十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—不等式
目录
题型一：不等式的性质及其应用........................................1
题型二：解不等式....................................................4
题型三：基本不等式..................................................5
题型四：简单的线性规划问题..........................................7
题型五：不等式的综合问题...........................................34
题型一：不等式的性质及其应用
一、选择题
1．(2019·天津·理·第6 题) 已知
，
，
，则
的大小关系为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：
，
，即
，
，所以
．
2．(2019·全国Ⅰ·理·第3 题) 已知
，
，
，则( )
A．
B．
C．
D．
【答案】答案：B
解析：
，
，
，故
．
3．(2014 高考数学四川理科·第4 题) 若
，则一定有
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：由
，又
，由不等式性质知：
，所以
4 ．(2018 年高考数学课标Ⅲ卷（理）· 第12 题) 设
，
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：一方面
，
，所以
，
，所以
所以
即
，而
，所以
，所以
综上可知
，故选B．
5．(2014 高考数学湖南理科·第8 题) 某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为
，第二年的
增长率为
，则该市这两年生产总值的年平均增长率为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：设两年的平均增长率为
,则有
,故选D．
6 ．(2017 年高考数学山东理科· 第7 题) 若
0
a
b
, 且
1
ab
, 则下列不等式成立的是
( )
A．
2
1
log
2a
b
a
a
b
b
B．
2
1
log
2a
b
a
b
a
b
C．
2
1
log
2a
b
a
a
b
b
D．
2
1
log
2a
b
a
b
a
b
【答案】 B
【解析】
2
2
1,0
1,
1,log (
)
log 2
1,
2a
b
a
b
a
b
ab
1
2
1
1
2
log (
)
a b
a
a
b
a
a
b
b
b
,所以选B．
二、填空题
1．(2017 年高考数学北京理科·第13 题)能够说明“设, ,
a b c 是任意实数．若a
b
c
,则a
b
c
”是
假命题的一组整数, ,
a b c 的值依次为_________________________．
【答案】1, 2, 3
(答案不唯一)
【解析】
1
2
3, 1
2
3
3
出现矛盾,所以验证是假命题．
三、多选题
1．(2020 年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第11 题)已知a>0，b>0，且a+b=1，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
解析：对于A，
，
当且仅当
时，等号成立，故A 正确；
对于B，
，所以
，故B 正确；
对于C，
，
当且仅当
时，等号成立，故C 不正确；
对于D，因为
，
所以
，当且仅当
时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD
2．(2020 年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第12 题)已知a>0，b>0，且a+b=1，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
解析：对于A，
，
当且仅当
时，等号成立，故A 正确；
对于B，
，所以
，故B 正确；
对于C，
，
当且仅当
时，等号成立，故C 不正确；
对于D，因为
，
所以
，当且仅当
时，等号成立，故D 正确；故选：ABD
题型二：解不等式
一、选择题
1 ．(2015 高考数学北京理科· 第7 题) 如图，函数
的图象为折线
，则不等式
的解集是
( )
A
B
O
x
y
-1
2
2 C
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析：如图所示，把函数
的图象向左平移一个单位得到
的图象
时两图象相
交，不等式的解为
，用集合表示解集，故选C．
二、填空题
1．(2015 高考数学江苏文理·第7 题)不等式2x2−x<4 的解集为_______．
【答案】
解析：由题意得：
，解集为
2．(2017 年高考数学上海(文理科)·第7 题)不等式
1
1
x
x
的解集为________．
【答案】
,0
【解析】
1
1
1
1
0
0
x
x
x
,解集为(
,0)
．
题型三：基本不等式
一、填空题
1．(2021 高考天津·第13 题)若
，则
的最小值为____________．
【答案】
解析：
，
，
当且仅当
且
，即
时等号成立， 所以
的最小值为
．
故答案
：
．
2．(2020 天津高考·第14 题)已知
，且
，则
的最小值为_________．
【答案】4
【解析】
，
,
，当且仅当
=4 时取等号，
结合
,解得
，或
时，等号成立．
故答案为：
3．(2020 江苏高考·第12 题)已知
，则
的最小值是_______．
【答案】
【解析】
,
且
，当且仅当
，即
时取等
号．
的最小值为
．故答案为：
．
4 ．(2019· 天津· 理· 第13 题) 设
，则
的最小值为
．
【答案】
解析：
，
，当且仅当
即
或
时等号成立，因为
，所以
，故
的最小值为
．
5．(2019·上海·第7 题)若
，且
，则
的最大值为________.
【答案】
【解析】法一：
，∴
；
法二：由
，
(
)，求二次最值
.
6．(2019·江苏·第10 题)在平面直角坐标系
中，
是曲线
上一动点，则点
到直线
的距离最小值是______.
【答案】4
【解析】法1：由已知，可设
，所以
.
当且仅当
，即
时取等号，故点
到直线的距离的最小值为4.
法2：距离最小时，
，则
，所以
,所以最小值为4.
7．(2018 年高考数学江苏卷·第13 题)在
中，角
所对的边分别为
，
，
的平分线交
于点D，且
，则
的最小值为
．
【答案】9
解析：由题意可知，
，由角平分线性质和三角形面积公式得，
，化简得
，
，因此
，当且仅当
时取等号，所以
的最小值
为9．
8．(2018 年高考数学天津(理)·第13 题)已知
，且
，则
的最小值为
．
【答案】
解析：由
，得
，所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，故
的最小值为
．
9．某公司一年购买某种货物400 吨，每次都购买
吨，运费为4 万元／次，一年的总存储费用为
万元，
要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则
吨．
【答案】20
解：某公司一年购买某种货物400 吨，每次都购买
吨，则需要购买
次，运费为4 万元/次，一
年的总存储费用为
万元，一年的总运费与总存储费用之和为
万元，
≥160，当
即
20 吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小。
10．(2014 高考数学上海理科·第5 题)若实数
满足
则
的最小值为_________________．
【答案】
解析:
题型四：简单的线性规划问题
一、选择题
1．(2021 年高考浙江卷·第5 题) 若实数x，y 满足约束条件
，则
的最小值是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析:画出满足约束条件
的可行域，如下图所示：
目标函数
化为
，由
，解得
，设
，当直线
过
点时，
取得最小值为
,故选B．
2．(2020 年浙江省高考数学试卷·第3 题) 若实数x，y 满足约束条件
，则z=2x+y 的取值
范围是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数即：
，
其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大，
z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，
联立直线方程：
，可得点A 的坐标为：
，
据此可知目标函数的最小值为：
且目标函数没有最大值．故目标函数的取值范围是
．故选：B
3．(2022 年浙江省高考数学试题·第3 题) 若实数x，y 满足约束条件
则
的最
大值是
( )
A．20
B．18
C．13
D．6
【答案】B
解析:不等式组对应的可行域如图所示：
当动直线
过
时
有最大值．
由
可得
，故
，
故
，故选,B．
4 ．(2019· 浙江· 第3 题) 若实数
，
满足约束条件
则
的最大值是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据约束条件画出可行域，如图所示，其中
．由
得
，当直线
过
时，在
轴上的截距最大，所以
有最大值为
．故选C．
5．(2019·天津·理·第2 题) 设变量
满足约束条件
则目标函数
的最大值
为
( )
A．2
B．3
C．5
D．6
【答案】答案：C
解析：作可行域为如图所示的四边形
，其中
，
则
，所以
．
x
y
O
A
B
C
D
6．(2019·北京·理·第5 题) 若x，y 满足
，且
，则
的最大值为
( )
A．－7
B．1
C．5
D．7
【答案】C
【解析】由题意可得
作出可行域如图阴影部分所示．
设
，则
，故当直线
经过点
时，
取得最大值5，故选C．
7．(2018 年高考数学天津（理）·第2 题) 设变量
满足约束条件
，则目标函数
的最大值为
( )
A．6
B．19
C．21
D．45
【答案】C
解析：作可行域为如图所示的四边形
，其中
，由
，
可得
，表示斜率为
，纵截距为
的直线，作直线
并平移，当直线经过点
时，直线在
轴上的截距最大，此时
取得最大值，
．
x
y
O
A
B
C
D
5
x y
2
4
xy
1
xy
8 ．设变量
满足约束条件
，则目标函数
的最小值为
( )
Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．9
【答案】B
解：设变量
、
满足约束条件
在坐标系中画出可行域△ABC，A(2，0)，B(1，1)，C(3，
3)，则目标函数
的最小值为3，选B．
C
B
A
O
y
x
9．(2014 高考数学天津理科·第2 题) 设变量
满足约束条件
则目标函数
的最小
值为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析:画出可行域,不难发现在点
处目标函数
有最小值
．故选B．
10 ．(2014 高考数学山东理科· 第9 题) 已知
满足约束条件
当目标函数
在该约束条件下取到最小值
时，
的最小值为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】
解析：画出可行域如图所示，由
可知当
经过
与
的交点
时，
，所以
．
11．(2014 高考数学课标2 理科·第9 题) 设x,y 满足约束条件
，则
的最
大值为
( )
A．10
B．8
C．3
D．2
【答案】B
解析：画出不等式表示的平面区域，可以平移直线
，可得最大值为8．
12．(2014 高考数学课标1 理科·第9 题) 不等式组
1
2
4
x
y
x
y
的解集记为D ．有下面四个命题:
1 :
,
,
2
2
p
x y
D x
y
；
2 :
,
,
2
2
p
x y
D x
y
3 :
,
,
2
3
p
x y
D x
y
；
4 :
,
,
2
1
p
x y
D x
y
．
其中真命题是
( )
A．
2
3
,
p
p
B．
1
4
,
p p
C．
1
2
,
p p
D．
1
3
,
p p
【答案】 C
解析:作出可行域如图:设
2
x
y
z
，即
1
2
2
z
y
x
当直线过
2, 1
A
时，
min
2
2
0
z
，∴
0
z
，∴命题
1p 、
2p 真命题，选C．
13．(2014 高考数学广东理科·第3 题) 若变量
满足约束条件
，且
的最大值和最小
值分别为
和
，则
( )
A．8
B．7
C．6
D．5
【答案】C．
解析：求出三条直线的交点为
，故
14．(2014 高考数学北京理科·第6 题) 若
，
满足
，且
的最小值为−4,则
的值为
( )
A．2
B．−2
C．
D．
【答案】D
解析：可行域如图所示，当
时，知
无最小值，当
时，目标函数线过可行域内A 点
时
有最小值．联立
解得A
，
故
，即
．
15．(2014 高考数学安徽理科·第5 题)
满足约束条件
若
取得最大值的最优
解不唯一，则实数
的值为
( )
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】D
解析：线性约束条件下，线性目标函数的最优解一般出现在可行域的边界处，尤其在顶点处．
作出可行域，如图所示，
由题知：目标函数的最优解不唯一，
所以动直线在平移过程中会与直线
或直线
重合，
从而可求
或
，故选D．
16．(2015 高考数学天津理科·第2 题) 设变量,x y 满足约束条件
2
0
3
0
2
3
0
x
x
y
x
y
，则目标函数
6
z
x
y
的最大值为
( )
A．3
B．4
C．18
D．40
【答案】C
解析：不等式
2
0
3
0
2
3
0
x
x
y
x
y
所表示的平面区域如下图所示，当
6
z
x
y
所表示直线经过点
(0,3)
B
时，
z 有最大值18.
8
6
4
2
2
4
6
8
15
10
5
5
10
15
A
B
17．(2015 高考数学山东理科·第6 题)已知
满足约束条件
，若
的最大值为4，
则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：不等式组
在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，
若
的最大值为4，则最优解可能为
或
，经检验，
是
最优解，此时
；
不是最优解．故选B．
18．(2015 高考数学湖南理科·第4 题)若变量
，
满足约束条件
，则
的最小值
为
( )
A．-7
B．-1
C．1
D．2
【答案】A．
分析：如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，作直线：
，平移，从
而可知当x=−2，y=1时，
的最小值是−7 ，故选A．
19．(2015 高考数学广东理科·第6 题)若变量x，y 满足约束条件
{4x+5y≥8¿{1≤x≤3¿¿¿¿
则z=3 x+2 y 的最小值为
( )
A．4
B．
23
5
C．6
D．
31
5
【答案】B
解析：不等式所表示的可行域如下图所示，
由
得
，依题当目标函数直线
经过
时，
取得最小
值即
，故选B
20．(2015 高考数学福建理科·第5 题)若变量
满足约束条件
则
的最小值等
于
( )
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
x
y
B
O
A
解析：画出可行域，如图所示，目标函数变形为
，当
最小时，直线
的纵截距
最大，故将直线
经过可行域，尽可能向上移到过点
时，
取到最小值，最小值为
，故选A．
l
A
O
y
x
21 ．(2015 高考数学北京理科· 第2 题) 若
，
满足
则
的最大值为
( )
A．0
B．1
C．
D．2
【答案】D
解析：如图，先画出可行域，由于
，则
，令
，作直线
，在可行域中作平行线，得最优解
，此时直线的截距最大，
取得最小值2，故选
D．
22．(2017 年高考数学浙江文理科·第4 题)若,x y 满足约束条件
0,
3
0,
2
0,
x
x
y
x
y
则
2
z
x
y
的取值范围
是
( )
A．
0,6
B．
0,4
C．
6 +
，
D．
4 +
，
【答案】 D
【解析】由图可知,
2
2
x
z
y
在点
2,1 取到z 的最小值为
2
2 1
4
z
, z 没有最大值,故
[4,
)
z
．故选D．
23．(2017 年高考数学天津理科·第2 题)设变量,x y 满足约束条件
3
y
0
x
0
2
-
2y
x
0
y
x
2
,则目标函数
y
x
z
的最大值为
( )
A．3
2
B．1
C．2
3
D．3
【答案】 D
【解析】变量,x y 满足约束条件
2x
y
0
x
2y-2
0
x
0
y
3
的可行域如图,目标函数
y
x
z
经过可行域的A 点时,
目标函数取得最大值,由
3
0
y
x
可得
3,0
A
,目标函数
y
x
z
的最大值为3 ,故选D．
24 ．(2017 年高考数学山东理科· 第4 题) 已知,x y
满足
3
0
+
5
0
3
0
x
y
3x y
x
, 则
2
z
x
y
=
+
的最大值是
( )
A．0
B．2
C．5
D．6
【答案】 C
【解析】由
3
0
3 +
5
0
3
0
x
y
x y
x
画出可行域及直线
2
0
x
y
如图所示,平移
2
0
x
y
发现,
当其经过直线3
5
0
x
y
+
+
=
与
3
x = -
的交点( 3,4)
时,
2
z
x
y
最大为
3
2 4
5
z
,选C．
25．(2017 年高考数学课标Ⅱ卷理科·第5 题)设x ，y 满足约束条件
2
3
3
0
2
3
3
0
3
0
x
y
x
y
y
，则
2
z
x
y
的
最小值是
( )
A．15
B．9
C．1
D．9
【答案】 A
【解析】解法一：常规解法
根据约束条件
2
3
3
0
2
3
3
0
3
0
x
y
x
y
y
画出可行域(图中阴影部分), 作直线: 2
0
l
x
y
，平移直线l ，
将直线平移到点A 处Z 最小，点A 的坐标为
6, 3
，将点A 的坐标代到目标函数
2
Z
x
y
，
可得
15
Z
，即
min
15
Z
．
解法二：直接求法
对于封闭的可行域，我们可以直接求三条直线的交点，代入目标函数中，三个数种选其最小的
为最小值即可，点A 的坐标为
6, 3
，点B 的坐标为
6, 3
，点C 的坐标为
0,1 ，所求值分
别为15
﹑9 ﹑1，故
min
15
Z
，
max
9
Z
．
解法三：隔板法
首先 看约束条件方程的斜率
4
3
2
1
-1
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
O
y
x
l
A
y = -3
2x+3y-3=0
2x-3y+3=0
x
O
y
C
B
约束条件方程的斜率分别为
2
3
﹑
2
3 ﹑0 ；
其次 排序
按照坐标系位置排序
2
3
﹑0 ﹑
2
3 ；
再次 看目标函数的斜率和y 前的系数
看目标函数的斜率和y 前的系数分别为2
﹑1；
最后 画初始位置，跳格，找到最小值点
目标函数的斜率在
2 ,0
3
之间，即为初始位置，y 前的系数为正，则按逆时针旋转，第一格为
最大值点，即
2 2
,
3 3
，第二个格为最小值点，即
2
0, 3
，只需解斜率为0 和
2
3 这两条线的交点
即可，其实就是点A ，点A 的坐标为
6, 3
，将点A 的坐标代到目标函数
2
Z
x
y
，
可得
15
Z
，即
min
15
Z
．
26．(2017 年高考数学北京理科·第4 题)若,x y 满足
3,
2,
,
x
x
y
y
x
则
2
x
y
的最大值为
(
)
A．1
B．3
C．5
D．9
【答案】 D
【解析】如图,画出可行域,
2
z
x
y
表示斜率为
1
2
的一组平行线,当过点
3,3
C
时,目标函数取得最大值
max
3
2 3
9
z
,
故选D．
27．(2016 高考数学浙江理科·第3 题)在平面上，过点
作直线的垂线所得的垂足称为点
在直线上
的投影．由区域
中的点在直线
上的投影构成的线段记为
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点
分别作直线
的垂
线，垂足分别为
，则四边形
为矩形，又
，所以
．故选C．
28．(2016 高考数学天津理科·第2 题)设变量
满足约束条件
则目标函数
的最小值为
( )
A．
B．6
C．10
D．17
【答案】B
解析：可行域如图所示，则当取点
时，
取得最小值为6
29．(2016 高考数学四川理科·第7 题)设
：实数
满足
，
：实数
满足
，则
是
的
( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】
【解析】由题意
表示以
为圆心，
为半径的圆的内部，
表示图中的三角形的内部
由图知
，即
且
，所以必要不充分．
30 ．(2016 高考数学山东理科· 第4 题) 若变量
，
满足
则
的最大值是
( )
A．4
B．9
C．10
D．12
【答案】C
【解析】不等式组表示的可行域是以
为顶点的三角形区域,
表示点
到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为
,故选C．
31 ．(2016 高考数学北京理科· 第2 题) 若
满足
，则
的最大值为
( )
A．0
B．3
C．4
D．5
【答案】C
解析：可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为
，最大值为
．
二、填空题
1．(2023 年全国甲卷理科·第14 题)若x，y 满足约束条件
，设
最大值为
____________．
【答案】15
解析：作出可行域，如图，
由图可知，当目标函数
过点
时，
有最大值，
由
可得
，即
,
所以
．
故答案
：15
2．(2023 年全国乙卷理科·第14 题)若x，y 满足约束条件
，则
的最大值为______．
【答案】8
解析：作出可行域如下图所示：
，移项得
，
联立有
，解得
，
设
，显然平移直线
使其经过点
，此时截距
最小，则
最大，
代入得
，
故答案为：8．
3．(2020 年高考课标Ⅰ卷理科·第0 题)若x，y 满足约束条件
则z=x+7y
最大值为
______________．
【答案】1
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数
即：
，
其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，
联立直线方程：
，可得点A 的坐标为：
，
据此可知目标函数的最大值为：
．
故答案为：1．
【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0 时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，
z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b＜0 时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，
在y 轴上截距最小时，z 值最大．
4．(2020 年高考课标Ⅲ卷理科·第0 题)若x，y 满足约束条件
，则z=3x+2y 的最大值为
_________．
【答案】7
解析：不等式组所表示的可行域如图
因为
，所以
，易知截距
越大，则
越大，
平移直线
，当
经过A 点时截距最大，此时z 最大，
由
，得
，
，
所以
．
故答案为：7．
【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的
思想，是一道容易题．
5．(2019·上海·第5 题)已知
满足
，求
的最小值为________.
【答案】
【解析】线性规划作图：后求出边界点代入求最值，当
，
时，
.
【点评】本题主要考查线性规划，属于基础题．
6．(2018 年高考数学浙江卷·第12 题)若
满足约束条件
，则
的最小值是
______，最大值是______．
【答案】
，
解法1：由图可得，当直线
过
时，
；当直线
过
时，
．
解法2：由条件知，构成的可行域为封闭区域，最大值最小值只能在三个顶点处取得，
把
分别代入，可得
，
．
7．(2018 年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第14 题)若
满足约束条件
则
的最大值为
_________．
【答案】9
解析：作出可行域，则直线
过点
时
取得最大值9．
8．(2018 年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第13 题)若
满足约束条件
， 则
最
大值为 ．
【答案】6
解析：作出不等式组对应的平面区域如图
由
得
，平移直线
，由图象知当直线
经过点
时，直线的截距最大，此时
最大，最大值为
，故答案为6．
9．(2018 年高考数学北京(理)·第12 题)若
满足
，则
的最小值是__________．
【答案】3；
解析：解法1：由
，得
，可行域如图所示
令目标函数
，转化为
，在点
处取得最小值，即最小值为3．
解法2：由
，得
，
设
，则
，解得
，
所以
．即
的最小值为3．
10．(2014 高考数学浙江理科·第13 题)当实数M(a)−m(a)，b∈R,满足[f (x)+b]
2
≤4
时， x ∈[−1,1] 恒成立，
则实数3a+b的取值范围是________．
【答案】
解析：由约束条件作可行域如图，
联立
，解得
联立
，解得
在
中取
得
．
要使
恒成立，
则
，解得：
，
∴
实数a 的取值范围是
．故答案为：
11．(2014 高考数学湖南理科·第14 题)若变量
满足约束条件
,且
的最小值
为-6,则
______．
【答案】
解析:求出约束条件中三条直线的交点为
,且
的可行域如图,所
以
, 则当
为最优解时,
, 当
为最优解时,
, 因为
,所以
,故填
．
12．(2014 高考数学福建理科·第11 题)若变量
满足约束条件
，则
的最小
值为_________．
【答案】1．
解析：作出不等式对应的平面区域如图，
由
，得
，
平移直线
，由图象可知当直线
，经过点
时，直线
的截距最
小，此时
最小．此时
的最小值为
，故答案为：1．
13．(2014 高考数学大纲理科·第14 题)设
满足约束条件
，则
的最大值为
．
【答案】5
解析：根据约束条件作出平面区域，如下图中阴影部分，
，由此可知，要
使
最大，则要求直线
的纵截距最大，由图可知，当直线
经过点
时，直线的纵截距最大，此时
取得最大值
．
14．(2015 高考数学新课标2 理科·第14 题)若
满足约束条件
，则
的最大值
为____________．
【答案】
解析：画出可行域，如图所示，将目标函数变形为
，当
取到最大时，直线
的
纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到
，则
的最大值为
．
考点：线性规划．
x
y
–1
–2
–3
–4
1
2
3
4
–1
–2
–3
–4
1
2
3
4
D
C
B
O
15．(2015 高考数学新课标1 理科·第15 题)若
满足约束条件
则
的最大值为
．
【答案】3
解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，
是可行域内一点与原点连线的斜率，由
图可知，点A(1,3)与原点连线的斜率最大，故
的最大值为3．
考点：线性规划解法
16．(2017 年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第14 题)设,x y 满足约束条件
2
1
2
1
0
x
y
x
y
x
y
,则
3
2
z
x
y
的最
小值为__________．
【答案】5
【解析】不等式
2
1
2
1
0
x
y
x
y
x
y
组表示的可行域为如图所示
易求得
1
1
1 1
( 1,1), (
,
),
( , )
3
3
3 3
A
B
C
直线
3
2
z
x
y
得
3
2
2
z
y
x
在y 轴上的截距越大, z 就越小
所以,当直线
3
2
z
x
y
过点A 时, z 取得最小值
所以z 取得最小值为3 ( 1)
2 1
5
．
17．(2017 年高考数学课标Ⅲ卷理科·第13 题)若x , y 满足约束条件
y
0
2
0
0
x
x
y
y
,则z
3
4
x
y
的最
小值为__________．
【答案】1
【解析】绘制不等式组表示的可行域,
目标函数即:
3
1
4
4
y
x
z
,其中z 表示斜率为
3
4
k
的直线系与可行域有交点时直线的截距值的
1
4
倍,截距最大的时候目标函数取得最小值,数形结合可得目标函数在点
1,1
A
处取得最小值
3
4
1
z
x
y
．
【考点】应用线性规划求最值
【点评】求线性目标函数z=ax+by(ab≠0)的最值,当b>0 时,直线过可行域且在y 轴上截距最大时,z 值
最大,在y 轴截距最小时,z 值最小;当b<0 时,直线过可行域且在y 轴上截距最大时,z 值最小,在y 轴上
截距最小时,z 值最大．
18．(2016 高考数学课标Ⅲ卷理科·第13 题)若
满足约束条件
,则
的最大值
为_____________.
【答案】
【解析】作出不等式组满足的平面区域, 可知当目标函数经过点
时取得最大值, 即
.
19．(2016 高考数学课标Ⅰ卷理科·第16 题)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．
生产一件产品A 需要甲材料
，乙材料
，用5 个工时；生产一件产品B 需要甲材料
，
乙材料
，用3 个工时，生产一件产品A 的利润为2100 元，生产一件产品B 的利润为900 元．该
x
y
–1
–2
1
2
–1
1
2
A
O
企业现有甲材料
，乙材料
，则在不超过600 个工时的条件下，生产产品A、产品B 的利
润之和的最大值为 元．
【答案】216000．【解析】设生产A 产品
件，B 产品
件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其
他限制条件，构造线性规则约束为
目标函数
作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为
在
处取得最大值，
20．(2016 高考数学江苏文理科·第12 题)已知实数
满足
则
的取值范围是
．
【答案】
．
解析：在平面直角坐标系中画出可行域如下
x
y
B
A
–1
–2
–3
–4
1
2
3
4
–1
–2
–3
–4
1
2
3
4
为可行域内的点到原点距离的平方．可以看出图中
点距离原点最近，此时距离为原点
到
直线
的距离，
，则
，图中
点距离原点最远，
点为
与
交点，则
，则
．
题型五：不等式的综合问题
一、选择题
1．(2020 年浙江省高考数学试卷·第9 题)已知a，b
R 且ab≠0，若(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0 在x≥0
上恒成立，则
( )
A．a<0
B．a>0
C．b<0
D．b>0
【答案】C
解析：因为
，所以
且
，设
，则
零点
为
当
时，则
，
，要使
，必有
，且
，
即
，且
，所以
；
当
时，则
，
，要使
，必有
．
综上一定有
． 故选：C
二、填空题
1．(2022 年高考全国甲卷数学(理)·第16 题)已知
中，点D 在边BC 上，
．当
取得最小值时，
________．
【答案】
或
【解析】设
，
则在
中，
，
中，
，
所以
，
当且仅当
即
时，等号成立，
所以当
取最小值时，
．
故答案为：
．
2．(2014 高考数学辽宁理科·第16 题)对于
，当非零实数a，b 满足
，且使
最大时，
的最小值为 ．
【答案】-2
解析：∵
，∴
，
由柯西不等式得，
，
故当|2a+b| 最大时，有
，∴
，代入已知得
，∴
，当
时，取得最小值为-2．
类
似
的
，
还
可
以
这
样
构
造
式
子
：
，
所
以
，剩下的步骤和解析1 相同．
解析2：∵
，∴
，
则
，
当
时，取到等号，即
取到最大值，将
代入
中，解得
，下面步骤与解析1 步骤一样．
解析3 ：设t=2a+b ，则b=t-2a ，代入式子
中，整理可得
要保证关于a 的方程有解，则△=
，整理解t ，
，即
，而只有△=0
时，等号成立，即使
最大，此时，
，即
，
又
，
所以
，
当
时，上式取得最小值，解得
，
，所以当
，
，
时，
的最小值为-2．
解析
4 ：∵
，∴
，设
，
，则
，
，代入式子
中，所以
．当
时，等号成立，
即
，整理得
，代入到已知等式中解得
，
所以
，当
时，上式取得最小值，解得
，
，所以当
，
，
时，
的最小值
为-2．
解析5：令
，由已知可得
，
所以
，设
，则
．当且仅当
即
或
(舍)时，等式成立，所以
，即
时，
取到最大值，将
代入
中，解得
，下面步骤
与其他解析步骤一样．
3．(2014 高考数学福建理科·第13 题)要制作一个容积为4
，高为
的无盖长方体容器，已知该容器
的底面造价是每平方造价是每平方米
元，侧面造价是每平方米
元，则该容器的最低总造价是
______．(单位：元)
【答案】
．
解析：设池底长和宽分别为
，
，成本为
，则∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，
故底面面积
，
，
，
故当
时，
取最小值
，即该容器的最低总造价是
元，故答案为：
．
4．(2015 高考数学浙江理科·第14 题)若实数
满足
，则
的最小值
是 ．
【答案】3 ．
解析：x2+ y2≤1表示圆x2+ y2=1及其内部，易得直线6−x−3 y 与圆相离，故
|6−x−3 y|=6−x−3 y ，当2 x+ y−2≥0 时，
，
如下图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数z=x−2 y+4 ，则可知当
x=3
5 ，
y= 4
5 时，
zmin=3 ，当2 x+ y−2<0 时，
，可行域为大的弓形
内部，目标函数z=8−3 x−4 y ，同理可知当
x=3
5 ，
y= 4
5 时，zmin=3 ，综上所述，
|2 x+ y−2|+|6−x−3 y|．
5．(2017 年高考数学天津理科·第12 题)若,a bR ,
0
ab
,则
4
4
4
1
a
b
ab
的最小值为___________．
【答案】4
【解析】因
0
ab
,则
2
2
2
2
4
4
2
4
1
4
1
1
4
a
b
a b
a
b
ab
ab
ab
ab
1
2 4
4
ab ab
,当且仅当
2
2
2
a
b
且
1
4ab
ab
,即
4
4
1
1
|
|
,|
|
2
8
a
b
时,
4
4
min
4
1
4
a
b
ab
．
【考点】主要考查不等式知识,考查学生处理复杂问题的能力和灵活利用均值不等式求解析式的最值
问题．
【点评】考查不等式知识、降幂的思想、配方法及均值不等式．解决问题的第一步是:不论配方还是
使用均值不等式,其目的就是要降幂;第二步是再用均值不等式或用函数单调性求出最小值．本题的求
解二次使用了均值不等式,在利用均值不等式求最值时,要注意“一正、二定、三等号”是缺一不可的,
否则容易出错．
6．(2017 年高考数学江苏文理科·第10 题)某公司一年购买某种货物600 吨,每次购买x 吨,运费为6 万
元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是______．
【答案】30
解析:总费用
600
900
4
6
4(
)
4
2 900
240
x
x
x
x
,当且仅当
900
x
x
,即
30
x
时等号成立．
7．(2021 年高考浙江卷·第11 题)我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明．弦图是由四个全等
的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．若直角三角形直角边的长分别
是3，4，记大正方形的面积为
，小正方形的面积为
，则
___________．
【答案】25
解析:由题意可得，大正方形的边长为：
，则其面积为：
，小正方形的面
积：
，从而
,故答案为25．
