十年（2014－2023）年高考真题分项汇编
三角函数选择题
目录
题型一：三角函数的概念.............................................................................................1
题型二：三角恒等变换.................................................................................................3
题型三：三角函数的图像与性质.................................................................................8
题型四：正余弦定理...................................................................................................26
题型五：三角函数的综合应用...................................................................................33
题型一：三角函数的概念
一、选择题
1．(2020 年高考课标Ⅱ卷理科·第2 题)若α 为第四象限角，则
( )
A．cos2α>0
B．cos2α<0
C．sin2α>0
D．sin2α<0
【答案】D
解析：方法一：由α 为第四象限角，可得
，
所以
此时
的终边落在第三、四象限及
轴的非正半轴上，所以
故选：D．
方法二：当
时，
，选项B 错误；
当
时，
，选项A 错误；
由
在第四象限可得：
，则
，选项C 错误，选项D 正
确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的
转化能力和计算求解能力．
2．(2020 年高考课标Ⅰ卷理科·第9 题)已知
，且
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，得
，
即
，解得
或
(舍去)，
又
．
故选：A．
【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求
解能力，属于基础题．
3．(2021 年高考全国甲卷理科·第9 题)若
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：
，
，
，
，解得
，
，
．
故选：A．
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出
．
4．(2020 年高考课标Ⅲ卷理科·第9 题)已知2tanθ–tan(θ+
)=7，则tanθ=
( )
A．–2
B．–1
C．1
D．2
【答案】D
解析：
，
，
令
，则
，整理得
，解得
，即
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题．
题型二：三角恒等变换
一、选择题
1．(2023 年新课标全国Ⅰ卷·第8 题)已知
，则
( )．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：因为
，而
，因此
，
则
，
所以
．
故选：B
2．(2023 年新课标全国Ⅱ卷·第7 题)已知
锐角，
，则
( )．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析:因为
，而
为锐角，
解得：
．
故选：D．
3．(2021 年高考浙江卷·第8 题)已知
是互不相同
锐角，则在
三个值
中，大于
的个数的最大值是
( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
解析:法1：由基本不等式有
，
同理
，
，
故
，故
不可能均大于
．
取
，
，
，则
，
故三式中大于
的个数的最大值为2，故选C．
法2：不妨设
，则
，
由排列不等式可得：
，
而
，
故
不可能均大于
．
取
，
，
，则
，
故三式中大于
的个数的最大值为2，故选C．
4．(2021 年新高考Ⅰ卷·第6 题)若
，则
( )
A
B．
C．
D．
【答案】C
解析:将式子进行齐次化处理得：
,故选C．
5．(2022 新高考全国II 卷·第6 题)若
，则
( )
A．
B．
C
D．
【答案】C
解析：由已知得：
,
即：
，
即：
所以
, 故选：C
6．(2019·上海·第16 题)已知
.
①存在
在第一象限，角
在第三象限；
②存在
在第二象限，角
在第四象限；
A. ①②均正确；B．①②均错误；C．①对，②错；D．①错，②对
【答案】D
【解析】(推荐)取特殊值检验法：例如：令
和
，求
看是否存在.(考试中，若
有解时则认为存在，取多组解时发现没有解，则可认为不存在)，选D.
(一般方法)
设
则
；
以
为主元则可写成：
其判别式
；
设函数
，并设
，则
即
单调递减；
而
，故
的零点在
上，设为
；
则当
时，
，当
时，
；
故存在
使得
而对方程
，根据韦达定理，
存在
时，而
使得对应的
存在，而此时
，故此时
必为负数，即
在Ⅱ
或Ⅳ象限；
也同样存在
，使得对应的
存在，此时
，故此时必存在一个
值为负数，另一个
为正数，即
在Ⅱ、Ⅳ象限或Ⅰ、Ⅲ象限均可，故选D．
【点评】本题主要考三角恒等变换、不等式综合.
7．(2019·全国Ⅱ·理·第10 题)已知
，
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵
，∴
.
,∴
，
，
∴
，又
2
2
sin
cos
1
，∴
，
，又sin
0
，∴
，故选B．
【点评】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．本题为三
角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是
关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切
记不能凭感觉．
8．(2018 年高考数学课标Ⅲ卷(理）·第4 题)若
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：
，故选B．
9．(2014 高考数学课标1 理科·第8 题)设
(0,
)
2
,
(0,
)
2
,且
1 sin
tan
cos
,则
( )
A．
3
2
B．
2
2
C．
3
2
D．
2
2
【答案】 B
解析:∵
sin
1 sin
tan
cos
cos
,∴sin
cos
cos
cos
sin
sin
cos
sin
2
,
,0
2
2
2
2
∴
2
,即
2
2
,选B
10．(2015 高考数学重庆理科·第9 题)若
，则
( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
解析：
由
已
知
，
＝
，选C．
11．(2015 高考数学新课标1 理科·第2 题)
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：原式=
=
=
，故选D．
考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式．
12．(2015 高考数学陕西理科·第6 题)“
”是“
”的
( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
解析：因为
，所以
或
，因为“
”
“
” ，但“
”
“
” ，所以“
”是“
”的充分不必要条件，故选A．
13．(2016 高考数学课标Ⅲ卷理科·第5 题)若
,则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
,得
,
或
,
所以
,故选A.
14．(2016 高考数学课标Ⅱ卷理科·第9 题)若
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵
，
，故选D．
题型三：三角函数的图像与性质
一、选择题
1．(2023 年全国乙卷理科·第6 题)已知函数
在区间
单调递增，直线
和
为函数
的图像的两条相邻对称轴，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：因为
在区间
单调递增，
所以
，且
，则
，
，
当
时，
取得最小值，则
，
，
则
，
，不妨取
，则
，
则
，
故选：D．
2．(2023 年全国甲卷理科·第10 题)函数
的图象由函数
的图象向左平移
个单
位长度得到，则
的图象与直线
的交点个数为
( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
解析：因为
向左平移
个单位所得函数为
，所以
，
而
显然过
与
两点，
作出
与
的部分大致图像如下，
考虑
，即
处
与
的大小关系，
当
时，
，
；
当
时，
，
；
当
时，
，
；
所以由图可知，
与
的交点个数为
．
故选：C．
3．(2021 年新高考Ⅰ卷·第4 题)下列区间中，函数
单调递增的区间是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析:因为函数
的单调递增区间为
，
对于函数
，由
，
解得
，
取
，可得函数
的一个单调递增区间为
，
则
，
，A 选项满足条件，B 不满足条件；
取
，可得函数
的一个单调递增区间为
，
且
，
，CD 选项均不满足条件,故选A．
4．(2017 年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第9 题)已知曲线
1 :
cos
C
y
x
,
2
2π
:
sin 2
3
C
y
x
,则下面结论正
确的是
( )
A．把
1
C 上各点的横坐标伸长到原来的2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
π
6 个单位长度,得到
曲线
2
C
B．把
1
C 上各点的横坐标伸长到原来的2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
π
12 个单位长度,得到
曲线
2
C
C．把
1
C 上各点的横坐标缩短到原来的
1
2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
π
6 个单位长度,得到
曲线
2
C
D．把
1
C 上各点的横坐标缩短到原来的
1
2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
π
12 个单位长度,得
到曲线
2
C
【答案】 D
【解析】因为
1
2
,
C C 函数名不同, 所以先将
2
C 利用诱导公式转化成与
1
C 相同的函数名, 则
2
2π
2π
π
π
:
sin 2
cos 2
cos 2
3
3
2
6
C
y
x
x
x
,则由
1
C 上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍变为
sin 2
y
x
,再将曲线向左平移
π
12 个单位得到
2
C ,故选D．
5．(2020 年高考课标Ⅰ卷理科·第7 题)设函数
在
的图像大致如下图，则f(x)的
最小正周期为
( )
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由图可得：函数图象过点
，
将它代入函数
可得：
又
是函数
图象与
轴负半轴的第一个交点，
所以
，解得：
所以函数
的最小正周期为
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题．
6．(2022 高考北京卷·第5 题)已知函数
，则
( )
A．
在
上单调递减
B．
在
上单调递增
C．
在
上单调递减
D．
在
上单调递增
【答案】C
解析:因为
．
对于A 选项，当
时，
，则
在
上单调递增，A 错；
对于B 选项，当
时，
，则
在
上不单调，B 错；
对于C 选项，当
时，
，则
在
上单调递减，C 对；
对于D 选项，当
时，
，则
在
上不单调，D 错．
故选,C．
7．(2022 年高考全国甲卷数学(理)·第12 题)已知
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
,因为当
所以
,即
,所以
；设
，
，所以
在
单调递增，则
,所以
，
所以
,所以
，
故选：A
8．(2022 年浙江省高考数学试题·第6 题)为了得到函数
的图象，只要把函数
图象上所有的点
( )
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【答案】D
解析:因为
，所以把函数
图象上的所有点向右
平移
个单位长度即可得到函数
的图象．故选,D．
9．(2022 新高考全国I 卷·第6 题)记函数
的最小正周期为T．若
，且
的图象关于点
中心对称，则
( )
A．1
B．
C．
D．3
【答案】A
解析: 由函数的最小正周期T 满足
，得
，解得
，
又因为函数图象关于点
对称，所以
，且
，
所以
，所以
，
，
所以
． 故选：A
10．(2021 高考北京·第7 题)函数
是
( )
A．奇函数，且最大值为2
B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为
D．偶函数，且最大值为
【答案】D
解析：由题意，
，所以该函数为偶函数，
又
，
所以当
时，
取最大值
． 故选：D．
11．(2020 天津高考·第8 题)已知函数
．给出下列结论：
①
的最小正周期为
；
②
是
的最大值；
③把函数
的图象上所有点向左平移
个单位长度，可得到函数
的图象．
其中所有正确结论的序号是
( )
A．①
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】B
【解析】因为
，所以周期
，故①正确；
，故②不正确；
将函数
的图象上所有点向左平移
个单位长度，得到
的图象，
故③正确．故选：B．
12．(2019·天津·理·第7 题)已知函数
是奇函数，将
的
图像上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为
．若
的最
小正周期为
，且
，则
( )
A．
B．
C．
D．2
【答案】答案：C
解析：
是奇函数，
，又因为
，
，因为
的最小正周期为
，且
，所以
，
，
，可得
，
，
．
13．(2019·全国Ⅱ·理·第9 题)下列函数中，以
为周期且在区间
单调递增的是( )
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
sin |
|
y
x
图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为
cos
cos
y
x
x
，周期为
2
，排除C，作出
cos2
y
x
图象，由图象知，其周期为2
，在区间
单调递增，A 正确；
作出
sin 2
y
x
的图象，由图象知，其周期为2
，在区间
单调递减，排除B，故选A.
【点评】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，
即可做出选择．利用二级结论：①函数
( )
y
f x
的周期是函数
( )
y
f x
周期的一半；②
sin
y
x
不是周期函数；③函数
，再利用降幂公式及三角函数公式法求三角
函数的周期，例如，
，所以周期
.
14．(2019·全国Ⅰ·理·第11 题)关于函数
有下述四个结论：
①
是偶函数②
在区间
单调递增
③
在
有4 个零点④
的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
( )
A．①②④
B．②④
C．①④
D．①③
【答案】答案：C
解析：作出函数
的图象如图所示，
由图可知，
是偶函数，①正确，
在区间
单调递减，②错误，
在
有3 个零点，③错误；
的最大值为2，④正确，故选C．
3π
5π
2
2π
3π
2
π
π
2
π
2
π
3π
2
2π
5π
2
3π
O
O
O
sin
y
x
sin
y
x
sinsin
y x x
15．(2018 年高考数学天津(理)·第6 题)将函数
的图象向右平移
个单位长度，所得图象
对应的函数
( )
A．在区间
上单调递增
B．在区间
上单调递减
C．在区间
上单调递增
D．在区间
上单调递减
【答案】A
解析：将函数
的图象向右平移
个单位长度，得
，当
时，
，函数值从
增加到1，
所以所得图象对应的函数在区间
上单调递增，故选A．
16．(2018 年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第10 题)若
在
是减函数，则
的最大值是
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：由已知
，得
，即
，解得
，即
，所以
，得
，
所以
的最大值是
，故选A．
17．已知函数
(
为常数，
)的图象关于直线
对称，则函数
是
Ａ．偶函数且它的图象关于点
对称B．偶函数且它的图象关于点
对称
(
)
Ｃ．奇函数且它的图象关于点
对称Ｄ．奇函数且它的图象关于点
对称
【答案】D
解：已知函数
、
为常数,
，
∴
的周期为2π，若函数的图象关于直线
对称，
不妨设
，则函数
=
，所以
是奇函数且它的图象关于点
对称，选D．
18．设
，那么“
”是“
”的
Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件
( )
Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件
【答案】C
解：在开区间
中，函数
为单调增函数，所以设
那么
是
的充分必要条件，选C．
19．(2014 高考数学浙江理科·第4 题)为了得到函数f (x)=x
3+3|x−a|(a∈R).的图像，可以将函数f ( x )
的图像
( )
A．向右平移[−1,1]个单位
B．向左平移
M(a),m(a)个单位
C．向右平移
M(a)−m(a)个单位
D．向左平移b∈R,个单位
【答案】C
解析：函数
=
，故只需将函数
的图象向右平移
个单位，得
=
的图象．故选：C．
20．(2014 高考数学四川理科·第3 题)为了得到函数
的图象，只需把函数
的图像
上所有的点
( )
A．向左平行移动
个单位长度
B．向右平行移动
个单位长度
C．向左平行移动个单位长度
D．向右平行移动个单位长度
【答案】A
解析：因为
，故可由函数
的图象上所有的点向左平行移动
个单位长度得到
21．(2014 高考数学陕西理科·第2 题)函数
的最小正周期是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析:应用
与
的最小正周期为
．因为
，所以
，故选B．
22．(2014 高考数学辽宁理科·第9 题)将函数
的图象向右平移
个单位长度，所得图象对
应的函数
( )
A．在区间
上单调递减
B．在区间
上单调递增
C．在区间
上单调递减
D．在区间
上单调递增
【答案】B
解析： 将函数
的图象向右平移
个单位长度，所得函数为
，
所
以
，
解
得
，所以函数在区间
上单调递减 ，所以A,C 都不正确；
，
解
得
，
所
以
函
数
在
区
间
上单调递增 ，当k=0 时，函数在在区间
上单调递增．
23．(2014 高考数学课标2 理科·第12 题)设函数
．若存在
的极值点
满足
，则m 的取值范围是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析：
的极值为
，即
，
，解得
，故选C。
24．(2014 高考数学湖南理科·第9 题)已知函数
，且
则函数
( )
f x 的图象
的一条对称轴是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：函数
的对称轴为
,
因为
,
则
是其中一条对称轴,故选A．
25．(2014 高考数学大纲理科·第3 题)设
则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析：因为
，
，
，由
，可得
，而正弦函数
在
单调
递增，所以
，所以
，故选C．
26．(2015 高考数学新课标1 理科·第8 题)函数
=
的部分图像如图所示，则
的单调递
减区间为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：由五点作图知，
，解得
，
，所以
，令
，解得
＜
＜
，
，故单调减区间为(
，
)，
，故选D．
27．(2015 高考数学四川理科·第4 题)下列函数中，最小正周期为
且图象关于原点对称的函数是
(
)
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】A
解析：对于选项A，因为
，且图象关于原点对称，故选A．
28．(2015 高考数学陕西理科·第3 题)如图，某港口一天6 时到18 时的水深变化曲线近似满足函数
，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为
( )
A．5
B．6
C．8
D．10
【答案】C
解析：由图象知：
，因为
，所以
，解得：
，所以这段时间水
深的最大值是
，故选C．
29．(2015 高考数学山东理科·第3 题)要得到函数
的图象，只需要将函数
的图
象
( )
A．向左平移
个单位
B．向右平移
个单位
C．向左平移
个单位
D．向右平移
个单位
【答案】B
解析：因为
，所以要得到函数
的图象，只需将
函数
的图象向右平移
个单位．
故选B．
考点：三角函数的图象变换．
30．(2015 高考数学湖南理科·第9 题)将函数
的图像向右平移
个单位后得到函
数
的图像，若对满足
的x1，x2，有
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D．
分析：向右平移ϕ 个单位后，得到g(x)=sin(2 x−2ϕ)，又∵|f ( x1)−g( x2)|=2，∴不妨
2 x1= π
2 +2kπ
，
2 x2−2ϕ=−π
2 +2mπ
，∴
x1−x2= π
2 −ϕ+(k−m)π
，又∵
，
∴
π
2 −ϕ= π
3 ⇒ϕ= π
6 ，故选D．
考点：三角函数的图象和性质．
31．(2015 高考数学安徽理科·第10 题)已知函数
(
，
，
均为正的常数)的最小
正周期为
，当
时，函数
取得最小值，则下列结论正确的是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：由题意，
，
，所以
，则
，而当
时，
，解得
，
所以
，则当
，即
时，
取得
最大值．要比较
的大小，只需判断
与最近的最高点处对称轴的距离大小，
距离越大，值越小，易知
与
比较近，
与
比较近，所以，当
时，
，此时
，
，当
时，
，此时
，所以
，故选A．
32 ．(2017 年高考数学天津理科· 第7 题) 设函数
( )
2sin(
)
f x
x
, xR , 其中
0
,|
|
．若
5
(
)
2
8
f
,
(
)
0
8
f
,且
( )
f x 的最小正周期大于2,则
( )
A．
2
3
,
12
B．
2
3
,
12
C．
1
3
,
24
D．
1
3
,
24
【答案】 A．
【解析】由题意
2
1
8
11
2
2k
8
5
k
,其中
Z
k
k
2
1,
,所以
3
2
2
3
4
1
2
k
k
又
2
2
T
,所
以
1
0
,所以
3
2
,
12
1
2 1
k
,由
|
|
得
12
,故选A．
33．(2017 年高考数学课标Ⅲ卷理科·第6 题)设函数
cos
3
f x
x
，则下列结论错误的是( )
A．
f x 的一个周期为2
B．
y
f x
的图像关于直线
8
3
x
对称
C．
f x
的一个零点为
6
x
D．
f x 在
,
2
单调递减
【答案】 D
【解析】函数
f x 的周期为2n，n
Z
，故A 正确；又函数
f x 的对称轴为
,
3
x
k
k
Z
，
即
3
x
k
，k
Z
，当
3
k
时，得
8
3
x
，故B 正确；由
0
cos
0
3
f x
x
3
2
x
k
，所以函数
f x 的零点为
,
6
x
k
k
Z
，当
0
k
时，
6
x
，故C 正确；
由
2
2
3
k
x
k
，解得
2
2
2
3
3
k
x
k
，所以函数
f x 的单调递减区间为
2
2
,2
,
3
3
k
k
k
Z
，而
2
,
2
,2
2
3
3
k
k
，故D 错误．
34．(2016 高考数学浙江理科·第5 题)设函数
，则
的最小正周期
( )
A．与
有关，且与
有关
B．与
有关，但与
无关
C．与
无关，且与
无关
D．与
无关，但与
有关
【答案】B
【命题意图】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的最小正周期等基础知识，意在考查学生的分析
问题和解决问题的能力．
解析：由于
．当
时，
的最小正周期为
；当
时，
的最小正周期为
．
的变化会引起
图象的上下平移，不会影响其最小正周期．
故选B．
35．(2016 高考数学四川理科·第3 题)为了得到
的图像，只需把函数
的图像上所
有的点
( )
A．向左平行移动
个单位
B．向右平行移动
个单位
C．向左平行移动
个单位
D．向右平行移动
个单位
【答案】D
【解析】由
得到合适
，是先压缩在平移，再根据左加右减的原则
所以图像上所有的点向右平行移动
个单位．
36．(2016 高考数学山东理科·第7 题)函数
的最小正周期是
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
,故最小正周期
,故选B．
37．(2016 高考数学课标Ⅱ卷理科·第7 题)若将函数
的图像向左平移
个单位长度，则平移后
图象的对称轴为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】将函数
的图像向左平移
个单位长度的到
的图像，令
则
，故选B．
38．(2016 高考数学课标Ⅰ卷理科·第12 题)已知函数
为
的零点，
为
图像的对称轴，且
在
单调，则
的最大值为
( )
(A)11 (B)9 (C)7 (D)5
【答案】B
【解析】由题意知：
，则
，其中
在
单调，
接下来用排除法：若
，此时
在
递增，在
递减，不满足
在
单调
若
，此时
，满足
在
单调递减
故选B．
39．(2016 高考数学北京理科·第7 题)将函数
图像上的点
向左平移
个单位
长度得到点
,若
位于函数
的图像上，则
( )
A．
，
的最小值为
B．
，
的最小值为
C．
，
的最小值为
D．
，
的最小值为
【答案】A
解析：点
在函数
上，所以
，然后
向左平移
个单位，即
，所以
，
所以
的最小值为
．
二、多选题
1．(2020 年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第10 题)下图是函数y=sin(ωx+φ)
部分图像，则sin(ωx+φ)=
( )
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
解析：由函数图像可知：
，则
，所以不选A,
当
时，
，解得：
，
即函数的解析式为：
．
而
故选：BC．
2．(2020 年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第11 题)下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=
(
)
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
解析：由函数图像可知：
，则
，所以不选A,
当
时，
，
解得：
，
即函数的解析式为：
．
而
，故选：BC．
3．(2022 新高考全国II 卷·第9 题)已知函数
的图像关于点
中心对称，
则
( )
A．
在区间
单调递减
B．
在区间
有两个极值点
C．直线
是曲线
的对称轴
D．直线
是曲线
的切线
【答案】AD
解析：由题意得：
，所以
，
，
即
，
又
，所以
时，
，故
．
对A，当
时，
，由正弦函数
图象知
在
上
是单调递减；
对B，当
时，
，由正弦函数
图象知
只有1 个极
值点，由
，解得
，即
为函数的唯一极值点；
对C，当
时，
，
，直线
不是对称轴；
对D，由
得：
，
解得
或
,
从而得：
或
,
所以函数
在点
处的切线斜率为
，
切线方程为：
即
．
故选：AD．
题型四：正余弦定理
1．(2023 年北京卷·第7 题)在
中，
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：因为
，
所以由正弦定理得
，即
，
则
，故
，
又
，所以
．
故选：B．
2．(2020 年高考课标Ⅲ卷理科·第7 题)在△ABC 中，cosC=
，AC=4，BC=3，则cosB=
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：
在
中，
，
，
根据余弦定理：
可得
，即
由
故
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．
3．(2018 年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第9 题)
的内角
的对边分别为
，若
的面积
为
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析：由余弦定理可得
，
所以由
所以
，而
，所以
，故选C．
4．(2018 年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第6 题)在
中，
，
，
，则
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：因为
，
所以
，所以
，故选A．
5 ．(2014
高考数学重庆理科· 第
10
题) 已知
ABC
的内角
满足
，面积满足
记
分别为
所对的边，
则下列不等式成立的是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：由题目第一个条件可得：
1
sin 2
sin 2
sin(2
2 )
2
A
B
A
B
1
2sin(
)cos(
)
2sin(
)cos(
)
2
A
B
A
B
A
B
A
B
1
2sin(
)[cos(
)
cos(
)]
2
A
B
A
B
A
B
1
sin
sin
sin
8
C
A
B
由1
2
S
可得：
2
2
2
2
2
2
1
1
sin
2
2
1
1
1
sin
2
8
sin
sin
sin
64
8
64
8
16 2
2
8
1
1
sin
2
2
ab
C
bc
A
a b c
C
A
B
a b c
abc
ac
B
由三角形两边之和大于第三边可得
(
)
8
bc b
c
abc
，所以选A
6．(2014 高考数学课标2 理科·第4 题)钝角三角形ABC 的面积是
，AB=1，BC=
2 ，则AC= ( )
A．5
B．5
C．2
D．1
【答案】B
解析：有面积公式得：
，解得
，因为钝角三角形，所以
，
由余弦定理得：
，所以
，选B。
7．(2014 高考数学江西理科·第4 题)在ABC
中,内角A．
B．C 所对应的边分别为
,
,
,
c
b
a
,若
,
3
,6
)
(
2
2
C
b
a
c
则ABC
的面积
( )
A．3
B．
2
3
9
C．
2
3
3
D．
3
3
【答案】 C
分析: 因为
,
3
,6
)
(
2
2
C
b
a
c
所以由余弦定理得:
2
2
2
2
cos 3
c
a
b
ab
, 即
2
6
,
6
ab
ab ab
,因此ABC
的面积为
1
3
3 3
sin
3
,
2
2
2
ab
C
选C．
8．(2017 年高考数学山东理科·第9 题)在ABC
中,角
, ,
A B C
的对边分别为, ,
a b c
．若ABC
为锐角三角
形,且满足
sin
1
2cos
2sin
cos
cos
sin
B
C
A
C
A
C
,则下列等式成立的是
( )
A．
2
a
b
B．
2
b
a
C．
2
A
B
D．
2
B
A
【答案】 A
【解析】
sin(
)
2sin
cos
2sin
cos
cos
sin
A
C
B
C
A
C
A
C
所以2sin
cos
sin
cos
2sin
sin
2
B
C
A
C
B
A
b
a
,选A．
9．(2016 高考数学天津理科·第3 题)在
中，若
，则
( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
解析：设
由余弦定理得：
或
(舍)，∴
，选A．
10．(2016 高考数学课标Ⅲ卷理科·第8 题)在△ABC 中,
,
边上的高等于
,则
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
边上的高线为
,则
,所以
,
.
由余弦定理,知
,故选C.
11 ．(2023 年全国甲卷理科· 第11 题) 已知四棱锥
的底面是边长为4 的正方形，
，则
的面积为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析：法一：
连结
交于
，连结
，则
为
的中点，如图，
因为底面
为正方形，
，所以
，则
，
又
，
，所以
，则
，
又
，
，所以
，则
，
在
中，
，
则由余弦定理可得
，
故
，则
，
故在
中，
，
所以
，
又
，所以
，
所以
的面积为
．
法二：
连结
交于
，连结
，则
为
的中点，如图，
因为底面
为正方形，
，所以
，
中，
，
则由余弦定理可得
，故
，
所以
，则
，
不妨记
，
因为
，所以
，
即
，
则
，整理得
①，
又在
中，
，即
，则
②，
两式相加得
，故
，
故在
中，
，
所以
，
又
，所以
，
所以
的面积为
．
故选：C．
12．(2021 年高考全国乙卷理科·第9 题)魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题
是测海岛的高．如图，点
，
，
在水平线
上，
和
是两个垂直于水平面且等高的测量
标杆的高度，称为“表高”，
称为“表距”，
和
都称为“表目距”，
与
的差称
为“表目距的差”则海岛的高
( )
( )
A．
表高
B．
表高
C．
表距
D．
表距
【答案】A
解析：如图所示：
由平面相似可知，
，而
，所以
，而
，
即
＝
．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．
13．(2021 年高考全国甲卷理科·第8 题)2020 年12 月8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为
8848．86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意
图，现有A．B．C 三点，且A．B．C 在同一水平面上的投影
满足
，
．由C 点测得B 点的仰角为
，
与
的差为100；由B 点测得A 点的仰角为
，则A．C 两点到水平面
的高度差
约为(
)
( )
A．346
B．373
C．446
D．473
【答案】B
解析：
过
作
，过
作
，
故
，
由题，易知
为等腰直角三角形，所以
．
所以
．
因为
，所以
在
中，由正弦定理得：
，
而
，
所以
，
所以
．
故选：B．
【点睛】本题关键点在于如何正确将
的长度通过作辅助线的方式转化为
．
题型五：三角函数的综合应用
一、选择题
1．(2022 年高考全国甲卷数学(理)·第11 题)设函数
在区间
恰有三个极值点、两个
零点，则
的取值范围是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】依题意可得
，因为
，所以
，
要使函数在区间
恰有三个极值点、两个零点，又
，
图象如下所示：
则
，解得
，即
．
故选：C．
2．(2019·全国Ⅲ·理·第12 题)设函数
(
＞0)，已知
在
有且仅有5 个零点，
下述四个结论：
①
在
有且仅有3 个极大值点②
在
有且仅有2 个极小值点
③
在
单调递增④
的取值范围是
其中所有正确结论的编号是
( )
A．①④
B．②③
C．①②③
D．①③④
【答案】D
【解析】
在
有且仅有3 个极大值点，分别对应
，故①正确．
在
有2 个或3 个极小值点，分别对应
和
故②不正确．
因为当
时，
，由
在
有且仅有5 个零点．则
，解得
，故④正确．
由
，得
，
，所以
在
单调递增
故③正确．
综上所述，本题选D．
【点评】本题为三角函数与零点结合问题，难度中等，可数形结合，分析得出答案，考查数形结合思
想．在本题中，极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错．
3．(2020 北京高考·第10 题)2020 年3 月14 日是全球首个国际圆周率日(
Day)．历史上，求圆周率
的方
法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数
充分大时，
计算单位圆的内接正
边形的周长和外切正
边形(各边均与圆相切的正
边形)的周长，将它们的
算术平均数作为
的近似值．按照阿尔·卡西的方法，
的近似值的表达式是
( )．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】单位圆内接正
边形的每条边所对应的圆周角为
，每条边长为
，
所以，单位圆的内接正
边形的周长为
，
单位圆的外切正
边形的每条边长为
，其周长为
，
，则
．
故选：A．
