文档文本内容
第01 讲 正弦定理
课程标准
学习目标
1．结合实例，了解已知两边和夹角的三角
形的面积公式的推理过程，掌握三角形面
积公式的应用；
2．了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定
理及其变形；
3．探索三角形边长与角度的关系，掌握正
弦定理，能用正弦定理解决简单的解三角
形问题。
1．通过对正弦定理的推导及应用正弦定理判断三角形
的形状，培养逻辑推理的核心素养；
2．借助利用正弦定理求解三角形的边长或角的大小的
学习，培养数学运算的核心素养。
知识点01 三角形的面积公式
1、三角形面积公式：在
中，三个内角
，
，
所对的边分别为
，
，
，
的面积为
S，则
，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值
乘积的一半。
2、其他面积公式
在
中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边BC，CA，AB边上的高分别记作ℎa，ℎb，
ℎc，r为内切圆半径，R为外接圆半径，O为内切圆心。
（1）S = 1
2 aℎa=bℎb=cℎc （2）S = 1
2
(a+b+c)∙r （3）S = a+b+c
4 R
【即学即练1】（23-24 高一下·黑龙江·期末）在
中，已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】B
【分析】利用三角形面积公式代入计算可得结果.
【详解】由三角形面积公式可得
.
故选：B
知识点02 正弦定理
1、正弦定理的描述
（1）文字语言：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等；
（2）符号语言：
（2
为
外接圆直径）
【解读】正弦定理的特点
（1）适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
（2）结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
（3）刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互
化．
2、正弦定理的推广及常用变形公式
在
中，若内角
，
，
所对的边分别为
，
，
，其外接圆半径为
，则
（1）
，
，
；
（2）
；
（3）
（比例性质）；
（4）
，
，
（可以实现边到角的转化）；
（5）
，
，
（可以实现角到边的转化）。
3、三角形中的隐含条件
在
中，已知内角
，
，
所对的边分别为
，
，
.
（1）
，
，
，
；
.
（2）
（大边对大角）；
.
（3）
，
；
；
（4）若三角形为锐角三角形，
【即学即练2】（24-25 高一下·全国·课后作业）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．下
列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】直接由正弦定理即可求解.
【详解】由正弦定理
可得
，对比选项可知只有B 正确．
故选：B．
知识点03 解三角形
1、三角形的元素：把三角形的三个角与三条边都称为三角形的元素。
2、解三角形的定义：己知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形。
3、利用正弦定理解三角形的类型
（1）已知两角一边，解三角形，有且只有一解；
（2）已知两边及其中一边的对角，解三角形，它可能有两解、一解或无解。
【即学即练3】（24-25 高二上·辽宁朝阳·期中）在
中，角A，B，C 所对的边分别为
，
，，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】A
【分析】利用正弦定理计算即可.
【详解】根据正弦定理
，得
，解得
．
故选：A.
题型01 正弦定理解三角形
【典例1】（24-25 高三上·山西吕梁·阶段练习）在
中，已知
，
，
，则角
的值
为（ ）
A．
或
B．
C．
D．
或
【答案】B
【分析】利用正弦定理得到
值，再根据
得到
，即可求解．
【详解】
，
，
，
又
，且
，
，则角
的值为
．
故选：B.
【变式1】（24-25 高一·山东临沂·期末）记
内角
，
，
所对的边分别是
，
，，已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式计算即得.
【详解】在
中，由正弦定理
，得
.
故选：C.
【变式2】（24-25 高二上·甘肃武威·开学考试）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由正弦定理可求得
，进而由同角的平方关系可求
.
【详解】在
中，由正弦定理可得
，即
，
解得
，且不等于0，
当
为锐角时，
，
当
为钝角时，
.
综上所述：
.
故选：B.
【变式3】（24-25 高一下·天津·期中）在
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由正弦定理可得答案.
【详解】由正弦定理得
，解得
.
故选：A.
题型02 判断三角形解的个数
【典例2】（2025 高一·全国·课堂练习）在
中，已知
，则此三角形的解的情况
是（ ）
A．有一解
B．有两解
C．无解
D．有解但解的个数不确定
【答案】C
【分析】根据正弦定理计算出
，结合正弦值的范围判断.
【详解】由正弦定理得
，
则
,
故
不存在，即满足条件的三角形不存在．
故选：C
【变式1】（24-25 高二上·陕西西安·期中）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，若
，
，
，则此三角形解的情况为（ ）
A．无解
B．只有一解
C．有两解
D．解的个数不确定
【答案】B
【解析】由正弦定理可得
，进而判断解的情况.
【详解】因为
，
，
，
所以由正弦定理可得，
，所以
或
，
当
时，
，满足题意；
当
时，
，不能构成三角形，舍去.
综上，
，即三角形的解只有一个.
故选：B．
【变式2】（24-25 高一下·河南南阳·阶段练习）在
中，角
所对的边分别为
，且
．若
有两解，则
的值可以是（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】B
【分析】由题意画出图形，可得
，求出
的范围，结合选项得出答案.
【详解】如图，过点
作
，垂足为
,则
.
若
有两解，所以
，则
，即
，得
.
故选：B
【变式3】（24-25 高一下·全国·课后作业）在
中，已知角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
，
，
，若三角形有两个解，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解即得.
【详解】依题意，
，即
，由
，得
，
所以
的取值范围是
.
故选：C
【变式4】（23-24 高一下·江苏扬州·期末）（多选）在
中，角
所对的边为
，根据下列
条件解三角形，其中仅有一解的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】对于A,B,D,根据三角形全等，易得三角形的形状唯一确定，故解唯一；对于C，可用正弦定理，结
合正弦函数的图象，说明符合条件的三角形有两解.
【详解】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A 正
确；
对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B 正
确；
对于C，由正弦定理，
可得，
，因
，则
,
因
，结合正弦函数的图象可知角
有两解，故C 错误；
对于D，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D 正确.
故选：ABD.
【变式5】（23-24 高一下·上海·月考）在
中，
，
，要使
被唯一确定，那么
的
取值范围是 .
【答案】
【解析】根据题意，
，
，
由正弦定理得：
，则
，
三角形只有一个解，则
或
，
则
或
，即
或
，
所以
的取值范围是
.
题型03 三角形面积问题
【典例3】（23-24 高一下·四川达州·期末）设
中角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，
，
，则
的面积为（ ）．
A．
B．
C．12
D．
【答案】B
【分析】利用同角三角函数的基本关系计算出
的值，然后利用三角形的面积公式可求得
的面积.
【详解】∵
，∴
，
由三角形的面积公式可知，
的面积为
.
故选：B
【变式1】（24-25 高二上·河南濮阳·期末）在
中，
，
，
，
，则
A．
或
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由三角形面积公式可得
，进而可得解.
【详解】在
中，
，
，
,
，可得
，所以
，
所以
【变式2】（24-25 高一下·上海·阶段练习）在
中，
、
、
所对的边分别为
、
、，若
，
，则
的面积等于 .
【答案】
【分析】利用三角形的面积公式求解即可.
【详解】因为
，
，所以
.
所以
的面积等于
.
故答案为：
.
【变式3】（24-25 高一上·上海·课前预习）在
中，
，
，
，则
.
【答案】
【分析】由正弦定理、三角形内角和求得
，结合三角形面积公式即可求解.
【详解】由正弦定理有
，即
，解得
，
而
，所以
，所以
，
所以
.
故答案为：
.
【变式4】在
中
，
，
，则
.
【答案】
或
【分析】先由三角形面积公式，得到
，求出
，即可得出结果.
【详解】因为在
中
，
，
，
所以
，因此
，
所以
或
.
故答案为
或
【变式5】在
中，
，
，
，则
的面积等于 .
【答案】
或
【分析】根据正弦定理得到角
的大小，进而得到角
的大小，最后可求得面积．
【详解】在
中，
，
，
.
由正弦定理可得
，得
.
，
，
或
.
当
时，
，
；
当
时，
，
.
故
的面积是
或
．
故答案为：
或
.
题型04 求三角形外接圆半径
【典例4】在
中，
，
，c 边上的中线长为1，则
的外接圆的半径长为______．
【答案】1
【解析】如图，在
中，设D 为
边的中点，
则
，
,所以
,
故
，而
,
所以
,则
，
由于
，故
，
所以
，设
的外接圆的半径为R,
则
.
【变式1】（24-25 高一上·全国·课后作业）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c =1，
acos B =2sinC，cos A sin B = 1
8，则△ABC外接圆的半径为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据正弦定理进行边角互化，再结合三角恒等变换化简可得sinC，再结合正弦定理可得外接圆半
径.
【详解】由c =1，则acos B =2sinC =2c sinC，
由正弦定理得sin A cos B =2sin
2C，
所以sin A cos B+cos A sin B =2sin
2C + 1
8，即sinC =2sin
2C + 1
8，
解得sinC = 1
4 ，
所以2 R =
c
sinC = 1
1
4
= 4
，R =2，
故选：B.
【变式2】在
中，已知
，则
的外接圆半径为（ ）
A．4
B．4
C．
D．
【答案】C
【解析】因为在
中，已知
，
设
的外接圆半径为
，由正弦定理可得
，
解得
的外接圆半径为R
．故选：C．
【变式3】（24-25 高一下·河南郑州·月考）已知
，
，分别为
三个内角
，
，
的对边，且
，
的外接圆半径为2.则
（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【答案】B
【解析】根据正弦定理知
，
又因为
，所以
，
又
，所以
，
所以
，即
，所以
，
由正弦定理可得
，解得
，故选：B.
题型05 判断三角形的形状
【典例5】（24-25 高一上·浙江杭州·期末）在
中，
（
分别为角
的对
边），则
的形状为（ ）
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【答案】B
【分析】根据条件，利用倍角公式得到
，再利用正弦定理角转边即可得出结果.
【详解】因为
，所以
，整理得到
，
又由正弦定理
，得到
，
所以
，得到
，
又
，所以
，得到
，又
，所以
，
故选：B.
【变式1】（24-25 高二上·浙江杭州·期中）
的面积为，且
，则
的形状是（ ）
A．等腰三角形（非等边）
B．直角三角形
C．正三角形
D．钝角三角形
【答案】B
【分析】利用正弦定理的边角变换，结合诱导公式与倍角公式求得B；利用面积公式与向量数量积的定义
求得A，从而得解.
【详解】因为
，所以
，
因为
，所以
，所以
，所以
；
因为
，所以
，所以
，所以
，
所以
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，因为
，所以
，
所以
，则
是直角三角形，
故选：B.
【变式2】（23-24 高一下·江苏盐城·期中）在
中，角
的对边分别是
，若
，
则
的形状为（ ）
A．等腰三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
【答案】C
【分析】由正弦定理、二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式化简已知式即可得出答案.
【详解】由正弦定理可得
，
所以
，
即
，所以
，
又因为
，所以
，则
，
又因为
，所以
.
故选：C.
【变式3】（23-24 高一下·四川成都·期中）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，则
的形状是（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】利用正弦定理边角互化，三角函数两角差公式以及三角函数的诱导公式即可得到答案.
【详解】根据正弦定理边角互化若
，
则
，
又根据诱导公式可知
，
将上式可变形为
，
根据三角函数两角差公式可化简
，
所以
三角形内角和
，代入即可求得
所以
是直角三角形.
故选：A
题型06 边角互化的应用
【典例6】（2025·四川南充·二模）已知
的内角A，B，C 所对应的边分别为a，b，c，若
，
.则
（ ）
A．2
B．3
C．
D．
【答案】D
【分析】根据已知条件，利用三角形的内角和性质，利用两角差的正弦公式求得角
，进而利用正弦定理
得解.
【详解】由于三角形的内角和为
，即：
,已知
，所以：
，
代入
到
中，得到：
，
展开并化简：
,即
，
整理得到：
，即
，
根据正弦定理：
,即
.
故选：D.
【变式1】（2025·江西·一模）
的内角
的对边分别为
.已知
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】A
【分析】根据正弦定理求解即可.
【详解】由正弦定理
，得
，
所以
，
又
，所以
，所以
.
故选：A.
【变式2】（2024 高二上·河南安阳·学业考试）在
中，内角
所对的边分别是
，若
的面积为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题设及三角形面积公式、余弦边角关系可得
，即可求角的大小.
【详解】由题设
，又
，
所以
，则
，而
，
所以
.
故选：D
【变式3】（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在
中，角
，
，
的对边分别是
，
，，
，则角
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变化，将题中条件化为
，从而可求出结果.
【详解】由
得
，
则
，所以
，即
，
因为
为三角形内角，所以
，
，则
，所以
；
故选：B
【变式4】（24-25 高一下·河北·阶段练习）已知
的内角
所对的边分别是
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据已知得
，再由正弦边角关系即可得比值.
【详解】由
，且
，则
，
所以
.
故选：D
题型07 最值与范围问题
【典例7】（24-25 高一上·全国·课后作业）在锐角
中，
，则
的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据锐角三角形定义求出
的范围，利用正弦定理和三角恒等变换将所求化为关于
的三角
函数，然后由三角函数性质求解可得.
【详解】在锐角
中，
，因为
，
，
，
所以
，
，解得
，
所以
，
，
而
，
所以
可得
，
所以由正弦定理可知：
，
因为
，所以
，
所以
，即
.
故选：A.
【变式1】（23-24 高一下·江苏无锡·期末）在锐角
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由三角形内角和定理及两角和的余弦、正弦公式，得
,在锐角三角形中，
可得
.由锐角
中，可得角B 的范围，可得
的范围，再由正弦定理可得
的范围.
【详解】在
中，可得
因为
,可得
整理可得：
，
整理可得
，在锐角
中，可得
，可得
.则
，
可得
.
由正弦定理可得，
.
因为
，所以
，可得
，可得
故选：B.
【变式2】（23-24 高一下·安徽合肥·期末）在
中，角
所对的边分别为
，且
，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．若
，则
为直角三角形
C．若
为锐角三角形，则
的取值范围为
D．若
为锐角三角形，
的最小值为1
【答案】D
【分析】A：利用正弦定理和三角恒等变换即可判断；B：利用正弦定理边化角，结合A 选项结论和三角恒
等变换即可求出
的三个内角，从而可判断其形状；C 和D，根据
是锐角三角形和选项A 结论
求出B 的范围，利用函数单调性的方法可分别求两个式子的范围.
【详解】∵
，由正弦定理可得
，
在
中，
，
可得
，而
与
不可能互补，
∴
，即
，∴A 选项正确；
选项B 中，
，可得
，由A 选项可得
，
则
，在
中，
，
可得
，则
，∴
，即
为直角三角形，∴B 选项正确；
选项C 中，
为锐角三角形中，
．
设
，
∵
为锐角三角形，∴
，可得
，
∴
，即
，
令
，则函数
单调递增，
，而
，即
．
∴
，∴
，∴C 正确；
选项D 中，∵
为锐角三角形，由A 选项可得
，
∴
，可得
，∴
，
∴
．
设
．
设
在
单调递减，∴
，
D
∴
选项不正确：
故选：D．
【变式3】（23-24 高一下·江苏淮安·期末）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，
且
，则
的周长的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】方法一：设
的外接圆半径为R，根据正弦定理及已知可将题干等式化为
，再结合两角和的正弦公式进行化简，结合
可得
，
最后根据正弦定理以及三角恒等变换用B 表示出
的周长，根据三角函数的性质求解即可．
方法二：根据三角形三边关系排除即可．
【详解】方法一：设
的外接圆半径为R，
则
，
因为
，
所以
，
可得
，
即
，
可得
，
因为
，
，
所以
，
结合
，可得
，
又
，所以
，
可得
，
则
的周长为
，
因为
，所以
，
则
，
可得
故
的周长的取值范围为
方法二：由
，
可知
周长
，排除ABD，
故选：C
【变式4】（23-24 高一下·江苏南京·阶段练习）在锐角
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，
若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将
两边平方结合二倍角公式可得
，由正弦定理将边转化为角可计算出
，由
为锐角三角形可得
，结合正弦定理得
，即可求解.
【详解】因为
，所以
，
所以
，
由正弦定理得
，即
，
所以
，
所以
，即
，
所以
或
（舍去），
则
，
因为三角形
为锐角三角形，
则
，所以
，
解得
，所以
，
因为
，
所以
的取值范围为
.
故选：D.
一、单选题
1．（24-25 高一下·陕西咸阳·阶段练习）在
中，内角
所对的边分别为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据条件，利用正弦定理，即可求解.
【详解】由正弦定理
，得
，解得
，
故选：C.
2．（24-25 高一下·山西·阶段练习）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用同角公式及正弦定理列式求解.
【详解】在
中，由
，得
，
由正弦定理得
，所以
.
故选：A
3．（24-25 高二上·贵州六盘水·期中）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
，
，则
外接圆的半径为（ ）
A．
B．
C．8
D．
【答案】A
【分析】由正弦定理可得外接圆直径，进而求得半径.
【详解】解：由正弦定理可知：
，
为外接圆的半径，所以
.
故选：A
4．（2025 高三·全国·专题练习）在三角形
中，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】B
【分析】由正弦定理求解出角
，然后由内角和定理求解角
即可.
【详解】由
可得：
，
所以
，又
，
所以
，
结合内角和定理，所以
.
故选：B
5．（24-25 高三上·海南·阶段练习）在
中，
，
，分别为内角
，
，
的对边，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理将边化角，整理即可求得.
【详解】
，
由正弦定理可得
，
又
在
中
，
，
，
，
在
中，
，
，且
为
的内角，
，
故选：C．
6．（23-24 高一下·河北·期中）在
中，角
的对边分别为
，已知
，
则
的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【分析】先用二倍角公式化简，结合正弦定理和三角形内角和定理化简判断三角形形状；
【详解】化简得：
，
，
根据正弦定理整理可得
，因为
即
，所以
或
，
可得
或
或
,
所以
等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
7．（24-25 高一下·浙江杭州·阶段练习）
是
斜边
上一点，若
，则
的值（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，结合几何图形，利用正弦定理及二倍角公式列式求解.
【详解】在
中，令
，由
，则
，
，
，
在
中，
，由正弦定理，
，
即
，整理得
，
即
，因
，则有
，即
的值是
.
故选：D
8．（24-25 高一下·湖南·阶段练习）锐角三角形
的三个内角
的对边分别是
，若
，则角
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据正弦定理可得
，由锐角三角形，可求得
的范围.
【详解】由正弦定理
得：
，所以
.
又
锐角三角形
中，
，则
，即
.
所以
，由于锐角三角形
，所以
，
解得
.
故选：D.
二、多选题
9．（24-25 高一下·安徽·阶段练习）在
中，角
的对边分别为
，则下列说法正确的是
（ ）
A．若
，则
的外接圆的面积为
B．若
，则满足条件的三角形有两个
C．若
为锐角三角形，则
D．若
，则
【答案】AC
【分析】应用正弦定理有
，进而求外接圆的面积判断A；应用正弦定理判断三角形个数判断
B；由锐角三角形及诱导公式有
、
判断C；假设
为钝角即可判断D.
【详解】因为
，所以
（
为
外接圆的半径），
所以
，故
的外接圆的面积为
，故A 正确；
若
，则
，所以无解，故B 错误；
若
为锐角三角形，则
，所以
，
所以
，同理
，
所以
，故C 正确；
若
为钝角，显然满足
，但
，不满足
，故D 错误.
故选：AC
10．（24-25 高一下·广东茂名·阶段练习）已知
的内角
的对边分别为
，则下列说法正确
的是（ ）
A．若
，则
有一解
B．若
，则
无解
C．若
，则
有一解
D．若
，则
有两解
【答案】ABD
【分析】利用正弦定理求解三角形的边或角，结合三角形的边角关系，一一判断各选项中三角形解的情况，
即得答案.
【详解】A 选项，因为
，所以
，故
，
则
是边长为2 的等边三角形，有一解，故A 正确；
B 选项，若
，由正弦定理得
，即
，
解得
，无解，故B 正确；
C 选项，若
，由大边对大角可知
，此时三角形中有2 个钝角，
不可能，则
无解，故C 错误；
D 选项，若
，由正弦定理得
，
即
，解得
，因为
，所以
或
，
所以
有两解，D 正确.
故选：ABD.
11．（24-25 高一下·陕西咸阳·阶段练习）在锐角
中，内角
所对的边分别为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
【答案】BCD
【分析】根据已知条件结合正弦定理边化角得到
，利用三角形内角关系及两角和的正弦公
式整理式子得到
，判断A 选项；根据
，即三角形形状得到关于
角的不等式，解不等式即可
确定
角的取值范围，即可判断B；根据
化
为
，利用基本不等式即可求
最值，即可判断C；由已知条件将边化成角，再根据角的范围即可求出
的范围，即可判断D.
【详解】由正弦定理及
，得
，
即
，
，
整理得
，又
，
，
所以
，故
，
，A 错误；
由
，得
，又
为锐角三角形，
所以
解得
，B 正确；
（当且仅当
，即
时取等号），C 正确；
由
，得
，由正弦定理得：
即
，
所以
.
又
，所以
，故
，故D 正确.
故选：BCD.
三、填空题
12．（23-24 高一下·云南昭通·阶段练习）在
中，内角
所对的边分别为
，若
，
则
.
【答案】4
【分析】利用正弦定理，边角互化即可求解.
【详解】由正弦定理得
，
则
，
故答案为：4
13．（24-25 高一下·广西南宁·阶段练习）在
中角A，B，C 所对的边分别为a，b，c 若
，
则当
时，
；当
时，
【答案】 1
【分析】利用正弦定理可得
，进而代入求解即可.
【详解】因为
，由正弦定理可得
，
且
，则
，可得
，
若
，则
；
若
，则
，
且
，所以
.
故答案为：1；
.
14．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，
中，
，且
的面积为
，点
在
边上，
，则
的长度等于 .
【答案】
【分析】先利用三角形的面积公式求出
的大小，再根据等腰三角形得到
的大小，最后在
中利用正弦定理即可求解.
【详解】因为
中，
，且
的面积为
，
所以
，解得
，
所以
或
，
当
时，因为
，所以
，
又
，所以
，不符合题意；
当
时，因为
，所以
，
又
，所以在
中，由正弦定理可得
，
即
.
故答案为：
四、解答题
15．（24-25 高一下·云南玉溪·阶段练习）如图，在
中，内角
，
的对边分别为
，
，，
，过点
作
，交线段
于点
，且
，
．
(1)求
的大小；
(2)求
的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件进行边角互化，化简可求出
的大小.
（2）由第（1）问的结论，可求出
，由边相等可求出
，正弦定理可求出结果.
【详解】（1）因为
，所以由正弦定理得：
，
因为
，所以
，所以
，即
，
又因为
，所以
．
（2）因为
，所以
，
由（1）知，
，所以
，
又
，所以
，
在
中，由正弦定理
，得
，
又因为
，
所以
，
即
.
16．（24-25 高一下·河北沧州·阶段练习）在
中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且
，
.
(1)求
；
(2)若
外接圆的半径为
，求
的周长.
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）运用正弦定理进行边角互化，得到
，求出
，求出
，得到
即可.
（2）运用正弦定理进行边角互化，求出
，再用和角公式计算
，最后用正弦定理计算即
可.
【详解】（1）因为
，所以
.
由正弦定理可知
，所以
，则
.
因为
，所以
.
因为
，所以
，所以
.
因为
，所以
.
（2）由正弦定理可知
，
则
，
，
.
由（1）可知
，所以
，所以
.
由（1）可知
，所以
，所以
.
因为
，所以
，
则
，
故
的周长为
.
17．（24-25 高一下·天津静海·阶段练习）已知
中
的对边分别为
．
(1)求
；
(2)求
的面积．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，即可求得答案；
（2）由
求出
的值，利用三角形面积公式，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知
，故
，
结合
，
则
，
而
，故
，则
，
又
，故
；
（2）因为
，故
，结合
，
可得
，
故
的面积
.
18．（24-25 高一下·贵州贵阳·阶段练习）
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
．
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，
，求
周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角，再结合
，即可求解；
（2）由正弦定理结合辅助角公式得到
，进而可求解.
【详解】（1）因为
，由正弦定理得
，
故
，
在
中，
，
，所以
，
，则
，
可得
，所以
，所以
．
（2）由正弦定理可得
（
为
外接圆的半径），
所以
，
因为
，则
，
，
所以
，
因为
为锐角三角形，则
，解得
，
则
，
，
故周长范围为
．
19．（24-25 高一下·浙江杭州·阶段练习）已知
的内角
所对应的边分别为
是
外一
点，若
，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，求四边形
面积的最大值.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）应用正弦边角关系及和角正弦公式得
，再由三角形内角性质及已知，
即可确定角的大小；
（2）由（1）
为等边三角形，令
，建立直角坐标系并确定相关点坐标，由
及三角形面积公式、辅助角公式、正弦型函数的性质求范围.
【详解】（1）由题设
，即
，
所以
，而
，故
，
又
，则
，故
.
（2）由（1）易知
为等边三角形，令
，建立如下图的直角坐标系，
则
，
，
，故
，
所以
，当
时取最大值为
.
