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专题08 活用三角函数的图象与性质
【目录】
...................................................................................................................................... 1
........................................................................................................................................2
...................................................................................................................................... 3
...................................................................................................................................... 5
....................................................................................................................................17
考点一：齐次化模型....................................................................................................................................17
考点二：辅助角与最值问题.........................................................................................................................18
考点三：整体代换与二次函数模型..............................................................................................................21
考点四：绝对值与三角函数综合模型..........................................................................................................23
考点五：w 的取值与范围问题.....................................................................................................................28
考点六：三角函数的综合性质..................................................................................................................... 37
三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：
1、三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式
考查；
2、利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式
考查.
3、三角恒等变换的求值、化简是高考命题的热点，常与三角函数的图象、性质结合在一起综合考查，
如果单独命题，多用选择、填空题中呈现，难度较低；如果三角恒等变换作为工具，将其与三角函数及解
三角形相结合求解最值、范围问题，多以解答题为主，中等难度．
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考点要求
考题统计
考情分析
同角三角函数基本关系式
2023 年甲卷第7 题，5 分
2023 年乙卷第14 题，5 分
2021 年I 卷第6 题，5 分
【命题预测】
2024 年高考将重点考查：①同角三
角函数基本关系及诱导公式，同时
要注意三角函数定义的复习，题型
仍为选择题或填空题，难度为基础
题或中档题．②三角恒等变换，同
时要注意公式的变形及应用，以及
最值问题，题型仍为选择题或填空
题，难度为基础题或中档题．③三
角函数的图像与性质及三角函数变
换，特别是这些知识点的组合考查
是考查的热点，题型仍为选择题或
填空题，难度可以为基础题或中档
题，也可以是压轴题．
三角恒等变换
2023 年II 卷第7 题，5 分
2023 年I 卷第8 题，5 分
2022 年II 卷第6 题，5 分
2022 年浙江卷第13 题，6 分
2021 年甲卷第9 题，5 分
三角函数的图像与性质
2023 年天津卷第5 题，5 分
2023 年甲卷第10 题，5 分
2023 年乙卷第6 题，5 分
2023 年I 卷第15 题，5 分
2023 年II 卷第16 题，5 分
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1、三角函数图象的变换
（1）将
的图象变换为
的图象主要有如下两种方法：
（2）平移变换
函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对
作的变换；
（3）伸缩变换
①沿
轴伸缩时，横坐标
伸长
或缩短
为原来的
（倍）（纵坐标
不变）；
②沿
轴伸缩时，纵坐标
伸长
或缩短
为原来的
（倍）（横坐标
不变）．
（4）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移．
2、三角函数的单调性
（1）三角函数的单调区间
的单调递增区间是
，
单调递减区间是
；
的单调递增区间是
，
单调递减区间是
；
的单调递增区间是
．
（2）三角函数的单调性有时也要结合具体的函数图象如结合
，
，
，
的图象进行判断会很快得到正确答案．
3、求三角函数最值的基本思路
（1）将问题化为
的形式，结合三角函数的图象和性质求解.
（2）将问题化为关于
或
的二次函数的形式，借助二次函数的图象和性质求解.
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（3）利用导数判断单调性从而求解.
4、对称性及周期性常用结论
（1）对称与周期的关系
正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中
心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.
（2）与三角函数的奇偶性相关的结论
若
为偶函数，则有
；若为奇函数，则有
.
若
为偶函数，则有
；若为奇函数，则有
.
若
为奇函数，则有
．
5、已知三角函数的单调区间求参数取值范刪的三种方法
（1）子集法：求出原函数相应的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组）求解．
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间
的子集，列不等式（组）求解．
（3）周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过
个周期列不等式（组）求解.
1．（2023•甲卷）“
”是“
”的
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
【答案】
【解析】
，可知
，可得
，
所以“
”是“
”的必要不充分条件，
故选：
．
2．（2023•新高考Ⅱ）已知
为锐角，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】
，
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则
，
故
，即
，
为锐角，
，
．
故选：
．
3．（2023•新高考Ⅰ）已知
，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】因为
，
，
所以
，
所以
，
则
．
故选：
．
4．（2022•新高考Ⅱ）若
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】解法一：因为
，
所以
，
即
，
所以
，
所以
，
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所以
，
所以
，
，
所以
，
所以
．
解法二：由题意可得，
，
即
，
所以
，
故
．
故选：
．
5．（2023•天津）已知函数
的一条对称轴为直线
，一个周期为4，则
的解析式可能为
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】
：若
，则
，
令
，
，则
，
，显然
不是对称轴，不符合题意；
：若
，则
，
令
，
，则
，
，
故
是一条对称轴，
符合题意；
，则
，不符合题意；
，则
，不符合题意．
故选：
．
6．（2023•甲卷）已知
为函数
向左平移
个单位所得函数，则
与
的交点个数为
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A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】
【解析】把函数
向
左平移
个单位可得
函数
的图象，
而直线
经过点
，且斜率为
，
且直线还经过点
，
、
，
，
，
，如图，
故
与
的交点个数为3．
故选：
．
7．（2023•乙卷）已知函数
在区间
，
单调递增，直线
和
为函数
的图像的两条对称轴，则
A．
B．
C．
D．
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【答案】
【解析】根据题意可知
，
，取
，
，
又根据“五点法“可得
，
，
，
，
，
．
故选：
．
8．（2022•浙江）为了得到函数
的图象，只要把函数
图象上所有的点
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【答案】
【解析】把
图象上所有的点向右平移
个单位可得
的图象．
故选：
．
9．（2021•浙江）已知
，
，
是互不相同的锐角，则在
，
，
三个值中
大于
的个数的最大值是
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】
【解析】由基本不等式可得：
，
，
，
三式相加，可得：
，
很明显
，
，
不可能均大于
．
取
，
，
，
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则
，
则三式中大于
的个数的最大值为2，
故选：
．
10．（2021•北京）函数
是
A．奇函数，且最大值为2
B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为
D．偶函数，且最大值为
【答案】
【解析】因为
，
因为
，
故函数
为偶函数，
令
，则
，
，
故
是开口向下的二次函数，
所以当
时，
取得最大值
，
故函数的最大值为
．
综上所述，函数
是偶函数，有最大值
．
故选：
．
11．（多选题）（2022•新高考Ⅱ）已知函数
的图像关于点
，
中心对称，
则
A．
在区间
单调递减
B．
在区间
，
有两个极值点
C．直线
是曲线
的对称轴
D．直线
是曲线
的切线
【答案】
【解析】因为
的图象关于点
，
对称，
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所以
，
，
所以
，
因为
，
所以
，
故
，
令
，解得
，
故
在
单调递减，
正确；
，
，
，
，
根据函数的单调性，故函数
在区间
，
只有一个极值点，故
错误；
令
，
，得
，
，
显然错误；
，
求导可得，
，
令
，即
，解得
或
，
故函数
在点
处的切线斜率为
，
故切线方程为
，即
，故
正确．
直线
显然与
相切，故直线
显然是曲线的切线，故
正确．
故选：
．
12．（2023•乙卷）若
，
，则
．
【答案】
．
【解析】
，
，
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令
，
，设
终边上一点的坐标
，
则
，
则
．
故答案为：
．
13．（2022•浙江）若
，
，则
，
．
【答案】
；
．
【解析】
，
，
，
，
，
，
解得
，
，
．
故答案为：
；
．
14．（2023•新高考Ⅱ）已知函数
，如图，
，
是直线
与曲线
的两个交
点，若
，则
．
【答案】
．
【解析】由题意：设
，
，
，
，
由
的图象可知：
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，故
，
，则
，
两式相减得：
，
由图可知：
，即
，解得
，
，
，
，
又
，
，
，
即
，
，
，
当
时，
满足条件，
．
故答案为：
．
15．（2022•乙卷）记函数
，
的最小正周期为
．若
，
为
的零点，则
的最小值为 ．
【答案】3．
【解析】函数
，
的最小正周期为
，
若
，
，则
，
所以
．
因为
为
的零点，所以
，
故
，
，所以
，
，
因为
，则
的最小值为3．
故答案为：3．
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16 ．（2021• 甲卷）已知函数
的部分图像如图所示，则满足条件
的最小正整数
为
2
．
【答案】2．
【解析】由图像可得
，即周期为
，
，
，
，
观察图像可知当
，
，
，
，且
，
时最小，且满足题意，
故答案为：2．
17．（2021•北京）若点
关于
轴的对称点为
，
，则
的一个取值为
．
【答案】
（答案不唯一）．
【解析】因为
与
，
关于
轴对称，
故其横坐标相反，纵坐标相等，
即
且
，
由诱导公式
，
，
所以
，
，解得
，
，
则符合题意的
值可以为
．
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故答案为：
（答案不唯一）．
18．（2021•甲卷）已知函数
的部分图像如图所示，则
．
【答案】
【解析】由图可知，
的最小正周期
，
所以
，因为
，
所以由五点作图法可得
，解得
，
所以
，
所以
．
故答案为：
．
19．（2021•上海）已知
，存在实数
，使得对任意
，
，则
的最小值是 ．
【答案】
【解析】在单位圆中分析，由题意可得
的终边要落在图中阴影部分区域（其中
，
所以
，
因为对任意
都成立，
所以
，即
，
，
同时
，所以
的最小值为
．
故答案为：
．
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20．（2023•北京）已知函数
，
，
．
（Ⅰ）若
，求
的值；
（Ⅱ）若
在
，
上单调递增，且
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择
一个作为已知，求
、
的值．
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
在
，
上单调递减．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（Ⅰ）因为函数
，
所以
，
又因为
，所以
．
（Ⅱ）若选①：
；
因为
，
所以
在
和
时取得最大值1，这与
在
，
上单调递增矛盾，所以
、
的值不
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存在．
若选②：
；
因为
在
，
上单调递增，且
，
所以
在
时取得最小值
，
时取得最大值1，
所以
的最小正周期为
，计算
，
又因为
，所以
，
，
解得
，
；
又因为
，所以
；
若选③：
在
，
上单调递减，因为
在
，
上单调递增，且
，
所以
在
时取得最小值
，
时取得最大值1，
所以
的最小正周期为
，所以
，
又因为
，所以
，
，
解得
，
；
又因为
，所以
．
考点一：齐次化模型
齐次分式：分子分母的正余弦次数相同，例如：
（一次显型齐次化）
或者
（二次隐型齐次化）
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这种类型题，分子分母同除以
（一次显型）或者
（二次隐型），构造成
的代数式，
这个思想在圆锥曲线里面关于斜率问题处理也经常用到.
例1．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，则
.
故选：C.
例2．（2023·海南·校联考模拟预测）已知
，则
（ ）
A．0
B．4
C．
D．0 或4
【答案】D
【解析】由
，
可得
，
整理得
或
.
故选：D.
例3．（2023·陕西汉中·高三校联考阶段练习）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
.
故选：B
例4．（2023·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）已知角
的终边落在直线
上，则
的值为（ ）
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A．
B．
C．±2
D．
【答案】B
【解析】角
的终边落在直线
上，所以
，
.
故选：B.
考点二：辅助角与最值问题
第一类：一次辅助角:
=
．（其中
）
第二类：二次辅助角
例5．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）设
，
，且
，则
.
【答案】
【解析】因为
，
所以
，即
又
，
，所以
，
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则可得
，则
故
.
故答案为：
.
例6．（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考期中）已知函数
，当
取得最大值时，
.
【答案】
/
【解析】由函数
，其中
，
当
取得最大值，则
，解得
，
此时
.
故答案为：
.
例7．（2023·上海青浦·高三校考期中）已知关于
的方程
在实数范围内有
解，则
的最小值为 .
【答案】9
【解析】由题意得
，解得
，
故可设
，
，其中
，
则原方程化为
，
即
，其中
，（
不可能同时取0），
显然
，
，则
，
则
，因为
，
，
所以
，此时
，
，
，
，
，即
，
，
，
.
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所以
，即它的最小值为9，
故答案为：9.
例8．（2023·安徽·高三固镇县第一中学校联考期中）函数
的值域为 ．
【答案】
【解析】设
，
因为
，则
，
可知
，
可得函数
，
则
对任意
恒成立，
所以
在
上单调递增，且
，
所以该函数的值域为
.
故答案为：
.
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知实数
满足
则
的最小值为 .
【答案】
【解析】由于
，
令
，
则
.
故则
的最小值为：
.
故答案为：
.
考点三：整体代换与二次函数模型
三角函数和二次函数交汇也是一种常见题型，我们将其分为三类，第一类是最简单的，就是
，
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与
之间的二次函数关系，第二类则有一点隐藏，就是
与
之间的关系，第
三类则是
与
之间的关系.
例10．（2023·河南·高三校联考阶段练习）函数
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意，函数
，
令
，则
，当
，即
时，
，
所以函数
的最小值是
.
故选：D
例11．（2023·河南许昌·高一校联考阶段练习）若函数
在
上的最小值为
，则
在
上的最大值为（ ）
A．4
B．5
C．
D．
【答案】D
【解析】利用同角三角函数平方关系可得
，由
可得
，
利用二次函数的性质即可得解.由题意
，
由
可得
，
当
即
时，
取得最小值
，
，
当
即
时，
取得最大值
.
故选：D.
例12．（2023·江苏徐州·高三统考学业考试）已知函数
的最大值
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为4，则正实数
的值为（ ）
A．
B．2
C．
或2
D．2 或
【答案】B
【解析】
.
令
，则
，
，
开口向下，对称轴为
，
当
时，则
，无解.
当
时，则
.
综上所述，
的值为
.
故选：B
例13．（2023·北京·高三强基计划）在
中，
的最大值是（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】C
【解析】根据题意，令所求代数式为M，则
，
等号当
，且
，即
时取得．
因此所求代数式的最大值为2．
故选：C
例14．（2023·全国·高三校联考阶段练习）函数
的最大值为（ ）
A．
B．3
C．
D．4
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【答案】C
【解析】根据题意，设
，
则
，
则原函数可化为
，
，
所以当
时，函数取最大值
.
故选：C.
考点四：绝对值与三角函数综合模型
关于
和
，如图，
将
图像中
轴上方部分保留，
轴下方部分
沿着
轴翻上去后得到，故
是最小正周期为
的函数，同理
是最小正周期为
的函数；
是将
图像中
轴右边的部分留下，左边的删除，再将
轴右边图像作对
称至左边，故
不是周期函数.我们可以这样来表示：
，
例15．（2023·安徽铜陵·高三铜陵一中校联考阶段练习）已知函数
，则下列说法正确
的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
的最小值为
C．
D．
在
上有解
【答案】D
【解析】
，
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是以
为周期的函数，
当
时，
，
则
，
，
∴函数
的最小正周期为
，函数
的最小值为1，故AB 错误，
由
，故C 错误；
由
，∴
在
上有解，故D 正确.
故选：D.
例16．（2023·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）已知
，
给出下述四个结论:
①
是偶函数; ②
在
上为减函数;
③
在
上为增函数; ④
的最大值为
.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④
B．①③④
C．①②③
D．①④
【答案】D
【解析】对于①，易得
的定义域为
，关于原点对称，
因为
，所以
是偶函数，故正确；
对于②和③，因为
，
，
且
，所以
在
不是减函数，在
也不是增函数，故②，③错误；
对于④，当
时，
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，
因为
，所以
，
所以
，所以
；
当
时，
，
因为
，
所以
，所以
；
当
时，
；
当
时，
，
因为
，
所以
，所以
，
所以，综上所述，当
时，
的最大值为
，由于
为偶函数，所以当
时，
的最大值
也为
，故
的最大值为
，故④正确；
故选：D
例17．（2023·福建·一模）关于函数
有下述四个结论：
①
是偶函数；②
在区间
上是增函数；③
的最大值为2；④
的周期为
．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②
B．①④
C．①③④
D．②③④
【答案】B
【解析】对①，根据偶函数的定义可判断；对②，去绝对值并利用导数判断；对③，直接根据同角三角函
数的基本关系判断；对④，利用排除法可排除选项.对①，
函数的定义域为
关于原点对称，且
，
为偶函数，故①正确；
对②，当
时，
，则
，
在
不恒成立，
在区间
上是增函数错误，故②错误；
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对③，若
的最大值为2，则
，显然不可能同时取到，故③错误；
利用排除法，可选排除选项ACD.
故选：B.
例18．（2023·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）关于函数
有下述四个结论：
①
是偶函数；
②
在区间
上单调；
③函数
的最大值为M，最小值为m，则
；
④若
，则函数
在
上有4 个零点．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①④
B．①③
C．②④
D．①②③
【答案】A
【解析】由
，可知
为偶函数，①对.
由
，得
关于
对称；
由
，得
的周期为
；当
时，
其中
且
；作出
在
上的图象，并根据
的对称性及周期性作出
的大致图象.
由图可知，
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
在
上不单调，②错；
的最大值
，最小值
，故
，③错；
若
，则
在
上有4 个零点，④对，
故选：A.
例19．（2023·高一课时练习）关于函数
，其中
有下述四个结论：
①
是偶函数； ②
在区间
上是严格增函数；
③
在
有3 个零点； ④
的最小正周期为
．
其中所有正确结论的编号是（ ）．
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A．①②
B．②④
C．①④
D．①③
【答案】A
【解析】
的定义域为
，
，所以
是偶函数，①正确.
当
时，
是严格增函数，②正确.
当
时，
，
所以
在
有无数个零点，则③错误.
，
所以
不是
的最小正周期，④错误.
综上所述，正确的为①②.
故选：A
考点五：w 的取值与范围问题
1、
在
区间
内没有零点
同理，
在区间
内没有零点
2、
在区间
内有个零点
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同理
在区间
内有
个零点
3、
在区间
内有
个零点
同理
在区间
内有
个零点
4 、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为
，则
．
5、已知单调区间
，则
.
例20．（2023·四川泸州·统考一模）已知函数
在
上存在最值，且在
上单调，则
的取值范围是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，因为
，则
，
因为函数
在
上存在最值，
则
，解得
，
当
时，
，
因为函数
在
上单调，
则
，
所以
其中
，解得
，
所以
，解得
，
又因为
，则
．
所以
，
．
因此
的取值范围是
．
故选：D．
例21．（2023·四川成都·高三校考阶段练习）已知
，记
（
）．若函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意知
，
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函数
的单调递减区间为
，
则
或
，
由
，解得
，
而
，故需满足
，即
，此时
不存在；
由
，解得
，
则需满足
，即
，即
，
故
，即
，
故选：C
例22．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知函数
在
上存在最值，
且在
上单调，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
当
时，因为
，则
，
因为函数
在
上存在最值，
则
，解得
，
当
时，
，
因为函数
在
上单调，
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则
，
所以
其中
，解得
，
所以
，解得
，
又因为
，则
．
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
．
又因为
2，因此
的取值范围是
．
故选：B．
例23．（2023·北京·高三清华附中校考开学考试）已知函数
在
上恰有4 个
不同的零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数
在
上恰有4 个不同的零点，
则方程
在
上恰有4 个不同的解，
即方程
在
上恰有4 个不同的解，
所以函数
与函数
在
上恰有4 个不同的交点，
因为函数
，且
在
上单调递减，
所以函数函数
在
上单调递减，且
，
，
函数
是由
函数图象纵坐标不变，横坐标变为原来的
倍，
作出两个函数图象，如图：
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要使函数
与函数
在
上恰有4 个不同的交点，
由图知：
的周期
满足
，所以
，
所以
，即实数
的取值范围为
.
故选：B
例24．（2023·湖北·高一荆州中学校联考期中）已知
在
上的最小值为
，则
的
解有（ ）个
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】当
时，
，而
，显然不满足题意；
当
时，因为
，所以
，
要使
在
上的最小值为
，则有
，所以
，
此时
在
处取得最小值
，即
，
令
，
因为
，所以
在
上单调递减，
又
在
上单调递减，所以函数
在
上单调递减，
又因为
，
由函数零点存在性定理可知，此时函数
有唯一的零点，
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也即当
，函数
在
上的最小值为
时，则
的解只有一个；
当
时，因为
，所以
，
要使
在
上的最小值为
，则有
，解得
，
当
时，则
，结合余弦函数的图象可知，
函数
在
上的最小值为
，解得
，满足题意；
当
时，则
，此时
在
处取得最小值
，即
，
从而将问题转化为
与
的图像有多少个交点，
因为
，所以
在
上单调递增，
又
，
，
则
与
的大致图像如下，
所以
与
的图像有唯一交点，
即当
，函数
在
上的最小值为
时，则
的解只有一个；
综上可知，
的解有3 个，
故选：C.
例25．（2023·全国·校联考一模）已知函数
在区间
上恰有3 个零点，则
的取值范围是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
，其中
，解得：
，
则
，要想保证函数在
恰有三个零点，
满足①
，
，令
，解得：
；
或要满足②
，
，令
，解得：
；
经检验，满足题意，其他情况均不满足
条件，
综上：
的取值范围是
.
故选：C.
例26．（2023·广东广州·高一广东实验中学校考阶段练习）将函数
的图象向右平移
个单位长度，
再将横坐标缩短为原来的
得到函数
的图象.若
在
上的最大值为
，则
的
取值个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】将函数
的图象向右平移
个单位长度，可得
的图象．
再将横坐标缩短为原来的
得到函数
的图象，
由
上，得
，
当
，即
时，则
，求得
，
当
，即
时，由题意可得
，
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作出函数
与
的图象如图：
由图可知，此时函数
与
的图象在
上有唯一交点，
则
有唯一解，
综上，
的取值个数为2．
故选：B．
例27．（2023·辽宁·高三校联考期末）设函数
，若对于任意实数
，函数
在区间
上至少有3 个零点，至多有4 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
为任意实数，故函数
的图象可以任意平移，从而研究函数
在区间
上的零点
问题，即研究函数
在任意一个长度为
的区间上的零点问题，
令
，得
，则它在
轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为
，
，
，
，
，
，
则它们相邻两个零点之间的距离分别为
，
，
，
，
，
故相邻四个零点之间的最大距离为
，相邻五个零点之间的距离为
，
所以要使函数
在区间
上至少有3 个零点，至多有4 个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离
不大于
，相邻五个零点之间的距离大于
，
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即
，解得
.
故选：C
考点六：三角函数的综合性质
例28．（多选题）（2023·黑龙江大庆·高一铁人中学校考期末）已知函数
则下
列说法正确的是（ ）
A．
的值域是[0，1]
B．
是以
为最小正周期的周期函数
C．
在区间
上单调递增
D．
的对称轴方程为
)
【答案】AD
【解析】显然
，画出函数
在
的图象，如图所示：
A. 根据图像可知，
的值域是
，正确；
B.
是以
为最小正周期的周期函数，错误；
C.
在区间
上有增有减，错误；
D. 由图可知
的对称轴方程为
)，正确；
故选：AD.
例29．（多选题）（2023·辽宁丹东·高三校联考阶段练习）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星
导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020 年
7 月31 日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，
其中某语言通讯的传递可以用函数
近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（ ）
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A．函数
的最小正周期为
B．函数
的图象关于点
对称
C．函数
图象的一条对称轴是
D．若
，
，则
的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A，因为
的最小正周期为
，
而
向右平移
单位可得
，
故函数
的最小正周期为
，故A 正确；
对于B，在
的图象上取一点
，
其关于点
对称的点
不在
的图象上，
所以函数
的图象不关于点
对称，故B 不正确；
对于C，因为
，
所以函数
图象的一条对称轴是
，故C 正确；
对于D，因为
，所以
，
因为由A 知，函数
的最小正周期为
，所以
，故D 正确.
故选：ACD.
例30．（多选题）（2023·河南开封·统考一模）函数
的图象向左平移
个单位长
度后与原图象关于
轴对称，则下列结论一定正确的是（ ）
A．
B．
的一个周期是
C．
是偶函数
D．
在
上单调递减
【答案】ABD
资料来源：微信公众号 智慧学库
【解析】函数
的图象向左平移
个单位长度后得到
的图象，
由题意可得
，即
，
故
，故
，由于
，故
,
故
，
对于A，
，A 正确；
对于B，
，
即
的一个周期是
，B 正确；
对于C，
，
不妨取
，此时
，此时函数不是偶函数，
即
不是偶函数，C 错误；
对于D，当
时，
，
，
由于
在
上单调递减，故
在
上单调递减，D 正确，
故选：ABD
例31．（多选题）（2023·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期中）设函数
的定义域为
，
为奇函数，
为偶函数，当
时，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
在
上为增函数
C．点
是函数
的一个对称中心D．方程
仅有5 个实数解
【答案】BC
【解析】函数
的定义域为
，由
为奇函数，得
，即
，
由
为偶函数，得
，即
，则
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
即
，于是
，函数
是周期为
的周期函数，
对于A，当
时，
，
，A 错误；
对于B，
在
上单调递增，由
，知
图象关于点
对称，
则
在
上单调递增，即函数
在
上单调递增，因此
在
上单调递增，B 正
确；
对于C，由
及
，得
，即
，
因此函数
图象关于点
对称，C 正确；
对于D，当
时，
，由函数
图象关于点
对称，
知当
时，
，则当
时，
，
由
，知函数
图象关于直线
对称，则当
时，
，
于是当
时，
，而函数
的周期是
，因此函数
在R 上的值域为
，
方程
，即
，因此
的根即为函数
与
图象交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数
与
的部分图象，如图，
观图知，
与
图象在
上有且只有3 个公共点，而当
时，
，即函
数
与
图象在
无公共点，所以方程
仅有3 个实数解，D 错误.
故选：BC
例32．（多选题）（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）已知函数
，若函数
的部分图象如图所示，则下列结论正确的是
（ ）
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A．
的最大值为3
B．
的图象关于点
对称
C．直线
是曲线
的一条切线
D．若关于x 的方程
在区间
上有2023 个零点，则
的最小值为
【答案】BCD
【解析】由题意可知
的最大值为1，最小值为
，
所以有
解得
，
因为
，
，所以
，
又
，所以
，
，
所以函数的解析式为
，即
的最大值为1，故A 项错误；
令
，解得
，所以当
时，
的图象关于点
对称，故
B 项正确；
设切点为
，
由
，可得
，
切线方程为
，
所以可得
，所以
，满足题意；
此时切点为
，切线为
，故C 项正确；
资料来源：微信公众号 智慧学库
令
，得
，此时
或
，
由函数
周期为
，且一个周期内有两个零点，
所以可得
，故D 项正确．
故选：BCD．
