文档文本内容
专题07 函数与导数常考压轴解答题
【目录】
..............................................................................................................................................2
...............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................4
............................................................................................................................................16
考点一：含参数函数单调性讨论...........................................................................................................................16
考点二：导数与数列不等式的综合问题...............................................................................................................18
考点三：双变量问题..............................................................................................................................................23
考点四：证明不等式..............................................................................................................................................27
考点五：极最值问题..............................................................................................................................................32
考点六：零点问题.................................................................................................................................................37
考点七：不等式恒成立问题..................................................................................................................................41
考点八：极值点偏移问题与拐点偏移问题............................................................................................................45
考点九：利用导数解决一类整数问题...................................................................................................................51
考点十：导数中的同构问题..................................................................................................................................54
考点十一：洛必达法则..........................................................................................................................................59
考点十二：导数与三角函数结合问题...................................................................................................................62
本节内容在高考中通常以压轴题形式出现，常见的有函数零点个数问题、不等式证明问题、不等式存
在性问题等，综合性较强，难度较大.在求解导数综合问题时，通常要综合利用分类讨论、构造函数、等价
转化、设而不求等思想方法，同时联系不等式、方程等知识，思维难度大，运算量不低.可以说，只要考生
啃下本节这个硬骨头，就具有了强大的逻辑推理、数学运算、数据分析、直观想象等核心素养.
考点要求
考题统计
考情分析
不等式
2023 年I 卷第19 题，12 分
2023 年甲卷第21 题，12 分
2023 年天津卷第20 题，16 分
2022 年II 卷第22 题，12 分
【命题预测】
函数与导数是高中数学的重要考查内
容，同时也是高等数学的基础，其试题的难
度呈逐年上升趋势，通过对近十年的高考数
学试题，分析并归纳出五大考点：
（1）含参函数的单调性、极值与最值；
（2）函数的零点问题；
（3）不等式恒成立与存在性问题；
（4）函数不等式的证明．
（5）导数中含三角函数形式的问题
其中，对于函数不等式证明中极值点偏移、
隐零点问题、含三角函数形式的问题探究和
不等式的放缩应用这四类问题是目前高考函
数与导数压轴题的热点．
极最值
2023 年乙卷第21 题，12 分
2023 年II 卷第22 题，12 分
恒成立与有解
2022 年 北京卷第20 题，12 分
2021 年天津卷第20 题，16 分
2020 年I 卷第21 题，12 分
零点问题
2022 年甲卷第21 题，12 分
2022 年I 卷第22 题，12 分
2022 年乙卷第20 题，12 分
1、对称变换
主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：（1）定函数（极
值点为
），即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0．
（2）构造函数，即根据极值点构造对称函数
，若证
，则令
．
（3）判断单调性，即利用导数讨论
的单调性．
（4）比较大小，即判断函数
在某段区间上的正负，并得出
与
的大小关系．
（5）转化，即利用函数
的单调性，将
与
的大小关系转化为与
之间
的关系，进而得到所证或所求．
【注意】若要证明
的符号问题，还需进一步讨论
与x0的大小，得出
所在
的单调区间，从而得出该处导数值的正负．
构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿
于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内
在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单
调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个
适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能
获得简洁明快的思路，有着非凡的功效
2、应用对数平均不等式
证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到
；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题．
3、 比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明
题中的不等式即可．
1．（2023•新高考Ⅰ）已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）证明：当
时，
．
【解析】（1）
，
则
，
①当
时，
恒成立，
在
上单调递减，
②当
时，令
得，
，
当
时，
，
单调递减；当
，
时，
，
单调递增，
综上所述，当
时，
在
上单调递减；当
时，
在
上单调递减，在
，
上单调递增．
证明：（2）由（1）可知，当
时，
，
要证
，只需证
，
只需证
，
设
（a）
，
，
则
（a）
，
令
（a）
得，
，
当
时，
（a）
，
（a）单调递减，当
，
时，
（a）
，
（a）单调递增，
所以
（a）
，
即
（a）
，
所以
得证，
即
得证．
2．（2023•乙卷）已知函数
．
（1）当
时，求曲线
在点
，
（1）处的切线方程；
（2）是否存在
，
，使得曲线
关于直线
对称，若存在，求
，
的值，若不存在，说明理
由；
（3）若
在
存在极值，求
的取值范围．
【解析】（1）
时，
（1）
，
，
（1）
，
曲线
在点
，
（1）处的切线方程为
．
（2）
，定义域为
，
，
，
要使函数
的图像关于
对称，则由
，且
，可知
，
即
的图像关于
对称，
则
（1）
，
，
得
，解得
．
综上，
，
；
（3）由函数的解析式可得
，
由
在区间
存在极值点，则
在区间
上存在变号零点，
令
，
则
，
令
，
在区间
存在极值点，等价于
在区间上存在变号零点，
，
，
当
时，
，
在区间
上单调递减，
此时
，
在区间
上无零点，不合题意，
当
，
时，由于
，
“
，
在区间
上单调递增，
，
在区间
上单调递增，
，
在区间
上无零点，不符合题意，
当
时，由
，可得
，
当
时，
“
，
单调递减，
当
，
时，
“
，
单调递增，
的最小值为
，
令
，则
，
函数
在定义域内单调递增，
（1）
，
恒成立，
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
（1）
，即
，当且仅当
时，取等号，
，
，
，
根据零点存在定理得：
在区间
上存在唯一零点
，
当
时，
，
单调递减，
当
，
时，
，
单调递增，
，
令
，则
，
则函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
（4）
，
，
，
函数
在区间
上存在变号零点，符合题意．
综上，实数
得取值范围是
．
3．（2023•甲卷）已知
，
．
（1）若
，讨论
的单调性；
（2）若
恒成立，求
的取值范围．
【解析】（1）已知
，函数定义域为
，
若
，此时
，
可得
，
因为
，
，
所以当
，即
时，
，
单调递增；
当
，即
时，
，
单调递减；
（2）不妨设
，函数定义域为
，
，
令
，
，
此时
，
不妨令
，
可得
，
所以
单调递增，
此时
（1）
，
①当
时，
，
所以
在
上单调递减，
此时
，
则当
时，
恒成立，符合题意；
②当
时，
当
时，
，
所以
，
又
（1）
，
所以在区间
上存在一点
，使得
，
即存在
，使得
，
当
时，
，
所以当
时，
，
单调递增，
可得当
时，
，不符合题意，
综上，
的取值范围为
，
．
4．（2023•天津）已知函数
．
（Ⅰ）求曲线
在
处的切线斜率；
（Ⅱ）当
时，求证：
；
（Ⅲ）证明：
．
【解析】（Ⅰ）对函数
求导，可得
，
则曲线
在
处的切线斜率为
（2）
；
（Ⅱ）证明：当
时，
，即
，即
，
而
在
上单调递增，
因此
，原不等式得证；
（Ⅲ）证明：设数列
的前
项和
，
则
；
当
时，
，
由（2），
，
故
，不等式右边得证；
要证
，只需证：对任意的
，
，
令
，则
，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
则
，即
，
则
，
因此当
时，
，
当
时，累加得
，
又
，
，
故
，即得证．
5．（2023•新高考Ⅱ）（1）证明：当
时，
；
（2）已知函数
，若
为
的极大值点，求
的取值范围．
【解析】（1）证明：设
，
，
则
，
，
在
上单调递减，
，
在
上单调递减，
，
即
，
，
，
，
设
，
，
则
，
在
上单调递增，
，
，
即
，
，
，
，
综合可得：当
时，
；
（2）
，
，
且
，
，
①若
，即
时，
易知存在
，使得
时，
，
在
上单调递增，
，
在
上单调递增，这显然与
为函数的极大值点相矛盾，故舍去；
②若
，即
或
时，
存在
，使得
，
时，
，
在
，
上单调递减，又
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，满足
为
的极大值点，符合题意；
③若
，即
时，
为偶函数，
只考虑
的情况，
此时
，
时，
，
在
上单调递增，与显然与
为函数的极大值点相矛盾，故舍去．
综合可得：
的取值范围为
，
，
．
6．（2022•甲卷）已知函数
．
（1）若
，求
的取值范围；
（2）证明：若
有两个零点
，
，则
．
【解析】（1）
的定义域为
，
，
令
，解得
，故函数
在
单调递减，
单调递增，
故
（1）
，要使得
恒成立，仅需
，
故
，故
的取值范围是
，
；
（2）证明：由已知有函数
要有两个零点，故
（1）
，即
，
不妨设
，要证明
，即证明
，
，
，
即证明：
，又因为
在
单调递增，
即证明：
，
构造函数
，
，
，
构造函数
，
，因为
，所以
，
故
在
恒成立，故
在
单调递增，
故
（1）
又因为
，故
在
恒成立，故
在
单调递增，
又因为
（1）
，故
（1）
，
故
，即
．得证．
7．（2022•新高考Ⅱ）已知函数
．
（1）当
时，讨论
的单调性；
（2）当
时，
，求
的取值范围；
（3）设
，证明：
．
【解析】（1）当
时，
，
，
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减．
（2）令
，
，
，
在
上恒成立，
又
，
令
，则
，
，
①当
，即
，存在
，使得当
时，
，即
在
上单调递增．
因为
，所以
在
内递增，所以
，这与
矛盾，故舍去；
②当
，即
，
，
若
，则
，
所以
在
，
上单调递减，
，符合题意．
若
，则
，
所以
在
上单调递减，
，符合题意．
综上所述，实数
的取值范围是
．
另
的导数为
，
①当
时，
，
所以
在
递增，所以
，与题意矛盾；
②当
时，
，
所以
在
递减，所以
，满足题意；．
③当
时，
．
设
，
，则
在
递减，所以
，
，所以
在
递减，所以
，满足题意；
④当
时，
，
令
，则
，
，
可得
递减，
，
所以存在
，使得
．当
时，
，
在
递增，此时
，
所以当
时，
，
在
递增，所以
，与题意矛盾．
综上可得，
的取值范围是
，
．
（3）由（2）可知，当
时，
，
令
得，
，
整理得，
，
，
，
，
即
．
另运用数学归纳法证明．
当
时，左边
成立．
假设当
时，不等式成立，即
．
当
时，要证
，
只要证
，
即证
．
可令
，则
，
，则需证明
，
再令
，则需证明
．
构造函数
，
，
，
可得
在
，
上递减，
则
（1）
，所以原不等式成立，
即
时，
成立．
综上可得，
成立．
8．（2021•天津）已知
，函数
．
（1）求曲线
在点
，
处的切线方程；
（2）证明函数
存在唯一的极值点；
（3）若
，使得
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围．
【解析】（1）因为
，所以
，而
，
所以在
，
处的切线方程为
；
（2）证明：令
，则
，
令
，则
，令
，解得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，当
时，
，
作出图象，如图，
所以当
时，
与
仅有一个交点，令
，
则
，且
，
当
时，
，
，
为增函数；
当
时，
，
，
为减函数；
所以
时是
的极大值点，故
仅有一个极值点；
（3）由（2）知
，
此时
，
，
所以
，
令
，
若存在
，使
对任意的
恒成立，
则等价于存在
，使得
，即
，
而
，
，
当
时，
，
为单调减函数，
当
时，
，
为单调增函数，
所以
（1）
，故
，
所以实数
的取值范围
，
．
考点一：含参数函数单调性讨论
1、导函数为含参一次型的函数单调性
导函数的形式为含参一次函数时，首先讨论一次项系数为0，导函数的符号易于判断，当一次项系数
不为雩，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数图像判定导函数的符号，写出函数的单调
区间．
2、导函数为含参二次型函数的单调性
当主导函数（决定导函数符号的函数）为二次函数时，确定原函数单调区间的问题转化为探究该二次
函数在给定区间上根的判定问题．对于此二次函数根的判定有两种情况：
（1）若该二次函数不容易因式分解，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域；
（2）若该二次函数容易因式分解，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判
定导函数的符号，从而判断原函数的单调性．
3、导函数为含参二阶求导型的函数单调性
当无法直接通过解不等式得到一阶导函数的符号时，可对“主导”函数再次求导，使解题思路清晰．
“再构造、再求导”是破解函数综合问题的强大武器．
在此我们首先要清楚
之间的联系是如何判断原函数单调性的．
（1）二次求导目的：通过
的符号，来判断
的单调性；
（2）通过赋特殊值找到
的零点，来判断
正负区间，进而得出
单调性．
例1．（2023·河北承德·高三校联考期中）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
【解析】（1）
，
所以
，
令
，得
．
当
时，
；
；
所以
在
上单调递增，在
上单调递减．
当
时，
；
；
所以
在
上单调递减，在
上单调递增．
例2．（2023·广东广州·高三广东广雅中学校考阶段练习）已知
.
(1)讨论
的单调性；
【解析】（1）由函数
，可得函数
的定义域为
，
且
，令
，
若
时，
，则
，可得
在
上单调递增；
若
时，因为
，
令
，解得
或
（舍去），
当
时，
，则
，可得
单调递增；
当
时，
，则
，可得
单调递减，
所以函数
的递增区间为
，递减区间为
；
若
时，函数
开口向下，对称轴为
且
，
当
时，
，则
，可得
在
上单调递增.
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，讨论函数
的单调性.
【解析】因为
的定义域为
，
所以
，其中
，
当
时，即
，
在
上单调递增，
当
时，即
，
令
，得
；
令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
考点二：导数与数列不等式的综合问题
在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过
程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法．可
以达到减少运算量的目的．
例4．（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）已知函数
.
(1)当
时，求
的极值；
(2)若
，求
的值；
(3)求证：
.
【解析】（1）当
时，
，
，
则
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
在
处取得极小值，无极大值；
（2）由题意得
，
①当
时，
，所以
在
上单调递增，
所以当
时，
，与
矛盾；
②当
时，当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
，
因为
恒成立，所以
，
记
，
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
，所以
，
又
，
所以
，
所以
；
（3）证明：先证
，
设
，则
，
所以
在区间
上单调递减，
所以
，即
，
所以
，
再证
，
由（2）可知
，当
时等号成立，
令
，则
，
即
，
所以
，
，
，
累加可得
，
所以
.
例5．（2023·广东·高三校联考阶段练习）设
，
.
(1)当
时，求函数
的最小值；
(2)当
时，证明：
；
(3)证明：
.
【解析】（1）因为
的定义域为
，且
，
所以
为偶函数，
下取
，
当
时，
，则
，
当
时，则
，可知
在
内单调递增，
当
时，令
，则
，
可知
在
内单调递增，
因为
，则
，使得
，
当
时，
；当
时，
；
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，且
，
则
在
内恒成立，可知
在
内单调递减；
综上所述：
在
内单调递减，在
内单调递增，
所以
在
内的最小值为
，
又因为
为偶函数，所以
在
内的最小值为
.
（2）由（1）可知
为定义在
上的偶函数，下取
，
可知
，令
，
因为
，则
，
则
在
内单调递增，可得
，
即
在
内恒成立，可知
在
内单调递增，
所以
在
内的最小值为
，
结合偶函数性质可知：
.
（3）由（2）可得：当
时，
，当且仅当
时，等号成立，
即
，令
，则
，
当
时，
，
即
，则有：
，
，
，
，
相加可得：
，
因为
，则
，所以
，
即
.
例6．（2023·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考阶段练习）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，求使
恒成立的最大偶数a．
(3)已知当
时，
总成立．令
，若在
的图像上有一点列
，若直线
的斜率为
，求证：
．
【解析】（1）当
时，
，
，
所以
，曲线
在点
处切线的斜率为
，
所以切线方程为
．
（2）当
时，使
等价于
，
令
，所以
，
令
，所以
，
所以
在
上单调递增，
又因为
，
，
所以
在
上
，使
，即
，
当
时，
，
；
当
时，
，
；
所以
在
上单调递减，
在
上单调递增，
所以
的最小值为
，
因为
，所以
，
所以
，且
，
所以使
恒成立的最大偶数为
．
（3）
时，
，
，
令
，则
，
令
，则
，
单调递增，
又
，所以，当
时，
，
单调递增，
又
，所以，当
时，
，
即
，则
，
，
．
考点三：双变量问题
破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的
不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．
例7．（2023·湖北荆门·高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习）已知函数
，
是大于0 的常
数.记曲线
在点
处的切线为，在
轴上的截距为
，
．
(1)当
，
时，求切线的方程；
(2)证明：
.
【解析】（1）因为
，所以曲线
在点
处切线方程为
．
即
，
当
，
时，
切线的方程为
．
（2）对于切线：
，
令
，得
，
由
得
，
因为
，所以
，
，
，令
，
，
令
，由
得
，
则当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
．
所以，当
，
，则
，
①当
时，
，
，
因为
，所以
，则
．
②当
时，
，
令
，
，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，
所以
，则
，
综上，
．
例8．（2023·海南海口·高三海南中学校考阶段练习）已知函数
.
(1)当
时，讨论函数
的单调性；
(2)若函数
有两个零点
，
，且
，求证：
(其中是自然对数的底数).
【解析】（1）函数
的定义域为
，
则
，
当
时令
，解得
或
，
当
，即
时
恒成立，所以
在
上单调递增；
当
即
时，令
，解得
或
，则
在
，
上单调递增，
令
，解得
，则
在
上单调递减；
当
即
时，令
，解得
或
，则
在
，
上单调递增，
令
，解得
，则
在
上单调递减；
综上可得， 当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减.
（2）因为
，由题意
，
是方程
的两个根，
①，
②，
①②两式相加，得
③，①②两式相减，得
④，
联立③④，得
，
，
设
，
，
，
，
，
因为
，所以
，则
，
若
，则一定有
，
只需证明当
时，不等式
成立即可，即不等式
成立，即不等式
成立，
设函数
，
，
在
上单调递增，故
时，
，
即证得
成立，
即证得当
时，
，即证得
，
，即证得
，则
．
例9．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）设函数
的两个极值点分别
为
，
．
(1)求实数
的取值范围；
(2)若不等式
恒成立，求正数
的取值范围（其中
为自然对数的底数）．
【解析】（1）由题
，定义域为
．
则
，由题可得
有两个不等实数根
，
，
于是
有两个不同的实数根，等价于函数
与
图象在
有两个不同的交点，
，由
，由
，
所以
在
递增，在
递减，
又
，
有极大值为
，当
时，
，所以可得函数
的草图（如图所示）．
所以，要使函数
与
图象在
有两个不同的交点，当且仅当
．
即实数
的取值范围为
（2）由（1）可知：
，
是方程
的两个实数根，且
．
则
．
由于
，两边取自然对数得
，
即
，
令
，则
在
恒成立．
所以
在
恒成立
令
，则
．
①当
即
时，
，
在
递增，所以
恒成立，满足题意．
②当
时，
在
递增，在
递减，所以，当
时，
，
因此，
在
不能恒成立，不满足题意．
综上所述，
，即
的取值范围是
．
考点四：证明不等式
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式
（或
）转化为证明
（或
），进而构造辅助函数
；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数．
（4）对数单身狗，指数找基友
（5）凹凸反转，转化为最值问题
（6）同构变形
例10．（2023·河北·高三校联考期中）已知函数
.
(1)当
时，比较
与
的大小；
(2)若函数
，且
，证明：
.
【解析】（1）设函数
，
可得
，
当
时，
，则
在区间
上单调递增，
所以
，所以
，所以
.
（2）证明：设函数
，
当
时，
，则
恒成立，
则由
，得
，
又
，所以
，
因为
，可得
，
令
，可得
，
所以
单调递增，即
在区间
上单调递增，
所以
，
所以
在区间
上单调递增，
又
，所以
，同理得
，
要证
，
只需证
，即证
.
因为
，所以
，
设函数
，则
，
所以
在区间
上单调递增，
因为
，所以
，所以
，
所以
，
所以
，即
.
例11．（2023·四川达州·统考一模）已知函数
.
(1)若
在
上有唯一零点，求
的取值范围；
(2)若
对任意实数
恒成立，证明：
.
【解析】（1）令
，得
，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
又
，
如图，作出函数
的图象，
由图可知，
的取值范围为
或
；
（2）因为
对任意实数
恒成立，
所以
是函数
的最小值，
，
当
时，
，所以函数
在
上为减函数，
所以函数
没有最小值，不符合题意，
当
时，
时，
，
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
综上所述，
，
则
，即
，
即
，即
，
令
，
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
，
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
因为
，
所以
，即
，
所以
.
例12．（2023·安徽安庆·高三安徽省太湖中学校考阶段练习）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若函数
的极大值为2，求实数
的值；
(3)在（2）的条件下，方程
存在两个不同的实数根
，证明：
.
【解析】（1）因为
，可得函数
的定义域为
，
所以
，
当
时，
在
恒成立，故函数
在
上单调递增；
当
时，若
，则
，故函数
在
上单调递增；
若
，则
，故函数
在
上单调递减；
综上所述，当
时，函数
在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
（2）因为
的极大值为2，所以由（1）可得
，
所以
，解得
此时
，
当
时，
，函数
在
上单调递增；
当
时，
，函数
在
上单调递减；
所以函数
在
处取得极大值，
即当
时，函数
有极大值为2；
（3）证明：由（2）可知，当
时，函数
在
上单调递增；在
上单调递减，
方程
存在两个不同的实数根
，不妨令
，
当
时，令
，
则
，
可得
所以函数
在
上单调递增，
，
又
，所以可得
，可得
；
而
，则
，
又
，
，且函数
在
上单调递减；
所以
，即
，
故
考点五：极最值问题
利用导数求函数的极最值问题．解题方法是利用导函数与单调性关系确定单调区间，从而求得极最值．
只是对含有参数的极最值问题，需要对导函数进行二次讨论，对导函数或其中部分函数再一次求导，确定
单调性，零点的存在性及唯一性等，由于零点的存在性与参数有关，因此对函数的极最值又需引入新函数，
对新函数再用导数进行求值、证明等操作．
例13．（2023·江苏·统考一模）已知实数
，函数
，是自然对数的底数.
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)求证：
存在极值点
，并求
的最小值.
【解析】（1）当
时，
，
则
令
，得
；令
，得
；
所以，函数
的单调增区间为
，单调减区间为
．
（2）
令
，因为
，
所以方程
，有两个不相等的实根
，
又因为
，所以
，令
，列表如下:
-
0
+
减
极小
值
增
所以
存在极值点
.所以存在
使得
成立，
所以存在
使得
，
所以存在
使得
对任意的
有解，
因此需要讨论等式左边的关于
的函数，记
，所以
，
当
时，
单调递减；当
时，
单调递增．
所以当
时，
的最小值为
．
所以需要
，即需要
，
即需要
，即需要
因为
在
上单调递增，且
，
所以需要
，
故
的最小值是．
例14．（2023·全国·模拟预测）已知
，函数
，记
为函数
的极值点.
(1)若
是极小值点，证明：
；
(2)若
是极大值点，证明：
.
【解析】（1）
.
当函数
与
的图象相切时，
，得
，
即切点为
，代入
得
由于
，所以函数
与
的图象有两个交点，
设其横坐标分别为
，不妨设
，
，
则当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减.
故
是
的极小值点，
是
的极大值点.
若
是极小值点，则
，
由
，得
，
所以
，其在
上单调递减，
又当
时，
，当
时，
，
所以
.
（2）若
是极大值点，则
.
①先证
.
记
，
，则
，
当
时，
，
在
上单调递减.
方法一：由于
，所以
.
又因为
，所以
.
方法二：构造
，
.
则
.
因为
，所以
在
上单调递增，
所以
，所以
.
②再证
.
，令
，
，
当
时，
，
所以
在
上单调递减，所以
，即
，
由
即
的单调性知
.
综上，
.
例15．（2023·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）已知函数
有三个极值点
，且
.
(1)求实数
的取值范围；
(2)若2 是
的一个极大值点，证明：
.
【解析】（1）根据题意可知，函数
的定义域为
，
则
，
由函数
有三个极值点
可知
在
上至少有三个实数根；
显然
，则需方程
，也即
有两个不等于2 的不相等的实数根；
由
可得
，
，
令
，则
，
显然当
时，
，即
在
上单调递减；
当
时，
，即
在
上单调递增；
所以
，
画出函数
与函数
在同一坐标系下的图象如下图所示：
由图可得
且
时，
在
上有两个不等于2 的相异的实数根，
经检验可知当
时，导函数
在
左右符号不同，即
均是
的变号零点，满足题意；
因此实数
的取值范围时
（2）根据题意结合（1）中的图象，由
可知
，
若2 是
的一个极大值点，易知函数
在
上单调递减，可知
；
因此
是方程
的两个不相等的实数根，即
所以
，
同理可得
，
所以
由
可知
,
所以
又
，要证
，
即证
，也即
，所以
；
只需证
，即
可得
；
由（1）可得
，所以可得
，
且根据（1）中结论可知函数
在
上单调递减；
所以要证证
，即证
，又
，即
，
即证
，即
，
可得
，即
，可得
，
令
，则
，
令
，则
，所以
在
上单调递减，
即
，所以
，即
在
上单调递减；
因此
，即可得证.
考点六：零点问题
函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参
数的值或取值范围．
求解步骤：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线
）在某区间上的
交点问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；
第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数．
例16．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知
，为自然对数的底数.
(1)若函数
在
处的切线平行于
轴，求函数
的单调区间；
(2)若函数
在
上有且仅有两个零点，求实数
的取值范围.
【解析】（1）因为
，所以
，
又函数
在
处的切线平行于
轴，则
，
即
，解得
，
此时
，令
，解得
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
（2）因为
在
上有且仅有两个零点，
令
，则
，即
在
上有且仅有两个零点，
令
，
，则问题转化为
与
的图象有两个交点，
又
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
所以
在
处取得极大值
，
又
，
，
作出
与
的大致图象，如图，
结合图象可得
，
所以实数
的取值范围为
.
例17．（2023·全国·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程．
(2)若
有两个零点，求实数
的取值范围．
【解析】（1）当
时，
，则
，
，所以
．
故曲线
在点
处的切线方程为
，即
．
（2）由
有两个零点，
得方程
在
上有两个不同的实数解．
当
时，显然方程没有正实数解，所以
．
则方程
在
上有两个不同的实数解．
令
，则
．
显然
在
上为减函数，又
，
所以当
时，
；当
时，
．
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，且
．
当
时，
；当
时，
，
要使方程
在
上有两个不同的实数解，
则
与
的图象在
上有两个不同的交点，
结合图象可知
，解得
，
综上，实数
的取值范围为
．
例18．（2023·北京顺义·高三校考阶段练习）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程和
的极值；
(2)证明
在
恒为正；
(3)证明：当
时，曲线
：
与曲线
：
至多存在一个交点．
【解析】（1）因为
，
所以
，
又
，所以曲线
在点
处的切线方程为
.
解
得
，解
得
，
所以函数
在
上单调递减，在
单调递增，
故当
时，函数
有极小值
.
（2）因为
，
所以函数
在
单调递增，
又
，
所以，当
时，总有
，
即
在
恒为正.
（3）令
，得
，
记
，
则曲线
至多有一个交点，等价于函数
至多有一个零点.
求导得
，其中
，
由（2）知，
在
单调递增，
因为
，
，
所以函数
存在唯一零点
，且
，
当
时，
，则
，函数
单调递减；
当
时，
，则
，函数
单调递增.
所以当
时，
取得最小值
，
又
为函数
的零点，所以
，则
，
所以
，
当
时，
，此时
无零点，即曲线
无交点；
当
时，
，此时
存在唯一零点
，即曲线
存在一个交点.
综上，当
时，曲线
至多有一个交点.
考点七：不等式恒成立问题
1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数
后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论
法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1）
，
；
（2）
，
；
（3）
，
；
（4）
，
．
3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数
，
，
，
．
（1）若
，
，有
成立，则
；
（2）若
，
，有
成立，则
；
（3）若
，
，有
成立，则
；
（4）若
，
，有
成立，则
的值域是
的值域的子集．
例19．（2023·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）已知函数
(1)求函数
在
处的切线方程．
(2)对任意
，当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
【解析】（1）因为
，
，则切点坐标为
，
所以
，则函数
在
处的切线斜率
，
所以切线方程为
.
（2）由（1）可知
，所以
在
上单调递增，
故当
时，
，
，
又
，所以原不等式可化为
，
从而有
，
令
，则
，即
在
上单调递减，
，
所以
，即
在
上恒成立，
令
，则
，
时
；
时
，
故
在
单调递增，在
单调递减，
从而只需
，
故
的取值范围为
．
例20．（2023·河南·高三校联考期末）已知函数
．
(1)若
的图象在点
处的切线平行于
轴，求
的单调区间；
(2)若当
时，
恒成立，求实数
的取值范围．
【解析】（1）因为
，
所以
，
因为
在点
处的切线平行于
轴，
所以
，
解得
，
所以
所以
，
令
，
则
，
所以
在
上单调递减，
即
在
上单调递减，
又
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
（2）
等价于
．
当
时，
式恒成立，
当
时，
式即
．
设
，
则
．
若
，因为
，
所以
在
上单调递增，
所以
，所以
．
若
，令
，得
．
若
，即
，则
在
上单调递增，
则
，解得
．
若
，即
，
则当
时，
，故
在
上为减函数，
当
时，
，故
在
为增函数，
所以
在
处取得最小值，
且
，
解得
．
综上所述，所求的
的取值范围是
．
例21．（2023·浙江湖州·高三校考期末）已知函数
在定义域内有两个不同的零点
，．
(1)求证：
(2)已知
，若存在
，不等式
对任意的
总成立，求
的取值范围．
【解析】（1）
的定义域为
，
，
当
时，
恒成立，
此时
在
上单调递减，不会有两个不同的零点，舍去，
当
时，令
得
，此时
单调递增，
令
得，
，此时
单调递减，
故
在
处取得极小值，
，
又
和
时，
，
要想有两个不同的零点
，则
，
解得
；
（2）由（1）可知，
，
，故
，
两边取自然对数得，
，
因为存在
，故
，
由题意得，
，故
，设
，
则
，故
且
，
所以
，其中
，
故
，故
，
故
在
上恒成立.
设
，
则
，设
，则
，
当
时，
，故
为
上的减函数，故
，
故
在
上的增函数，故
，
故
在
上恒成立.
当
时，当
时，
，
故
为
上的增函数，故
，
故
为
上的减函数，故
，
故
在
上恒成立，这与题设矛盾.
故
的取值范围是
.
考点八：极值点偏移问题与拐点偏移问题
1、极值点偏移的相关概念
所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对
称性．若函数f ( x )在x=x0处取得极值，且函数y=f ( x)与直线y=b 交于A( x1,b),B( x2,b)两点，则
AB 的中点为M ( x1+x2
2
,b)，而往往x0≠x1+x2
2
．如下图所示．
图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移
极值点偏移的定义：对于函数y=f ( x)在区间(a,b)内只有一个极值点x0 ，方程f ( x )的解分别为
x1、x2，且a<x1<x2<b ，（1）若
x1+x2
2
≠x0 ，则称函数y=f ( x)在区间( x1, x2)上极值点x0 偏移；
（2）若
x1+x2
2
>x0 ，则函数y=f ( x)在区间( x1, x2)上极值点x0 左偏，简称极值点x0 左偏；（3）若
x1+x2
2
<x0 ，则函数y=f ( x)在区间( x1, x2)上极值点x0 右偏，简称极值点x0 右偏．
例22．（2023·江西·统考模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，且
，证明：
，且
．
【解析】（1）
的定义域为R，
由题意，得
，
，
当
时，
恒成立，
在
上单调递增；
当
，且当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增．
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增．
（2）证明：由
，得
，
是方程
的两个实数根，
即
是方程
的两个实数根．
令
，则
，
所以当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
所以
．
因为当
时，
；当
时，
，
，所以
．
不妨设
，因为
，
是方程
的两个实数根，则
．
要证
，只需证
．
因为
，
，
所以只需证
．
因为
，
所以只需证
．
今
，
，
则
在
恒成立．
所以
在区间
上单调递减，
所以
，
即当
时，
．
所以
，
即
成立．
例23．已知函数
．
（1）求曲线
在点
，
（1）处的切线方程；
（2）若关于
的不等式
恒成立，求整数
的最小值；
（3）若正实数
，
满足
，证明：
．
【解析】解：（1）
，
（1）
，
（1）
，
切线方程是：
，即
；
（2）令
，
，
时，
，
，
在
递增，
（1）
，
关于
的不等式
不能恒成立，
时，
，
令
，得
，
时，
，
，
时，
，
故函数
在
递增，在
，
递减，
故函数
的最大值是
，
令
（a）
，则
（a）在
递减，
（1）
，
（2）
，
时，
（a）
，故整数
的最小值是2；
（3）证明：由
，
得
，
从而
，
令
，则由
，
得
，可知
在区间
递减，在
递增，
故
（1）
，
，
又
，
故
成立．
例24．（2023·陕西汉中·高三西乡县第一中学校联考期中）已知函数
，
.
(1)求函数
的极值；
(2)若
，求函数
的最小值；
(3)若
有两个零点
，
，证明：
.
【解析】（1）由题意知函数
的定义域为
，
，
，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
处取得极大值，极大值为
，无极小值.
（2）由题意知函数
的定义域为
.
，
则
，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
所以
.
（3）不妨设
，则由（2）知
，
.
设
，由
，得
，
即
，
因为函数
在R 上单调递增，所以
成立.
构造函数
，则
，
，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
构造函数
，则
，
所以函数
在
上单调递增，
所以当
时，
，即当
时，
，
所以
，
又
在
上单调递减，
所以
，即
.
例25．（2023·重庆渝中·高三统考期中）已知函数
．
(1)若函数
是减函数，求
的取值范围；
(2)若
有两个零点
，且
，证明：
．
【解析】（1）
的定义域为
，
，
函数
是减函数，故
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，
令
，
，
，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
故
在
处取得极大值，也是最大值，且
，
故
，解得
，
故
的取值范围是
；
（2）若有两个零点
，则
，
得
．
，令
，则
，
故
，
则
，
，
令
，则
，
令
，则
，
在
上单调递增，
，
，则
在
上单调递增，
，即
，
故
.
考点九：利用导数解决一类整数问题
分离参数、分离函数、半分离
例26．（2023·贵州黔东南·高三校考期末）已知函数
，
．
(1)当
时，求证：
；
(2)若
是函数
的导函数，且
在定义域
内恒成立，求整数a 的最小值．
【解析】（1）当
时，则
，
令
，
，
则
，
，
令
，且
，则
，
所以
在
单调递增，又
，
，
则
在
存在唯一零点
，使得
，即
，
当
时，
，则函数
单调递减，
当
时，
，则函数
单调递增，
所以
时，
有极小值，即最小值，
即
，
所以
，其中
，即
，
所以
，即
.
（2）因为
，由
在定义域
内恒成立，
即
，
当
时，
，
则
在
内恒成立，
令
，
，则
，
当
时，
，则
单调递增，
当
时，
，则
单调递减，
所以当
时，
有极大值，即最大值，
，
所以
，即
在
内恒成立，
令
，
，则
，
则
，
当
时，
，所以
，则整数a 的最小值为.
例27．（2023·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）已知函数
(1)求
的零点个数；
(2)若
恒成立，求整数
的最大值.
【解析】（1）
，
设
，则
当
时，
，
函数
在
上单调递增，即函数
在
上单调递增，
，
使得
，当
时，
，
当
时，
，
因此
在
上单调递减，在
上单调递增，
当
时，
函数
在
上单调递增。
综上，在
上单调递减，
在
上递增.
又
，
，
使得
函数
在
上有两个零点.
（2）
恒有
，由（1）知，
，
，由
得:
，
令
，
则
，
函数
在区间
上单调递减，
，
又
，
整数
的最大值为
.
例28．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）已知函数
，
，
为
自然对数底数．
(1)证明：当
时，
；
(2)若不等式
对任意的
恒成立，求整数
的最小值．
【解析】（1）记
，
则
，
所以
在
上单调递增，
又
，
所以，当
时，
，即
.
（2）令
，
由题可知，当
时，
恒成立.
因为
，所以
，
因为
，所以
，即
，
所以
，
因为
，所以
.
当
时，
，故
.
当
时，不等式
等价于
，
设
，
由（1）知，
，
，
记
，
易知，
在
上单调递减，且
，
所以，当
时，
，即
，
单调递增；
当
时，
，即
，
单调递减.
故当
时，
取得最大值
.
所以，
在区间
上恒成立，
所以，整数
的最小值为4.
考点十：导数中的同构问题
1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式
2、同构式的应用：
（1 ）在方程中的应用：如果方程
和
呈现同构特征，则
可视为方程
的两个根
（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进
而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．<同构小套路>
①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：
，
；寻找“亲戚函数”是
关键；
③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围．
（3）在解析几何中的应用：如果
满足的方程为同构式，则
为方程所表示曲
线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线
的方程
（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于
与
的同
构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解
例29．已知函数
．
（Ⅰ）求函数
的单调区间；
（Ⅱ）设
，
，
，若对任意
，
，
，且
，都有
，求实
数
的取值范围．
【解析】解：（Ⅰ）已知函数
．
，
当
时，函数定义域为
，
恒成立，此时，函数在
单调递增；
当
时，函数定义域为
，
恒成立，此时，函数在
单调递增．
（Ⅱ）
时，函数定义域为
，
在
，
上递增，而
在
，
上递减，
不妨设
，则
，即
，等价于
即
令
等价于函数
在
，
上是减函数，
，
令
即
，
即
在
，
恒成立，分离参数，
得
，
令
，
．
在
，
递减，
（1）
，
，
又
，
，
，
又
，故实数
的取值范围为
，
．
例30．已知函数
．
（1）求曲线
在点
，
处的切线方程；
（2）若对任意的
，
恒成立，求实数
的取值范围．
【解析】解：（1）
，所以
．又
，
所以曲线
在点
，
处的切线方程为
．
（2）解法
，
令
，则
，
令
，则
，所以
是增函数，
又
，
（1）
，由零点存在定理及
是增函数，
知存在唯一的
，使得
，
当
时，
，
，
单调递减，
当
，
时，
，
，
单调递增，
所以
．
由
，得
，即
，
令
，则
，
是增函数，
又
，
，所以
①，
①两边取自然对数，得
，即
，所以
②，
由①②，得
，
于是
，即
．所以实数
的取值范围是
，
．
例31．已知函数
和
有相同的最小值．
（1）求
；
（2）证明：存在直线
，其与两条曲线
和
共有三个不同的交点，并且从左到右的三
个交点的横坐标成等差数列．
【解析】解：（1）
定义域为
，
，
，
若
，
则
，
无最小值，
故
，
当
时，
，当
时，
，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
故
，
的定义域为
，
，
，
令
，解得
，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
，
上单调递增，
故
，
函数
和
有相同的最小值
，
，
化为
，
令
，
，
则
，
，
恒成立，
在
上单调递增，
又
（1）
，
（a）
（1），仅有此一解，
．
（2）证明：由（1）知
，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
设
，
则
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递增，因为
（1）
，
所以当
时，
（1）
恒成立，即
在
时恒成立，
所以
时，
，
因为
，函数
在
上单调递增，
（1）
，函数
在
上单调递减，
所以函数
与函数
的图象在
上存在唯一交点，设该交点为
，
，
此时可作出函数
和
的大致图象，
由图象知当直线
与两条曲线
和
共有三个不同的交点时，
直线
必经过点
，
，即
，
因为
，所以
，即
，
令
得
，解得
或
，由
，得
，
令
得
，解得
或
，由
，得
，
所以当直线
与两条曲线
和
共有三个不同的交点时，
从左到右的三个交点的横坐标依次为，
，
，
，
因为
，所以
，
所以
，
，
成等差数列．
存在直线
，其与两条曲线
和
共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横
坐标成等差数列．
考点十一：洛必达法则
法则1、若函数
和
满足下列条件：
（1）
及
；
（2）在点的去心邻域
内，
与
可导且
；
（3）
，那么
=
．
法则2、若函数
和
满足下列条件：（1）
及
；
（2）
，
和
在
与
上可导，且
；
（3）
，
那么
=
．
法则3、若函数
和
满足下列条件：
（1）
及
；
（2）在点的去心邻域
内，
与
可导且
；
（3）
，
那么
=
．
注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
（1）将上面公式中的
，
，
，
洛必达法则也成立．
（2）洛必达法则可处理
，
，
，
，
，
，
型．
（3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足
，
，
，
，
，
，
型定式，否
则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，
应从另外途径求极限．
（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．
，如满足条件，可继续使用洛必达法则．
例32．已知函数
，若当
时，
，求
的取值范围．
【解析】由题意可知，当
时，
，等价于
，则有
，
设
，则
．
又设
，则
，
所以
在
上单调递增，而
，
所以
在
上单调递增，
对于
，当
时，
，
所以
符合洛必达法则条件，
所以
，
即当
时，
的取值范围是
．
例33．已知函数
，如果当
，且
时，
，求
的取值范围．
【解析】根据题目的条件，当
且
时，
得
，等价于
．
设
，
因为
，设
，
则
，
所以
在
上单调递增，
因为
，所以当
时，
，
即
在
上单调递减，当
在
上单调递增．
当
时，
，当
时，
，所以
符合洛必达法则的条件，
即
，
所以当
时，
的取值范围是
．
例34．已知函数
．当
时
，求
的取值范围．
【解析】由题意可知，当
时，即
等价于
．
设
，则
设
，则
，因为
，所以
，
即当
时，
，所以
在
上单调递减，
当
时，
，当
时，
满足洛必达法则，
所以
，
即当
时，
的取值范围是
．
考点十二：导数与三角函数结合问题
分段分析法
例35．（2023·福建三明·高三三明一中校考开学考试）已知曲线C：
(1)若曲线C 过点
，求曲线C 在点P 处的切线方程；
(2)当
时，求
在
上的值域；
(3)若
，讨论
的零点个数．
【解析】（1）依题意得，
，此时
，
，
则切线斜率为
，
故切线方程：
，即
；
（2）当
时，
，则
，
∴
，
∴
在
上单调递减，
又
，
，
故
值域为
．
（3）
，
令
得
，
令
得
，
令
得
．
减区间为
，增区间为
，
∴
．
当
时，
，∴
，∴
在
上有且仅有一个零点．
当
时，令
，
，∴
在
上单调递增，
∴
，即
，
又
，∴
在
上有一个零点，又
令
，则
，∴
在
上单调递减，
∴
，∴
，∴
在
上有一个零点．
综上所述，
时，
有一个零点，
时，
有2 个零点.
例36．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若两个不相等的正实数a，b 满足
，求证：
；
(3)若
，求证：
.
【解析】（1）函数
的定义域是
.
由
，得
在
上单调递减；
由
，得
在
上单调递增，
综上知，
的单调递减区间是
，单调递增区间是
.
（2）由（1）得
在
的值域为
，
在
上的值域为
.注意到
，
.
不妨设
，则欲证
，即证
.
由于
由（Ⅰ）得
在
上单调递增，
故只需证
，
由已知
，即证
，也即
，
方法一：令
，
.
，
由
，在
单调递增，
得
单调递增，
且
.
由于
，故
满足
.
由
单调递增知：
当
时
，
单调递减，值域为
；
当
时
，
单调递增，值域为
；
设
，
，则
，
单调递减，
故
，即
，
取
，得
，即
综上，得
，即
，
得证.
方法二：（重新同构）
令
，即
，证：
，
由于
，从而
.
故要证
成立，只需
在
单调递增成立即可.
，
令
，
，则
，
在
单调递减，
，
，
故
在
单调递增成立，原命题成立.
方法三：（比值代换）由对称性，不妨设
，
，
则
由于
，欲证
，
即证：
，即证
，
可变为
，由证法二可知成立，从而得证；
方法四：（切、割线放缩）1、由于
故
，即
；
2、由方法二知
，
，
故
，即
，故
，
；
由1、2 知
，故
成立，原命题成立.
（3）由（2）知
，
①当
时，
在
上单调递增，
故
.
②当
时，
由
，取
，
得
（
）时，
有
，即
.
由
在
上单调递增，故
，
综上，得
时，当
成立.
例37．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知函数
.
(1)若函数
，讨论函数
的单调性；
(2)证明：当
时，
.
【解析】（1）
，
，
当
时，在区间
上，
，
单调递增，
当
时，若
，即
时，
在区间
上，
，
单调递增，
若
，即
时，
函数
的开口向上，对称轴
，
令
，即
，
解得
，
而
，所以
是两个正根，
所以在区间
上，
单调递增，在区间
上，
单调递减.
综上所述，当
时，
在区间
上单调递增；
当
时，
在区间
上单调递增，
在区间
上单调递减.
（2）要证明：当
时，
，
即证明：当
时，
，
即证明：当
时，
，
构造函数
，
，函数
在
上为减函数，
，所以存在
，使
，
所以
在区间
上
单调递增，
在区间
上，
单调递减，
，
即
，所以当
时，
，
所以当
时，
.
