第六章 平面向量初步单元复习
教学目标
1．理解向量的定义、表示方法，区分零向量、单位向量，掌握平行（共线）与相等
向量的概念；
2．熟练掌握向量的加减、数乘运算及坐标运算，牢记共线向量的坐标条件；
3．会用向量方法解决简单的平面几何问题与物理中的合成、分解问题。
教学重难点
重点：向量的概念与线性运算、坐标运算，共线向量的判定；
难点：向量运算的几何意义理解，几何问题向向量问题的转化。
知识点01 向量的概念
一、向量的概念及表示
1.定义:既有________又有________的量叫做向量.
2.表示:________（1）有向线段:具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素:起点、________、长
度.
（2）向量的表示：
①几何表示:用有向线段
表示,记作向量
.有向线段的长度
表示向量的________,有向线段
的方向表示向量的________.向量
的大小称为向量
的长度(或称________),记作
.
②字母表示:书写时用
表示,还可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如以
为起点,以
为终点的向量记作
.
3.两个特殊向量:
（1）零向量与非零向量:
长度为________的向量叫做零向量.印刷时用加粗的阿拉伯数字零表示,即0;书写时,写为
，长度不为0
的向量称为非零向量.
（2）单位向量:长度等于________个单位长度的向量,叫做单位向量.
二、平行向量与相等向量
1.平行向量（共线向量）:方向________或________的非零向量叫做平行向量,向量
平行,记作
.
规定:零向量与任意向量________,即对于任意向量
,都有
.
2.相等向量:长度________且方向________的向量叫做相等向量;向量
与
相等,记作
.
【即学即练】
1．设
是非零向量，则
是
成立的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
2．（多选）下列说法不正确的有（ ）
A．向量
就是
所在的直线平行于
所在的直线
B．相等向量是长度相等，方向相同的向量
C．零向量与任一向量平行
D．共线向量是在一条直线上的向量
知识点02 向量的加减、数乘运算
一、向量的加法
三角形法则：已知非零向量
,在平面内任取一点
,作
,再作向量
,则向量
叫
做
与
的和,记作
平行四边形法则：已知不共线的两个向量
,在平面内任取一点
,以同一点
为________的两个已
知向量
,以
为邻边作
,则
就是
与
的和
,
规定：零向量与任意向量
的和,都有
运算律：①________律：
；②________律：
二、向量的减法
1.相反向量
（1）定义:与向量
长度相等、方向________的向量,叫做
的相反向量,记作
,
与
互为相反向
量,
（2）性质：①
；②若
互为相反向量,则
；
③
的相反向量是________2.向量的减法________（1）向量的减法的定义:向量
加上
的相反向量,
叫做
与
的差,即
,求两个向量差的运算叫做向量的减法.
（2）运算法则:在平面内取一点O,作
,则
.
（3）几何意义
表示从向量
的终点________
的终点的向量.
（4）向量减法的两个重要结论:
①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终
点的向量；
②一个向量
等于它的终点相对于点
的位置向量
减去它的始点相对于点
的位置向量
或
简记“终点向量减去始点向量”.
三、向量的数乘运算
1.定义:规定实数
与向量
的________是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作
,它的长度和方
向规定如下:
①
;
②当
时，
的方向与
的方向________；当
时，
的方向与
的方向________；当
时，
2.运算律:设
为任意实数,则有①
；②
；
③
特别地,有
.
(3)向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量
以及任意实数
恒有
.
【即学即练】
3．“
”是“实数
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知O 为
内部一点，
，设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点03 平面向量的坐标及其运算
一、直线上向量的坐标及其运算
1．直线上向量的坐标
(1)定义：给定一条直线l 以及这条直线上一个单位向量
，由共线向量基本定理可知，对于直线l 上的
任意一个向量
，一定存在________的实数x，使得
，此时，
称为向量
的坐标．
(2)向量的模和方向与x 的关系
为单位向量)．
当
时，
的方向与
的方向________；
当
时，
是________；
当
时，
的方向与
的方向________．
在直线上给定了单位向量，则直线上的向量完全被其坐标确定．
(3)直线上向量的坐标：在直线l 上指定一点O 作为原点，以
的方向为正方向，
的模为单位长度建
立数轴，对于l 上的任意一个向量
，如果我们把它的始点________到原点O，那么
的终点对应的数就
是向量
的坐标．
2．直线上向量的运算与坐标的关系
如果直线上两个向量
的坐标分别为
（1）
的充要条件是________.
（2）
的坐标为________，
的坐标为________，
的坐标为________.
（3）设
是数轴上的两点，
是线段AB 的中点，则
二、平面向量的坐标及其运算
1．平面向量的坐标表示
（1）平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相________的向量.
（2）基底:在平面直角坐标系中,分别取与
轴、y 轴方向相同的两个单位向量
作为基底.
（3）坐标:对于平面内的任意一个向量
,有且仅有一对实数x,y,使得
，则有序数对
叫做向量
的坐标.
（4）坐标表示
.
（5）特殊向量的坐标:
2．平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示
设向量
则有下表
文字描述
符号表示
加法
两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的
和
减法
两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的
差
________
数乘
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来
向量的相应坐标
向量的坐标
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的
终点的坐标减去起点的坐标
已知
,则
________
模
________
3．平面向量共线的坐标表示
（1）条件:
,其中
；
（2）结论:当且仅当________时,向量
共线.
【即学即练】
5．已知向量
，若
与
同向共线，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．0
6．如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC 和OB 的交点P 的坐标.
知识点04 平面向量线性运算的应用
一、向量在几何中的应用
1.用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”.
①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.
②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题.
③把运算结果“翻译”成几何关系.
2.用向量证明平面几何问题的两种基本思路
（1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取________；②用基底表示相关向量；
③利用向量的________找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题.
（2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的________；②把相关向量化；
③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题.
二、向量在物理中的应用
（1）物理问题中常见的向量有力、速度、位移等.
（2）向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上.
（3）动量
是向量的数乘运算.
用向量解决物理问题的一般步骤
（1）问题的转化:把物理问题转化为数学问题.
（2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型.
（3）参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值.
（4）问题的答案:回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
【即学即练】
7．如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400 米，一艘船从河岸的A 地出发，向河对岸航行．已知船的
速度
的大小为
，水流速度
的大小为
，船的速度与水流速度的合速度为
，那
么当航程最短时，下列说法正确的是（ ）
A．船头方向与水流方向垂直
B．
C．
D．该船到达对岸所需时间为3 分钟
8．如图所示，分别在平行四边形
的对角线
的延长线和反向延长线上取点
和点
，使
.
试用向量方法证明：四边形
是平行四边形.
题型01 向量的概念与辨析
例1．（多选）下列叙述中正确的是（ ）
A．已知非零向量
与
且
，则
与
的方向相同或相反
B．若
，则
C．若
，
，则
D．对任一非零向量
，
是一个单位向量
变式1-1．（多选）关于向量
，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
变式1-2．设
都是非零向量，下列四个条件中，使
成立的充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
且
变式1-3．如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且
＝
，
＝
，
＝
.
（1）与
的长度相等、方向相反的向量有哪些？
（2）与
共线的向量有哪些？
（3）请一一列出与
，
，
.相等的向量．
题型02 向量的加、减、数乘运算
例2．在菱形
中，若
，则
．
变式2-1．（多选）下列各式中结果为零向量的为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-2．（1）化简
；
（2）若
，求向量
.
变式2-3．空间内有五点A，P，Q，S，T，则“
”是“Q 为
重心”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．既不充分也不必要条件
D．必要不充分条件
题型03 向量的线性表示
例3．在
中，
是线段
的中点，
是线段
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-1．设D 为
所在平面内一点，且满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-2．在平行四边形ABCD 中，点G 在AC 上，且满足
，若
，则
.
变式3-3．在梯形ABCD 中，
，
，
与
相交于点
，则下列结论错误的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型04 向量共线定理证明点共线问题
例4．已知平面向量
不共线，
，
，
，则（ ）
A．A，B，C 三点共线
B．A，B，D 三点共线
C．B，C，D 三点共线
D．A，C，D 三点共线
变式4-1．设
，
，
，
为平面四个不同点，它们满足
，则（ ）
A．
，
，
三点共线
B．
，
，
三点共线
C．
，
，
三点共线
D．
，
，
三点共线
变式4-2．已知向量
，
不共线，且
，
，
．
(1)若
，求
的值；
(2)若
，求证：
，
，
三点共线．
变式4-3．如图，在
中，
，
，点
是
的中点，点
在
上，且
，求证：
、
、
三点共线.
题型05 向量共线定理证明平行问题
例5．已知
、
、均为非零向量，其中的任意两个向量都不平行，且
与是平行向量，
与
是
平行向量，求证：
与
是平行向量．
变式5-1．设
，
为非零向量，则“
”是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
变式5-2．
是
所在平面上一点，满足
，则
的面积与
的面积的比
值为 .
变式5-3．已知三角形
中，点
在线段
上，且
，延长
到
，使
.设
，
.
（1）用
表示向量
，
；
（2）设向量
，求证：
，并求
的值
题型06 平面向量基本定理的理解
例6．如图，
为
中
边的中点，过点
的直线与
所在直线分别交于点
，满足
，若
，则
的值为 ．
变式6-1．已知点G 为
的重心，若
，则
（ ）
A．0
B．1
C．
D．3
变式6-2．（多选）设
，
是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，能作为基底的是（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
变式6-3．在平行四边形
中，
，
是线段DE 的中点，连接
交
于O，若
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
题型07 向量的坐标运算
例7．设点
，
，若点P 在直线AB 上，且
，则点P 的坐标为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
变式7-1．在平行四边形
中，
为对角线，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式7-2．（1）已知数轴上A，B 两点的坐标依次为
，
，则
对应的坐标为 ，
.
（2）已知
，则
的坐标是 .
变式7-3．如图，点
均在正方形网格的格点上.若
，则
.
题型08 坐标法解决向量共线问题
例8．已知
，且
三点共线，则
的最小值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
变式8-1．已知向量
，
，若
与
共线，则实数m=（ ）
A．-1
B．1
C．2
D．4
变式8-2．已知向量
，
，则“
”是“
与
共线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
变式8-3．已知
是平面内两个不共线的非零向量，
，
，
，且
三点共线．
(1)求实数
的值；
(2)若
，
，求
的坐标；
(3)已知点
，在（2）的条件下，若
四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点
的坐标．
题型09 向量在几何中的应用
例9．在四边形
中，
，设
.若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
变式9-1．设
是
的外心，点
满足
，则
是
的（ ）
A．内心
B．任意一点
C．垂心
D．重心
变式9-2．已知点O 是
内一点，
，则
.
变式9-3．如图，已知
是平行四边形
对角线的交点，过点
的两条直线分别交四边于
四
点，用向量证明四边形
是平行四边形．
题型10 向量在物理中的应用
例10．已知一个物体在三个力
的作用下处于静止状态，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式10-1．用两条成
角的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具重
，则每根绳子的拉力大小为
（ ）N
A．
B．
C．
D．
变式10-2．如图，一条河的两岸平行，河面宽度为1km.一艘轮船从河岸边的A 点出发，向河对岸航行.已
知轮船在静水中的速度
的大小为
，水流速度
的大小为
.设
，
的夹角为
，
当轮船的航程最短时，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式10-3．一条河两岸平行，河的宽度为
，一艘船从河岸边的
地出发，向河对岸航行．已知船的
速度
的大小为
，水流速度
的大小为
，若船的航程最短，则行驶完全程需要的
时间
为（ ）
A．
B．
C．
D．
一、单选题
1．已知
是两个不共线的向量，
，若A，B，C 三点共线，则实数k 的值为
（ ）
A．
B．
C．1
D．4
2．已知点G 为
的重心，若
，则
（ ）
A．0
B．1
C．
D．3
3．如图，在正六边形
中，
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在
中，
，P 是
上一点，若
，则实数的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，一条河两岸平行，河的宽度为
，一艘船从河岸边的
地出发，向河对岸航行．已知船在静
水中的速度
的大小为
，水流速度
的大小为
．设这艘船行驶方向与水流方向
的夹角为
，行驶完全程需要的时间为
，若船的航程最短，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．在平行四边形
中，
，
分别是
，
的中点，点
在线段
上.若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．在平行四边形
中，点E、F 分别是
边的中点，
分别与
交于R、T 两点，
，
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
8．下列能化简为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知
是不重合的三点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．与
共线的单位向量是
C．若
，则
共线
D．若
，则
10．已知在等腰梯形ABCD 中，
，
，点P，Q 分别是AB，BC 所在直线上的动
点，且
，
，连接PQ 并延长与DC 的延长线交于点M，则（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若ADMP 为平行四边形，则
D．若
，则
三、填空题
11．已知向量
，
，则
．
12．已知点
在线段
上，且
，则
；
（
为直线
外一点）．
13．已知
为
的外心，
，
，
．若
，则
．
四、解答题
14．设
，
是两个不共线的向量，已知
，
，
．
(1)求证：
，
，
三点共线；
(2)若
，且
，求实数
的值．
15．已知向量
，
.
(1)若向量
，求实数
的值；
(2)若向量
满足
，求
的值.
16．在
中，点
在线段
上，满足
，过线段
中点
的直线与边
，
分别交于点
，设
，
．
(1)用
表示
；
(2)设
的面积为
，四边形
的面积为
，求
的最小值．
