文档文本内容
第05 讲 旋转体
课程标准
学习目标
1.认识圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合
体的结构特征，能运用这些特征描述现实
生活中简单物体的结构．
2．知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积的
计算公式，能用公式解决简单的实际问
题．
1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义；
2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
3.能够根据圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征识别和
区分几何体.
4.会作旋转体的轴截面，并利用轴截面解决问题.
知识点01 旋转体
1、旋转体的定义：由一个平面图形绕一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体。
2、旋转体的相关概念
（1）轴：旋转轴叫做旋转体的轴。
（2）高：在轴上的边（或它的长度）。
（3）底面：垂直于轴的边旋转而成的曲面。
（4）侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面。
（5）母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边。
（6）轴截面：通过轴的平面所得到的截面。
【即学即练1】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图所示的立体图形可由平面图形 绕轴旋转而成
（填序号）．
知识点02 圆柱、圆锥、圆台
1、圆柱的结构特征
定义
以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所
围成的几何体
图示及相关概念
轴：旋转轴叫做圆柱的轴
高：在轴上的边(或它的长度)
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
2、圆锥的结构特征
定义
以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周
而形成的曲面所围成的几何体
图示及相关概念
轴：旋转轴叫做圆锥的轴
高：在轴上的边(或它的长度)
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
3、圆台的结构特征
定义
以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一
周而形成的曲面所围成的几何体
图示及相关概念
轴：旋转轴叫做圆台的轴
高：在轴上的边(或它的长度)
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
4、圆柱、圆柱、圆台之间的关系
圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，事实上，当底面发生变化时，三者之间可以相互转化。
将圆台的上底面慢慢扩大，当与下底面相等时，转化为圆柱；
将圆台的上底面慢慢缩小，当缩小为一点（圆心）时，转化为圆锥。如下图所示。
【即学即练2】（24-25 高二·全国·课后作业）下列命题中，错误的命题个数是（ ）
①过圆锥顶点的截面是等腰三角形；
②以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的几何体是圆锥；
③以等腰梯形的腰为旋转轴，旋转所得的几何体是圆台.
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．0 个
知识点03 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积
1、定义：旋转体侧面的面积称为旋转体的侧面积，侧面积与底面积之和称为旋转体的表面积(或全面积)
2、侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S 圆柱侧＝2πrl
S 圆锥侧＝πrl
S 圆台侧＝π(r1＋r2)l
表面积公式
S 圆柱＝2πr(r＋l)
S 圆锥＝πr(r＋l)
S 圆台＝π(r1
2＋r2
2＋r1l＋r2l)
说明：r 为圆柱、圆锥的底面半径，r1，r2分别为圆台的上、下底面半径，l 为母线长.
【即学即练3】（2025·广东·高一专题）已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是
等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点04 球
1、球的结构特征
球面及球的定义
球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面；球面围成
的几何体，称为球．球面也可以看成：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集
合
图示及相关概念
球心：形成球面的半圆的圆心
半径：连接球面上一点和球心的线段
直径：连接球面上两点且通过球心的线段
大圆与小圆：球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大
圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆
2、球的截面的性质
（1）球的轴截面（过球心的截面）是将球的问题（立体几何问题）转化为平面问题（圆的问题）的关键，
因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题．
（2）用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质：
①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；
②球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 满足关系d＝.
3、球的表面积：如果球的半径为R，那么球的表面积为S = 4 π R
2，即球的表面积等于它的大圆面积的4
倍。
【即学即练4】（24-25 高二·上海·课堂例题）若两球表面积之差为48π，大圆周长和为12π，则两球的半径
为（ ）
A．2，4；
B．2π，4π；
C．6，4；
D．6π，4π．
知识点05 简单组合体
1．简单组合体
由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．
2．简单组合体的构成形式
有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成
的．
【即学即练5】（24-25 高一·陕西榆林·期末）如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组
成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型01 旋转体的判断
【典例1】（24-25 高一下·全国·课前预习）如图所示的组合体，则由下列所示的哪个三角形绕直线l 旋转一
周可以得到（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一下·全国·课后作业）下列几何体中是旋转体的是（ ）
①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．
A．①和⑤
B．①和②
C．③和④
D．①和④
【变式2】（23-24 高一下·青海西宁·期中）菱形
绕对角线
所在直线旋转一周所得到的几何体为
（ ）
A．由两个圆台组成
B．由一个圆锥和一个圆台组成
C．由两个圆锥组成
D．由两个棱台组成
【变式3】（2025 高一·全国·专题练习）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几
何体包括（ ）
A．一个圆台、两个圆锥
B．两个圆柱、一个圆锥
C．两个圆台、一个圆柱
D．一个圆柱、两个圆锥
题型02 旋转体的结构特征
【典例2】（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（ ）．
A．以直角三角形的一条边为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥
B．以直角梯形的一腰为轴旋转一周形成的旋转体是圆台
C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面
D．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径大于圆锥的高
【变式1】（24-25 高一下·湖北十堰·期中）下列说法：
①圆柱的母线与它的轴可以不平行
②圆锥的顶点，圆锥底面圆周上任一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形
③在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
④圆柱的任意两条母线所在的直线互相平行
其中正确的是（ ）
A．①②
B．②④
C．③④
D．①③
【变式2】（23-24 高一下·河南濮阳·阶段练习）下列说法中错误的是（ ）
A．棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形
B．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台
C．直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
D．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线
【变式3】（23-24 高二上·上海奉贤·期中）下列命题正确的是（ ）
A．以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥
B．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台
C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面
D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径
【变式4】（24-25 高一上·陕西榆林·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．通过圆台侧面上一点可以做出无数条母线
B．圆柱的上底面与下底面互相平行
C．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周得到的几何体一定是圆锥
D．圆旋转一周得到的几何体一定是球
题型03 旋转体的面积问题
【典例3】（24-25 高三上·浙江·期末）下列四个几何体中，表面积与其他三个不同的是（ ）
A．底面半径
母线
的圆锥
B．底面半径
母线
的圆柱
C．半径
的球
D．上、下底面半径分别为
母线
的圆台
【变式1】（24-25 高二上·辽宁朝阳·期末）已知圆柱的底面半径
，母线长l 是底面直径的2 倍，则该
圆柱的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·四川自贡·二模）已知圆锥的母线长是底面半径的2 倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比
值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【变式3】（24-25 高三下·重庆·阶段练习）已知圆台
上下底面圆的半径分别为1，3，母线长为4，则
该圆台的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（2025·山东济南·一模）已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为4π，则圆台上下底面面
积之差的绝对值为（ ）
A．π
B．2π
C．4π
D．8π
题型04 组合体的结构特征与计算
【典例4】（23-24 高一下·贵州六盘水·期中）在直角梯形ABCD 中，
，
，且
，
，
.在梯形ABCD 内，挖去一个以A 为圆心，以2 为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影
部分以AB 所在直线为轴，将图中阴影部分旋转一周形成的旋转体的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高一下·广东韶关·期末）以斜边长为2 的等腰直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，将
该三角形旋转一周所得几何体的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·海南海口·期末）陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一
个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1 是一种木陀螺，其直观图如图2 所示，
为圆锥的顶点，
，
分别为圆柱上、下底面圆的圆心，若圆锥的底面周长为
，高为3，圆柱的母线长为4，则该几何体的
表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高二上·四川乐山·期中）如图，正方形ABCD 的边长为1，
所对的圆心角∠CDE＝
90°，将图形ABCE 绕AE 所在直线旋转一周，形成的几何体的表面积为 .
【变式4】（23-24 高一下·甘肃临夏·期末）一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示(单位：cm)，
则此几何体的表面积为 cm2．
题型05 球的结构特征
【典例5】（24-25 高二上·上海·单元测试）给出下列命题，其中真命题的个数是（ ）
①球面上四个不同的点一定不在同一平面上；
②球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于截面；
③一个平面截球，截面是一个圆．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【变式1】（23-24 高二上·四川乐山·期末）一个几何体，它的轴截面一定是圆面，则这个几何体是（ ）
A．圆柱
B．圆锥
C．圆台
D．球
【变式2】（24-25 高二下·甘肃酒泉·期末）以下说法正确的是（ ）
A．半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转所成的曲面叫球；
B．球的大圆的半径等于球的半径；
C．球面和球是同一个概念；
D．经过球面上不同的两点只能做一个最大的圆.
【变式3】（2025 高一下·全国·专题练习）给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母
线的截面是一个矩形面；③夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体；④过球面上任意两点只能作
一个以球心为圆心的圆.其中说法正确的是 （填序号）.
【变式4】（2025 高一·江苏·专题练习）给出以下说法：
①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；
②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；
③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；
④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形．
其中正确的序号是 ．
题型06 球中的截面问题
【典例6】（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，桌面上放置着两个底面半径和高都是
的几何体，左边是圆
柱挖去一个倒立的圆锥（以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点）剩余的部分，右边是半球，用平行
于桌面的平面截这两个几何体，截得左边几何体的截面面积为
，截得半球的截面面积为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
与
的大小关系不确定
【变式1】（2025 高三·全国·专题练习）半径为
cm 的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为
cm2，
cm2，则这两个平行平面的距离为（ ）cm.
A．2
B．14
C．2 或14
D．6 或8
【变式2】（2025 高一·全国·专题练习）正方体
的棱长为2，平面
截正方体内切球所
得的截面面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2025·山西太原·一模）已知圆台的上、下底面的半径分别为1 和3，球
与该圆台的上、下底
面及其侧面都相切，则球
的表面积为 ．
【变式4】（24-25 高二下·上海宝山·阶段练习）已知球
的半径为5，球心到平面
的距离为4，则球
被
平面
截得的截面面积为 ．
题型07 旋转体的表面最短距离
【典例7】（2025 高三·全国·专题练习）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台
，
在轴截面
中，
，且
，则一只小虫从点
沿着该圆台的侧面爬行到点
所经过的最短路程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高二上·江西景德镇·阶段练习）圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为6.已
知
为该圆台某条母线的中点，若一质点从点
出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点
，则该质
点运动的最短路径长为（ ）
A．9
B．6
C．
D．
【变式2】（24-25 高二上·上海宝山·期末）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10 公
里，母线长为40 公里，
是母线
上一点，且
公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从
绕
山一周到
的观光铁路.这条铁路从
出发后首先上坡，随后下坡，则上坡段铁路的长度为
公里.
【变式3】（2024 高三·全国·专题练习）圆锥的底面半径为
，母线长
，一只蚂蚁自底面圆周上一
点
沿圆锥表面爬到过母线
的轴截面上另一条母线
的中点
，问这只蚂蚁爬行的最短距离为 .
【变式4】（24-25 高二下·上海浦东新·开学考试）已知圆柱体底面圆的半径为
，高为2
，
、
分别是两底面的直径，
、
是母线.若一只小虫从A 点出发，从侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最
短路线的长度是
.（结果保留根式）.
一、单选题
1．（2025 高三上·广西·学业考试）如图、以矩形
的边
所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的
面所围成的几何体是（ ）
A．圆锥
B．圆台
C．圆柱
D．球
2．（24-25 高一下·河北张家口·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体
B．圆锥的顶点､圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形
C．用一平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
D．过球上任意两点，有且仅有一个大圆
3．（23-24 高一下·山东日照·期末）已知圆锥的侧面积为
，且它的侧面展开图为半圆，则底面半径为
（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
4．（23-24 高一下·江苏连云港·期中）已知圆台的上下底面圆的半径分别为2 和5，高为4，则这个圆台的
母线长为（ ）
A．3
B．
C．5
D．
5．（2025·重庆·模拟预测）已知
，
，
是球
的球面上的三个点，且
，球心
到
平面
的距离为1，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（23-24 高一下·安徽合肥·期中）以边长为2 的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转
一周所得几何体的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（20-21 高一下·全国·课后作业）图中的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面
圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ）
A．①②
B．①③
C．①④
D．①⑤
8．（24-25 高三下·湖南·开学考试）已知球与圆台的上下底面和侧面都相切，若圆台的母线长为6，下底面
半径是上底面半径的2 倍，则球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（24-25 高一下·全国·课后作业）下列结论中正确的是（ ）
A．半圆弧以其直径所在的直线为轴旋转一周所形成的曲面叫作球
B．直角三角形以一条直角边所在的直线为轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥
C．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
D．圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台
10．（23-24 高一下·福建福州·期末）圆台的轴截面如图所示，其上、下底面的半径分别为
，
，
母线
长为
，点
为母线
的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．圆台的侧面积为
B．
与
所成角为
C．圆台外接球的半径为
D．在圆台的侧面上，从点
到点
的最短路径的长度为
11．（24-25 高三上·湖南·阶段练习）已知圆锥
的侧面积为
，且母线长为底面半径的3 倍，若线段
为底面圆
的一条直径，
为线段
的中点，
为圆锥底面内一动点，且
，则（ ）
A．圆锥
的高为
B．一质点从点
出发沿圆锥
的侧面运动到点
的路径最短为
C．与圆锥
的侧面和底面均相切，且球心在线段
上的球的半径为
D．动点
的轨迹长度为
三、填空题
12．（24-25 高二下·上海·阶段练习）将一斜边长为2 的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋
转一周，所形成的几何体的侧面积为 ．
13．（2024 高一下·全国·专题练习）把一个圆锥截成圆台，已知圆台上、下底面的半径之比为
，母线长
为9，则圆锥的母线长是 ．
14．（24-25 高二上·上海·期末）已知
，
，
是表面积为
的球
的球面上的三个点，且
，则球心
到平面
的距离为 ．
四、解答题
15．（23-24 高二·上海·课堂例题）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为
，母线
（原圆锥母线在圆台中的部分）长为
．求原圆锥的母线长．
16．（23-24 高三上·河北张家口·阶段练习）已知一圆锥的母线长为
，底面半径为
．
(1)求圆锥的高及体积；
(2)若圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的半径．
17．（23-24 高一下·广东佛山·阶段练习）
中，已知
，
，
，分别以三角形的一
边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出该几何体的结构特征，并求其表面积．
18．（24-25 高一下·江苏无锡·期中）如图，圆台的上、下底面圆心分别为
，
，上底面半径
， 下底面半径
，母线长
，从圆台母线
的中点
拉一条绳子绕
圆台侧面一周转到点
，求：
(1)求圆台的侧面积和体积；
(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．
19．（23-24 高一下·重庆·期中）如图，
是圆柱的底面直径，
是圆柱的母线且
，点
是
圆柱底面圆周上的点．
(1)求圆柱的侧面积和体积；
(2)若
，
是
的中点，点
在线段
上，求
的最小值．
