别为a，b，c 则a，b，c 的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
得
，
，
由
得
，由
得
.
在同一平面直角坐标系中画出
、
、
的图象，
由图象知
，
，
.
故选：D
【例5-2】（2023·江西南昌）已知函数
，
，
的零点分别为
，
，
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数
，
，
的零点，即为
与
，
，
的交点，
作出
与
，
，
的图象，
如图所示，可知
故选：C
【变式】
1．（2022·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知实数a，b，c 满足
，则下列不等
式一定不成立的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
的图象如下：
由图知：当
时，
，D 可能；
当
时，
，B 可能；
当
时，
，A 可能.
故选：C
2．（2022·江西·校联考模拟预测）已知函数
，
，
的零点分
别是a，b，c，则a，b，c 的大小顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由已知条件得
的零点可以看成
与
的交点的横坐标，
的零点可以看成
与
的交点的横
坐标，
的零点可以看成
与
的交点的横坐标，
在同一坐标系分别画出
，
，
，
的函数图象，如下图所示,
可知
，
故选：
.
3．（2023·陕西西安）已知函数
，
，
的零点分别为
、
、，
则
、
、的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数
、
均为
上的增函数，故函数
为
上的增函数，
因为
，
，所以，
，
因为函数
、
在
上均为增函数，故函数
在
上为增函数，
因为
，
，所以，
，
由
可得
，因此，
.
故选：A.
考法六 零点之和
【例6-1】（2023·青海西宁·统考二模）函数
的所有零点之和为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【解析】令
，得
，解得
或
，即为零点，
令
，
，
的周期
，对称轴
，且
的对称轴
，
做出
和
的图象如图所示：
显然，
在
和
上各存在一个零点，
，
，在(4,5)上两函数必存在一个交点，
在
上有两个零点，同理
在
上存在两个零点，
所以
在
上存在6 个零点，
因为
和
关于
对称，则
零点关于
对称，
所以
的所有零点之和为
.
故选：C
【例6-2】（2023·河南·模拟预测）已知定义域为
的函数
满足
，且曲线
与曲线
有且只有两个交点，则函数
的零点之和是（ ）
A．2
B．－2
C．4
D．－4
【答案】A
【解析】由题意定义域为
的函数
满足
，
则
的图象关于点
成中心对称，
函数
的图象是由
的图象向右平移一个单位得到，
故
的图象关于点
成中心对称，
又曲线
与曲线
有且只有两个交点，
则这两个交点关于
对称，故这两个交点的横坐标之和为2，
而函数
的零点即为曲线
与曲线
交点的横坐标，
故函数
的零点之和是2，
故选：A
【变式】
1．（2023·河南·统考三模）已知函数
是定义域为
的偶函数，且满足
，当
时，
，则关于
的方程
在
上所有实数解之和为（ ）
A．9
B．
C．
D．7
【答案】B
【解析】函数
是定义域为
的偶函数，当
时，
，则当
时，
，
又
，则函数
的周期是3，显然
，
即直线
是
图象的一条对称轴，因此直线
是
图象的对称轴，
函数
的最小正周期是
，直线
是
图象的对称轴，
函数
与
在当
时取得相同最大值
，
在同一坐标平面内作出函数
与
的图象，如图，
观察图象知，函数
与
在
上有7 个公共点，对应横坐标依次为
，
由对称性知，
，于是
，
所以关于
的方程
在
上所有实数解之和为
.
故选：B
2．（2022·江西·江西师大附中校考三模）定义在R 上的函数
满足
，
且当
时，
.则函数
的所有零点之和为（ ）
A．7
B．14
C．21
D．28
【答案】B
【解析】依题意，
是奇函数.又由
知，
的图像关于
对称.
，
所以
是周期为4 的周期函数.
，
所以
关于点
对称.
由于
从而函数
的所有零点之和即为函数
与
的图像的交点的横坐标之和.
而函数
的图像也关于点
对称.
画出
，
的图象如图所示.由图可知，共有7 个交点，所以函数
所有零
点和为
.
故选：B
3．（2023·湖北·校联考模拟预测）函数
是定义在R 上的奇函数，当
时，
，
则函数
在
上的所有零点之和为（ ）
A．－32
B．32
C．16
D．8
【答案】D
【解析】
函数
是定义在R 上的奇函数,
.
又
函数
,
函数
是偶函数,
函数
的零点都是以相反数的形式成对出现的.
函数
在
上所有的零点的和为,
函数
在
上所有的零点的和,即函数
在
上所有的零点之和.
即方程
在
上的所有实数解之和.
由
时,
,故有
函数
在
上的值域为
,当且仅当
时,
.
又
当
时,
,如图：
函数
在
上的值域为
；
函数
在
上的值域为
；
函数
在
上的值域为
,当且仅当
时,
,
即方程
在
上的又一个实数解
.即
有一个零点
；
函数
在
上的值域为
,当且仅当
时,
,
故
在
上恒成立,
在
上无零点,
同理
在
上无零点,
依此类推,函数
在
无零点.
综上函数
在
上的所有零点之和为8,
故选：D.
4．（2023·全国·模拟预测）已知定义在
上的函数
满足：
为偶函数，且
；函数
，则当
时，函数
的所有零点
之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
为偶函数，所以
关于
对称，
所以当
时，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
……
函数
为
的图象向左平移
个单位，
的图象如下图所示，
均关于
对称，
有14 个交点，
所以函数
的所有零点之和为：
.故选：A.
考法七 零点之和的范围
【例7-1】（2023·上海嘉定·校考三模）已知函数
，若满足
（
、
、互不相等），则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】作出函数
的图象，如图所示：
不妨设
，
因为
，
由函数的性质得
，
，即
，
所以
，
故选：D
【例7-2】．（2023·山东济宁·统考二模）已知函数
，若
，则
的
最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
函数
的图像如图所示，作出
交
两点，其横坐标分别为a、b，不妨设
.
由
可得：
，解得：
，
所以
记
，
任取
，则
。
因为
，所以
，所以
，
所以
则
在
上单调递减，所以
故选：C
【变式】
1．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知函数
，
（其中e 是
自然对数的底数），若关于x 的方程
恰有三个不同的零点
，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
解析式，在
上
单调递增且值域为
，在
上
单调递增且值域为
，
函数
图象如下：
所以，
的值域在
上任意函数值都有两个x 值与之对应，值域在
上任意函数值都有一个x 值
与之对应，要使
恰有三个不同的零点
，则曲线
与直线
的交点横坐标一
个在
上，另一个在
上，由
开口向下且对称轴为
，
由上图知：
，此时
且
，
，
结合
图象及
有
，
，则
，
所以
，且
，
令
且
，则
，
当
时
，
递增；当
时
，
递减；
所以
，故
最大值为
.
故选：A
2．（2022·全国·模拟预测）已知函数
，实数
，
是函数
的
零点，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意，作出直线
和函数
的大致图象如图所示，
易得
，
且
，（易错：注意
，
的范围不是
）
由
，即
，
得
，则
，
所以
，
令
，则
，
，
所以
.
因为
在
上单调递减函数，所以
.
即
.故选：D
3．（2023·天津南开 ）已知函数
若函数
有四个零点
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
有四个零点
，即方程
有四个根
.
作出函数
的图像如图.
根据函数图像，方程
有四个根，则
，则
，则
所以
由对勾函数
在
上单调递减，所以
，当
时等号成立
则
的取值范围是
故选：B
考法八 嵌套函数的零点
【例8-1】（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数
，则函数
的零
点个数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】函数
，
对
，令
，令
，
可知
在
上单调递增，在
上单调递减，
且
趋向负无穷时，
，
时，
，
故结合对数函数图象，可画出函数
图像如下图所示：
函数
的零点，即
，令
，代入可得
，
由图像可知
，即
，
结合函数图像可知，
有1 个解，
综合可知，函数
的零点有1 个，
故选：A.
【例8-2】（2023·河南南阳）已知函数
，若函数
有6 个不同
的零点，则实数m 的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，则原函数等价为
．
做出函数
的图象如图，
图象可知
当
时，函数
有一个零点．
当
时，函数
有三个零点．
当
时，函数
有四个零点．
当
时，函数
有三个零点．
当
时，函数
有两个零点．
要使关于
的函数
有6 个不同的零点，
则函数
有两个根
，
，
且
，
或
，
，
令
，则由根的分布可得，
将
，代入得：
，
此时
的另一个根为
，不满足
，
，
若
，
，则
，
解得：
，
故答案为：
．
故选：D﹒
【变式】
1．（2023·江西赣州·统考一模）若函数
，则方程
的实根个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【解析】由
，
则可作出函数
的图象如下：
由方程
，得
或
，
所以方程
的实根个数为3．
故选：A．
2．（2023·全国·学军中学校联考二模）已知函数
（为自然对数的底数），则函数
的零点个数为（ ）
A．3
B．5
C．7
D．9
【答案】C
【解析】设
，令
可得：
,
对于
，
，故
在
处切线的斜率值为
，
设
与
相切于点
，
切线斜率
，则切线方程为：
，
即
，解得：
；
由于
，故作出
与
图象如下图所示，
与
有四个不同交点，
即
与
有四个不同交点，
设三个交点为
，由图象可知：
，
作出函数
的图象如图，
由此可知
与
无交点，与
有三个不同交点，与
各有两个不同交点，
的零点个数为7 个，
故选：C
3．（2023·陕西西安）已知函数
是定义域为
的偶函数，当
时，
，
若关于
的方程
有且仅有8 个不同的实数根，则实数
的取值范围是
（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，因为
是定义域为
的偶函数，画出
的图象如下：
由图象可知：当
时，
有4 个根，
要想
有且仅有8 个不同的实数根，
则
要有两个不相等的实数根
，且
，
令
，
则
，解得：
.
故选：A
4．（2022·四川宜宾·校考三模）已知函数
，要使函数
的零点个数最多，
则k 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
可得
在
上递减，在
递增，
所以，
有最小值
，且
时，
，当x 趋向于负无穷时，f(x)趋向于0，但始
终小于0，所以，
时，
最多有两个根，
最多有2 个根，
即
在
有两个根时，
的零点最多为4 个，
，解得
，故选B.
1．（2023·海南·模拟预测）函数
的零点所在的大致区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
在
连续不断，且单调递减，
，
所以零点位于
，
故选：C
2．（2023·云南昭通·校考模拟预测）函数
的零点所在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】易知
为增函数，又
，
，故零点所在的区间是
.
故选：B.
3．（2023·重庆酉阳·重庆市酉阳第一中学校校考一模）函数
的零点所在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
函数
，画出
与
的图象，如下图：
当
时，
，
当
时，
，
函数
的零点所在的区间是
．
故选：D．
4．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）已知函数
在
上单调
递增，则f（x）在
上的零点可能有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】A
【解析】由
，
，即
只能取0，得
，
因为
在
上单调递增，则
解得
，
由
，则
，设
，
则
，因为
，
，
所以函数
在
上的零点最多有2 个；
故选：A.
5．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）函数
在区间
上的零点个数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【解析】求函数
在区间
上的零点个数，
转化为方程
在区间
上的根的个数.
由
，得
或
，
解得：
或
或
，
所以函数
在区间
上的零点个数为3.
故选：A.
6．（2023·四川凉山·二模）已知
是定义域为
的偶函数且
，则函数
零点个数是（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】A
【解析】
时，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
，有
；
，有
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，
，
，
，
，
，
，
，
由零点存在定理，所以
在
，
，
上各有一个零点，
又
是定义域为
的偶函数，则函数
有6 个零点.
故选：A
7．（2023·江西赣州·统考一模）若函数
，则方程
的实根个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【解析】由
，
则可作出函数
的图象如下：
由方程
，得
或
，
所以方程
的实根个数为3．
故选：A．
8．（2023·江西赣州·统考一模）已知函数
，则方程
的实根个数为
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【解析】
，解得
或
，
当
时，
，解得
，
，解得
（舍）；
当
时，
，解得
或
（舍），
，解得
或
（舍）；
综上，方程
的实根为
或
或
，
即方程
的实根个数为3 个，
故选：A.
9．（2023·陕西咸阳·统考一模）已知定义在
上的偶函数
满足：当
时，
，
且
，则方程
实根个数为（ ）
A．6
B．8
C．9
D．10
【答案】B
【解析】因为函数
满足
，
所以，
，即函数
为周期函数，周期为
，
因为当
时，
，
所以，当
时，
恒成立，
所以，函数
在
上单调递增，
因为
为定义在
上的偶函数，
令
，则定义域为
，
，
所以函数
为定义在
上的偶函数，
因为
因为
，
所以
所以，作出函数
，
图象如图，
由图象可知，当
时，函数
与
图象有4 个交点，
所以，由偶函数的对称性可知，当
时，函数
与
图象有4 个交点，
所以，方程
实根个数为个.
故选：B
10．（2022·陕西西安·长安一中校考模拟预测）已知函数
，
，
的
零点分别为
、
、，则
、
、的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数
、
均为
上的增函数，故函数
为
上的增函数，
因为
，
，所以，
，
因为函数
、
在
上均为增函数，故函数
在
上为增函数，
因为
，
，所以，
，
由
可得
，因此，
.
故选：A.
11．（2022·河北石家庄·统考模拟预测）若
，则下列不等关系一定不成立的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，得
．
由
，得
，
，
作函数
，
，
的图象，再作直线
．
变换m 的值发现：
，
，
均能够成立， D 不可能成立.
故选：D．
12．（2022·陕西西安·统考模拟预测）已知函数
，
，
的零点依次
为
，则以下排列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
，
，
的零点依次为
，
在同一直角坐标系中画出
，
，
与
的图像如图所示，由图可知
，
，
，满足
故选：B．
13．（2023·上海嘉定·校考三模）已知函数
，若满足
（
、
、互不相等），则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】作出函数
的图象，如图所示：
不妨设
，
因为
，
由函数的性质得
，
，即
，
所以
，
故选：D
14．（2023·河南·统考三模）已知函数
是定义域为
的偶函数，且满足
，当
时，
，则关于
的方程
在
上所有实数解之和为（ ）
A．9
B．
C．
D．7
【答案】B
【解析】函数
是定义域为
的偶函数，当
时，
，则当
时，
，
又
，则函数
的周期是3，显然
，
即直线
是
图象的一条对称轴，因此直线
是
图象的对称轴，
函数
的最小正周期是
，直线
是
图象的对称轴，
函数
与
在当
时取得相同最大值
，
在同一坐标平面内作出函数
与
的图象，如图，
观察图象知，函数
与
在
上有7 个公共点，对应横坐标依次为
，
由对称性知，
，于是
，
所以关于
的方程
在
上所有实数解之和为
.
故选：B
15．（2022·江西·江西师大附中校考三模）定义在R 上的函数
满足
，
且当
时，
.则函数
的所有零点之和为（ ）
A．7
B．14
C．21
D．28
【答案】B
【解析】依题意，
是奇函数.又由
知，
的图像关于
对称.
，
所以
是周期为4 的周期函数.
，
所以
关于点
对称.
由于
从而函数
的所有零点之和即为函数
与
的图像的交点的横坐标之和.
而函数
的图像也关于点
对称.
画出
，
的图象如图所示.由图可知，共有7 个交点，所以函数
所有零
点和为
.
故选：B
16．（2022·全国·模拟预测）已知函数
，实数
，
是函数
的零点，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意，作出直线
和函数
的大致图象如图所示，
易得
，
且
，（易错：注意
，
的范围不是
）
由
，即
，
得
，则
，
所以
，
令
，则
，
，
所以
.
因为
在
上单调递减函数，所以
.
即
.
故选：D
17．（2022·江西新余·新余市第一中学校考模拟预测）已知定义在
上的奇函数
，满足
，且当
时，
，若方程
在区间
上有四个
不同的根
、
、
、
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数
为
上的奇函数，所以，
，故函数
的图象关于直线
对称，
因为
，故函数
是周期为
的周期函数，
当
时，
，
因为函数
、
在
上均为增函数，故函数
在
上也为增函数，、
作出函数
和
在
上的图象如下图所示：
设
，由图可知，点
与点
关于直线
对称，
点
与点
关于直线
对称，
因此，
.
故选：A.
18．（2024 东济宁）已知函数
，若
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
函数
的图像如图所示，作出
交
两点，其横坐标分别为a、b，不妨设
.
由
可得：
，解得：
，
所以
记
，
任取
，则
。
因为
，所以
，所以
，
所以
则
在
上单调递减，所以
故选：C
19．（2023·江西宜春）已知函数
，若方程
有四个不同的解
，
，
，
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】方程
有四个不同的解等价于
与
有四个不同的交点，如下图所示：
则
与
关于
对称，
，
，
，
，
令
，解得：
；令
，解得：
；
，
在
上单调递增，
，
即
的取值范围为
.
故选：D.
20．（2023·江西宜春·江西省丰城拖船中学校考一模）已知定义在R 上的函数
满足
，
且
，若关于x 的方程
恰有5 个不同的实数根
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
是奇函数，
的函数图象关于原点对称.
作出函数
的图象如图所示：
由图象可知
，设
，
根据二次函数的对称性可知：
，
.
故选：B.
21．（2023·天津 ）已知函数
关于
的方程
，
.有四个不同的实数解
，
，
，
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】 作函数
的图象如图：
结合图象可知，
，
，
故
，
根据题意，
，
则
，
故
，
则
，
根据对勾函数
在
上单调递增，
故
在
上单调递增，
所以
，
故选：B.
22．（2023·海淀 ）设函数
若关于
的方程
有四个实数解
，其中
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，画出函数图像，如图所示：
根据图像知：
，
，故
，且
.
故
.
故选：
.
23（多选）．（2023·山东菏泽）已知
，
分别是函数
和
的零点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】令
，得
，即
，
，
令
，得
，即
，即
，
，
记函数
，
，则
，
所以函数
在
上单调递增，
因为
，
，所以
，故A 错误；
又
，所以
，
，
所以
，故B 正确；
所以
，故C 正确；
又
，所以
，结合
，得
，
因为
，所以
，且
，
因为
在区间
上单调递减，所以
，
即
，故D 正确；
故选：BCD
24．（2023·全国·统考高考真题）已知函数
在区间
有且仅有3 个零点，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
令
，则
有3 个根，
令
，则
有3 个根，其中
，
结合余弦函数
的图像性质可得
，故
，
故答案为：
.
25（2022·天津·统考高考真题）设
，对任意实数x，记
．若
至
少有3 个零点，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【解析】设
，
，由
可得
.
要使得函数
至少有个零点，则函数
至少有一个零点，则
，
解得
或
.
①当
时，
，作出函数
、
的图象如下图所示：
此时函数
只有两个零点，不合乎题意；
②当
时，设函数
的两个零点分别为
、
，
要使得函数
至少有个零点，则
，
所以，
，解得
；
③当
时，
，作出函数
、
的图象如下图所示：
由图可知，函数
的零点个数为，合乎题意；
④当
时，设函数
的两个零点分别为
、
，
要使得函数
至少有个零点，则
，
可得
，解得
，此时
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
26．（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数
有3 个零点，则实数a 的取值范围
为 ．
【答案】
【解析】设
，则
，
设
，则
，
设
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，
①当
时，
，则
，
所以
在
上单调递增，
所以
在
上至多一个零点，
所以
至多有一个零点，不符合题意；
②当
时，
，
令
，（
），
则
，
所以
在
上单调递增，
所以
，
所以
，
所以
，
又因为
，
，
，
所以由零点存在性定理可知，存在
，使得
；存在
，使得
，
所以当
时，
，当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增．
又因为
，
，
，
，
，
令
（
），则
，
所以
在
上单调递减，
所以
，
所以
，
所以
，
所以由零点存在性定理知，
在
，
，
上各有一个零点，
所以当
时，
在
，
，
上各有一个零点，
即：当
时，
在
，
，
上各有一个零点.
所以实数a 的取值范围为
.
故答案为：
.
27（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知函数
在区间
上有零点，则实数m 的取值
范围是 ．
【答案】
【解析】因为
与
在
上都单调递增，
所以
在
上单调递增，
因为
在区间
上有零点，
所以
，即
，即
，
解得
，
所以实数m 的取值范围为
.
故答案为：
.
28．（2023·广西梧州·校考一模）若函数
在区间
内恰有一个零点，则实数a 的取
值范围是 ．
【答案】
【解析】当
时，
，符合题意，
当
时，二次函数
的判别式为：
，
若
，此时函数
的零点为
，符合题意；
当
时，只需
，所以
且
；
当
时，
，经验证符合题意；当
时，
，经验证符合题意；
所以实数a 的取值范围为
.
故答案为：
29．（2023·浙江·二模）已知函数
，则
至多有 个实数解.
【答案】7
【解析】由
可得
，由
知
，
，
当
时，
，
，
当
时，
，
在
单调递增，
当
时，
，
在
单调递减，
当
时，
，
，
在
单调递增，
则可作出函数
的大致图像如图：
三个图分别对应
时的情况，
设
，则
即
，
则
的解的个数问题即为
的交点个数问题，
结合
的图象可知
的交点个数最多是3 个，
即为图2 个和图3 所示情况，
不妨设交点横坐标为
，当如图2 所示时，
，
此时
无解，
有1 个解，
最多有3 个解，
故此时最多有4 个解；
当如第3 个图所示时，
，
此时
有一个解，
最多有3 个解，
最多有3 个解，
故此时最多有7 个解；
故答案为：7
30．（2023·甘肃武威·统考三模）已知函数
满足：当
时，
，且
对任意
都成立，则方程
的实根个数是 ．
【答案】4
【解析】依题意，函数
是以4 为周期的偶函数，当
时，
，
则当
时，
，
方程
，
因此原方程的实根就是函数
与函数
的图象的交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数
与
的图象，如图，
观察图象知，当
时，两函数图象只有一个交点，
当
时，由
得
，即当
时，两函数图象只有一个公共点，
于是当
时，函数
与
的图象有2 个公共点，
又函数
与
均为偶函数，则当
时，两个函数图象有2 个公共点，
所以函数
与
的图象有4 个公共点，即原方程有4 个根．
故答案为：4
31（2023·全国·模拟预测）已知
则函数
的零点个数是
．
【答案】7
【解析】函数
的零点即为方程
的根，解方程
得
或
．
作出函数
的图像，如图所示．
由图像知直线
与
的图像有4 个交点，直线
与
的图像有3 个交点．
因此函数
的零点有7 个．
故答案为：7
32．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）已知函数
，则函数
零点的个数是 ．
【答案】
【解析】令
，即
，解得
或
，
作出函数
的图象如图，
由图可知，方程
有个实数解，
有个实数解，且均互不相同，
所以，
的实数解有个，
所以，函数
零点的个数是个.
故答案为：
33．（2022·内蒙古呼和浩特·统考二模）若
，
，
，则x、y、z 由小到大的顺序
是 .
【答案】
【解析】依题意，
，
，
，
，
因此，
成立的x 值是函数
与
的图象交点的横坐标
，
成立的y 值是函数
与
的图象交点的横坐标
，
成立的z 值是函数
与
的图象交点的横坐标
，
在同一坐标系内作出函数
，
的图象，如图，
观察图象得：
，即
，所以x、y、z 由小到大的顺序是
.
故答案为：
34．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）对于函数
，若关
于x 的方程
恰有3 个不同的实根
,
,
，则
.
【答案】
/
【解析】由题意，作出函数
的图象，如图所示，
若关于x 的方程
恰有3 个不同的实根
,
,
，不妨设
，
则
，此时
，又
，则
，
所以
.
故答案为：
.
35．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知函数
的定义域为
，且
，函数
在区间
内的所有零点为
（i=1，2，3，…，
n）．若
，则实数a 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数
的零点即为函数
的图象与函数
的图象的交点的横坐标，先
作出函数
在区间
上的图象，
又当
时，
，所以当
时，
，
再作出函数
的图象，如图所示：
由图象可得：
，
，
，…，
，则
，
若
，得
，则实数a 的取值范围是
.
故答案为：
36．（2023·全国·校联考三模）已知函数
的部分图象如图所示，同
时满足
，若函数
在区间
上共有8 个零点，则这8 个零点之和为
.
【答案】
【解析】由题图知
.由
知，函数
的图象关于直线
对称.
则由图象可知
，解得
.
又
，所以
.所以
，最小正周期
.所以
.
所以
.因为函数
的图象经过点
，
所以
，解得
.
又
，所以
，所以
.
设方程
在
上的8 个根从小到大依次为
.
令
，则
.根据
的图象的对称性，可得
.
由
的周期性可得
，
所以
.
故答案为：
.
37．（2023·广东·统考一模）已知
是定义在
上的奇函数，且
在
上单调递减，
为
偶函数，若
在
上恰好有4 个不同的实数根
，则
.
【答案】24
【解析】由
为偶函数，则
，故
，
又
是定义在
上的奇函数，则
，
所以
，故
，即有
，
综上，
的周期为8，且关于
对称的奇函数，
由
在
上单调递减，结合上述分析知：在
上递增，
上递减，
上递增，
所以
在
的大致草图如下：
要使
在
上恰好有4 个不同的实数根，即
与
有4 个交点，
所以，必有两对交点分别关于
对称，则
.
故答案为：24
38．（2023·福建宁德·福鼎市第一中学校考模拟预测）已知
的定义域为
,且
是奇函数,当
时,
,.函数
,则方程
的所有的根之和为 .
【答案】5
【解析】解:由题知
是奇函数,
则有:
,
关于
对称,且
,
当
时,
,
,
恒过
,且
关于
对称,
方程
的所有的根之和也即是两函数交点的横坐标和,
根据
对称性及解析式画出图象如下:
由图像可知
,
有5 个交点,其中一个交点横坐标为1,
另外四个,两两分别关于
对称,
故五个交点横坐标和为
,
即所有根之和5.
故答案为:5
39．（2022·甘肃兰州·统考模拟预测）函数
有三个零点
，且
，
则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设
，
因为函数
有三个零点
，且
，
所以
的图象与直线
交点的横坐标分别为
，且
，
作出
的图象如图所示，
由图可知
，且
是方程
的两个实根，
所以
，
因为
满足
，即
，
因为
，所以
，
所以
，
所以
，
即
的取值范围是
，
故答案为：
40．（2023·天津河北·统考二模）已知函数
，若存在实数
.满足
，且
，则
，
的取值范围是
.
【答案】 1
【解析】作出函数
的图象，如图，
因为
，
所以由图可知，
，即
，
，且
，
，
在
上单调递增，
，
即
的取值范围是
.
故答案为：1；
