十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—平面向量
目录
题型一：平面向量的概念及线性运算.......................................................1
题型二：平面向量的基本定理...................................................................3
题型三：平面向量的坐标运算...................................................................9
题型四：平面向量中的平行与垂直.........................................................13
题型五：平面向量的数量积与夹角问题.................................................14
题型六：平面向量的模长问题.................................................................33
题型七：平面向量的综合应用.................................................................38
题型一：平面向量的概念及线性运算
一、选择题
1．(2021 年高考浙江卷·第3 题)已知非零向量
，则“
”是“
”的
( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
解析:若
，则
，推不出
；若
，则
必成立，故“
”
是“
”的必要不充分条件,故选B．
2．(2020 年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第3 题)在
中，D 是AB 边上的中点，则
=
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析：
3．(2022 新高考全国I 卷·第3 题)在
中，点D 在边AB 上，
．记
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：因
点D 在边AB 上，
，所以
，即
，
所以
． 故选：B．
4．(2019·上海·第13 题)已知直线方程
的一个方向向量
可以是
( )
A.
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意：
为直线的一个法向量，∴ 方向向量为
，选D.
【点评】本题主要考查直线的方向量．
5．(2019·全国Ⅰ·理·第4 题)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比
为
(
，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美
人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
．若某人满足上述两个黄金
分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是
( )
A．165cm
B．175cm
C．185cm
D．190cm
【答案】
答案：B
解析：如图，
，
，则
，
，
，
所以身高
，
又
，所以
，身高
，
故
，故选B．
二、填空题
1．(2020 北京高考·第13 题)已知正方形
的边长为
，点
满足
，则
_________；
_________．
【答案】(1)．
(2)．
【解析】以点
为坐标原点，
、
所在直线分别为
、
轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
c
d
a
b
头顶
咽喉
肚脐
足底
则点
、
、
、
，
，
则点
，
，
，
因此，
，
．故答案为：
；
．
2．(2014 高考数学北京理科·第10 题)已知向量 y=−1、⃗
n=(0,−1,1)满足|BC |=1 , ABF = (2 , 1), 且 α
(sinα=|cos⟨⃗n,⃗BC ⟩|), 则
|⃗n⋅⃗BC
|⃗n||⃗BC|
|=1
2
. = ．
【答案】AM
解析：∵
，∴
，
3．(2015 高考数学新课标2 理科·第13 题)设向量
，
不平行，向量
与
平行，则实数
_________．
【答案】
解析：因为向量
与
平行，所以
，则
所以
．
题型二：平面向量的基本定理
一、选择题
1．(2018 年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第6 题)在
中,
为
边上的中线，
为
的中点，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解
析
：
在
中
，
为
边
上
的
中
线
，
为
的
中
点
，
，故选A．
2．(2014 高考数学福建理科·第8 题)在下列向量组中，可以把向量
表示出来的是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：根据
，
选项A：
，则
，
，无解，故选项A 不能；
选项B：
，则
，
，解得，
，
，故选项B
能．
选项C：
，则
，
，无解，故选项C 不能．
选项D：
，则
，
，无解，故选项D 不能．故选：
B．
3．(2015 高考数学新课标1 理科·第7 题)设D 为ABC 所在平面内一点
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：由题知
=
，故选A．
4．(2017 年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12 题)在矩形ABCD 中，
1
AB ，
2
AD
，动点P 在以点C 为圆
心且与BD 相切的圆上，若AP
AB
AD
，则
的最大值为
( )
A．3
B．2 2
C．5
D．2
【答案】A
【解析】法一：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，
如下图
则
0,0
A
，
1,0
B
，
0,2
D
，
1,2
C
，连结BD ，过点C 作CE
BD
于点E
在Rt BDC
中，有
2
2
5
BD
AB
AD
1
1
2
2
ACD
S
BC
CD
BD CE
△
即
1
1
2 5
1 2
5
2
2
5
CE
CE
所以圆C 的方程为
2
2
4
1
2
5
x
y
可设
2 5
2 5
1
cos ,2
sin
5
5
P
由AP
AB
AD
可得
2 5
2 5
1
cos ,2
sin
,2
5
5
所以
2 5
1
cos
5
5
1
sin
5
，所以
2 5
5
2
cos
sin
5
5
2
sin
其中
2 5
sin
5
，
5
cos
5
所以
的最大值为3 ，故选A．
法二：通过点C 作CE
BD
于E 点，由
1
AB ，
2
AD
，可求得
2
2
1
2
5
BD
又由
1
1
2
2
ACD
S
CD CB
BD CE
△
，可求得
2 5
5
CE
由等和线定理可知，当点P 的切线(即FH )与DB 平行时，
取得最大值
又点A 到BD 的距离与点C 到直线BD 的距离相等，均为
2 5
5
而此时点A 到直线FH 的距离为
2 5
2 5
2 5
6 5
2
2
5
5
5
5
r
所以
6 5
5
3
2 5
5
AF
AB
，所以
的最大值为3 ，故选A．
另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当P 点在如图所示位置时，
最大，且此时若
AG
xAB
yAD
，则有
x
y
，由三角形全等可得
2
AD
DF
FG
，知
3,
0
x
y
，
所以选A．
法三：如图，建立平面直角坐标系
设
0,1 ,
0,0 ,
2,1 ,
,
A
B
D
P x y
根据等面积公式可得圆的半径是
2
5 ，即圆的方程是
2
2
4
2
5
x
y
,
1 ,
0, 1 ,
2,0
AP
x y
AB
AD
，若满足AP
AB
AD
即
2
1
x
y
，
,
1
2
x
y
，所以
1
2
x
y
，设
1
2
x
z
y
，即
1
0
2
x
y
z
点
,
P x y 在圆
2
2
4
2
5
x
y
上，所以圆心到直线的距离d
r
，即
2
2
1
5
1
4
z
，解得
1
3
z
，所以z 的最大值是3 ，即
的最大值是3 ，故选A．
法四：由题意，画出右图．
设BD 与
C
切于点E ，连接CE ．以A 为原点，AD 为x 轴正半轴，AB 为y 轴正半轴建立直角坐
标系
则C 点坐标为(2,1) ．∵|
| 1
CD
，|
| 2
BC
．∴
2
2
1
2
5
BD
．
BD
切
C
于点E ．
∴
CE ⊥
BD ．
∴
CE 是
Rt
BCD
△
中
斜
边
BD 上
的
高
．
1
2
|
| |
|
2
2
2
2
|
|
5
|
|
|
|
5
5
BCD
BC
CD
S
EC
BD
BD
△
即
C
的半径为2
5
5
．∵P 在
C
上．∴P 点的轨迹方程为
2
2
4
(
2)
(
1)
5
x
y
．
设P 点坐标
0
0
(
,
)
x
y
，可以设出P 点坐标满足的参数方程如下：
0
0
2
2
5 cos
5
2
1
5 sin
5
x
y
而
0
0
(
,
)
AP
x
y
，
(0,1)
AB
，
(2,0)
AD
．
∵
(0,1)
(2,0)
(2 , )
AP
AB
AD
∴
0
1
5
1
cos
2
5
x
，
0
2
1
5 sin
5
y
．
两式相加得：
2
2
2
5
1
5 sin
1
cos
5
5
2 5
5
2
(
)
(
) sin(
)
5
5
2
sin(
)
3
≤
(其中
5
sin
5
，
2 5
cos
5
)
当且仅当
π
2 π
2
k
，k Z 时，
取得最大值3．
二、填空题
1．(2023 年天津卷·第14 题)在
中，
，
，点
为
的中点，点
为
的中点，
若设
，则
可用
表示为_________；若
，则
的最大值为
_________．
【答案】①．
②．
解析：空1：因为
为
的中点，则
，可得
，
两式相加，可得到
，
即
，则
；
空2：因为
，则
，可得
，
得到
，
即
，即
．
于是
．
记
，
则
，
在
中，根据余弦定理：
，
于是
，
由
和基本不等式，
，
故
，当且仅当
取得等号，
则
时，
有最大值
．
故答案
：
；
．
2 ．(2015 高考数学北京理科· 第13 题) 在
中，点
，
满足
，
．若
，则
；
．
【答案】
解析：特殊化，不妨设
，利用坐标法，以A 为原点，AB 为
轴，
为
轴
，
建
立
直
角
坐
标
系
，
，
，
则
，
．
3．(2017 年高考数学江苏文理科·第12 题)如图,在同一个平面内,向量OA
,OB
,OC
的模分别为1,1,
2 ,OA
与OC
的夹角为,且tan=7,OB
与OC
的夹角为45°．若OC
mOA
nOB
( ,
)
m nR , 则m
n
______．
【答案】3
解析: 由tan
7
可得
7 2
sin
10
,
2
cos
10
, 根据向量的分解, 易得
cos45
cos
2
sin 45
sin
0
n
m
n
m
, 即
(第12 题)
O
B
C
A
2
2
2
2
10
2
7 2
0
2
10
n
m
n
m
,即
5
10
5
7
0
n
m
n
m
,即得
5
7
,
4
4
m
n
,所以
3
m
n
．
题型三：平面向量的坐标运算
一、选择题
1．(2023 年北京卷·第3 题)已知向量
满足
，则
( )
A．
B．
C．0
D．1
【答案】B
解析：向量
满足
，
所以
．
故选：B
2．(2023 年新课标全国Ⅰ卷·第3 题)已知向量
，若
，则
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：因为
，所以
，
，
由
可得，
，
即
，整理得：
．
故选：D．
3．(2014 高考数学重庆理科·第4 题)已知向量⃗a=(k ,3),⃗b=(1,4),⃗c=(2,1)，且
,则实数
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析：
4．(2014 高考数学安徽理科·第10 题)在平面直角坐标系
中，已知向量
，
，
，
点
满
足
．
曲
线
，
区
域
，若
为两段分离的曲线，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：因为
，且
，设
，
，
则由
得
曲
线
C:
设
，
则
，
，
则
，表示以
为圆心，为半径的圆；
区域
：设
，则由
，则有：
，
表示以
为圆心，分别以
和
为半径的同心圆的圆环形区域(如图)，
若使得
是两段分离的曲线，则由图像可知：
，故选A．
5．(2016 高考数学课标Ⅲ卷理科·第3 题)已知向量
,
,则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意,得
,所以
,故选A.
6．(2016 高考数学课标Ⅱ卷理科·第3 题)已知向量
，且
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
可得：
，所以
，又
所以
，所以
，故选D．
二、填空题
1．(2021 年高考全国乙卷理科·第14 题)已知向量
，若
，则
__________．
【答案】
解析：因为
，所以由
可得，
，解得
．
故答案为：
．
【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设
，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
2．(2020 江苏高考·第13 题)在
中，
在边
上，延长
到
，使
得
，若
(
为常数)，则
的长度是________．
【答案】
【解析】
三点共线，
可设
，
，
，即
，
若
且
，则
三点共线，
，即
，
，
，
,
,
，
，
设
，
，则
，
．
根据余弦定理可得
，
，
，
，解得
，
的长度为
．
当
时，
，
重合，此时
的长度为
，
当
时，
，
重合，此时
，不合题意，舍去．故答案为：
或
．
3．设向量
与
的夹角为
，
，
，则
．
【答案】
解：设向量
与
的夹角为
且
∴
，
则
。
4．(2015 高考数学江苏文理·第6 题)已知向量
，
, 若
(
), 则
的值为_______．
【答案】
解析：由题意得：
5．(2016 高考数学课标Ⅰ卷理科·第13 题)设向量
，
，且
，则
．
【答案】
【解析】由已知得：
∴
，解得
．
题型四：平面向量中的平行与垂直
一、选择题
1．(2018 年高考数学北京（理）·第6 题) 设
，
均为单位向量，则“
”是“
的(
)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
解析：
等号两边分别平方得：
，因为
，
所以
0
a b
，与a
b
等价，故选C．
2．(2016 高考数学山东理科·第8 题) 已知非零向量
满足
，
．若
，则实数的值为
( )
A．4
B．
C．
D．–
【答案】B
【解析】由
，可设
，又
，所以
所以
，故选B．
二、填空题
1．(2014 高考数学湖北理科·第11 题)设向量
，
，若
，则实数
．
【答案】±3
解析：由题意得(a＋λb)·(a－λb)＝0，即a2－λ2b2＝0，则a2＝λ2b2．
∴
．∴λ＝±3．
2．(2018 年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13 题)已知向量
，
，
，若
，
则
．
【答案】
解析：依题意可得
，又
，
所以
，解得
．
3．(2021 年高考全国甲卷理科·第14 题) 已知向量
．若
，则
________．
【答案】
．
解析：
,
，解得
,
故答案为：
．
题型五：平面向量的数量积与夹角问题
一、选择题
1．(2020 年高考课标Ⅲ卷理科·第6 题) 已知向量a，b 满足
，
，
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：
，
，
，
．
，
因此，
．
故选：D．
【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，
考查计算能力，属于中等题．
2．(2022 年高考全国乙卷数学（理）·第3 题) 已知向量
满足
，则
(
)
A．
B．
C．1
D．2
【答案】C
解析：∵
，
又∵
∴9
，
∴
故选：C．
3．(2019·全国Ⅱ·理·第3 题) 已知
，
，
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵
，
，∴
,∴
，解得
，
即
，则
．
4．(2018 年高考数学天津（理）·第8 题) 如图，在平面四边形
中，
，
，
，
，若点
为边
上的动点，则
的最小值为
( )
A．
B．
C．
D．3
A
B
C
D
E
【答案】A
【基本解法1】连接
，则易证明
，所以
A
B
C
D
E
所以
，设
，
则
，当
时，
取得最小值，最小值为
．
【基本解法1】连接
，则易证明
，所以
，
所以
，以
为坐标原点，
所在方向为
轴正方向
建立如图所示平面直角坐标系，过
作
轴于点
A
B
C
D
E
F
x
y
则
，所以
，
设
，则
，
，
当
时，
取得最小值，最小值为
．
5．(2018 年高考数学课标Ⅱ卷（理）·第4 题) 已知向量
，
满足
，
，则
(
)
A．4
B．3
C．2
D．0
【答案】B
解析：
，故选B．
6．(2014 高考数学天津理科·第8 题) 已知菱形
的边长为2,
,点
分别在边
上,
,
．若
,
,则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析:记
,
,则
,所以
．故选C．
7．(2014 高考数学上海理科·第16 题) 如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，
是一条侧棱，
是上底面上其余的八个点，则
的不同值的个数为
( )．
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】A
解析:
在
上的投影为
，所以
,值只有一个．
8．(2014 高考数学课标2 理科·第3 题) 设向量a,b 满足|a+b|= 10 ，|a-b|= 6 ，则ab=
( )
A．1
B．2
C．3
D．5
【答案】A
解析：因为
两式相加得：
所以
，故选A．
9．(2015 高考数学四川理科·第7 题) 设四边形
为平行四边形，
∘C ，
∘C ．若点
满
足∘C ，θ
，则cosθ
( )
A．20
B．15
C．9
D．6
【答案】C
解析：
，所以
，
选
C．
10．(2015 高考数学陕西理科·第7 题) 对任意向量
，下列关系式中不恒成立的是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：因为
，所以选项A 正确；当
与
方向相反时，
不成立，所以选项B 错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C 正确；
，
所以选项D 正确．故选B．
11．(2015 高考数学山东理科·第4 题) 已知菱形
的边长为
，
,则
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：因为
故选D．
12．(2015 高考数学福建理科·第9 题) 已知
，若
点是
所在平面内一
点，且
，则
的最大值等于
( )
A．13
B．15
C．19
D．21
【答案】A
解析：以
为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则
，
，
，即
，所以
，
，因此
，因为
，所以
的最大值等于
，当
，
即
时取等号．
x
y
B
C
A
P
13．(2015 高考数学安徽理科·第8 题)
是边长为
的等边三角形，已知向量
，
满足
，
，则下列结论正确的是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：如图，
由题意，
，则
，故
错误；
，所以
，又
，所以
，故
错误；设
中点为
，则
，且
，而
，所以
，故选
D．
14．(2017 年高考数学浙江文理科·第10 题) 如图,已知平面四边形ABCD , AB
BC
,
2
AB
BC
AD
,
3
CD
, AC 与BD 交于点O ．记
1I
OA OB
,
2I
OB OC
,
3I
OC OD
,则
( )
A．
1
2
3
I
I
I
B．
1
3
2
I
I
I
C．
3
1
2
I
I
I
D．
2
1
3
I
I
I
【答案】C
【解析】法一:
O
D
B
C
A
O'
O
D
B
C
A
D'
动态研究问题: D
D
,O
O
．
此时有
90
AOB
,
90
BOC
,
90
COD
,且CO
AO
, DO
BO
．
故OB OC
OA OB
OC OD
．故选C．
【解析】法二:
如图,取AC 边中点K ,则BK
AC
,O 在线段AK 上,再取AB , BC 中点
,
M N ,则ON
OM
．所以
2
2
2
1
(
)
1
2
AB
I
OA OB
OM
OM
,
2
2
2
2
(
)
1
2
BC
I
OB OC
ON
ON
,所以
1
2
I
I
．
作
//
AS
BC 交CD 于S ,所以
45
ACB
CAS
,而
3
2
CD
AD
,所以,
45
DAC
BAC
,所以OD
OB
,又OC
OA
,
90
AOB
COD
．
所以
3I
OC OD
1I
OA OB
0
,所以
3
1
2
I
I
I
．故选C．
法三:余弦定理得
2
cos
4
BD
ABD
BD
,
2
5
cos
4
BD
CBD
BD
,所以cos
cos
ABD
CBD
,
所以
ABD
CBD
,所以
,
90
OA
OC
AOB
BOC
．
又由余弦定理得
3 2
2
cos
cos
16
2
CAD
BAC
,所以
CAD
BAC
,
所以OB
OD
．故OA OB
OC OD
．
而
1
cos
0
I
OA OB
BOA
,
2
cos
0
I
OB OC
BOC
,
3
cos
0
I
OC OD
COD
,所以
3
1
2
I
I
I
．故选C．
15．(2017 年高考数学课标Ⅱ卷理科·第12 题) 已知ABC
是边长为2 的等边三角形，P 为平面ABC 内一
点，则
(
)
PA
PB
PC
的最小值是
( )
A．2
B．
3
2
C．
4
3
D．1
【答案】B
【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生
转化与化归思想和运算求解能力
【解析】解法一：建系法
连接OP ，
0, 3
OA
，
1,0
OB
，
1,0
OC
．
2
PC
PB
PO
，∴
,
, 3
PO PA
x
y
x
y
∴
2
2
2
2
3
3
3
2
4
PO PA
x
y
y
x
y
∴
3
4
PO PA
，∴
3
2
2
PA
PC
PB
PO PA
∴最小值为
3
2
解法二：均值法
∵
2
PC
PB
PO
，∴
2
PA
PC
PB
PO PA
由上图可知：OA
PA
PO
；两边平方可得
2
2
3
2
PA
PO
PA PO
∵
2
2
2
PA
PO
PA PO
，∴
3
2
2
PO PA
∴
3
2
2
PA
PC
PB
PO PA
，∴最小值为
3
2
解法三：配凑法
∵
2
PC
PB
PO
∴
2
2
2
2
3
2
2
2
2
PO
PA
PO
PA
PO
PA
AO
PA
PC
PB
PO PA
16．(2016 高考数学天津理科·第7 题) 已知
是边长为1 的等边三角形，点
分别是边
的中点，连接
并延长到点
，使得
，则
的值为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：
∴
，选B．
A
B
C
D
E
F
17．(2019·全国Ⅰ·理·第7 题) 已知非零向量
，
满足
，且
，则
与
的夹角为
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：
，所以
，
所以
．
18．(2023 年全国甲卷理科·第4 题) 已知向量
满足
，且
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：因为
,所以
,
即
,即
,所以
．
如图,设
,
由题知,
是等腰直角三角形,
AB 边上的高
,
所以
,
,
．
故选:D．
19．(2014 高考数学四川理科·第7 题) 平面向量
，且
与
的夹角
等于
与
的夹角，则
( )
A．-2
B．-1
C．1
D．2
【答案】D
解析：
因为
，
，所以
，又
所以
即
解析2：由几何意义知
为以
，
为邻边的菱形的对角线向量，又
故
20．(2023 年全国乙卷理科·第12 题) 已知
的半径为1，直线PA 与
相切于点A．直线PB 与
交
于B．C 两点，D 为BC 的中点，若
，则
的最大值为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：如图所示，
，则由题意可知:
，
由勾股定理可得
当点
位于直线
异侧时，设
，
则：
，则
当
时，
有最大值．
当点
位于直线
同侧时，设
，
则：
，则
当
时，
有最大值
．
综上可得，
的最大值为
．
故选：A．
二、填空题
1．(2020 年高考课标Ⅱ卷理科·第13 题) 已知单位向量
,
的夹角为45°，
与
垂直，则
k=__________．
【答案】
解析：由题意可得：
，
由向量垂直的充分必要条件可得：
，
即：
，解得：
．
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学
生的转化能力和计算求解能力．
2．(2020 年浙江省高考数学试卷·第17 题) 设
，
为单位向量，满足
，
，
，设
，
的夹角为
，则
的最小值为_______．
【答案】
解析：
，
，
，
．
3．(2022 年高考全国甲卷数学（理）·第13 题) 设向量
，
的夹角的余弦值为
，且
，
，则
_________．
【答案】
【解析】设
与
的夹角为
，因为
与
的夹角的余弦值为
，即
，
又
，
，所以
，
所以
．
故答案为：
．
30．(2021 高考北京·第13 题) 已知向量
在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边
长为1，则
________；
________．
【答案】①． 0 ②． 3
解析：以
交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：
则
，
，
，
．
故答案为：0；3．
5．(2019·天津·理·第14 题) 在四边形
中，
，点
在
线段
的延长线上，且
，则
．
【答案】答案：
解析：以
为坐标原点，
所在直线为
轴建立如图所示平面直角坐标系，
则
，因为
，所以
，
又
，可得
，又
，所以
，所以
，
．
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
12
10
8
6
4
2
2
4
6
8
10
12
E
C
B
D
A
6．(2018 年高考数学上海·第8 题) 在平面直角坐标系中，已知点
、
，
、
是
轴上的
两个动点，且
，则
的最小值为 ．
【答案】
解析：设
，则
，
，最小值为
．
解法2：
．
取
中点
，则
．显然
(当
关于原点对称)．
所以
．则
．
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
12
10
8
6
4
2
2
4
6
8
10
12
G
B
A
F
O
E
7．(2014 高考数学课标1 理科·第15 题) 已知A,B,C 是圆O 上的三点,若
1 (
)
2
AO
AB
AC
,则AB
与AC
的夹角为______．
【答案】
0
90
解析:∵
1 (
)
2
AO
AB
AC
,∴O 为线段BC 中点,故BC 为
O
的直径,
∴
0
90
BAC
,∴AB
与AC
的夹角为
0
90 ．
8．(2014 高考数学江苏·第12 题) 如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB =8 ，AD =5 ，
，⃗
AP⋅⃗BP =2，则⃗AB⋅⃗AD 的值是 ．
【答案】22
解析：解法一：(基底法)考虑将条件中涉及的
向量用基底
表示，而后实施计算．
，
．
则
．
因为
，则
，故
．
解法二：( 坐标法) 不妨以
点为坐标原点，
所在直线作为
轴建立平面直角坐标系，可设
，则
，
．
由
，得
，由
，得
，则
，
所求
．
9 ．(2015
高考数学天津理科· 第
14
题)
在等腰梯形
ABCD 中, 已知
/ /
,
2,
1,
60
AB
DC AB
BC
ABC
, 动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上, 且,
1
,
,
9
BE
BC DF
DC
则AE AF
的最小值为 ．
【答案】
29
18
解析：因为
1
,
9
DF
DC
1
2
DC
AB
，
1
1
9
1
9
9
9
18
CF
DF
DC
DC
DC
DC
AB
，
AE
AB
BE
AB
BC
，
1
9
1
9
18
18
AF
AB
BC
CF
AB
BC
AB
AB
BC
，
2
2
1
9
1
9
1
9
1
18
18
18
AE AF
AB
BC
AB
BC
AB
BC
AB BC
1
9
19
9
4
2 1 cos120
18
18
2
1
17
2
1
17
29
2
9
2
18
9
2
18
18
当且仅当
2
1
9
2
即
2
3
时AE AF
的最小值为
29
18 ．
B
A
D
C
E
F
P
C
D
B
A
A
B
C
D
E
F
10．(2015 高考数学上海理科·第14 题) 在锐角
中，
，
为
边上的一点，
与
面积分别为2 和4，过
作
于
，
于
，则
．
【答案】
解析：由题可知，
，
，
，
，所以
，
，
，化简可得
．
11．(2015 高考数学湖北理科·第11 题) 已知向量
，
，则
．
【答案】9
解析：因为
，
，
所以
2
2
2
(
) |
|
|
|
3
9
OA
OA
AB
OA
OA OB
OA
．
12．(2017 年高考数学天津理科·第13 题) 在
ABC
△
中,
60
A
∠
,
3
AB
,
2
AC
．若
2
BD
DC
,
(
)
AE
AC
AB
R
,且
4
AD AE
,则的值为___________．
【答案】
3
11
【解析】以点A 为坐标原点,以AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)．依题意易得
0,0 ,
3,0 ,
1, 3
A
B
C
,
则
可
得
2
5 2 2
,
3
3
3
AD
AB
BD
AB
BC
,
3, 3
AE
AC
AB
,于是有
5
11
4
3
2
5
3
3
AD AE
,解得
3
11
．
13．(2017 年高考数学江苏文理科·第13 题) 在平面直角坐标系xOy 中,
( 12,0), (0,6),
A
B
点P 在圆
2
2
50
O
x
y
：
上,若
20,
PA PB
≤
则点P 的横坐标的取值范围是______．
【答案】[ 5 2,1]
解析: 设
( , )
P x y , 由
20,
PA PB
≤
得2
5
0
x
y
≤, 由
2
2
2
5
0
50
x
y
x
y
, 可得
5
:
5
x
A
y
或
1
:
7
x
B
y
, 由
2
5
0
x
y
≤得P 点在圆左边弧上AB 上,由限制条件5 2
5 2
x
≤≤
,可得点P 横坐标的取值范围为[ 5 2,1]
．
14．(2016 高考数学浙江理科·第15 题) 已知向量
，
．若对任意单位向量
，均有
，则
的最大值是 ．
【答案】
解析：由于
对任意单位向量
恒成立，所以
，
，所以
，即
，故
的最大值是
．
15．(2016 高考数学上海理科·第12 题) 在平面直角坐标系中，已知
，
是曲线
上一个动点，则
的取值范围是 ．
【答案】
解析：由题意设
，
，则
，又
所以
．
所以
的范围为
．
16．(2016 高考数学江苏文理科·第13 题) 如图，在
中，
是
的中点，
是
上两个三等
分点，
，
，则
的值是 ．
F
E
D
C
B
A
【答案】
．
解析：令
，
，则
，
，
则
，
，
，
，
，
则
，
，
，
由
，
可得
，
，
因此
，因此
．
17．(2019·上海·第3 题) 已知向量
，
，则
与
的夹角为________.
【答案】
【解析】
.故
18．(2019·全国Ⅲ·理·第13 题) 已知
，
为单位向量，且
，若
，则
___________．
【答案】
．
【解析】因为
，
，所以
，
，所以
，所以
．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想
得出答案．
19．(2014 高考数学江西理科·第15 题) 已知单位向量
1e
与
2e
的夹角为,且
1
cos
3
,向量
1
2
3
2
a
e
e
与
1
2
3
b
e
e
的夹角为,则cos =_______
【答案】
2 2
3
分析:因为
2
2
1
1
1
9
4
2 3 2
9,
9 1 2 3 1
8,
9
2
9 1 1
8,
3
3
3
a
b
a b
所以
8
2 2
cos
.
3
3 2 2
20．(2021 年高考浙江卷·第17 题) 已知平面向量
满足
．记向
量
在
方向上的投影分别为x，y，
在
方向上的投影为z，则
的最小值为___________．
【答案】
解析:由题意，设
，则
，即
，
又向量
在
方向上
投影分别为x，y，所以
，
所以
在
方向上的投影
，
即
,
所以
，
当且仅当
即
时，等号成立，所以
的最小值为
．故答案为
．
21．(2021 年新高考全国Ⅱ卷·第15 题) 已知向量
，
，
，
_______．
【答案】
解析:由已知可得
，
因此，
．故答案为：
．
题型六：平面向量的模长问题
一、选择题
23．(2014 高考数学大纲理科·第4 题) 若向量
满足：
则
(
)
A．2
B．
C．1
D．
【答案】B
解析：因为
，所以
，即
，所以
，
又因为
，
所以
，故选B．
2．(2015 高考数学湖南理科·第8 题) 已知点
，
，
在圆
上运动，且
，若点
的
坐标为
，则
的最大值为
( )
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】B．
分析：由题意得，AC 为圆的直径，故可设A(m,n)，C(−m,−n)，B( x , y)，
∴
，∴
的最大值为圆
上的动点到
点(6,0)距离的最大值，从而易得当{x=−1¿¿¿¿时
的最大值为7 ，故选B．
3．(2018 年高考数学浙江卷·第9 题) 已知
是平面向量，
是单位向量，若非零向量
与
的夹角为
，向量
满足
，则
的最小值是
( )
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
解析：解法1：(配方法)由
得
，即
，因此
．
如图，
，
，
，则向量
的终点在以
为圆心，1 为半径的圆上，而
的终点
在射线
上，
，问题转化为圆上的点与射线上的点连线长度最小，显然其最小值为圆心
到射线的距离减去半径即为
．
O
E
F
A
B
P
D
H
O
E
F
A
B
P
D
O
E
F
A
B
P
D
解法2：(向量的直径圆式)由
，得
，所以
，
如图，
，则
，即终点
在以
为直径的圆上，以下同解法1．
解法3：(绝对值性质的应用)由
，得
，即
，
因此
，而由图形得
，
所以
，所以
的最小值为
．
解法4 ：( 坐标法) 设
起点均为原点，设
，
，则
的终点
在射线
上，由
，得
，即
，所以向量
的
终点在圆
上，
的最小值即为求圆上一点到射线
上一点的最小距离，
即为
．
O
A
B
x
y
二、填空题
1．(2023 年新课标全国Ⅱ卷·第13 题) 已知向量
，
满足
，
，则
______．
【答案】
解析：法一：因为
，即
，
则
，整理得
，
又因为
，即
，
则
，所以
．
法二：设
，则
，
由题意可得：
，则
，
整理得：
，即
．
故答案为：
．
2 ．(2019· 浙江· 第17 题) 已知正方形
的边长为
当每个
取遍
时，
，的最小值是 ，最大值是 ．
【答案】0，
【解析】正方形
的边长为1，可得
，
，
．
所以
，
由于
，2，3，4，5，
取遍
，取
，
，
，
时
得
，
，此时所求最小值为0；
由中
，
中的一个最大值为4，另一个为2，
可取
，
，
，
，
，此时所求最大值为
．
B
C
A
D
3．(2014 高考数学湖南理科·第16 题) 在平面直角坐标系中,
为原点,
,动点
满足
,则
的最大值是________．
【答案】
解析: 动点
的轨迹为以
为圆心的单位圆, 则设为
, 则
4．(2017 年高考数学浙江文理科·第15 题) 已知向量a ,b 满足
1,
2
a
b
,则
a + b
a
b 的最小值是
_____,最大值是____．
【答案】4 ,2 5
【解析】(几何法)本题的关键是要挖掘隐含条件:
和
a + b
a
b 是以
,
a
b 为邻边的平行四边形的两条对
角线,故
2
2
2
2
=2
=
（
）10
a + b
a
b
a
b
．如图,
和
a + b
a
b 是以
,
a
b 为邻边的平行四边形的两条
对角线, A 是以O 为圆心的单位圆上一动点, 构造2 个全等的平行四边形．所以
|
|
|
|
AB
AC
a + b
a
b
．易知当
, ,
A B C 三点共线时,|
|
|
|
AB
BC
最小, 此时
|
|
|
| |
| 4
AB
AC
BC
;当AO
BC
时,|
|
|
|
AB
AC
最大,此时|
|
|
|
AB
AC
2 |
| 2 5
AB
．
(坐标法)
设
(cos ,sin )
a =
,
(2,0)
b =
,则
(cos
2,sin )
a + b =
,
(cos
2,sin )
a
b =
,
所以
5
4cos ,
5
4cos
a + b
a
b
,
则
2
2
(
)
10
2 25 16cos
[16,20]
a + b
a
b
,所以4
2 5
a + b
a
b
．
(不等式法)
最小值:
| (
)
(
) | | 2 | 4
a + b
a
b
a + b
a
b
b
．(当且仅当
和
a + b
a
b 方向相反,即a
b
时,取“=”)．
最大值:
2
2
2
2 5
2
a + b
a
b
a + b
a
b
．
(当且仅当
5
a + b
a
b
,即
a
b 时,取“=”)．
(转化为二元最值问题)
令
,
,
x
y
a + b
a
b
原题转化为
2
2=10
x
y
,且,
[1,3]
x y
,
求
+
t
x y
的最值．
方法1(数形结合):直线
+
t
x y
与圆弧
2
2=10
,
[1,3]
x
y
x y
且
有交点,如图可得4
t
2 5
．
方法2( 判别式法):
2
2
(
) =10
x
t
x
化简得
2
2
2
2
10
0,
x
tx
t
得
2
2
4
8(
10)
0
t
t
, 所以
4
2 5
t
．当然,本题用基本不等式,柯西不等式等方法都能求最值．
5．(2017 年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第13 题) 已知向量a ,b 的夹角为60,
2
a
,
1
b
,则
2
a
b
__________．
【答案】2 3
【解析】法一:
2
2
2
|
2 |
|
|
4
4 |
|
4
4 2 1 cos60
4
12
a
b
a
a b
b
所以|
2 | 2 3
a
b
．
法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出
2
a
b
的模长是以2 为边长的菱形对角线的长度,则为2 3 ．
法三:坐标法
依题意,可设
2,0
a
,
1
3
,
2
2
b
,所以
2
2,0
1, 3
3, 3
a
b
所以
2
2
2
3
3
2 3
a
b
．
6．(2020 年高考课标Ⅰ卷理科·第14 题)设
为单位向量，且
，则
______________．
【答案】
【解析】因为
为单位向量，所以
所以
解得：
所以
故答案为：
题型七：平面向量的综合应用
一、多选题
1．(2021 年新高考Ⅰ卷·第10 题)已知
为坐标原点，点
，
，
，
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
解
析
:A
：
，
，
所
以
，
，故
，正确；
B：
，
，所以
，同理
，故
不一定相等，错误；
C：由题意得：
，
，正确；
D：由题意得：
，
，错误；
故选AC．
二、选择题
1．(2014 高考数学浙江理科·第8 题) 记f (x)=x
3+3|x−a|(a∈R).
，f ( x )
，设[−1,1]为平
面向量，则
( )
A．M ( a ) , m( a )
B．M ( a )−m( a )
C．b ∈R ,
D．[ f ( x )+b ]2≤4
【答案】D
解析：对于选项A，取
，则由图形可知，根据勾股定理，结论不成立；对于选项B，取，是非零
的相等向量，则不等式左边
，显然，不等式不成立；
对于选项C，取，是非零的相等向量，则不等式左边
=4
，而不
等式右边
2
，显然不成立．
由排除法可知，D 选项正确．故选：D．
三、填空题
1．(2019·江苏·第12 题)如图，在
中，
是
的中点，
在边
上，
，
与
交于
，
若
，则
的值是______.
【答案】
【解析】法1：
，
设
，则
，
因为
三点共线，
，所以
，所以
，
所以
，
故
，所以
.
法2：不妨设
，以
为原点，
，
为
轴正方向建系，
设
，
，
，则
，
则
，所以点
，
，所以
，所以
.
法3：极化恒等式+中线定理：
同解法一知：
，同理可得：
，取
中点
，
所以，
，
，
因为
，所以
.
由中线定理得，
，所以
，所以
.
2．(2014 高考数学安徽理科·第15 题)已知两个不相等的非零向量
，两组向量
,
,
,
,
和
,
,
,
,
均由2 个
和3 个
排列而成．记
，
表示
所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是___________(写出所有正确命题的编号)．
①S 有5 个不同的值
②若
，则
与
无关
③若
，则
与
无关
④若
，则
⑤若
，
，则
与
的夹角为
【答案】②④
解析：记
,
，
若A1与A2中有两个向量
对应，则
；
若A1与A2中有且只有一个向量
对应，则
，
若A1与A2中没有向量
对应，则
．
；
；
又因为
，所以
． 所以①说法S 有三个不同的值，说法错误；
对于②，
，当
时，
，故②正确；
又当
，
与
有关，故③说法错误；
当
时，
，故④正确；当
时，
，所以
，所以
，所以
，
故⑤说法错误，综上易知正确的是②④．
3．(2015 高考数学浙江理科·第15 题)已知
是空间单位向量，
，若空间向量
满足
，且对于任意
，
，则
，
，
．
【答案】，2 ，2√2．
解析：问题等价于
当且仅当x=x0 ，y= y0 时取到最小值1，两边平方即
|⃗b|+x2+ y2−4 x−5 y+xy 在x=x0 ，y= y0 时，取到最小值1，
，∴{x0+
y0−4
2
=0¿{y0−2=0¿¿¿¿
．
