文档文本内容
专题08 活用三角函数的图象与性质
目 录
01 齐次化模型..............................................................................................................................1
02 辅助角与最值问题..................................................................................................................4
03 整体代换与二次函数模型....................................................................................................... 7
04 绝对值与三角函数综合模型...................................................................................................9
05 w 的取值与范围问题.............................................................................................................13
06 三角函数的综合性质.............................................................................................................19
01 齐次化模型
1．（2021•新高考Ⅰ）若
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】由题意可得：
．
故选：
．
2．（2023·广东广州·高三广州市第十六中学校考阶段练习）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意知
，则
，
故选：D
3．（2023·江苏徐州·高三校考阶段练习）若
，
，则
．
【答案】
【解析】因为
，
所以
因为
，
所以
，即
，
因为
，所以
，
所以
，解得
，
故答案为：
.
4．（2023·山西晋中·高二榆次一中校考开学考试）已知
，则
．
【答案】
/
【解析】由
，则
，又
.
故答案为：
.
5．（2023·江西九江·高一校联考期末）若
，则
的值是 ．
【答案】
【解析】因为
，
所以
，即
，
解得
，
所以
，
故答案为：
6．（2023·天津河西·高三天津市新华中学校考期末）已知直线的一个方向向量为
，倾斜角为
，
则
．
【答案】-1
【解析】因为直线的一个方向向量为
，所以
，所以
，
所以
．
故答案为：
．
7．（2021•甲卷）若
，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】由
，得
，
即
，
，
，
则
，解得
，
则
，
．
故选：
．
8．（2023·全国·模拟预测）已知
，则
.
【答案】
【解析】因为
，所以
，
所以
.
故答案为：
02 辅助角与最值问题
9．（2023·全国·高三专题练习）实数
满足
，则
的范围是 .
【答案】
【解析】
.故令
，
.
则原式
，故
.
故答案为：
.
10．（2023·江西·统考模拟预测）记
的面积为，内角
所对的边分别为
，且
，则
的值为 .
【答案】
【解析】由题得
，
所以
，
所以
，
所以
，
因为
，当且仅当
时等号成立，
又
，其中
，
所以
，故
，
所以
，
所以
.
故答案为：
11．（2023·全国·高三专题练习）
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
由
，得
，
令
，则
，则
，
所以
，当且仅当
，即
时取等号，
且
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
的取值范围为
.
故答案为：
12．（2023·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）已知实数
满足
，则
的最大值为 ．
【答案】
【解析】设
，
故
，所以
，
所以
或
，
故
或
，
当
时，
，
，
其中
，
，
因为
，当且仅当
时等号成立，
故
的最大值为
.
当
时，
，
，
其中
，
，
因为
，当且仅当
时等号成立，
故
的最大值为
.
综上，
的最大值为
.
故答案为：
.
13．（2023·江西·高三校联考阶段练习）当
时，函数
取得最大值，则
.
【答案】
【解析】利用辅助角公式
，其中
当
时，函数
取得最大值，则
，
所以
，
所以
又
，
所以
故答案为：
.
03 整体代换与二次函数模型
14．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）函数
的最大值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【解析】函数
，
由于
，
故
，由于函数
的对称轴为
，
当
时，
取得最大值
，
故选：B
15．（2023·山西·统考一模）在
中，角
所对的边分别为
．若
，且
，
则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】B
【解析】由正弦定理与
得
，又
，
，
所以
，所以
，
又
，所以当
时，
取得最大值
，
故选: B．
16．（2023·重庆渝中·高三统考期中）函数
的最大值为（ ）
A．2
B．
C．0
D．
【答案】A
【解析】
，
令
，则
，
故
，
则
，
所以当
时，
，
所以函数
的最大值为
.
故选：A.
17．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知函数
是偶函数，则函数
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．3
【答案】C
【解析】由偶函数的定义
化简可求得
，则
，借助基本不等式和
余弦函数性质即可得解.因为函数
是偶函数，
所以
，即
，化简可得：
，
解得：
，即
.
又因为
，
，
所以
（当且仅当
时两个“
”同时成立）.
故选：C.
18．（2023·高一课时练习）已知
，
，则
的最大值为
A．
B．2
C．4
D．
【答案】B
【解析】∵
，
，
∴
.
∵
，∴
.
故选B.
04 绝对值与三角函数综合模型
19．（2023·安徽·芜湖一中校联考模拟预测）已知函数
，以下结论正确的是（ ）
A．
是
的一个周期
B．函数在
单调递减
C．函数
的值域为
D．函数
在
内有6 个零点
【答案】C
【解析】因为
，所以A 错误；
当
，
，其中
，
不妨令
为锐角，所以
，所以
，因为
，所以B 错误；
因为
是函数
的一个周期，可取一个周期
上研究值域，当
，
，
，所以
，即
；因为
关于
对称，所以当
时
，
故函数
在
上的值域为
，故C 正确；
因为函数
为偶函数，所以在区间
上零点个数可通过区间
上零点个数，由
，
在
图像知由2 个零点，所以在区间
上零点个数为4 个，所以D 错误．
故选:C.
20．（2023·广西·柳州高级中学校考二模）设函数
，下述四个结论：
①
是偶函数；
②
的最小正周期为
；
③
的最小值为0；
④
在
上有3 个零点
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②
B．①②③
C．①③④
D．②③④
【答案】B
【解析】因为函数f（x）定义域为R，而且f（﹣x）＝cos|2x|+|sinx|＝f（x），所以f（x）是偶函数，①正
确；
因为函数y＝cos|2x|的最小正周期为π，y＝|sinx|的最小正周期为π，所以f（x）的最小正周期为π，②正确；
f（x）＝cos|2x|+|sinx|＝cos2x+|sinx|＝1
2sin
﹣
2x+|sinx|＝﹣2（|sinx|
）
2
，而|sinx| [0
∈
，1]，所以当|sinx|
＝1 时，f（x）的最小值为0，③正确；
由上可知f（x）＝0 可得1
2sin
﹣
2x+|sinx|＝0，解得|sinx|＝1 或|sinx|
（舍去）
因此在[0，2π]上只有x
或x
，所以④不正确．
故选：B．
21．（2023·河南郑州·高三统考阶段练习）关于函数
有下述四个结论：
①
是偶函数；②
的最大值为2；
③
在区间
上有3 个零点；④
在区间
上单调递增．
其中正确结论的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】利用函数的奇偶性的概念判断①，然后分类讨论确定函数
在每一段上的最值，
判断②是否正确；分别分析函数
在
和
上的零点个数，判断③是否正确；再分析当
时，则
在区间
上单调递性判断④是否正确.对于①，函数
的定义域为
，关于
原点对称，
且
，
该函数为偶函数，①正确；
对于②，当
（
）时，
，
此时
（
），当
（
）时，
函数
取得最大值
；
当
（
）时，
，
此时
（
），
当
（
）时，函数
取得最大值
．
根据函数
的对称性可知，函数
的最大值为
，②错误；
对于③，当
时，
，令
，则
，
此时
；当
时，
，
令
，则
，此时
．
所以函数
在区间
上有且只有两个零点，故③错误；
对于④，当
时，
，且
，所以函数
在区间
上单调递增，④正确．
因此，正确结论的个数为2．
故选：C．
22．（2023·湖南常德·高三湖南省桃源县第一中学校考阶段练习）函数
的最大值为 .
【答案】
【解析】因为
的定义域为
，
所以
为偶函数，
当
时，
，
，
所以当
时，函数取得最大值
，
综上可知函数的最大值
，
故答案为：
05 w 的取值与范围问题
23．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知函数
（
）在
内有且仅有3
个零点，则
的值可以是（ ）
A．3
B．5
C．7
D．9
【答案】B
【解析】由于
（
）在
内有且仅有3 个零点，
所以方程
（
）在
内恰有三个不相等的实数根，
即
与直线
在
内恰有三个交点.
令
，则
，
则
与直线
在
（
）内恰有三个交点.
令
，解得：
（
）或
（
），
又
，
且满足条件的恰有三个值，
则
，解得：
，
故选：B.
24．（2023·山西吕梁·高三校联考开学考试）已知函数
的最小正周期为
，若
，且
在区间
上恰有个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意
的最小正周期为T，则
，
又
，可得
，即
，
又
，所以
，
在区间
上恰有3 个零点，
当
时，
，
结合函数
的图象如图所示：
则
在原点右侧的零点依次为
，
，
，
，…，
所以
，解得
，即
的取值范围为
．
故选：D．
25．（2023·云南保山·高一统考期末）已知函数
，若
在区间
上
不存在零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意得
，
在区间
上不存在零点，设
的最小正周期为T，
则
，
又函数
的零点满足
，即
，
若
，则
，
因为
，故
，则
时，
，
时，
，结合
得
，
由于
在区间
上不存在零点，
故在
的范围内去除
和
，
则
，
故选：B
26．（2023•新高考Ⅰ）已知函数
在区间
，
有且仅有3 个零点，则
的取值
范围是 ．
【答案】
，
【解析】
，
，函数的周期为
，
，可得
，
函数
在区间
，
有且仅有3 个零点，
可得
，
所以
．
故答案为：
，
．
27．（2023·四川·校联考一模）将函数
的图象先向左平移
个单位长度，再把所得函数图象的
横、纵坐标都变为原来的
倍，得到函数
的图象，若函数
在区间
内没有零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】将函数
的图象向左平移
个单位长度，得到
，
再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的
倍，得到函数
的图象，
即
，因为函数
在
上没有零点，则
，即
，
即
，则
，由
，得
，得
，
若函数
在
上有零点，则
，
，
即
，又
，则
.当
时，解得
.
当
时，解得
.当
时，解得
，与
矛盾.
综上，若函数
在
上有零点，则
或
，
则若没有零点，则
或
.
故选：C.
28．（2022•甲卷）设函数
在区间
恰有三个极值点、两个零点，则
的取值范围是
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】
【解析】当
时，不能满足在区间
极值点比零点多，所以
；
函数
在区间
恰有三个极值点、两个零点，
，
，
，
求得
，
故选：
．
29．（2022•甲卷）将函数
的图像向左平移
个单位长度后得到曲线
，若
关
于
轴对称，则
的最小值是
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】将函数
的图像向左平移
个单位长度后得到曲线
，
则
对应函数为
，
的图象关于
轴对称，
，
，
即
，
，
则令
，可得
的最小值是
，
故选：
．
30．（2023·湖北恩施·高一利川市第一中学校联考期末）已知函数
，且
，都有
，则
的取值范围可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，得
，
设
，
由于
，且
，时
，
可知
在
上单调递减，
由正弦函数性质可知
，
故当
时，
，
即
时，
即
时，已知不等式成立，故选项A 正确，B 错误；
对于选项C，当
时，
，
当
时，
，
显然此时的
在
上不是单调递减，故选项C 错误；
对于选项D，当
时，
，
显然此时的
在
上不是单调递减，故选项D 错误；
故选：A
31．（2023·江苏扬州·高一校考期末）已知
满足
，
且
在
上单调，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
满足
，
，
，即
，
，
在
上单调，
，即
，
当
时
最大，最大值为
，
故选：B.
32．（2023·浙江金华·高三校联考阶段练习）已知函数
在
上单调递增，且
当
时，
恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由已知，函数
在
上单调递增，
所以
，解得：
，
由于
，所以
，解得：
①
又因为函数
在
上
恒成立，
所以
，解得：
，
由于
，所以
，解得：
②
又因为
，当
时，由①②可知：
，解得
；
当
时，由①②可知：
，解得
.
所以
的取值范围为
.
故选：B.
06 三角函数的综合性质
33．（多选题）（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数
，
，则以下
结论正确的是（ ）
A．函数
的最小正周期为
B．函数
的图象关于点
成中心对称
C．函数
与
的图象有偶数个交点
D．当
时，
【答案】ABD
【解析】对于选项A：因为
，
所以函数
的最小正周期为
，故A 正确；
对于选项B：因为
，
所以函数
的图象关于点
成中心对称，故B 正确；
对于选项C：因为
，
所以函数
的图象关于点
成中心对称，
即函数
与
的图象均关于点
成中心对称，
因为
，即
为函数
与
的一个交点，
当
，函数
与
的图象有
个交点，
则当
，函数
与
的图象有
个交点，
综上所述：函数
与
的图象有
个交点，为奇数个，故C 错误；
对于选项D：当
时，则
，所以
，
且
，
，
，
所以
，故D 正确；
故选：ABD.
34．（多选题）（2023·山东泰安·高三统考期中）已知函数
的图象如图
所示，则（ ）
A．
B．函数
的一个对称中心为
C．
是函数
的一个周期
D．将函数
的图象向左平移
个单位长度可得函数
的图象
【答案】BCD
【解析】由图可知，
，
所以
，所以
，
故
，
又
，所以
，
所以
，所以
，
又
，所以
，
所以
，故A 错误；
对于B，因为
，
所以函数
的一个对称中心为
，故B 正确；
对于C，因为函数
的最小正周期为
，
所以
是函数
的一个周期，故C 正确；
对于D，将函数
的图象向左平移
个单位长度，
得
，故D 正确.
故选：BCD.
35．（多选题）（2023·河南·方城第一高级中学校联考模拟预测）已知函数
（
，
，
）的部分图象如图所示，则（ ）
A．
，
B．将函数
的图象向左平移
个单位长度，得到
的图象
C．点
为
图象的一个对称中心
D．函数
在
上的值域为
【答案】BD
【解析】对于选项A：根据图象可知
，解得
，则
，
又因为
，且图象过
，
可得
，则
，解得
则
，则
，故A 错误；
对于选项B：因为函数
，
将函数
的图象向左平移
个单位长度，
得到
的图象，故B 正确；
对于选项C：因为
，
所以点
不是
的对称中心，故C 错误；
对于选项D：当
时，
，
此时函数
的值域为
，故D 正确.
故选：BD.
36．（多选题）（2023·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知函数
是偶函数，其图象的两个相邻对称轴间的距离为
，将函数
的
图象向右平移
个单位长度得到函数
的图象，则（ ）
A．
B．
在
上单调递增
C．函数
的图象关于点
对称
D．函数
的图象在
处取得极大值
【答案】ABC
【解析】对于A，
图象的两个相邻对称轴间的距离为
，
的最小正周期
，
，
，
为偶函数，
，又
，
，
，A 正确；
对于B，
，
则当
时，
，
在
上单调递增，
在
上单调递增，B 正确；
对于C，当
时，
，
是
的一个对称中心，又
，
的图象关于点
对称，C 正确；
对于D，当
时，
，
不是
的极大值点，
不是
的极大值点，D 错误.
故选：ABC.
37．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．
的最大值为4
B．若
的最小正周期为
，则
C．当
时，函数
图象的对称中心为点
D．当
时，函数
在
上的图象与直
所围成的平面图形的面积为
【答案】ACD
【解析】
，
选项A：当
时，
取得最大值4，所以A 正确；
选项B：若
的最小正周期为
且
，则
，所以
，所以B 不正确；
选项C：当
时，函数
，令
，
解得
，所以
图象的对称中心为点
，所以C 正确；
选项D：当
时，函数
，
在平面直角坐标系内作出
的图象与直线
所围成的平面图形,如图1 中阴影部分所
示．
图1
解法一：由图可将阴影部分的面积转化为
的面积，如图2 所示，
易求得
的面积为
，所以D 正确．
图2
解法二：由图可将阴影部分的面积转化为矩形
的面积的一半，如图3 所示，
易求得矩形
的面积为
，所以曲边图形的面积为
，所以D 正确．
图3
故选：ACD
38．（多选题）（2023·山东济南·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知函数
为
的两个极值点，且
的最小值为
，直线
为
图象的一条对称轴，将
的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象，下列结论正确的是
（ ）
A．
B．
C．
在间
上单调递增
D．
图象关于点
对称
【答案】BCD
【解析】因为
为
的两个极值点，且
的最小值为
，
所以
，所以
，故A 错误；
则
，
又直线
为
图象的一条对称轴，
所以
，所以
，
又
，所以
，故B 正确；
所以
，
由
，得
，
所以
在间
上单调递增，故C 正确；
将
的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象，
则
，
因为
，
所以
图象关于点
对称，故D 正确.
故选：BCD.
39 ．（2022• 新高考Ⅰ）记函数
的最小正周期为
．若
，且
的图像关于点
，
中心对称，则
A．1
B．
C．
D．3
【答案】
【解析】函数
的最小正周期为
，
则
，由
，得
，
，
的图像关于点
，
中心对称，
，
且
，则
，
．
，
，取
，可得
．
，则
．
故选：
．
40．（2022•天津）已知
，关于该函数有下列四个说法：
①
的最小正周期为
；
②
在
，
上单调递增；
③当
，
时，
的取值范围为
，
；
④
的图象可由
的图象向左平移
个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】
【解析】对于
，它的最小正周期为
，故①错误；
在
，
，
，
，函数
单调递增，故②正确；
当
，
时，
，
，
的取值范围为
，
，故③错误；
的图象可由
的图象向右平移
个单位长度得到，故④错误，
故选：
．
41 ．（2021• 上海）已知
，对任意的
，
，都存在
，
，使得
成立，则下列选项中，
可能的值是
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】
，
，
，
，
，
，
都存在
，
，使得
成立，
，
，
，
，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
，故
选项错误，
当
时，
，
，
，故
选项正确，
当
时，
，
，故
选项错误，
当
时，
，
，故
选项错误．
故选：
．
42．（2021•乙卷）把函数
图像上所有点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，再把所得曲
线向右平移
个单位长度，得到函数
的图像，则
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】
把函数
图像上所有点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，
再把所得曲线向右平移
个单位长度，得到函数
的图像，
把函数
的图像，向左平移
个单位长度，
得到
的图像；
再把图像上所有点的横坐标变为原来的2 倍，纵坐标不变，
可得
的图像．
故选：
．
