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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题07 平面解析几何（选填题）
平面解析几何在高考中考查比例较大，一般是1+1+1 模式或者是2+1+1 模式。在选题中，解析几何一般为
一道简单题目加上一道中等难度题目。常考题型为
考点
1 ：直线和圆的综合问
题
考点
2 ：椭圆
，双曲线基本性质
考点3：椭圆双曲线的离心率
考点
4 ：抛物线
性质及应用
考点
5 ：圆锥曲线的综合问题
考点01 直线与圆的综合问题
1．(2022 高考北京卷)若直线
是圆
的一条对称轴，则
( )
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
解析:由题可知圆心为
，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即
，解得
．
故选,A．
2．(2020 北京高考)已知半径为的圆经过点
，则其圆心到原点的距离的最小值为
( )．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设圆心
，则
，化简得
，
所以圆心
的轨迹是以
为圆心，为半径的圆，
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所以
，所以
，
当且仅当
在线段
上时取得等号，故选：A．
3．(2023 年新课标全国Ⅰ卷·)过点
与圆
相切的两条直线的夹角为
，则
( )
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
解析：方法一：因为
，即
，可得圆心
，半径
，
过点
作圆C 的切线，切点为
，
因为
，则
，
可得
，
则
，
，
即
为钝角，
所以
；
法二：圆
的圆心
，半径
，
过点
作圆C 的切线，切点为
，连接
，
可得
，则
，
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因为
且
，则
，
即
，解得
，
即
为钝角，则
，
且
为锐角，所以
；
方法三：圆
的圆心
，半径
，
若切线斜率不存在，则切线方程为
，则圆心到切点的距离
，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为
，即
，
则
，整理得
，且
设两切线斜率分别为
，则
，
可得
，
所以
，即
，可得
，
则
，
且
，则
，解得
．
故选：B．
4．(2020 年高考课标Ⅰ卷)已知⊙M：
，直线：
，
为上的动
点，过点
作⊙M 的切线
，切点为
，当
最小时，直线
的方程为
( )
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】圆的方程可化为
，点
到直线的距离为
，
所以直线与圆相离．
依圆的知识可知，四点
四点共圆，且
，所以
，而
，
当直线
时，
，
，此时
最小．
∴
即
，由
解得，
．
所以以
为直径的圆的方程为
，即
，
两圆的方程相减可得：
，即为直线
的方程．
故选：D．
【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学
生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
5．(2020 年高考课标Ⅱ卷)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线
的距离为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：由于圆上的点
在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为
，则圆的半径为
，
圆的标准方程为
．
由题意可得
，
可得
，解得
或
，
所以圆心的坐标为
或
，
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圆心
到直线
的距离均为
；
圆心
到直线
的距离均为
圆心到直线
的距离均为
；
所以，圆心到直线
的距离为
．
故选：B．
【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题．
6．(2021 高考北京)已知直线
(
为常数)与圆
交于点
，当
变化时，若
的最小值为2，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析：由题可得圆心为
，半径为2， 则圆心到直线的距离
，
则弦长为
，
则当
时，弦长
取得最小值为
，解得
．
故选：C．
二 填空题
1．(2020 北京高考)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的
企业要限期整改、设企业的污水摔放量
与时间的关系为
，用
的大小评价在
这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系
如下图所示．
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给出下列四个结论：
①在
这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在
时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在
时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在
这三段时间中，在
的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
【答案】①②③
【解析】
表示区间端点连线斜率的负数，
在
这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能
力比乙企业强；①正确；
甲企业在
这三段时间中，甲企业在
这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，
即在
的污水治理能力最强．④错误；
在
时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比
乙企业强；②正确；
在
时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：
①②③
2．(2022 新高考全国I 卷)写出与圆
和
都相切的一条直线的方程
________________．
【答案】
或
或
解析：圆
的圆心为
，半径为，圆
的圆心
为
，半
径为
，
两圆圆心距为
，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l 时，因为
，所以
，设方程为
O 到l 的距离
，解得
，所以l 的方程为
，
当切线为m 时，设直线方程为
，其中
，
，
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由题意
，解得
，
当切线为n 时，易知切线方程为
，
故答案为：
或
或
．
3．(2022 年高考全国乙卷数学)过四点
中的三点的一个圆的方程为____________．
【
答
案
】
或
或
或
；
解析：依题意设圆的方程为
，
若过
，
，
，则
，解得
，
所以圆的方程为
，即
；
若过
，
，
，则
，解得
，
所以圆的方程为
，即
；
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若过
，
，
，则
，解得
，
所以圆的方程为
，即
；
若过
，
，
，则
，解得
，
所以圆的方程为
，即
；
故答案为：
或
或
或
；
4．(2020 江苏高考)在平面直角坐标系
中，已知
，
，
是圆
上的两个
动点，满足
，则
面积的最大值是__________．
【答案】
【解析】
设圆心
到直线
距离为
，则
所以
令
(负值舍去)
当
时，
；当
时，
，因此当
时，
取最大值，即
取最大值为
，
故答案为：
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5．(2020 年浙江省高考数学试卷)设直线
，圆
，
，
若直线与
，
都相切，则
_______；b=______．
【答案】(1)．
(2)．
解析：由题意，
到直线的距离等于半径，即
，
，
所以
，所以
(舍)或者
，
解得
．
6．(2022 年高考全国甲卷数学(理))若双曲线
的渐近线与圆
相切，则
_________．
【答案】
【解析】双曲线
的渐近线为
，即
，
不妨取
，圆
，即
，所以圆心为
，半径
，
依题意圆心
到渐近线
的距离
，
解得
或
(舍去)．
故答案为：
．
7．(2022 新高考全国II 卷·第15 题)设点
，若直线
关于
对称的直线与圆
有公共点，则a 的取值范围是________．
【答案】
解析：
关于
对称的点的坐标为
，
在直线
上，
所以
所在直线即为直线，所以直线为
，即
；
圆
，圆心
，半径
，
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依题意圆心到直线的距离
，
即
，解得
，即
；
故答案为：
8．(2021 高考天津·第12 题)若斜率为
的直线与
轴交于点
，与圆
相切于点
，
则
____________．
【答案】
解析：设直线
的方程为
，则点
，
由于直线
与圆
相切，且圆心为
，半径为，
则
，解得
或
，所以
，因为
，故
．
故答案为：
．
9．(2020 天津高考·第12 题)已知直线
和圆
相交于
两点．若
，
则
的值为_________．
【答案】5
【解析】因为圆心
到直线
的距离
，
由
可得
，解得
．故答案为：
．
10．(2023 年新课标全国Ⅱ卷·第15 题)已知直线
与
交于A，B 两
点，写出满足“
面积为
”的m 的一个值______．
【答案】
(
中任意一个皆可以)
解析：设点
到直线
的距离为
，由弦长公式得
，
所以
，解得：
或
，
由
，所以
或
，解得：
或
．
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故答案为：
(
中任意一个皆可以)．
考点02 椭圆双曲线的基本性质
1．(2023 年新课标全国Ⅱ卷·第5 题)已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，直线
与C 交于A．B 两点，若
面积是
面积的2 倍，则
( )．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析：将直线
与椭圆联立
，消去
可得
，
因为直线与椭圆相交于
点，则
，解得
，
设
到
的距离
到
距离
，易知
，
则
，
，
，解得
或
(舍去)，
故选：C．
2．(2023 年全国甲卷理科·第12 题)设O 为坐标原点，
为椭圆
的两个焦点，点P 在
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C 上，
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：方法一：设
，所以
，
由
，解得：
，
由椭圆方程可知，
，
所以，
，解得：
，
即
，因此
．
故选：B．
方法二：因为
①，
，
即
②，联立①②，
解得：
，
而
，所以
，
即
．
故选：B．
方法三：因为
①，
，
即
②，联立①②，解得：
，
由中线定理可知，
，易知
，解得：
．
故选：B．
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3．(2021 年新高考Ⅰ卷·第5 题)已知
，
是椭圆
：
的两个焦点，点
在
上，则
的最大值为
( )
A．13
B．12
C．9
D．6
【答案】C
解析:由题，
，则
，
所以
(当且仅当
时，等号成立)．
故选：C．
4 (2022 年高考全国甲卷数学(理)·第10 题)椭圆
的左顶点为A．点P，Q 均在C 上，
且关于y 轴对称．若直线
的斜率之积为
，则C 的离心率为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，设
，则
，
则
，故
，
又
，则
，所以
，即
，
所以椭圆
的离心率
．
故选：A．
5．(2019·全国Ⅰ·理·第10 题)已知椭圆
的焦点为
，
，过
的直线与
交于
，
两点．若
，
，则
的方程为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】答案：B
解析：如图，设
，则
，由
，可得
，
，所以点
为椭圆的上顶点或下顶点．
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在
中，由余弦定理可得
，
所以
，即
，即
，又
，所以椭圆方程为
．
F1
B
A
O
F2
6．(2023 年全国乙卷理科·第11 题)设A．B 为双曲线
上两点，下列四个点中，可为线段AB 中
点的是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：设
，则
的中点
，
可得
，
因为
在双曲线上，则
，两式相减得
，
所以
．
对于选项A： 可得
，则
，
联立方程
，消去y 得
，
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此时
，
所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；
对于选项B：可得
，则
，
联立方程
，消去y 得
，
此时
，
所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；
对于选项C：可得
，则
由双曲线方程可得
，则
为双曲线的渐近线，
所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；
对于选项D：
，则
，
联立方程
，消去y 得
，
此时
，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确；
故选：D．
7 (2020 年高考课标Ⅲ卷理科·第11 题)设双曲线C：
(a>0，b>0)
左、右焦点分别为F1，
F2，离心率为
．P 是C 上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=
( )
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】A
解析：
，
，根据双曲线的定义可得
，
，即
，
，
，
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，即
，解得
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，
属于中档题．
8．(2020 年浙江省高考数学试卷·第8 题)已知点O(0，0)，A(–2，0)，B(2，0)．设点P 满足|PA．–|
PB．=2，且P 为函数y=
图像上的点，则|OP|=
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：因为
，所以点
在以
为焦点，实轴长为
，焦距为
的双曲线的右支
上，由
可得，
，即双曲线的右支方程为
，而点
还
在函数
的图象上，所以，
由
，解得
，即
． 故选：D．
9 (2021 高考北京·第5 题)若双曲线
离心率为
，过点
，则该双曲线的方程为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：
，则
，
，则双曲线的方程为
，
将点
的坐标代入双曲线的方程可得
，解得
，故
，
因此，双曲线的方程为
． 故选：B
10．(2020 天津高考·第7 题)设双曲线
的方程为
，过抛物线
的焦点和点
的直线为．若
的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线
的方程为
( )
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题可知，抛物线的焦点为
，所以直线的方程为
，即直线的斜率为
，
又双曲线的渐近线的方程为
，所以
，
，因为
，解得
．
故选：
．
11．(2019·浙江·第2 题)渐近线方程为
的双曲线的离心率是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得
，则双曲线是等轴双曲线，离心率
．故选C．
12．(2019·全国Ⅲ·理·第10 题)双曲线C：
=1 的右焦点为F，点P 在C 的一条渐近线上，O 为
坐标原点，若
，则△PFO 的面积为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，
又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在
上，则
．
，故选A．
【点评】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．
采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．
二 填空题
1．(2021 年高考全国甲卷理科·第15 题)已知
为椭圆C：
的两个焦点，P，Q 为C 上关
于坐标原点对称的两点，且
，则四边形
的面积为________．
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【答案】
解析：因为
为
上关于坐标原点对称的两点，
且
，所以四边形
为矩形，
设
，则
，
所以
，
，即四边形
面积等于
．
故答案：
．
2．(2022 新高考全国II 卷·第16 题)已知直线l 与椭圆
在第一象限交于A，B 两点，l 与x 轴，y
轴分别交于M，N 两点，且
，则l 的方程为___________．
【答案】
解析：令
的中点为
，因为
，所以
，
设
，
，则
，
，
所以
，即
所以
，即
，设直线
，
，
，
令
得
，令
得
，即
，
，所以
，
即
，解得
或
(舍去)，
又
，即
，解得
或
(舍去)，
所以直线
，即
；
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故答案为：
3．(2022 新高考全国I 卷·第16 题)已知椭圆
，C 的上顶点为A，两个焦点为
，
，离心率为
．过
且垂直于
的直线与C 交于D，E 两点，
，则
的周长是
________________．
【答案】13
解析：∵椭圆的离心率为
，∴
，∴
，∴椭圆的方程为
，不妨设左焦点为
，右焦点为
，如图所示，∵
，∴
，∴
为正三角形，∵过
且垂直于
的直线
与C 交于D，E 两点，
为线段
的垂直平分线，∴直线
的斜率为
，斜率倒数为
，
直线
的方程：
，代入椭圆方程
，整理化简得到：
，
判别式
，
∴
，
∴
， 得
，
∵
为线段
的垂直平分线，根据对称性，
，∴
的周长等于
的周长，利用椭圆的定义得到
周长为
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故答案
为：13．
4．(2019·全国Ⅲ·理·第15 题)设
为椭圆
的两个焦点，
为
上一点且在第一
象限．若
为等腰三角形，则
的坐标为___________．
【答案】
【解析】由已知可得
，
．
．
设点
的坐标为
，则
，
又
，解得
，
，解得
(
舍去)，
的坐标为
．
法二、在得出
．
．
，∴
．
∴
，
的坐标为
．
法三、由题知
，又由焦半径公式
，得
，
从而得到
，
的坐标为
．
【点评】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实
了直观想象、逻辑推理等数学素养．
5．(2023 年北京卷·第12 题)已知双曲线C 的焦点为
和
，离心率为
，则C 的方程为
____________．
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【答案】
解析：令双曲线
的实半轴、虚半轴长分别为
，显然双曲线
的中心为原点，焦点在x 轴上，其
半焦距
，
由双曲线
的离心率为
，得
，解得
，则
，
所以双曲线
的方程为
．
故答案为：
6．(2023 年新课标全国Ⅰ卷·第16 题)已知双曲线
的左、右焦点分别为
．
点
在
上，点
在
轴上，
，则
的离心率为________．
【答案】
解析：方法一：
依题意，设
，则
，
在
中，
，则
，故
或
(舍去)，
所以
，
，则
，
故
，
所以在
中，
，整理得
，
故
．
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方法二:
依题意，得
，令
，
因为
，所以
，则
，
又
，所以
，则
，
又点
在
上，则
，整理得
，则
，
所以
，即
，
整理得
，则
，解得
或
，
又
，所以
或
(舍去)，故
．
故答案为：
．
7．(2021 年新高考全国Ⅱ卷·第13 题)已知双曲线
的离心率为2，则该双曲线的渐
近线方程为_______________
【答案】
解析:因为双曲线
的离心率为2，所以
，所以
，
所以该双曲线的渐近线方程为
．故答案为
．
8．(2021 年高考全国乙卷理科·第13 题)已知双曲线
的一条渐近线为
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，则C 的焦距为_________．
【答案】4
解析：由渐近线方程
化简得
，即
，同时平方得
，又双曲线中
，故
，解得
(舍去)，
，故焦距
故答案为：4
【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键
9．(2020 年高考课标Ⅰ卷理科·第15 题)已知F 为双曲线
的右焦点，A 为C 的右
顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________．
【答案】2
【解析】联立
，解得
，所以
．
依题可得，
，
，即
，变形得
，
,
因此，双曲线
的离心率为
．
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．
10．(2022 高考北京卷·第12 题)已知双曲线
的渐近线方程为
，则
__________．
【答案】
解析:对于双曲线
，所以
，即双曲线的标准方程为
，
则
，
，又双曲线
的渐近线方程为
，
所以
，即
，解得
；故答案为：
考点03 椭圆双曲线的离心率
24
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1．(2023 年新课标全国Ⅰ卷·第5 题)设椭圆
的离心率分别为
．若
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：由
，得
，因此
，而
，所以
．
故选：A
2．(2021 年高考全国乙卷理科·第11 题)设
是椭圆
的上顶点，若
上的任意
一点
都满足
，则
的离心率的取值范围是
( )
A．
B．
C．
D．A
1B
1C
1D
1
【答案】C
解析：设
，由
，因为
，
，所以
，
因为
，当
，即
时，
，即
，符合题意，由
可得
，即
；
当
，即
时，
，即
，化简得，
，显然该不等式不成立．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是如何求出
的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域
讨论函数的单调性从而确定最值．
6．
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3．(2019·全国Ⅱ·理·第8 题)若抛物线
的焦点是椭圆
的一个焦点，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为抛物线
的焦点
是椭圆
2
2
3
1
x
y
p
p
的一个焦点，所以
，解得
8
p
，故选D．
【点评】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于
的方程，即可解出
，或者利用检验排除的
方法，如
时，抛物线焦点为
，椭圆焦点为
，排除A，同样可排除B，C，故选D．
4．(2019·北京·理·第4 题)已知椭圆
(a＞b＞0)的离心率为
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】椭圆的离心率
，化简得
，故选B．
5．(2023 年天津卷·第9 题)双曲线
的左、右焦点分别为
．过
作其中一条
渐近线的垂线，垂足为
．已知
，直线
的斜率为
，则双曲线的方程为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：如图，
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因为
，不妨设渐近线方程为
，即
，
所以
，
所以
．
设
则
，所以
，所以
．
因
,所以
，所以
，所以
，
所以
，
因为
，
所以
，
所以
，解得
，
所以双曲线的方程为
故选：D
6．(2021 年高考全国甲卷理科·第5 题)已知
是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且
，则C 的离心率为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：因为
，由双曲线的定义可得
，
所以
，
；
因为
,由余弦定理可得
，
整理可得
，所以
，即
．
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故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立
间的等量关系是求解的关键．
7．(2020 年高考课标Ⅱ卷理科·第8 题)设
为坐标原点，直线
与双曲线
的两条渐近线分别交于
两点，若
的面积为8，则
的焦距的最小值为
( )
A．4
B．8
C．16
D．32
【答案】B
解析：
双曲线的渐近线方程是
直线
与双曲线
的两条渐近线分别交于
，
两点
不妨设
为在第一象限，
在第四象限
联立
，解得
故
联立
，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当
取等号
的焦距的最小值：
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等
式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属
于中档题．
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8．(2022 年高考全国乙卷数学(理)·第11 题)双曲线C 的两个焦点为
，以C 的实轴为直径的圆记为
D．过
作D 的切线与C 交于M，N 两点，且
，则C 的离心率为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析：依题意不妨设双曲线焦点在
轴，设过
作圆
的切线切点为
，
若
分别在左右支，
因为
，且
，所以
在双曲线的右支，
又
，
，
，
设
，
，
在
中，有
，
故
即
，
所以
，
而
，
，
，故
，
代入整理得到
，即
，
所以双曲线的离心率
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9．(2021 高考天津·第8 题)已知双曲线
的右焦点与抛物线
的
焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A．B 两点，交双曲线的渐近线于C．D 两点，若
．则双曲线的离心率为
(
)
A ．
B．
C．2D．3
【答案】A
解析：设双曲线
与抛物线
的公共焦点为
，
则抛物线
的准线为
，
令
，则
，解得
，所以
,
又因为双曲线的渐近线方程为
，所以
，
所以
，即
，所以
，所以双曲线的离心率
．
故选：A．
10．(2019·全国Ⅱ·理·第11 题)设
为双曲线
的右焦点，
为坐标原点，
以
为直径的圆与圆
交于
，
两点，若
，则
的离心率为( )
( )
A．
2
B．
3
C．
D．
5
【答案】A
【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ
x
轴，又∵
，∴
，
为以
OF
为直径的圆的半径，∴
为圆心|
|
2
c
OA
．∴
，又
点在圆
2
2
2
x
y
a
上，
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∴
，即
，∴
，∴
，故选A．
二 填空题
1．(2021 年高考浙江卷·第16 题)已知椭圆
，焦点
，
，若过
的直线和圆
相切，与椭圆在第一象限交于点P，且
轴，则该直线的斜率
是___________，椭圆的离心率是___________．
【答案】 (1)．
(2)．
解析:
如图所示：不妨假设
，设切点为
，
，
所以
, 由
，所以
，
，于是
，即
，所以
．
故答案为
；
．
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2．(2022 年浙江省高考数学试题·第16 题)已知双曲线
的左焦点为F，过F 且斜率
为
的直线交双曲线于点
，交双曲线的渐近线于点
且
．若
，则双曲线的离心率是_________．
【答案】
解析:过
且斜率为
的直线
，渐近线
，
联立
，得
，由
，得
而点
在双曲线上，于是
，解得：
，所以离心率
．
故答案为：
．
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3．(2020 北京高考·第12 题)已知双曲线
，则
的右焦点的坐标为_________；
的焦点到
其渐近线的距离是_________．
【答案】(1)．
(2)．
【解析】在双曲线
中，
，
，则
，则双曲线
的右焦点坐标为
，
双曲线
的渐近线方程为
，即
，
所以，双曲线
的焦点到其渐近线的距离为
．故答案为：
；
．
4．(2019·全国Ⅰ·理·第16 题)已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过
的直线与
的两条渐近线分别交于
两点．若
，
，则
的离心率为
．
【答案】2
解析：注意到
，得到
垂直平分
，则
，由渐近线的对称
性，得
，可得
，所以
，可得离心率
．
A
B
F2
F1
O
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考点04 抛物线的性质及应用
1．(2023 年北京卷·第6 题)已知抛物线
的焦点为
，点
在
上．若
到直线
的距
离为5，则
( )
A．7
B．6
C．5
D．4
【答案】D
解析：因为抛物线
的焦点
，准线方程为
，点
在
上，
所以
到准线
的距离为
，
又
到直线
的距离为
，
所以
，故
．
故选：D．
2．(2021 年新高考全国Ⅱ卷·第3 题)抛物线
的焦点到直线
的距离为
，则
( )
A．1
B．2
C．
D．4
【答案】B
解析:抛物线的焦点坐标为
，其到直线
的距离：
，解得：
(
舍去)，故选B．
3．(2020 年高考课标Ⅰ卷理科·第4 题)已知A 为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为
12，到y 轴的距离为9，则p=
( )
A．2
B．3
C．6
D．9
【答案】C
【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知
，即
，解得
．
故选：C．
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题．
4．(2020 年高考课标Ⅲ卷理科·第5 题)设
为坐标原点，直线
与抛物线C：
交
于
，
两点，若
，则
的焦点坐标为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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解析：因为直线
与抛物线
交于
两点，且
，
根据抛物线的对称性可以确定
，所以
，
代入抛物线方程
，求得
，所以其焦点坐标为
，
故选：B．
【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称
性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目．
5．(2022 年高考全国乙卷数学(理)·第5 题)设F 为抛物线
的焦点，点A 在C 上，点
，
若
，则
( )
A．2
B．
C．3
D．
【答案】B
解析：由题意得，
，则
，
即点
到准线
的距离为2，所以点
的横坐标为
，
不妨设点
在
轴上方，代入得，
，
所以
． 故选：B
6．(2020 北京高考·第7 题)设抛物线的顶点为
，焦点为
，准线为．
是抛物线上异于
的一点，
过
作
于
，则线段
的垂直平分线
( )．
A．经过点
B．经过点
C．平行于直线
D．垂直于直线
【答案】B
【解析】如图所示：
．
因为线段
的垂直平分线上的点到
的距离相等，又点
在抛物线上，根据定义可知，
，所以线段
的垂直平分线经过点
．故选：B．
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二、填空题
1．(2023 年全国乙卷理科·第13 题)已知点
在抛物线C：
上，则A 到C 的准线的距离为
______．
【答案】
解析：由题意可得：
，则
，抛物线的方程为
，
准线方程为
，点
到
的准线的距离为
．
故答案为：
．
2．(2021 年新高考Ⅰ卷·第14 题)已知
为坐标原点，抛物线
：
(
)的焦点为
，
为
上一点，
与
轴垂直，
为
轴上一点，且
，若
，则
的准线方程为______．
【答案】
解析:不妨设
因为
，所以
的准线方程为
,故答案为
．
3．(2020 年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第13 题)斜率为
的直线过抛物线C：y2=4x 的焦点，且与C 交于
A，B 两点，则
=________．
【答案】
解析：∵抛物线的方程为
，∴抛物线
焦点F 坐标为
，
又∵直线AB 过焦点F 且斜率为
，∴直线AB 的方程为：
代入抛物线方程消去y 并化简得
，
解得
，所以
4．(2020 年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第14 题)斜率为
直线过抛物线C：y2=4x 的焦点，且与C 交
于A，B 两点，则
=________．
【答案】
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解析：∵抛物线的方程为
，∴抛物线的焦点F 坐标为
，
又∵直线AB 过焦点F 且斜率为
，∴直线AB 的方程为：
代入抛物线方程消去y 并化简得
，
解法一：解得
所以
解法二：
设
，则
,
过
分别作准线
的垂线，设垂足分别为
如图所示．
故答案为：
5．(2021 高考北京·第12 题)已知抛物线
的焦点为
，点
在抛物线上，
垂直
轴与于点
．若
，则点
的横坐标为_______；
的面积为_______．
【答案】 ①． 5 ②．
解析：因为抛物线的方程为
，故
且
．
因为
，
，解得
，故
，
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所以
，
故答案为：5；
．
6．(2019·上海·第9 题)过
的焦点
并垂直于
轴的直线分别与
交于
，
在
上方，
为抛物线上一点，
，则
______.
【答案】3
【解析】依题意求得：
，
，设M 坐标
有：
，代入
有：
即：
.
【点评】本题主要考查平面向量、抛物线．
7．(2018 年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第16 题)已知点
和抛物线
，过
的焦点且斜率
为
的直线与
交于
两点，若
，则
．
【答案】
解析：法一：抛物线
的焦点坐标为
，可设直线
，
联立方程
，消去
并整理可得
所以
，由点
在抛物线上，可得
，
所以
，
由
，可得
，所以
所以
即
所以
即
，解得
故所求直线
的斜率
．
法二：抛物线
的焦点
，准线方程为
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由依题意可知以
为直径的圆与准线相切于点
，故线段
中点的纵坐标为
设直线
，
联立方程
，消去
并整理可得
则有
，解得
故所求直线
的斜率
．
考点05 圆锥曲线的综合问题
1．(2023 年全国甲卷理科·第8 题)已知双曲线
的离心率为
，C 的一条渐
近线与圆
交于A．B 两点，则
( )
A
B．
C．
D．
【答案】D
解析：由
，则
，
解得
，
所以双曲线的一条渐近线不妨取
，
则圆心
到渐近线的距离
，
所以弦长
．
故选：D
2．(2021 年高考浙江卷·第9 题)已知
，函数
．若
成等比数列，则平面上点
的轨迹是
( )
A．直线和圆
B．直线和椭圆
C．直线和双曲线
D．直线和抛物线
【答案】C
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解析:由题意得
，即
，
对其进行整理变形：
，
，
，
，所以
或
，其中
为双曲线，
为直
线,故选C．
3 ．(2019· 天津· 理· 第5 题) 已知抛物线
的焦点为
，准线为
，若
与双曲线
的两条渐近线分别交于点
和点
，且
(
为原点)，则双
曲线的离心率为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：
，
，
，所以双曲线的两条渐近线方程
为
，所以
，则双曲线的离心率
．
4．(2019·北京·理·第8 题)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：
就
是其中之一(如图)．给出下列三个结论：
①曲线C 恰好经过6 个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；
②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过
；
③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．
其中，所有正确结论的序号是
( )
A．①
B．②
C．①②
D．①②③
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【答案】C
【解析】由
得，
，
，
所以
可为的整数有0，－1，1，从而曲线
恰好经过(0，1)，(0，－1)，(1，
0)，(1，1)， (－1，0)，(－1，1)六个整点，结论①正确；
由
得，
，解得
，所以曲线
上任意一点到原点的
距离都不超过
，结论②正确；
如图所示，易知
，四边形
的面积
，
很明显“心形”区域的面积大于
，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误．故选C．
二 填空题：
1．(2023 年天津卷·第12 题)过原点的一条直线与圆
相切，交曲线
于点
，若
，则
的值为_________．
【答案】
解析：易知圆
和曲线
关于
轴对称，不妨设切线方程为
，
，
所以
，解得：
，由
解得：
或
，
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所以
，解得：
．
当
时，同理可得．
故答案为：
．
2．（2023·全国·乙卷）已知点
在抛物线C：
上，则A 到C 的准线的距离为 .
【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为
，最后利
用点的坐标和准线方程计算点
到
的准线的距离即可.
【详解】由题意可得：
，则
，抛物线的方程为
，
准线方程为
，点
到
的准线的距离为
.
故答案为：
.
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