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资料来源：微信公众号 智慧学库
专题08 切线（选填题12 种考法）
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考法一 在点：求切线方程
【例1】（2023·全国·统考高考真题）曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设曲线
在点
处的切线方程为
，
因为
，所以
，所以
所以
所以曲线
在点
处的切线方程为
.
故选：C
【变式】
1．（2021·全国·统考高考真题）曲线
在点
处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】由题，当
时，
，故点在曲线上．
求导得：
，所以
．
故切线方程为
．
故答案为：
．
2．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）曲线
在点
处的切线方程为
．
【答案】
【解析】
，又
，所以
，
所以切线方程为
，即
．
故答案为:
.
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3．（2023·辽宁·校联考二模）已知函数
是奇函数，则曲线
在点
处的切线
方程为 ．
【答案】
【解析】由题意函数为奇函数可知
所以
，所以
，
则函数可化为
，则
，
则由导数得几何意义可知曲线
在点(0，0)处的切线斜率为-1.
所以曲线
在点
处的切线方程为
故答案为:
.
考法二 在点：已知切线求参数
【例2-1】（2023·河南·校联考模拟预测）若直线
与曲线
相切，则
．
【答案】
【解析】依题意，设切点为
，则
，
由
，求导得
，于是
，解得
，
从而
，则
.故答案为：
【例2-2】（2023·西藏日喀则·统考一模）已知直线
是曲线
在点
处的切线方程，
则
【答案】e
【解析】由题设，
且
，则
，
所以，切线方程为
，即
，
所以
，故
.
故答案为：
【变式】
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1．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知函数
（其中
）在
处的
切线为，则直线过定点的坐标为 .
【答案】
【解析】根据题意：函数
在
处有切线，
切点为
，
又
，故切线斜率为
，
直线的方程为
，
该直线过定点的坐标为
.
故答案为：
2．（2023·广西·统考模拟预测）若曲线
在
处的切线与直线
相互垂直，
则
．
【答案】
【解析】已知
，则
,
因为曲线
在
处的切线与直线
相互垂直，
所以
，解得
.
故答案为：.
3．（2023·广东东莞·东莞实验中学校考一模）已知直线
与曲线
相切，则
.
【答案】3
【解析】对
求导，得
，
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设切点为
，则
，解得
，
故答案为：3.
考点三 在点：求参数最值
【例3】（2023·浙江·模拟预测）已知直线
与曲线
相切，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，知定义域为
，
设切点为
，
，
，
所以
，故切点为
，代入直线
方程，
则
，
，
令
，
，
令
，解得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
则
，
故
的最小值为1.
故选：B
【变式】
1．（2023·新疆阿克苏·校考一模）若直线
与曲线
相切，则k 的取值范围是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，由导数的几何意义可知，
.故选：A
2.（2023 秋·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考阶段练习）已知
，
，直线
与曲线
相切，则
的最小值为 .
【答案】8
【解析】设切点为
，
因为
，所以
，得
，
所以
，即
，
所以，
，
当且仅当
，即
时，取最小值，
所以
的最小值为8.
故答案为：8.
3．（2023 秋·青海西宁·高三统考开学考试）已知直线
与曲线
相切，则
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设切点为
，则
，解得
，
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所以
．令
，所以
，
令
，解得
，令
，解得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
．
故选：A
4．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线
与直线
相切，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设切点为
，
，
时，
，
，
切线方程为
，又切线方程为
，即
，
所以
，消去
得
，易知
，
所以
，
令
，则
，
当
时，
，
递增，当
时，
，
递减，
所以
时，
，从而
取得最大值
．故选：C．
考法四 过点：求切线方程
【例4】（2023 春·上海浦东新）已知曲线
，过点
作曲线的切线，则切线的方程为
____.
【答案】
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【解析】设切点坐标为
，
,则切线的斜率
，
故切线方程为
，又因为点
在切线上，
所以
，整理得到
，
解得
，所以切线方程为
．
故答案为:
.
【变式】
1．（2023 吉林）已知函数
，则曲线
过点
的切线方程为______．
【答案】
或
【解析】设切点为
，
，则切线斜率为
，
故曲线
在
处的切线方程为
，
将点
的坐标代入切线方程可得
，解
或
，
故所求切线方程为
或
，即
或
.
故答案为：
或
.
2．（2023·山东·河北衡水中学统考一模）过点
与曲线
相切的直线方程为
______．
【答案】
【解析】设切点坐标为
，
，
.
则切线方程为
，因为
在切线上，
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所以
，即
又
，所以
，
令
，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，
所以方程
只有唯一解为
.
即切点坐标为
，故所求切线方程为
，即
.
故答案为：
3．（2022·全国·统考高考真题）曲线
过坐标原点的两条切线的方程为 ，
．
【答案】
【解析】[方法一]：化为分段函数，分段求
分
和
两种情况，当
时设切点为
，求出函数
导函数，即可求出切线的斜率，从而
表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出
，即可求出切线方程，当
时同理可得；
解： 因为
，
当
时
，设切点为
，由
，所以
，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以
，解得
，所以切线方程为
，即
；
当
时
，设切点为
，由
，所以
，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以
，解得
，所以切线方程为
，即
；
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故答案为：
；
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当
时
，设切点为
，由
，所以
，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以
，解得
，所以切线方程为
，即
；
因为
是偶函数，图象为：
所以当
时的切线，只需找到
关于y 轴的对称直线
即可.
[方法三]：
因为
，
当
时
，设切点为
，由
，所以
，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以
，解得
，所以切线方程为
，即
；
当
时
，设切点为
，由
，所以
，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以
，解得
，所以切线方程为
，即
；
故答案为：
；
.
考法五 过点：已知切线求参数
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【例5】（2023·北京）过原点的直线
与分别与曲线
，
相切，则直线
斜率的乘积
为（ ）
A．-1
B．1
C．
D．
【答案】B
【解析】设
的切点分别为
，
由题意可得
，
，
所以
在
处的切线为
，
在
处的切线为
，
又因为两条切线过原点，所以
，解得
，
所以直线
斜率的乘积为
，
故选：B
【变式】
1．（2023 春·河南周口 ）已知曲线
在
处的切线过点
，则实数
（ ）
A．
B．
C．1
D．3
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
曲线
在
处的切线的斜率为
，
又因为
，曲线
在
处的切线过点
，
故
，则
．
故选：B．
2.（2023 广东湛江）过点
可以作曲线
的两条切线，切点的横坐标分别为m，n，则
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的值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．3
【答案】D
【解析】
，设切点为坐标
，
则
，
即
，则
，
由题意知
有两解，分别为m，n，
故
，
故选：D.
考法六 过点：求切线的数量
【例6】（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知函数
过点
作曲线
的切线，则切线的条数为 ．
【答案】2
【解析】当
时，
，设切点为
，
，
又
故过
的切线方程为
,
将
代入可得
,
解得
或4，均大于0，满足要求；
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当
时，
，设切点为
，
又
，
故过
的切线方程为
将
代入，可得
解得
或4，均大于0，不合要求，舍去．
故答案为：2．
【变式】
1．（2023 春·甘肃张掖）若过点
作曲线
的切线，则这样的切线共有（ ）
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．3 条
【答案】C
【解析】设切点为
，由
，所以
，所以
，
所以切线方程为
，即
，因为切线过点
，
所以
，解得
或
，
所以过点
作曲线
的切线可以作2 条，
故选：C
2.（2023·海南·统考模拟预测）已知函数
，过点
作曲线
的切线，则切线
的条数为 ．
【答案】1
【解析】当
时，
，设切点为
，
，
其中
，
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故过
的切线方程为
，
将
代入，可得
，解得
，满足要求，
当
时，
，设切点为
，
，
其中
，
故过
的切线方程为
，
将
代入，可得
，解得
，不合要求，舍去；
故答案为：1
3．（2023·高二单元测试）已知函数
，则过点
与曲线
相切的直线有
条.
【答案】2
【解析】曲线方程为
，点
不在曲线上，
设切点为
，则点
的坐标满足
，
由
，得
，
由导数的几何意义知，
在
处的切线的斜率为
，
故切线的方程为
，
因为点
在切线上，所以
联立
得
，解得
或
，
故所求切线方程为
或
，
则过点
与曲线
相切的直线有2 条.
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故答案为：2.
考法七 过点：求最值与取值范围
【例7-1】（2022·全国·统考高考真题）若曲线
有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是
．
【答案】
【解析】∵
，∴
，
设切点为
,则
,切线斜率
,
切线方程为：
,
∵切线过原点，∴
,
整理得：
,
∵切线有两条，∴
,解得
或
,
∴
的取值范围是
,
故答案为：
【例7-2】（2023·云南·校联考模拟预测）（多选）已知函数
，若过点
恰能作3 条曲
线
的切线，则
的值可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】设切点为
，则
，所以切线的斜率为
，
则切线的方程为
，
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因为点
在切线上，所以
，即
，
令
，则
，
令
，得
或
，
当
或
时，
；当
时，
，
所以当
时，
取得极大值
，
当
时，
取得极小值
，
因为过点
恰能作3 条曲线
的切线，所以直线
与
的图象有3 个交点，
如图所示：
所以m 的取值范围是
，故选：BC
【变式】
1．（2021·全国·统考高考真题）若过点
可以作曲线
的两条切线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】在曲线
上任取一点
，对函数
求导得
，
所以，曲线
在点
处的切线方程为
，即
，
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由题意可知，点
在直线
上，可得
，
令
，则
.
当
时，
，此时函数
单调递增，
当
时，
，此时函数
单调递减，
所以，
，
由题意可知，直线
与曲线
的图象有两个交点，则
，
当
时，
，当
时，
，作出函数
的图象如下图所示：
由图可知，当
时，直线
与曲线
的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线
的图象如图所示，根据直观即可判定点
在曲线下方和
轴上方时才可以
作出两条切线.由此可知
.
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故选：D.
2．（2023·云南）过坐标原点可以作曲线
两条切线，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵
，∴
，
设切点为
，则
，切线斜率
,
切线方程为
，
∵切线过原点，∴
，
整理得：
,
∵切线有两条，∴
，解得
或
，
∴
的取值范围是
,
故选：D
3．（2023·江西·校联考模拟预测）若过
轴上任意点
可作曲线
两条切线，则
的取值范围 ．
【答案】
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【解析】设曲线上一点
，
在
点的切线方程
，
把
点代入切线方程得
，
得：
，
令
，则
，分别令
，
解得
在
单调递增，
单调递减，
，
当
，
，
，
，
要有两个解，
则
即对任意
，则
，
对任意
，则
，只要
，
令
，
，
在
单调递减，在
单调递增，则
．
．故答案为：
.
4．（2023·广西玉林·统考模拟预测）若曲线
有三条过点
的切线，则实数
的取值范围为
【答案】
【解析】设该切线的切点为
，则切线的斜率为
，
所以切线方程为
，
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又切线过点
，则
，整理得
.
要使过点
的切线有3 条，需方程
有3 个不同的解，
即函数
图象与直线
在R 上有3 个交点，
设
，则
，
令
，令
或
，
所以函数
在
上单调递增，在
和
上单调递减，
且极小值、极大值分别为
，如图，
由图可知，当
时，函数
图象与直线
在R 上有3 个交点，
即过点
的切线有3 条.所以实数a 的取值范围为
.
考法八 公切线
【例8-1 】（2023· 江西南昌· 校考模拟预测）若直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线，则b 的值为（ ）
A．0
B．1
C．0 或1
D．0 或
【答案】B
【解析】设
是
在点
的切线，则
，
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同理设设
是
在点
的切线，则
，
由方程组得
，代入解得
故选：B
【例8-2】（2023·河北·统考模拟预测）若曲线
与曲线
存在公切线，则
实数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
，
所以
，
，
设公切线与
切于点
，与曲线
切于点
，
，
所以
，
所以
，所以
，所以
或
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，
令
，
，
则
，所以当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
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所以
，所以实数
的最小值为
.
故选：A
【变式】
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知函数
，
，若直线
为
和
的公切线，则b 等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设直线
与
相切于点
，
与
相切于点
，
由
，所以
，
由
，
则
，
即点
，代入直线中有：
， ①
由
，
所以
，
由
，
，
即点
，代入直线中有：
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， ②
联立①②解得：
，
所以
，
故选：B.
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线
是曲线
与
的公
切线，则
.
【答案】
/
【解析】对于函数
，则
，
设
是曲线
上的一点，切线斜率
，
所以
在点
处的切线方程为
，即
，
对于函数
，则
，
根据斜率关系可得：
，解得
，
可得
，可知切点坐标为
，
则切线方程为
，即
，
可得
，整理得
，解得
或
，
当
时，切线方程为
，此时
，不符合题意，舍去；
当
时，切线方程为
，故
，
；
综上所述：
.
故答案为：
.
3．（2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）若关于
的不等式
恒成立，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】C
【解析】设
，
，依题意只需求公切线斜率即可.
，
，设切点分别为
，
，
则切线方程为
，即
.
，即
.
则
，由①得
，
代入②得：
，则
，
故公切线斜率为
或
，如图，
.
故选：C.
4．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）若存在直线与曲线
都相切，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设该直线与
相切于点
，
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因为
，所以
，所以
，
所以该切线方程为
，即
.
设该直线与
相切于点
，
因为
，所以
，所以
，
所以该切线方程为
，即
.
所以
，
所以
，
令
，则
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
在
和
上单调递减；在
和
上单调递增.
又
-1，所以
，
所以
，解得
，
所以
的取值范围为
.故选：D.
考法九 切线与倾斜角
【例9-1】（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考模拟预测）设点
是函数
图象上的任意一点，点
处切线的倾斜角为
，则角
的取值范围是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵
，∴
，
∴
，∴
，∴
，
∴
，∴
或
.
故选：B.
【例9-2】（2023 春·福建·高二校联考期中）曲线
在某点处的切线的倾斜角为锐角，且
该点坐标为整数，则该曲线上这样的切点的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【解析】由
，得
，
曲线
在某点处的切线的倾斜角为锐角，
，即
，
解得：
．
又切点坐标为整数，
，0，1．
该曲线上这样的切点的个数为3 个．
故选：C．
【变式】
1．（2023·上海徐汇·位育中学校考三模）设P 是曲线
上任意一点，则曲线在点P 处的切线的
倾斜角α 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由已知得
，
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由
得
．
故答案为：
．
2．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）设点P 是函数
图象
上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为
，则角
的取值范围是
【答案】
【解析】
，
，
，
，
，
.
点P 是曲线上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为
，
.
，
.
3．（2023·河北衡水·校联考二模）已知函数
的导函数为
，且满足关系式
.则
的图像上任意一点处的切线的斜率的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为
，所以
，
所以
，所以
，
所以
，
所以
，当且仅当
，即
时等号成立，所以
的最
小值为
，
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所以
的图像上任意一点处的切线的斜率的取值范围为
.
故答案为：
.
考法十 切线的应用1---点到曲线的距离最值
【例10】（2022·全国·高三专题练习（理））若点
与曲线
上点
距离最小值为
，则实数
为_______.
【答案】
【解析】设点
的坐标为
，对函数
求导得
，
由题意可知，直线
与曲线
在点
处的切线垂直，则
，
得
，
由两点间的距离公式得
，
由于
的最小值为
，即
，
，解得
，
因此，
.
故答案为：
【变式】
1．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学）直线
分别与曲线
， 直线
交于
两点， 则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题，设
到直线
的距离为
，直线
的倾斜角为
，则
，
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又
，
，故
最小即
最小，即为当过点
处的切线与直线
平行时最小，
由曲线
，得
，所以切点为
，
可求得点
到直线
的距离最小值为
故
，
故选：C
2．（2022·河北邯郸·二模）已知点P 为曲线
上的动点，O 为坐标原点．当
最小时，直线OP 恰
好与曲线
相切，则实数a＝___．
【答案】
【解析】设
，所以
，
设
，
，
当
时，
，
，所以
单调递增，
当
时，
，
，
所以
单调递减，
当
时，函数
有最小值，即
有最小值，所以
，
此时直线OP 的方程为
，设直线
与曲线
相切于点
，
由
，显然
在直线
上，
则
，因此有
，
故答案为：
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3．（2023·山西临汾·统考一模）设
是曲线
上的动点，且
.则的取值范围是
.
【答案】
【解析】∵
，∴
，
设点
，则
在点P 处的切线斜率为
，
∵
，即：当且仅当PA 垂直于切线时，
取得最小值
，
又∵
，
∴
，即：
，①
∴
，即：
，②
∴由①②得：
，解得：
或
，
又∵由①知，
，
∴
，即：
，解得：
，
∴
.
故答案为：
.
考法十一 切线的应用2---曲线上的动点到直线距离的最值
【例11】（2023 春·陕西安康）若点
是曲线
上任意一点，则点
到直线
距离的
最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】D
【解析】过点
作曲线
的切线，当切线与直线
平行时，点
到直线
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距离最小.
设切点为
，
所以切线斜率为
，由题知
，解得
或
（舍），
，此时点
到直线
距离
.
故选：D
【变式】
1．（2023 春·广西钦州 ）已知P 是函数
图象上的任意一点，则点P 到直线
的距
离的最小值是（ ）
A．
B．5
C．6
D．
【答案】A
【解析】设直线与直线
平行，且与函数
的图象相切，
设切点为
，因为
是单调递增函数，
直线
的斜率为1，所以
，解得
，即切点为
，
所以点P 到直线
的距离的最小值是点
到直线
的距离，
即为
.
故选：A
2．（2023 秋·河南许昌·高三禹州市高级中学校考阶段练习）点
是曲线
上任意一点，则
点
到直线
的最短距离 .
【答案】
/
【解析】
，
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令
，解得
（
舍去），
又
，可得与直线
平行且与曲线
相切的直线的切点为
，
所以点
到直线
的最短距离为
.
故答案为：
.
3．（2023 春·福建漳州·高二校考阶段练习）已知函数
，如果直线
与
的图象无
交点，则
的取值范围是
【答案】
【解析】令
，整理得
，
构建
，原题意等价于
与
没有交点，
因为
，
设切点坐标为
，切线斜率
，
则切线方程为
，
若切线过原点
，则
，解得
，
此时切线斜率
，
可得
，解得
，
所以
的取值范围是
.
考法十二 切线的应用3--零点或实根的个数
【例12-1】（2023 北京）函数
，若方程
恰有3 个根，则实数
的取值范
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围为 .
【答案】
【解析】画出函数
的图象,如图所示：
由题意可知
，
先求
与
相切时的情况，由图可得此时
,
设切点为
,则
，解得
,
，
此时直线
，此时直线
与
只有两个公共点，所以
，
又斜率
，又当
时
与
平行，
与
有三个公共点，而当
，
直线
与
有四个交点，故
.
故答案为：
【例12-2】（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知函数
，
，若方程
恰有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】A
【解析】作出
与
的图象，如图，
当
时，设
与
相切于点
，
则
，解得
，所以
，
由图象可知，当
时，
与
有2 个交点，与
有1 个交点，即
与
有3 个交点.；
当
时，设
与
相切于点
，
由
可知，
，
解得
或
（舍去），此时
，而
，
由图象知，当
时，
与
有3 个交点.
综上，
或
时图象有3 个交点，即方程
恰有三个不相等的实数根.
故选：A
【变式】
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1．（2023·四川·校考模拟预测）若函数
恰有2 个零点，则实数a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，
，则
，
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增，
当
时，
，当
趋向正无穷时，
趋向正无穷，故作出
的大致图象，如图所示．
由题知函数
恰有2 个零点，即函数
的图象与直线
的图象恰有2 个
交点，
易知点
为
与直线
的公共点，又曲线
在点
处的切线方程为
，
所以当
，直线
与与曲线
有2 个交点；
当
时，直线
与曲线
有2 个交点．
综上所述，实数
的取值范围为
．
故选：C．
2．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知函数
，
，若
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函数
恰有2 个零点，则实数m 的取值范围为 .
【答案】
【解析】由
得
，
由题意得，函数
与函数
的图象恰有2 个公共点，
作出函数
的图象，如图，
再作出直线
，它始终过原点，
设直线
与
相切，切点为
，
由
知
，切线斜率为
，切线方程为
，
把
代入得
，
所以切线斜率为
，
设
与
相切，则
，
所以，
，解得
舍去），
由图可得实数m 的取值范围是
或
.
故答案为：
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3．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知函数
，若
有且仅有两个零点，
则实数
的取值范围为
【答案】
【解析】由
可知
，即
与
存在两个交点，
令
，则
，
令
，解得：
，令
，解得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
令
，解得
，
则
在
处的切线方程为
；
令
，解得
，则
在
处的切线方程为
，
所以
与
的图象如下表：
且这两条切线在
轴上的截距分别为
实数
的取值范围为
.
一．单选题
1．（2023·山东潍坊·三模）若
为函数
图象上的一个动点，以
为切点作曲线
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的切线，则切线倾斜角的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
点坐标为
，由
，
，得
，
则以
为切点的切线斜率为
，令切线倾斜角为
，
，则
，
则
.故选：D.
2．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知
，设曲线
在
处的切线斜率为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
当
时，
，
，
，
，
在
上单调递减；
，
所以
，而
，
所以
，
.
故选：A.
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3．（2023·全国·模拟预测）过点
作曲线
的两条切线，切点分别为
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】D
【解析】由题意得
，
过点
作曲线
的两条切线，设切点坐标为
，
则
，即
，
由于
，故
，
，
由题意可知
为
的两个解，
故
，
故选：D
4．（2023 秋·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）若函数
的图象上任意一点
的切线的斜率都大于0，则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
的定义域是
，依题意，
恒成立，即
恒成立，
由于
，当且仅当
时等号成立，所以
.故选：C
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5．（2023·山东烟台·校考模拟预测）已知函数
（
且
）有一个极大值点
和一个
极小值点
，且
，则a 的取值范围为 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意知，
时，
，
又
，当
时，
时，
，所以
，
矛盾，故
，
由
有两不同实数根可知
，
有两个不同交点，
设过原点与
相切的直线为，切点为
，
因为
，所以
，解得
，
即
，如图，
资料来源：微信公众号 智慧学库
所以
与
有两个不同交点则需
，解得
，
又
，所以
，此时满足极大值点为
，极小值点为
，且
.
故选：B
6．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知直线
与曲线
和曲线
均相切，则实数
的解的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．无数
【答案】C
【解析】根据题意可知，直线
与曲线
和曲线
都相切，
所以对于曲线
，则
，所以
，
所以切点
，
对于曲线
，则
，所以
，
切点
，易知A,B 不重合，
因为公切线过
两点，所以
，
进而可得
，
令
，则
，
令
，则
所以
在
单调递增，
因为
，
所以存在
使得
，即
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
所以当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
故
.
又因为
，
所以
，
当
时，
，
因为
，
所以在
内存在
，使得
，
当
时，
，
因为
，
，
所以在
内存在
，使得
，
综上所述，存在两条斜率分别为
，
的直线与曲线
和曲线
都相切，
故选：C.
7．（2023 春·江苏南通·高三校考开学考试）已知函数
，存在两条过原点的直线与曲线
相切，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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【解析】设切点坐标为
，又
，则切线斜率
又
，则切线方程为：
，
又切线过原点，则
，即方程
在
上有两不
相等的实根，
设
，
，则
，
当
时，
恒成立，
在
上单调递增，不可能存在两个零点，故不符合题意；
当
时，
得
，当
时，
，
单调递减，
时，
，
单调递增，
要使得
两个不同的零点，则
，解得
，
又
，
时，
，故当
时，
有两个零点，
则实数a 的取值范围是
.
故选：D.
8．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）若曲线
上恰有三个不同的点到直线
的距离为
，则实数a 的值为（ ）
A．-3
B．
C．1
D．-3 或1
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【答案】A
【解析】依题意，设直线与直线
平行，且与曲线
的图象相切于点
，
对于
，定义域为
，则
，
所以有
，直线的斜率
，
又因为直线与直线
平行，则有
，解得：
，
则
，故点
的坐标为
，所以直线的方程为：
，
若曲线
上恰有三个不同的点到直线
的距离为
，
必有直线到直线
的距离为
，则有
，解得：
或
，
当
时，直线
即为
与曲线
没有交点，
曲线
上只有个点到直线
的距离为
，不符合题意；
当
时，直线
即为
与曲线
有
个交点，
曲线
上恰有三个不同的点到直线
的距离为
，
一个点为点
，剩余的两个点则在直线
的右下方，符合题意；
故
.
故选：A.
9．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数
，若方程
有两个实
根，且两实根之和小于0，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，易知方程
总有一个实根为0，
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当
时，
，
，方程
没有非零实根.
当
时，当
时，
，
；当
时，
，
，
在
上单调递减，在
上单调递增
如图所示，作出两函数的大致图像，可知坐标原点为两个图像的公共点.
当
时，
，
，
，
，
与
的图像在原点处相切，
当
时，
，
，
，
，
与
的图像在原点处相切，
此时方程
仅有一个实根0.
结合图像可知，当
时，方程另有一正根，不合题意；
当
时，方程另有一负根，符合题意.
故满足条件的
的取值范围是
.
故选：C.
10．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知
，
为函数
的零
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点，
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
与
大小关系不确定
【答案】C
【解析】易知
为函数
的零点，
又
解之：
，负根舍去；
又
，
即
与
有三个交点，交点横坐标分别为
，如下图先计算过原点的切线方程，不妨设
切点为
切线方程为：
过原点，
此时
的斜率比切线斜率小，结合图像容易分析出，
故选：C
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．
二．多选题
11．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知函数
，下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
有2 个零点
B．若
，则
有3 个零点
C．存在负数
，使得
只有1 个零点D．存在负数
，使得
有3 个零点
【答案】ABC
【解析】由题意知
的零点个数即为
和
的图象的交点个数，在同一平面直角坐标系内画
出
和
的图象.
对A，由图可知，当
时，图象有两个不同的交点，故A 正确；
对B，设直线
与曲线
相切于点
，
则
，故切线斜率
，
所以当
，直线
与
有3 个不同的交点，
即
有3 个零点，故B 正确；
对C，设直线
与曲线
相切于点
，
则
，故切线斜率
，
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所以当
时，
恰有1 个零点，故C 正确；
对D，当
时，直线
与
的图象至多有2 个交点，故D 错误；
故选：ABC.
12．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）已知
，若过点
恰能作两条直线与曲
线
相切，其中
，则m 与n 可能满足的关系式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】设切点坐标为
，因为
，则
，切线斜率为
，
所以，曲线
在
处的切线方程为
将点
的坐标代入切线方程可得
，
过点
恰能作两条直线与曲线
相切，
即方程
有2 个解，即
，
与
的图象有2 个交点，
，
若
，令
，得
或
，令
，得
，
即
在
上单调递减，在
和
上单调递增，
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若
，令
，得
或
，令
，得
，
即
在
上单调递减，在
和
上单调递增，
又
，
，
故由图可知，当
或
时，
与
的图象有2 个交点，
此时，
或
.
故选：AD.
13．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）已知函数
（e 为自然对数的底数），则
下列结论正确的是（ ）
A．曲线
的切线斜率可以是
B．曲线
的切线斜率可以是3
C．过点
且与曲线
相切的直线有且只有1 条
D．过点
且与曲线
相切的直线有且只有2 条
【答案】BCD
【解析】因为
，所以
，
对于A：令
，方程无解，所以曲线
的切线斜率不可以是
，故A 错误；
对于B：令
，解得
，所以曲线
的切线斜率可以是，故B 正确；
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对于C：设切点
，则切线方程为
，因为点
在切线上，
所以
，即
，显然
，所以
，
故过点
且与曲线
相切的直线有且只有1 条，故C 正确；
对于D：设切点
，则切线方程为
，
因为点
在切线上，
，所以
，
令
，则
，所以当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，
，所以存在
使得
，
所以方程
有且仅有两个实数根，
所以过点
且与曲线
相切的直线有且只有
条，故D 正确；
故选：BCD
14．（2023·广东·校联考模拟预测）已知函数
，则过点
恰能作曲线
的
两条切线的充分条件可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】由
，得
，
设切点为
，则切线的斜率为
，
所以有
，
整理可得：
，
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由题意可知：此方程有且恰有两个解，令
，
，
，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，因为
，
所以当
时，
；当
时，
，
①当
，即
时，
当
时，
，则函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
，则函数
单调递增，
所以只要
或
，即
或
；
②当
，即
时，
当
时，
，则函数
单调递增，
当
时，
函数
单调递减，
当
时，
，则函数
单调递增，
当
时，
，
所以只要
或
，由
可得：
，
由
得
；
③当
时，
，所以函数
在
上单调递增，
所以函数至多有一个零点，不合题意；
综上：当
时，
或
；
当
时，
或
，
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所以选项A 正确，B 正确，C 错误，D 错误，
故选：AB
15（2023·上海·高二专题练习）已知函数
，过点
作曲线
的切线，下列说法正确的是
（ ）
A．当
，
时，有且仅有一条切线
B．当
时，可作三条切线，则
C．当
，
时，可作两条切线
D．当
时，可作两条切线，则b 的取值范围为
或
【答案】AD
【解析】A：当
时，点
在
上，
，
若
为切点，则切线斜率为
，所以切线方程为
，
若
不为切点，设切点坐标为
，所以
，
切线斜率为
，所以
，
，即切点为原点，所以
时，有且仅有一条切线，正确；
B：设切点坐标为
，所以
，
，
则切线的斜率为
，切线方程为
，
当
时，
，则
，
设
，则
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
时
有极小值，为
，
时
有极大值，为
，
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时
，画出
的图象，
当
时，若有三条切线，则
与
有3 个交点，由图得
，错误；
C：当
时，由切线方程得
，则
，
设
，则
，
所以
单调递减，且
，
如图，
所以当
，
时，
与
有且只有一个交点，所以只能作一条切线，错误；
D：当
时，由切线方程为
得
，则
，
设
，则
，
因为
，所以当
时
，
单调递增，
所以当
时
，
单调递减，
所以当
时
，
单调递减，
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时，
有极小值为
，
时，
有极大值为
，
的图象为
若有两条切线，则
的取值为
或
，正确.
故选：AD.
三．填空题
16．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知
的图象在
处的切线
与与函数
的图象也相切，则该切线的斜率
.
【答案】
【解析】函数
的图象在
处的切线的切点为
，
因为
，所以切线斜率为
，切线方程为
，即
，
设
的图象的切线的切点为
，因为
，所以切线斜率为
，
切线方程为
，即
，
由题
，解得
，
，斜率为
.
故答案为：
.
资料来源：微信公众号 智慧学库
17．（2023·浙江·统考一模）若曲线
存在两条互相垂直的切线，则a 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题知，令
，
则
．
若函数曲线存在两条互相垂直的切线
则可得
，
，
．
当
时，
，
，与题目矛盾；
当
时，由
，
可得
的值域是
故
，使得
，
，
．
故答案为：
．
18．（2023·广东肇庆·校考模拟预测）已知曲线
与曲线
有相同的切线，则这条切线
的斜率为 .
【答案】
/0.5
【解析】设曲线
与曲线
的切点分别为
，
，
又
，
，
所以
，
，
所以切线为
，即
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
，即
，
所以
，
所以
，
，即这条切线的斜率为
.
故答案为：
.
19．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）已知函数
，则
所有的切线中斜率最小的切线
方程为 .
【答案】
【解析】由
，
，
则
，
时等号成立，
则函数
所有切线中斜率最小为3，且过点
，
则切线方程为
故答案为：
20．（2023·全国·模拟预测）曲线
在
处的切线的倾斜角为
，则
．
【答案】
【解析】由题得
，所以
，
所以
，
所以
.
资料来源：微信公众号 智慧学库
故答案为：
21．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）设点
为函数
与
图象的
公共点，以
为切点可作直线与两曲线都相切，则实数
的最大值为 ．
【答案】
【解析】设点
坐标为
，则有
，因为以
为切点可作直线与两曲线都相切，所
以
，即
或
由
，故
，此时
；所以点
坐标为
，代入
整理得：
，
，令
，即
，得
，可判断
在
上递增，在
上递减，所以当
时有极大值也
是最大值，
，故答案为
.
22．（2023·河南郑州·校联考二模）已知函数
，则曲线
在
处的切线方程为
.
【答案】
【解析】由
得
，
故
，而
，
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故曲线
在
处的切线方程为
，
即
故答案为：
23．（2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测）函数
在
处的切线方程为
.
【答案】
【解析】函数
，可得
，
又由
，可得
，即切线的斜率为
，
所求切线方程为
，即
.
故答案为：
.
24．（2023·广东梅州·统考三模）曲线
在点
处的切线方程为 .
【答案】
【解析】
，则
，则
又因为当
时，
，所以所求的直线方程为
，即
.
故答案为：
.
25．（2023·湖南·校联考模拟预测）若函数
是奇函数，则曲线
在点
处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】因为
是奇函数，
所以
对
恒成立，
资料来源：微信公众号 智慧学库
即
对
恒成立，
所以
，则
，故
，所以
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，
化简得
.
故答案为：
26．（2022·全国·统考高考真题）已知
和
分别是函数
（
且
）的极小值
点和极大值点．若
，则a 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为
，所以方程
的两个根为
，
即方程
的两个根为
，
即函数
与函数
的图象有两个不同的交点，
因为
分别是函数
的极小值点和极大值点，
所以函数
在
和
上递减，在
上递增，
所以当时
，
，即
图象在
上方
当
时，
，即
图象在
下方
，图象显然不符合题意，所以
．
令
，则
，
设过原点且与函数
的图象相切的直线的切点为
，
则切线的斜率为
，故切线方程为
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
则有
，解得
，则切线的斜率为
，
因为函数
与函数
的图象有两个不同的交点，
所以
，解得
，又
，所以
，
综上所述，
的取值范围为
．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0 的两个根为
因为
分别是函数
的极小值点和极大值点，
所以函数
在
和
上递减，在
上递增，
设函数
，则
，
若
，则
在
上单调递增，此时若
，则
在
上单调递减，在
上单调递增，此时若有
和
分别是函数
且
的极小值点和极大值点，则
，不符合题意；
若
，则
在
上单调递减，此时若
，则
在
上单调递增，在
上单
调递减，令
，则
，此时若有
和
分别是函数
且
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的极小值点和极大值点，且
，则需满足
，
，即
故
，所以
.
27．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知函数
，若曲线
与曲线
存在公切线，则实数
的最大值为 ．
【答案】
/0.5
【解析】
，
假设两曲线在同一点
处相切，
则
，可得
，即
，
因为函数
单调递增，且
时
，
所以
，则
，此时两曲线在
处相切，
根据曲线的变化趋势，若
，则两曲线相交于两点，不存在公切线，如图，
所以
的最大值为
.
故答案为：
.
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28．（2023·山西吕梁·统考二模）若过点
（
）有3 条直线与函数
的图象相切，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意可得
，设切点坐标为
，则切线斜率
，
所以切线方程为
，
将
代入得
．
因为存在三条切线，即方程
有三个不等实数根，
等价于函数
与
的图象有三个交点，
设
，则
，
当
时，
，
单调递增；
在
和
上，
，
单调递减，
，
，当
或
时，
，
要使函数
与
的图象有三个交点，
只需
，即
，即
的取值范围是
．
故答案为：
29．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知函数
过点
作曲线
的
切线，则切线的条数为 ．
【答案】2
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【解析】当
时，
，设切点为
，
，
又
故过
的切线方程为
,
将
代入可得
,
解得
或4，均大于0，满足要求；
当
时，
，设切点为
，
又
，
故过
的切线方程为
将
代入，可得
解得
或4，均大于0，不合要求，舍去．
故答案为：2．
30．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）若过点
可以作曲线
的两条切线，切点
分别为
，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】设切点
，
则切线方程为
，
又切线过
，则
，
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有两个不相等实根
，
其中
或
，
令
或
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上递增，在
上递减，
，
，
当
时，
，当
时，
，
所以
，即
.
故答案为：
31．（2023·上海·统考模拟预测）若曲线
有两条过
的切线，则
的范围是 ．
【答案】
【解析】设切线切点为
,
，又
，所以切线斜率为
因为
，所以切线方程为：
．
又切线过
，则
，即
则由题可知函数
图象与直线
有两个交点，
由
得
，由
得
所以
在
上单调递增，在
上单调递减．
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又
，又
，
，
，
．
据此可得
大致图象如下．
则由图可得，当
时，曲线
有两条过
的切线．
故答案为：
.
32．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知函数
，过点
存在3 条直线与曲线
相切，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】由
，设切点为
，则切线斜率为
，
所以，过
的切线方程为
，
综上，
，即
，
所以
有三个不同
值使方程成立，
即
与
有三个不同交点，而
，
故
、
上
，
递减，
上
，
递增；
所以
极小值为
，极大值为
，故
时两函数有三个交点，
综上，
的取值范围是
.
故答案为：
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33．（2023·云南·校联考模拟预测）已知抛物线
：
，在直线
上任取一点
，过点
作抛物
线
的两条切线，切点分别为
，
，则原点到直线
距离的最大值为 .
【答案】4
【解析】
设
，
，则
，
，
由
得
，
，
在
处的切线方程为
，即
在
处的切线方程为
，即
设
，
则
，
，
则直线
方程为：
，即
，直线
恒过定点
，
所以原点到直线
的距离的最大值为4.
故答案为：4
34．（2023 秋·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第三中学校考阶段练习）已知曲线
与直线
相切，则
的最大值为 ．
【答案】
【解析】设切点为
，
，当
时，
，
，
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切线方程为
，又切线方程为
，
所以
，消去
得
，易知
，
所以
，令
，得
当
时，
，
递增，当
时，
，
递减，
所以
时，函数取得最大值
，从而
取得最大值
．
故答案为：
．
35．（2023 秋·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知
，若过点
恰能作两条直线
与曲线
相切，且这两条切线关于直线
对称，则
的一个可能值为 ．
【答案】
（或
或
或
）
【解析】设切点坐标为
，因为
，则
，切线斜率为
，
所以，曲线
在
处的切线方程为
将点
的坐标代入切线方程可得
，
设过点
且与曲线
相切的切线的切点的横坐标分别为
、
，且
，
因为这两条切线关于直线
对称，则
，
所以，
，
易知
、
关于的方程
的两个根，设该方程的第三个根为
，
则
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
则
，
所以，
，
因为过点
恰能作两条直线与曲线
相切，
则关于的方程
只有两个不等的实根，不妨设
，
则
，
若
，则
，可得
，解得
；
若
，则
，所以，
，可得
，
，
所以，
，解得
.
综上所述，
或
.
故答案为：
（或
或
或
）.
