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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题08 平面解析几何（解答题）
平面解析几何在高考中考查比例较大，一般是1+1+1 模式或者是2+1+1 模式。在选题中，解析几何解答题
中难度一般较大，计算量比较大.主要知识点是
考点01 椭圆及其性质
考点02 双曲线及其性质
考点03 抛物线及其性质
考点04 解析几何定点定值问题
考点05 解析几何综合性问题
考点01 椭圆及其性质
1.(2020 年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第21 题)已知椭圆C：
过点M(2，3),点A
为其左顶点，且AM 的斜率为
，
(1)求C 的方程；
(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值．
2.(2020 江苏高考·第18 题)在平面直角坐标系
中，已知椭圆
的左、右焦点分别为
，点
在椭圆
上且在第一象限内，
，直线
与椭圆
相交于另一点
．
2
(1)求
的周长；
(2)在
轴上任取一点
，直线
与椭圆
的右准线相交于点
，求
的最小值；
(3)设点
在椭圆
上，记
与
的面积分别为
，若
，求点
的坐标．
3.(2020 年高考课标Ⅲ卷理科·第20 题)已知椭圆
的离心率为
，
，
分别
为
的左、右顶点．
(1)求
的方程；
(2)若点
在
上，点
在直线
上，且
，
，求
的面积．
3
5．(2023 年北京卷·第19 题)已知椭圆
离心率为
，A、C 分别是E 的上、
下顶点，B，D 分别是
的左、右顶点，
．
(1)求
的方程；
(2)设
为第一象限内E 上的动点，直线
与直线
交于点
，直线
与直线
交于点
．求证：
．
6.(2023 年天津卷·第18 题)设椭圆
的左右顶点分别为
，右焦点为
，已知
．
(1)求椭圆方程及其离心率；
(2)已知点
是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线
交
轴于点
，若三角形
的面积是三角
形
面积的二倍，求直线
的方程．
7.(2022 高考北京卷·第19 题)已知椭圆：
的一个顶点为
，焦距为
．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)过点
作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B，C，直线AB，AC 分别与x 轴交于点M，
N，当
时，求k 的值．
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8.(2022 年浙江省高考数学试题·第21 题)如图，已知椭圆
．设A，B 是椭圆上异于
的两
点，且点
在线段
上，直线
分别交直线
于C，D 两点．
(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求
的最小值．
9 .(2021 高考北京·第20 题)已知椭圆
一个顶 点
，以椭圆
的四个顶
点为顶点的四边形面积为
．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)过点P(0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B，C，直线AB，AC 分别与直线交
y=-3 交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15 时，求k 的取值范围．
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10.(2020 天津高考·第18 题)已知椭圆
的一个顶点为
，右焦点为
，且
，其中
为原点．
(Ⅰ)求椭圆
方程；
(Ⅱ)已知点
满足
，点
在椭圆上(
异于椭圆的顶点)，直线
与以
为圆心的圆相切
于点
，且
为线段
的中点．求直线
的方程．
11.(2019·上海·第20 题)已知椭圆
，
为左、右焦点，直线过
交椭圆于A、B 两点.
(1)若AB 垂直于
轴时，求
；
(2)当
时，
在
轴上方时，求
的坐标；
(3)若直线
交
轴于M，直线
交
轴于N，是否存在直线，使
，若存在，求
出直线的方程；若不存在，请说明理由.
考点02 双曲线及其性质
1．(2023 年新课标全国Ⅱ卷·第21 题)已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为
，离心率为
．
(1)求C 的方程；
(2)记C
左、右顶点分别为
，
，过点
的直线与C 的左支交于M，N 两点，M 在第二象限，
直线
与
交于点P．证明:点
在定直线上．
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2.(2022 新高考全国II 卷·第21 题)已知双曲线
的右焦点为
，渐近线方程
为
．
(1)求C 的方程；
(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A，B 两点，点
在C 上，且．
．过P 且斜率为
的直线与过Q 且斜率为
的直线交于点M．从下面①②③中
选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M 在
上；②
；③
．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
3．(2021 年新高考Ⅰ卷·第21 题)在平面直角坐标系
中，已知点
、
，点
的轨迹为
．
(1)求
的方程；
(2)设点
在直线
上，过
两条直线分别交
于
、
两点和
，
两点，且
，求直线
的斜率与直线
的斜率之和．
4.(2022 新高考全国I 卷·第21 题)已知点
在双曲线
上，直线l 交C 于P，Q
两点，直线
的斜率之和为0．
(1)求l
斜率；
(2)若
，求
的面积．
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考点03 抛物线及其性质
1.(2023 年全国甲卷理科·第20 题)已知直线
与抛物线
交于
两点，
且
．
(1)求
；
(2)设F 为C 的焦点，M，N 为C 上两点，
，求
面积的最小值．
2.(2021 年高考浙江卷·第21 题)如图，已知F 是抛物线
的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴
的交点，且
，
(1)求抛物线的方程；
(2)设过点F 的直线交抛物线与A､B 两点，斜率为2 的直线l 与直线
，x 轴依次交于点P，
Q，R，N，且
，求直线l 在x 轴上截距的范围．
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3.(2021 年高考全国乙卷理科·第21 题)已知抛物线
的焦点为
，且
与圆
上点的距离的最小值为
．
(1)求
；
(2)若点
在
上，
是
的两条切线，
是切点，求
面积的最大值．
4.(2021 年高考全国甲卷理科·第20 题)抛物线C 的顶点为坐标原点O．焦点在x 轴上，直线l：
交C
于P，Q 两点，且
．已知点
，且
与l 相切．
(1)求C，
的方程；
(2)设
是C 上的三个点，直线
，
均与
相切．判断直线
与
的位置关
系，并说明理由．
5.(2020 年浙江省高考数学试卷·第21 题)如图，已知椭圆
，抛物线
，
点A 是椭圆
与抛物线
的交点，过点A 的直线l 交椭圆
于点B，交抛物线
于M(B，M 不同于
A)．
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(Ⅰ)若
，求抛物线
的焦点坐标；
(Ⅱ)若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．
6.(2022 年高考全国甲卷数学(理)·第20 题)设抛物线
焦点为F，点
，过F 的直
线交C 于M，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，
．
(1)求C 的方程；
(2)设直线
与C
另一个交点分别为A，B，记直线
的倾斜角分别为
．当
取得
最大值时，求直线AB 的方程．
7.(2019·浙江·第21 题)如图，已知点
为抛物线
的焦点．过点
的直线交抛物线于
，
两点，点
在抛物线上，使得
的重心
在
轴上，直线
交
轴于
点，且
在点
的右侧，记
，
的面积分别为
，
．
(Ⅰ)求
的值及抛物线的准线方程；
(Ⅱ)求
的最小值及此时点
的坐标．
8.(2019·全国Ⅲ·理·第21 题)已知曲线C：y=
，D 为直线y=
上的动点，过D 作C 的两条切线，
切点分别为A，B．
(1)证明：直线AB 过定点：
(2)若以E(0，
)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．
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9.(2019·全国Ⅰ·理·第19 题)已知抛物线
的焦点为
，斜率为
的直线与
的交点为
，
，与
轴的交点为
．
(1)若
，求的方程；
(2)若
，求
．
10.(2019·北京·理·第18 题)已知抛物线C：x2=−2py 经过点(2，−1)．
(Ⅰ)求抛物线C 的方程及其准线方程；
(Ⅱ)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0 的直线l 交抛物线C 于两点M，N，直线y=−1 分别
交直线OM，ON 于点A 和点B．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．
考点04 圆锥曲线的定点定值问题
1.(2021 年新高考全国Ⅱ卷·第20 题)已知椭圆C 的方程为
，右焦点为
，且
离心率为
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设M，N 是椭圆C 上的两点，直线
与曲线
相切．证明：M，N，F 三点共线的
充要条件是
．
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2.(2020 年高考课标Ⅰ卷理科·第20 题)已知A、B 分别为椭圆E：
(a>1)
左、右顶点，G 为E
的上顶点，
，P 为直线x=6 上的动点，PA 与E 的另一交点为C，PB 与E 的另一交点为D．
(1)求E
方程；
(2)证明：直线CD 过定点．
3.(2020 年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第22 题)已知椭圆C：
的离心率为
，且过点
A(2，1)．
(1)求C 的方程：
(2)点M，N 在C 上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D 为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
4.(2022 年高考全国乙卷数学(理)·第20 题)已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过
两点．
(1)求E 的方程；
(2)设过点
的直线交E 于M，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T，点H 满
足
．证明：直线HN 过定点．
考点05 解析几何综合类问题
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1.(2023 年新课标全国Ⅰ卷·第22 题)在直角坐标系
中，点
到
轴的距离等于点
到点
的距
离，记动点
的轨迹为
．
(1)求
的方程；
(2)已知矩形
有三个顶点在
上，证明：矩形
的周长大于
．
2 .(2023 年全国乙卷理科·第20 题)已知椭圆
的离心率是
，点
在
上．
(1)求
方程；
(2)过点
的直线交
于
两点，直线
与
轴的交点分别为
，证明：线段
的中点为定点．
3 .(2020 年高考课标Ⅱ卷理科·第19 题)已知椭圆C1：
(a>b>0)
右焦点F 与抛物线C2的焦点
重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C1于A，B 两点，交C2于C，D 两点，
且|CD|=
|AB|．
(1)求C1的离心率；
(2)设M 是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．
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4.(2019·天津·理·第18 题)设椭圆
的左焦点为
，上顶点为
．已知椭圆的短轴
长为4，离心率为
．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设点
在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点
为直线
与
轴的交点，点
在
轴的负
半轴上．若
(
为原点)，且
，求直线
的斜率．
5.(2019·全国Ⅱ·理·第21 题)已知点
，
，动点
满足直线
与
的斜
率之积为
．记
的轨迹为曲线
．
求
的方程，并说明
是什么曲线；
过坐标原点的直线交
于
两点，点
在第一象限，
轴，垂足为
，连结
并延长
交
于点
．
证明：
是直角三角形；
求
面积的最大值．
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6.(2019·江苏·第17 题)如图，在平面直角坐标系
中，椭圆
:
的焦点为
，
．过
作
轴的垂线，在
轴的上方，与圆
:
交于点
，与
椭圆
交于点
.连结
并延长交圆
于点
，连结
交椭圆
于点
，连结
．
已知
．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)求点
的坐标．
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