专题07 比较大小（选填题11 种考法）
考法一 与特殊值比较大小
【例1-1】（2023·海南海口·农垦中学校考模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
在R 上单调递增，且
，
所以
；
因为
在R 上单调递减，且
，
所以
；
因为
在
上单调递增，且
，
所以
．
综上所述，
，
故选：A．
【例1-2】（2023·西藏林芝·校考模拟预测）若
，
，
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由对数函数
在
上单调递增可知，
，可得
；
由对数函数
在
上单调递增可知，
，可得
；
由对数函数
在
上单调递增可知，
，可得
；
所以可得
.
故选：B
【变式】
1．（2023·陕西安康 ）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
，所以
.故选：A
2．（2022·天津·统考高考真题）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，故
.故答案为：C.
3．（2021·天津·统考高考真题）设
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
，
，
，
，
，
.
故选：D.
4．（2023·西藏拉萨 ）设
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，所以
；
，所以
；
，所以
，则
．故选：C.
考法二 指数式比较大小
【例2-1】（2023·天津·统考高考真题）若
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
在R 上递增，则
，
由
在
上递增，则
.所以
.
故选：D
【例2-2】（2023·山东聊城·统考三模）设
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
单调递减可知：
.
由
单调递增可知：
，所以
，即
，且
.
由
单调递减可知：
，所以
.
故选：D
【例2-3】（2023·安徽淮南·统考一模）若
，
，
，则实数a，b，c 的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由已知可得，
，
，
由
可得，
，所以
.
设
，则
，
因为
，故
，
所以
即
，
所以
在
上为增函数，又
，
，
，又
，所以
.故选：B.
【变式】
1．（2023 秋·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）设
，则
的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
而
在
上单调递增，所以
，即
，
又
，而
，则
，所以
.故选：D.
2．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
在
上单调递增，
；
又
在
上单调递减，
，
，即
；
，
；
综上所述：
.故选：A.
3.（2022·全国·高三专题练习）已知
，则
的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造函数
，利用导数判断函数的单调性，可得
，从而可得
，
再由
在
上单调递增，即可得出选项.
【详解】构造函数
，则
，
当
时，
，故
在
上单调递减，
所以
，所以
，
所以
，
，
因为
在
上单调递增，所以
，同理
，
所以
，故选：B
考法三 函数的性质比较大小
【例3-1】（2022·江西）函数
.若
，
，
，则有
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数
，所以
，
当
时，
，所以
在
上递增，
因为
，所以
，
所以
，故选：
【例3-2】（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知
，若
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，定义域关于原点对称，
，
所以
为
上的偶函数，
当
时,
，设
，
则
，
，
，
所以
即
在
上单调递减,所以
,
所以
在
上单调递减,又因为
为偶函数,
所以
在
上单调递增，
又因为
,
,
又因为
,
因为
,
，所以
,
所以
，即
,
所以
,
所以
,即
.故选：D.
【变式】
1（2022·江苏 ）已知函数
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，
，即
，
所以
，又
，
所以
，而
递增，
故
故选：D
2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数
．记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，则
开口向下，对称轴为
，
因为
，而
，
所以
，即
由二次函数性质知
，
因为
，而
，
即
，所以
，
综上，
，
又
为增函数，故
，即
.
故选：A.
3．（2023·河北沧州·统考三模）已知
为奇函数，当
时，
，当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为当
时，
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增.
且
，所以
在
上单调递增，
在
上单调递减，在
上单调递增.
因为
，
，
则
所以
.
故选：A
4.（2023 春·广西·高三校联考阶段练习）已知函数
在
上单调递减，
，
为偶函数，当
时，
，若
，
，
，
则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为函数
为偶函数，得
的图象关于直线
对称，
且
，由
得
，
所以
，即
，则
，
所以函数
的一个周期为6，则
，
当
时，
，又
的图象关于直线
对称，
所以
，
由
得
，
的图象关于点
对称，
又函数
在
上单调递减，所以函数
在
上单调递减，
又
，
所以
，所以
.故选：A
考法四 导函数模型比较大小
【例4-1】（2022·四川遂宁 ）已知定义在R 上的函数
满足：函数
为奇函数，且当
时，
成立（
为
的导函数），若
，
，
，
则a、b、c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，则
，
因为当
时，
成立，所以
，
为递增函数，
又因为函数
为奇函数，可得
，
则
，所以函数
为偶函数，
所以函数
在
为单调递减函数，
由
，
，
，
因为
，所以
，即
.故选：B
【例4-2】（2023·广西柳州·统考模拟预测）设函数
的导数为
，且
为偶函数，
，则不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，则
，
可得
在
上递增，又
为偶函数，
则
，
，
，
，
由
，可得
，
即有
.
故选：B.
【例4-3】（2022·吉林）（多选）已知函数
是偶函数，对于任意的
满足
（其中
是函数
的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】构造函数
，其中
，则
，
∵对于任意的
满足
，
∴ 当
时，
，则函数
在
上单调递增，
又函数
是偶函数，
，∴
，
∴
在
上为偶函数，
∴函数
在
上单调递减．
∵
，则
，即
，即
，化简得
，A 正确；
同理可知
，即
，即
，化简得
，B 正确；
，且
即
，即
，化简得
，C 错误；
，且
，即
，即
，化简得
，D 正确．故选：ABD.
【变式】
1．（2023·安徽黄山·统考三模）已知定义域为
的函数
，其导函数为
，且满足
，
，则（ ）
A．
B．
R
f x
f
x
2
0
f
x
f x
0
1
f
2e
1
1
f
2
1
e
f
C．
D．
【答案】C
【解析】
，则
，
因为
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，
故
在
上单调递减，
所以
，
，故A 不正确；
所以
，即
，即
，故B 不正确；
，即
，即
，故C 正确；
，即
，即
，故D 不正确；故选：C.
2．（2021·山东·高三开学考试）（多选）已知定义在
上的函数
的导函数为
，且
，
，则下列判断中正确的是（ ）
A．
<
B．
>0
C．
>
D．
>
【答案】CD
1
e
2
f
1
1
e
2
f
f
2e x
f x
g x
2
2
2
2
2
e
2
e
2
e
e
x
x
x
x
f
x
f x
f
x
f x
g
x
2
0
f
x
f x
R
0
g
x
R
g x
R
1
0
g
g
2
2
0
1
0
e
1
1
e
e
f
f
f
1
0
g
g
2
0
1
0
e
e
f
f
2
2
1
e
0
e
f
f
1
0
2
g
g
1
0
1
0
2
1
e
e
f
f
1
e
2
f
1
1
2
g
g
1
2
1
1
2
e
e
f
f
1
1
e
2
f
f
【解析】令
，则
，
因为
，所以
在
上恒成立，因此函数
在
上单调递减，故
，即
，即
，故A 错；
又
，所以
，所以
在
上恒成立，
因为
，所以
，故B 错；
又
，所以
，即
，故C 正确；
又
，所以
，即
，故D 正确.
故选：CD
3．（2023 湖南）设函数
是定义在
上的函数
的导函数，有
，
若
，
，
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设函数
，则
，
因为
，所以
，
所以
在
上是增函数，
，
，
，
所以
，故选：A
考法五 根据图像交点比较大小
【例5】（2023 秋·广东江门）已知
，
，
的零点分别
是
，
，，则
，
，的大小顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
，
，
的零点，
即为函数
分别与函数
、
、
的图象交点的横坐标，
如图所示：
由图可得
.故选：B
【变式】
1．（2023·天津和平·统考三模）已知
满足
，则
的大小关系
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意知：把
的值看成函数
与
图像的交点的横坐标，
因为
，
，易知
；
把
的值看成函数
与
图像的交点的横坐标，
，易知
；
把的值看成函数
与
图像的交点的横坐标，
，与
，易知
.
所以
.
故选：B.
2．（2023 秋·北京）已知
，
，
满足
，
，
，则
，
，
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】在同一平面直角坐标系内作出
的图像
过点
；
过点
；
过点
；
过点
，
则
与
图像交点横坐标依次增大，
又
与
图像
交点横坐标分别为
，则
.
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）设
，
，
，则
、
、的大小关系是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】构造函数
，因为函数
、
在
上均为增函数，
所以，函数
为
上的增函数，且
，
，
因为
，由零点存在定理可知
；
构造函数
，因为函数
、
在
上均为增函数，
所以，函数
为
上的增函数，且
，
，
因为
，由零点存在定理可知
.
因为
，则
，因此，
.故选：B.
0,
1
9
1
2
2
0
9
g
1
3
1
2
1
0
3
g
0
g b
1
1
9
3
b
1
5
4
c
1
1
4
4
log 5
log 1
0
c
c
b
a
考法六 导数法之同构函数
【例6-1】（2023·河南·校联考模拟预测）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可得
，
，
，
设
，
，则
，
故当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
因为
，
，
，且
，
可得
，
，所以
.
故选：D.
【例6-2】（2023·全国·模拟预测）已知
，且
，
，
，其中是自然对数的底数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可得
，
，
，
令
，则
，
因为当
时
，
单调递增，
所以
，即
，
令
，则
，
因为当
时，
，所以
在
上单调递增，
又因为
且
，所以
，故选：A
【变式】
1.（2022·山西吕梁）已知
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
，
，令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
由
，所以
，所以
.故选：B.
2.（2022·内蒙古 ）已知
，
，
，则
、
、的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】构造函数
，其中
，
则
，
所以，函数
在
上单调递增，
因为
，
，
，
因为
，所以，
.
故选：B.
3（2023·广西桂林·统考一模）已知
、
、
，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
、
、
，由
可得
，由
可得
，
由
可得
，
构造函数
，其中
，则
，
当
时，
；当
时，
.
所以，函数
的增区间为
，减区间为
，
因为
，所以，
，即
，即
，
因为
、
、
，则
、
、
，所以，
，
因此，
.
故选：A.
4.（2022·贵州毕节·三模（理））已知
，
，
（为自然对数的底数），则
，
，的大
小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，
，所以
，
当
时，
，函数
单调递减
当
时，
，函数
单调递增；
所以
，
，
，
所以
，故选：A.
考点七 作差作商比较大小
【例7-1】（2023·全国·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
，
所以
，
又
，所以
，所以
，所以
，故
，
因为
，
又
，所以
，所以
，所以
，又
，所以
，所以
，
故选：A.
【例7-2】（2023·全国·高三专题练习）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
得
令
，解得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，故
即
，当且仅当
时，等号成立，所以
，
则
，所以
因为
，所以
令
得
，
令
得
令
得
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
所以
即
所以
则
所以
，故选：B.
【变式】
1.（2023·云南·校联考模拟预测）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
，
，
所以
，
，所以
.故选：A
2．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
，故
，
由于
，所以
，故
，
因此
，故选：B
3．（2023·江西·校联考模拟预测）已知
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可得：
∵
，利用三角函数线可得当
时，
，∴
构造函数
∴
，
，即
，
令
∴
在
上单调递增，即
，
∴
，∴
，∴
．
故选：A．
4.（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得
，
可得
，
设
，可得
，所以
单调递减，
则
，即
，所以
；
又由
，
设函数
，可得
，
当
时，
，
单调递增，
所以
，即
，所以
，
所以
.故选：C.
考点八 指对数切线比较大小
【例8】（2023·全国·高三专题练习）已知
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，
，所以
，
，所以
单调递增，
则
，
所以
，则
；
，
，
当
时，
，所以
在
上单调递增，
所以
，
所以
，故
，故
.
故选：C.
【变式】
1.（2023·新疆·高三校联考阶段练习）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设函数
,则
，
当
时，
，
递减；当
时，
，
递增，
故
，即
，当
时取等号；
∵
，∴
，∴
，
由以上分析可知
，则
时，有
成立，当
时取等号，，
即
，当
时取等号，∴
，∴
，
故
，
故选：B.
2.（2023·河南开封·统考模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
，
，
设
，
所以
，
所以
在
上单调递增，所以
，即
.
所以
，即
.
设
，
则
，
所以
在
上单调递减，所以
，即
.
所以
，即
.
所以
.
故选:C.
3．（2023 秋·四川成都·高三校考阶段练习）
，
，
，则
的大小关系为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，则
，
则
在
上单调递增，故
，则
．
令
，则
，
则
在
上单调递增，故
，则
．
所以
，即
；
令
，则
，
因为
，所以
，则
，故
，
所以
在
上单调递增，则
，即
，
易知
，所以
，则
，即
；
综上：
.
故选：B.
考法九 导数法之异构函数
【例9】（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）比较
，
，
的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】构造函数
，其中
，则
，
所以，函数
在
上为增函数，
所以，
，
所以，
，
令
，其中
，
则
对任意的
恒成立，
所以，函数
在
上为增函数，
所以，
，即
，
令
，其中
，则
对任意的
恒成立，
所以，函数
在
上为增函数，则
，则
，
所以，
，
综上所述，
.
故选：D.
【变式】
1．（2023·四川·校联考一模）设
，
，
，下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
，
，
设
，则构造函数
，有
，则
单调递增，且
，所以
；
再构造函数
，有
，则
单调递增，且
，所以
，
综上：
．
故选：D
2．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）已知
，试比较
的
大小关系（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，
当
时，
，
单调递减，
所以有
，
因为
，
所以
，
设
，
设
，
当
时，
，函数
单调递减，
因为
，
所以
，
因为函数
是正实数集上的增函数，
故
，
即
，所以
，
故选：C
3（2023·山东烟台·校联考三模）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，则
，
当
时，
，且
，
所以当
时，
，
单调递减，
所以
，即
，则
.
令
，则
，当
，
，
所以
在
上恒成立，
所以
在
上单调递减，
所以
，即
，所以
.
综上
，
故选：B.
考法十 三角函数比较大小
【例10-1】（2023 秋·江西宜春·高三校考阶段练习）设
，则它
们的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
，
在
上为增函数，
，
.
故选：C.
【例10-2】（2023·安徽·池州市第一中学校考模拟预测）已知
，则
的
大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】方法一：因为
，
所以
，
设
，
则
设
，则
，
则
在
单调递增，
，即
，
所以
在
单调递增，
，
所以
，即
．
因为
，所以
，
设
，
设
，
则
在
单调递减，
，则
，
记
可得
，
所以
，
所以
．因此有
．
故选：A.
方法二：因为
，又
，
设
，
则
，
所以函数
在
上单调递增，又
，
所以当
时，
，故
，
所以
，
则
．
因为
，所以
，
设
，
设
，
则
在
单调递减，
所以当
时，
，又
，
所以当
时，
，
所以
，
所以
，
所以
．因此有
．
故选：A.
【变式】
1．（2023·河南·模拟预测）已知
，
，
，
，则a，b，c，d 的大小关系是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令函数
，求导得
，函数
在
上递减，
当
时，
，则
，于是
，即
，
令函数
，求导得
，函数
在
上递增，
当
时，
，则
，于是
，即
，
当
时，
，
，则
，
即
，而
，于是
，即
，
所以a，b，c，d 的大小关系是
，C 正确.
故选：C
2．（2023·江西·校联考模拟预测）已知
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可得：
∵
，利用三角函数线可得当
时，
，∴
构造函数
∴
，
，即
，
令
∴
在
上单调递增，即
，
∴
，∴
，∴
．
故选：A．
3．（2023 春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）
，
，
，
，则四者的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】构造函数
，
，
，
.
考查
，
，令
可得
，易得当
时
，
单调递增，故
，即
，
.故
，即
.
考查
，
，则
，故
，
为增函
数，
，即
.
故当
时，有
，
，
，
，即
，
.
构造函数
，
，
令
，
，
当
时，
，
单调递增，
又
，所以
，又
，
所以
，在
成立，所以
，即
.
再考查
.
令
，则
，故
在定义域上单调递减，
，故
，
令
，
，则
，对
求导有
，故
为增函数，故
，故
为增函数，
，则
，故当
时，
.
又
，故当
时
，故
.
故
，
，则
，即
综上有
.
故选：D
考法十一 一题多解
【例11】（2022·全国·统考高考真题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】[方法一]：构造函数
因为当
故
，故
，所以
；
设
，
，所以
在
单调递增，
故
，所以
，
所以
，所以
，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当
，
取
得：
，故
，其中
，且
当
时，
，及
此时
，
故
，故
所以
，所以
，故选A
[方法三]：泰勒展开
设
，则
，
，
，计算得
，故选A.
[方法四]：构造函数
因为
，因为当
，所以
,即
，所以
；设
，
，所以
在
单调递增，则
,
所以
，所以
,所以
，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为
，因为当
，所以
,即
，所以
；因为当
，取
得
，故
，所以
．
故选：A．
【变式】
1．（2022·全国·统考高考真题）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】方法一：构造法
设
，因为
，
当
时，
，当
时
，
所以函数
在
单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
，故
，即
，
所以
，所以
，故
，所以
，
故
，
设
，则
,
令
，
，
当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
，函数
单调递增，
又
，
所以当
时，
，
所以当
时，
，函数
单调递增，
所以
，即
，所以
故选：C.
方法二：比较法
解：
，
，
，
①
，
令
则
，
故
在
上单调递减，
可得
，即
，所以
；
②
，
令
则
，
令
，所以
，
所以
在
上单调递增，可得
，即
，
所以
在
上单调递增，可得
，即
，所以
故
2．（2021·全国·统考高考真题）设
，
，
．则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】[方法一]：
，
所以
；
下面比较与
的大小关系.
记
，则
，
，
由于
所以当0<x<2 时，
，即
，
，
所以
在
上单调递增，
所以
，即
，即
；
令
，则
，
，
由于
，在x>0 时，
，
所以
，即函数
在[0，+∞)上单调递减，所以
，即
，即
b<c；
综上，
，
故选：B.
[方法二]：
令
，即函数
在（1，+∞)上单调递减
令
，即函数
在（1，3)上单调递增
综上，
，
故选：B.
一．单选题
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
，故
，即
，故
．故选：
B．
2．（2023·四川南充·模拟预测）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
在
上递增，且
，所以
，即
，
又
在
上递减，所以
，所以
.故选：D
3．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
，
，
，
故选：A
4．（2023·四川泸州·四川省泸县第一中学校考模拟预测）若
，
，
，则a，b，c 的
大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意：
，
，故
．
又
，即
，所以
，即
，
因为
，所以
．
因为
，故
，即
，
所以
，所以
，
所以
，所以
，
故选：B.
5．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考三模）已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因函数
在
上单调递增，
在
上单调递减，则
，
，
.
又函数
在
上单调递增，则
，又
，则
.
综上，
.
故选：A
6．（2023·全国·模拟预测）已知
，
，
，则a、b、c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵
，
，∴
，
，∵
，
且
在R 上为增函数，∴
，即
，
故选：C．
7．（2023·陕西西安·校考三模）已知
，
，
，则
、
、的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，其中
，则
，
因为函数
、
在
上均为减函数，
故函数
在
上为减函数，则
，
所以，函数
在
上为减函数，
所以，
，即
.
故选：B.
8．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
，
，则
，
令
，则
所以当
时，
，函数单调递减；当
时，
，函数单调递增；
所以
，即
，故
，则
；
因为
，所以
，
因为
，所以
，所以
综上，
.
故选：B.
9．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）设
，
，
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
，
，
因为
，
所以
．
故选：B.
10．（2023 春·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）设
,则
三者的大
小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解:因为
在
上单调递减,
所以
,
因为
在
上单调递增,
所以
,即
,
即
,即
,
因为
,所以
,
即
,即
,
所以
.
故选:D
11．（2023 秋·江苏南通·高三统考开学考试）已知
，
，
，则
，
，的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由幂、指数函数性质知：
，
，
对于
、
，等号两边取对得
、
，
所以
、
，
令
且
，则
，即
递减，
所以
，即
，故
，
综上，
.
故选：A
12．（2023 秋·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）已知
，
，
，则a，b，c 的大小
关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对于a，由
，则
，故
；
对于b，
，故
；
对于c，由于
，则
，从而可得
同理，
，则
，从而可得
所以有
综上，
故选：A
13．（2023 秋·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学校考阶段练习）已知
，
其中e 是自然对数的底数，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对
两边取对数得
，
令
，则
，
设
，则
在
上恒成立，
所以
在
上单调递减，所以
，所以
，
所以
在
上单调递减.
又
，且
，
所以
，所以
，
故选：D.
14．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）已知
，
，
，则p，q，r 的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可得：
，
因为
，即
，
所以
，即
，
又因为
，
所以
.
故选：D.
15．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
设
，函数定义域为
，
则
，
故
在
上为增函数，有
，即
，
所以
，故
.
设
，函数定义域为
，则
，
，解得
；
，解得
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
当
时，
取最大值，所以
，即
，
时等号成立，
所以
，即
，
又
，所以
.
故选：D．
16．（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）已知
，
，
，其
中为自然对数的底数，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，设
（其中
），
有
，因为
，所以
，
可知函数
在
单调递增，
可得
，即
，
所以有
，即
．
令
（其中
），有
（当且仅当
时等号成立），
可知函数
在
单调递增，
有
，即
，
所以有
，即
．
故有
．
故选：A．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
，
，
令
，则
，
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上为增函数，在
上为减函数，
所以
，即
，
；
，
令
，
，
因为
，所以
，所以
在
上为减函数，
又
，所以
，即
，
，
综上所述：
.
故选：D
18．（2024 秋·新疆·高三校联考阶段练习）设
，
，
，则a，b，c 的大小关系
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，所以
；
因为
，
，
即
，所以
；
设
，则
，
所以当
时，
，
在
单调递增；
当
时，
，
在
单调递减，
所以
，即
，当且仅当
时等号成立，
同理
，即
，所以
当且仅当
时等号成立，
故
，所以
，从而
，
综上．
．
故选：B.
19．（2023 春·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习）实数
分别满足
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，则
.
因为
,所以
.
令
，则
，
当
时
，则
在
上单调增；
当
时
，则
在
上单调减.
所以
，即
.
所以
且
，
则可得
.
因为
,所以
令
,则
,
当
时,
,所以
在
单调减,
所以可得
,即
,
又
,所以
,
所以
.
故选:B.
20．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）设
，
，
，则a，b，c 的
大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，
，则
，
，
，
，故
，
在
上单调递增，
故
，当
时，
恒成立，
令
，则
，即
；
设
，
，则
，
又
，
故
在
上单调递减，
，
故
，则函数
在
上单调递增，即
，
故当
时，
恒成立，
令
，则
，即
，
综上所述：
.
故选：C
21．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）设
，
，
，则a，b，c 的大小
关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，则
，
令
且
，则
为减函数，
所以
，而
，故
，
故
在
上递增，则
，即
在
上恒成立，
所以
，即
，
由
，
令
且
，则
，
所以
在
上递增，则
，即
在
上恒成立，
所以
，即
.
综上，
.
故选：C
22．（2023·全国·高三专题练习）已知
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵
，
构造函数
，
，
令
，则
，
∴
在
上单减，
∴
，
故
，所以
在
上单减，
∴
，
∵
，
构造函数
，
，
令
，则
，
∴
在
上单减，
∴
，
故
，所以
在
上单减，
∴
，
故
.
故选：D.
23．（2023·湖北武汉·统考三模）设
，
，
，
，则a，b，c，d 间的大
小关系为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，则
在
上恒成立，
故
在
上单调递增，
，即
在
上恒成立，
故
，故
，即
，即
，
，
设
，则
恒成立，函数在
上单调递增，
，故
在
上恒成立，
，故
.
设
，
，
，
画出
和
的图像，如图所示：
故
时，
，即
，即
.
综上所述：
故选：B
24．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）已知
，
，
，则
，
，的大小关系是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，
，则
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，
，
故
，
令
，
，则
在
上恒成立，
故
在
单调递减，故
，
所以
，
令
，
，则
，
故
在
上单调递减，
故
，即
，
构造
，
，则
，
令
，则
，
令
，则
在
上恒成立，
故
在
上单调递增，又
，故
在
恒成立，
故
在
上单调递增，又
，故
在
恒成立，
故
，即
，
，
构造
，
，
则
，令
，则
，
令
，则
在
上恒成立，
故
在
上单调递减，又
，
故
在
上恒成立，故
在
上单调递减，
又
，故
在
上恒成立，故
在
上单调递减，
故
，即
，即
，
因为
，故
.
故选：C
25．（2023·全国·高三专题练习）
三者之间的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】构造函数
，
.
则
，令
，
.
则
，再令
，
.
则
，故
在
上单调递增，
则
，故
在
上单调递增，
则
，故
在
上单调递增，
则
，得
，
即
；
构造函数
，
，则
，
得
在
上单调递增，则
，
即
；
构造函数
，
，则
，
令
，
，则
，
故
在
上单调递增，则
，
故
在
上单调递增，则
，
即
.
综上，
.
故选：A
26．（2023·河南安阳·安阳一中校联考模拟预测）已知
，
，
，则a，b，c 的大小
关系是（参考数据
）（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，
．
令
，
，
当
时，
，
单调递减．
又
，
∴当
时，
，
单调递增．
∴
，即
，
，
∴
，则
，
令
，则
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递减．
又
，
所以当
时，
，所以
在
上单调递增，
∴
，即
，
∴
，即
，则
，
综上所述
．
故选：
．
二．多选题
27．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）下列不等关系中判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】对于A，
，故选项
正确；
对于B，
，即证
，
设
，令
，得
，
①当
时，
，则函数
单调递增，
②当
时，
，则函数
单调递减，
，故选项B 正确；
对于C，易知
，
，
，故选项
错误；
对于D，
，
由选项B 可知
，即
，故选项D 正确，
故选：ABD.
28．（2022 秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考阶段练习）设
，
，
，
，则（ ）
A．a 最小
B．d 最大
C．
D．
【答案】BCD
【解析】令
，则
，
，
在
上为减函数，而
，
，
所以在
上
，即
单调递增，
，所以
.
再令
，
设
，
得
，
在区间
上成立，
函数
在
上单调递增，
，所以
，
.
再令
，则
，
，
当
时，
，则
，即
，所以
在
单调递减，
所以
，即
，所以
.
因此4 个数的大小关系是
，所以选项A 错误，选项BCD 都正确.
故选：BCD
29．（2023 秋·广东江门·高三校联考阶段练习）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】令
，则
．
令
，则
恒成立，故
在
上单调递减．
因为
，所以
在
上恒成立，从而
在
上单调递减，
故
，即
；
令
，则
．
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增．
故
，即
；
综上：
.
故选：ABD．
30．（2023 秋·河南焦作·高三博爱县第一中学校考阶段练习）已知函数
，
，
是其
导函数，恒有
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】因为
，所以
，又
，
所以
，
构造函数
，
，则
，
所以
在
上为增函数，
因为
，所以
，即
，即
，故A 正确；
因为
，所以
，即
，故
，故B 错误；
因为
，所以
，即
，故
，故C 错误；
因为
，所以
，即
，故
，故D 正确.
故选：AD
31．（2023 秋·吉林通化·高三校考阶段练习）已知函数
的图象关于直线
对称，在
时
单调递减，且
.若
，
，则下列正确的
有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】因为函数
的图象关于直线
对称，
所以函数
图象关于纵轴对称，因此函数
是偶函数，
因为
时.
单调递减，
所以
时.
单调递增，
，
因为
，函数
是偶函数，
所以
，
因为
，
所以
因此选项A 正确，B 不正确，
由
，因此选项C 正确，
因为
，而
，所以
，因此选项D 正确，
故选：ACD
32．（2023·全国·高三专题练习）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】记
则
，所以
在
单调递增，
故
，
记
，则
，
令
，解得
，故
在
上单调递减，
故
,即
，即
，
故
，
记
，
则
，
故当
时，
，故
在
上是增函数，
故
，即
，故
，
故
，
故选：BD
33．（2023·全国·高三专题练习）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】令
，则
，
当
时，
，所以
在
单调递增，
所以
，则
，
所以
，所以
，
令
，则
，
所以
在
单调递减，
所以
，则
，即
，所以
，
所以
故选：ABC.
34．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，且
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】函数
，所以
.
令
得
，
当
时，
，
在区间
上单调递增.
当
时，
，
在区间
上单调递减.
对于A，要证
，只需证
，只需证
因为
，
，所以
，即证，所以A 正确.
对于B，
，所以B 错误.
对于C，由A 知
，由函数
在区间
上单调递减可知
.
对于D，
，因为
在区间
上单调递增，所以
；
，所以
，所以D 正确.
故选：ACD.
三．填空题
35．（2023 秋·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）下列不等式正确的有 .（写
出正确的所有序号）
①
②
③
④
【答案】①②
【解析】构造函数
，则
，
由
，可得
，由
，可得
，
所以
在
递增，
递减，
对于①：∵
，则
，即
，∴
，①正确；
对于②：∵
，则
，即
，
∴
，②正确；
对于③：∵
，则
，即
，
∴
，③错误；
对于④：∵
，则
，即
，∴
，④错误.
故答案为：①②.
36．（2023·全国·高三专题练习）将
，
，
从小到大排列为 .
【答案】
【解析】构建
，则
当
内恒成立，
则
在
上单调递减，
可得
，即
，可得
，即
；
构建
，则
当
内恒成立，
则
在
上单调递增，可得
，
即
，可得
，
整理得
，即
；
综上所述：
.
故答案为：
.
37．（2023·全国·高三专题练习）已知
，
，
，则
的大小关系是 .
【答案】
【解析】根据题意，设
，则其导数
.
令
，
故在区间
上，
恒成立，则有
，即
恒成立
在
上恒成立，
函数
在
上单调递减，
则有
，即
又
，而
，
，即
故答案为：
38．（2022 秋·黑龙江哈尔滨·高三尚志市尚志中学校考阶段练习）已知
是定义在R 上的偶函数，且在
上单调递增.若
，
，
，则a，b，c 的大小关系为 .
【答案】
【解析】因为
是定义在R 上的偶函数，
所以
，
因为
，
所以
，
因为
，
所以
，
即
，
因为
在
上单调递增，
所以
，
即
，
故答案为：
39．（2023·全国·高三专题练习）设
，则
的大小关系是
.
【答案】
【解析】由已知可得
，
设
，
，则
，
所以
在
上单调递增，
所以
，即
，所以
，
设
，
，则
，
所以
在
上单调递增，
所以
，即
，所以
，
设
，
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，即
，所以
，
所以
故答案为：
.
40．（2023·全国·高三专题练习）已知
，且
，则
之间的大小关系是 .（用“
”连接）
【答案】
【解析】函数
的定义域为
，
因为
，
所以函数
为偶函数，
因为函数
在
上递增，
所以函数
在
上递增，
则
，
因为
，所以
，
，
所以
，
所以
，
即
.
故答案为：
.
41．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在
上的函数
满足
，且对任意的
，
，当
时，都有
成立．若
，
，
，则
，
，的大小关系为 ．（用符号“
”连接）
【答案】
．
【解析】因为
，
所以
，
所以函数
在
上单调递减，
因为函数
满足
，所以
因为
即
，所以
，
又
，
，
所以
，
所以
即
.
故答案为：
.
42．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，则
的大小关系
【答案】
【解析】令
，所以
是偶函数；
当
时，
，
在
上是增函数，
将
图像向右平移一个单位得到
图像，
所以
关于直线
对称，且在
单调递增.
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
又∵
关于直线
对称，∴
，
∴
.
故答案为：
