文档文本内容
第04 讲 两角和与差的余弦
课程标准
学习目标
1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两
角差余弦公式的意义。
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余
弦公式，了解它们的内在联系。
3.能运用上述公式进行简单的恒等变换。
1.通过单位圆及向量的数量积，证明两角差的余弦公
式并熟记；
2.通过诱导公式的应用，推导两角和的余弦公式并熟
记；
3.通过公式的推导记忆，能够熟练运用公式解决三角
函数求值问题。
知识点01 两角差的余弦公式
1、公式与简记：
，简记为
；
2、公式理解：
（1）公式中的
，
是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合；
（2）
一般不成立，但在特殊情况下也可能成立。
如：
，
时，
.
（3）要掌握公式的逆用：如
【即学即练1】（24-25 高一下·全国·课堂例题）
知识点02 两角和的余弦公式
1、公式与简记：
，简记为
；
2、公式理解记忆：
（1）两角和的余弦公式中
，
也是任意角；
（2）理顺公式间的联系：
；
（3）注意公式的结构特征和符号规律：对公式
，
，用口诀“余余正正号相反”记忆公
式。
【即学即练2】（24-25 高一·河北衡水·期中）若
为锐角，且
，则
．
题型01 逆用公式化简求值
【典例1】（24-25 高一上·天津南开·期末）
的值为( )
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高一下·山东东营·期末）
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【变式2】（2024·山东·一模）计算：
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2025 高二·云南·学业考试）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】 （24-25 高一上·黑龙江绥化·期末）
（ ）
A．
B．0
C．
D．
【变式5】（24-25 高一上·全国·课后作业）
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型02 求非特殊角的余弦值
【典例2】（24-25 高一下·全国·课后作业）cos 255°的值是 （ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2025 高三·全国·专题练习）计算
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高一下·江苏苏州·阶段练习）求值：
.
【变式3】（24-25 高一下·上海·课后作业）求值：
．
题型03 给值求值
【典例3】（24-25 高一下·辽宁·期中）已知
，
，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一·全国·课后作业）在
中，若
，
，则
等于
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·河北·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知
为锐角，
为第三象限角，且
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（24-25 高一上·陕西榆林·期末）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5】（24-25 高一上·上海·随堂练习）
，
，
，
，则
.
题型04 给值求角
【典例4】（2024 高三·全国·专题练习）若
，且
，
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【变式1】（24-25 高一下·全国·课堂例题）已知α，β 为锐角，
，则
的值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高三上·河北·期中）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高三上·安徽宣城·期末）
中，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（24-25 高三上·江苏泰州·阶段练习）已知锐角
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5】（24-25 高一上·湖北武汉·阶段练习）若
，
，且
，
，则
；
题型05 余弦公式的灵活运用
【典例5】（2024·全国·模拟预测）已知
，
，
满足
，且
，
，则
的值为（ ）
A．－2
B．
C．
D．2
【变式1】（24-25 高三上·湖北·期中）已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高三上·江苏南京·开学考试）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2024·四川·模拟预测）已知
，
，
，若
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（23-24 高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知
，
则
.
一、单选题
1．（23-24 高一下·江苏镇江·期中）
（ ）
A．1
B．
C．
D．-1
2．（24-25 高三上·贵州黔南·期末）已知
是以
轴的非负半轴为始边的角，终边与以坐标原点
为圆心的单位圆分别交于
两点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·陕西西安·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025 高三·全国·专题练习）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
或
5．（24-25 高二上·云南玉溪·期末）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高三下·云南昆明·开学考试）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高一上·安徽铜陵·期末）已知
，
都是锐角，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（24-25 高一上·全国·课后作业）若
，
，并且
均为锐角，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（24-25 高一·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（ ）
A．存在
，
的值，使
B．不存在无穷多个
，
的值，使
C．对于任意的
，
，都有
D．不存在
，
的值，使
10．（24-25 高一·全国·课后作业）若
∈[0，2π]，sin
sin
cos
cos
0，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（24-25 高一·全国·课后作业）已知
，
，
，
，
，则
下列说法正确的是
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．（24-25 高一上·吉林长春·期末）已知
，
是第三象限角，则
的值是 ．
13．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知
，
，则
.
14．（23-24 高一上·江苏无锡·阶段练习）在平面直角坐标系
中，角
为第四象限角，角
的终边与单
位圆O 交于点
，若
，则
．
