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第二章 等式与不等式 单元题型大总结
教学目标
（1）掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题．
（2）进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小．
（3）掌握一元二次不等式及其根与系数的关系、
（4）掌握和理解基本不等式
教学重难点
教学重点：两个实数大小关系的基本事实的理解和运用，掌握不等式性质及其应用，
一元二次不等式解法，基本不等式
教学难点：从不等关系中抽象出不等式与不等式性质的应用，一元二次不等式含参数
解法，基本不等式的灵活应用
知识点01 一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
一元二次方程
有两个根分别是x1, x2，则：
，
，则
所以，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系
如果ax 2+bx +c=0(a≠0)的两个根分别为x1, x2，则： ，
这一关系式也被称为
【即学即练】已知二次函数
的零点为
和3，则
（ ）
A．
B．
C．7
D．
知识点02 不等式性质
性质1(可加性) 如果
，那么
性质2(可乘性) 如果
， ，那么
.
性质3(可乘性) 如果
， ，那么
.
性质4(传递性) 如果
，
，那么
.
注：如果性质4 中的不等式带有等号，那么结论是否仍然成立？
(1)如果性质4 中的两个不等式只有一个带有等号，那么等号是传递不过去的．例如：如果
且
，那么
；如果
且
，那么
.
(2)如果两个不等式都带有等号，那么有若
且
，则
，其中
时必有
且
.
推论1(移项法则) 如果
，那么
.
不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．
推论2(同向可加性) 如果
，
，那么
我们把
和
(或
和
)这类不等号 的不等式，称为
．
推论3(同向同正可乘性) 如果
，
，那么
推论4(可乘方性) 如果
，那么 (n∈N，n>1).
推论5(可开方性) 如果
，那么
.
注：(1)推论2 可以推广为更一般的结论：有限个 ，所得到的不等式与原不等
式 ．推论2 是 法则的依据．
(2) 但 ，即由
，
，可以得到
，但不能得到
.需要特别注意的是，由
，
，不能得到
，但可以得到
.这是因为若
，则
，又
，所以
【即学即练】已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点03 绝对值不等式
（1）绝对值不等式的概念
一般地，含有 的 称为 ．
注：①数轴上表示数
的点与原点的距离称为数
的绝对值，记作
②绝对值不等式
几何意义为数轴上与原点的距离大于
的点．
（2）绝对值不等式的解集
①当
时，关于
的不等式
的解为 ，
因此解集为
②关于
的不等式
的解为 ，因此解集为
.
【即学即练】不等式
的解集是 .
知识点04 一元二次不等式的解
1 定义：使某一个一元二次不等式成立的
的值，叫作这个 ，其解的集合，称为
这个一元二次不等式的解集.
将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的 .
2、一元二次不等式的解法
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
（2）写出相应的方程
，计算判别式Δ ：
①
时，求出两根
，且
（注意灵活运用十字相乘法）；
②
时，求根x1=x2=−b
2a ；
③
时，方程无解
（3）根据不等式，写出解集.
【即学即练】不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点05 二次函数、一元二次方程，一元二次不等式关系
对于一元二次方程
的两根为
且
，设Δ=b2−4ac ，它的解按照
Δ>0 ，Δ=0 ，Δ<0 可分三种情况，相应地，二次函数
的图象与
轴的位置关
系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式
或
的解集.
判别式Δ=b2−4ac
二次函数
(
的图象
一元二次方程
(
)的根
有
的实数根
，
(
)
有
的实数根
实数根
(
)的解集
(
)的解集
【即学即练】已知关于x 的不等式
的解集为
，则关于x 的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点06 分式不等式
1、定义：
与分式方程类似， 中含有 的不等式称为
，如：形如
或
（其中
,
为整式且
的不等式称为分式不等式。
2、分式不等式的解法
①移项化零：将分式不等式右边化为0：
②
③
④
⑤
【即学即练】不等式
的解集为（ ）
A．
或
B．
C．
或
D．
知识点07 均值不等式
均值不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
均值不等式:
,
,（当且仅当a=b 时，取“=”号）其中
叫做正数
，
的几何平均数；
叫做正数
，
的算数平均数．
如果
a,b∈R ，有a2+b2≥2ab （当且仅当a=b 时，取“=”号）
特别的，如果
,用
分别代替
,代入a2+b2≥2ab ，可得：
，当且仅
当a=b 时，“=”号成立.
【即学即练】已知
，且
，求
的最小值．
题型01 一元二次根与系数的关系的应用
【典例1】已知关于x 的一元二次方程
．若方程的两根为
，且满足
，则m 的值为
【变式1】设常数
，已知关于
的一元二次方程
的两个实根分别为
、
，
若
，则
．
【变式2】已知
是关于
的方程
的两实根，
是关于
的方程
的两实根，则
.
【变式3】方程
的两个实数根为
，若
，则实数
．
【变式4】已知一元二次方程
的两个实根分别为
、
，且
，求实数
的值.
题型02 作差法比较大小
【典例1】比较下列各组中两式的大小：
(1)设
，
，比较
，
大小；
(2)当
时，比较
与
的值的大小．
【变式1】设
为实数，试比较以下两个式子的大小
(1)
与
(2)
与
.
【变式2】设
为实数，比较
与
的值的大小；
【变式3】（1）比较下列各组中两个代数式的大小：
（i）
；
（ii）
与
．
【变式4】（1）已知
，比较
与
的大小；
（2）已知
，比较
与
的大小；
题型03 根据不等式求取值范围
【典例1】已知实数
满足
，
，则
的取值范围是 .
【变式1】已知
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知
，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．3
D．4
【变式3】已知实数
，
满足
，
，则
范围是
【变式4】已知实数
满足
且
，则
的取值范围是 ．
题型04 一元二次不等式（不含参）
【典例1】不等式
的解集为 ．
【变式1】不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【变式2】不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【变式3】不等式
的解集为（ ）
A．
或
B．
C．
或
D．
【变式4】不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型05 一元二次不等式（含参）
【典例1】求关于
的不等式的解集：
.
【变式1】（多选）关于x 的不等式
的解集可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（多选）对于给定实数
，关于
的一元二次不等式
的解集可能是（ ）
A．
B．
C．
D．R
【变式3】若
，则关于
的不等式
的解集为 .
【变式4】解关于x 的不等式
.
题型06 分式不等式
【典例1】解关于
的不等式：
.
【变式1】（多选）
成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（多选）关于x 的不等式
的解集可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】不等式
的解集为 ．
【变式4】解关于
的不等式：
.
题型07 含有一个绝对值的不等式
【典例1】已知不等式
成立的一个必要不充分条件是
，则实数m 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】下面是
的解集的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【变式3】不等式
的解集是 ．
【变式4】不等式
的解集为： .（结果用集合或区间表示）
题型08 含有两个绝对值的不等式
【典例1】使不等式
中等号成立的x 的取值范围是 .
【变式1】请写出一个满足不等式
的
值： .
【变式2】请写出不等式
的一个解： ．
【变式3】解不等式
.
题型09 基本不等式中“1”的妙用
【典例1】若正实数x、y 满足
，则
的最小值是 .
【变式1】已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．5
【变式2】已知正数
、
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知
，
，且
，若
恒成立，则实数
的取值范围是
.
【变式4】已知
，
，且
，则
的最小值为 .
题型10 基本不等式（凑配法）
【典例1】已知
，求
的最大值；
【变式1】已知
，
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．
D．5
【变式2】已知
，则函数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】函数
的最小值是（ ）
A．7
B．1
C．5
D．
【变式4】已知
，则
的最小值为 ．
题型11 基本不等式（消元法）
【典例1】已知正实数x，y 满足
，则
的最大值为 ．
【变式1】已知
，则
的最小值是（ ）
A．0
B．
C．
D．1
【变式2】已知
，且
，则
的最小值是（ ）
A．
B．5
C．
D．7
【变式3】已知
，
，
，则
（ ）
A．有最大值
B．有最小值
C．有最大值
D．有最小值
【变式4】已知
，满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型12 基本不等式（换元法）
【典例1】已知
且
.
(1)求
的最小值
(2)求
的最小值
(3)求
的最小值
【变式1】若正实数x，y 满足
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】若正实数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式3】（多选）已知正实数
，
满足
，则（ ）
A．
的最小值为3
B．
的最小值为6
C．
的最小值为6
D．
的最小值为9
【变式4】已知
，
，
，则
的最小值为 .
题型13 基本不等式（商式）
【典例1】求下列函数的最小值
（1）
；
（2）
；
（3）
.
【变式1】已知
，则
有（ ）
A．最大值
B．最小值
C．最大值3
D．最小值3
【变式2】已知
，
的最小值为 .
【变式3】函数
的最小值为 .
1．若关于
的不等式
的解集为非空集合
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若关于
的不等式
的解集为
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知
，则
的最小值为（ ）
A．5
B．6
C．
D．
5．若不等式
对任意实数
均成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
或
C．
D．
6．已知
，且
，则
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．实数
，
满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知
，
均为正数，且
，则
的最大值为（ ）
A．3
B．
C．
D．
9．（多选）已知
，
，则下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（多选）已知正数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知正数
，
满足
，则
的最小值是 .
12．已知关于
的不等式
的解是
，则关于
的不等式
的解为 ．
13．求下列各题的最值．
(1)已知
，求
的最小值；
(2)设
，求函数
的最大值．
14．已知关于x 的不等式
，
(1)若
的解集为
，求实数a，b 的值；
(2)若
求关于x 的不等式
的解集．
