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拓展提升02 隐零点与极值点偏移问题
题型01 隐零点问题
解题锦囊
隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存
在性之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）.
基本步骤：
第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程
, 并结合
的单调
性得到零点的范围;
第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数
的正负, 进而得到
的最值表达式;
第 3 步: 将零点方程
适当变形, 整体代入
最值式子进行化简:
（1）要么消除
最值式中的指对项
（2）要么消除其中的参数项;
从而得到
最值式的估计.
考向一 不等式的证明
【典例1】（24-25 高二上·湖南长沙·期末）已知函数
（
且
）．
(1)讨论函数
的单调区间；
(2)当
时，证明：
．
【变式1】（23-24 高二下·河南洛阳·期中）给定函数
.
(1)判断函数
的单调性，并求出函数
的极值;
(2)证明:当
时，
.
【变式2】（23-24 高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数
.
(1)若
，求
的取值范围；
(2)当
时，证明：
.
【变式3】已知函数
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若a＝1，证明
【变式4】（2024·山东威海·二模）已知函数
．
(1)求
的极值；
(2)证明：
．
考向二 求参数范围
【典例2】（2020·新Ⅰ卷·统考高考真题第21 题）已知函数
．
（1）当
时，求曲线
在点
处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式
恒成立，求a 的取值范围．
【变式1】已知函数
，当
且
时, 不等式
在
上恒成立, 求
的最大值.
【变式2】已知函数
对任意的
恒成立, 其中实数
,
求
的取值范围.
【变式3】（2024·湖南邵阳·三模）已知函数
(1)若
，求
的单调区间.
(2)若对
，
恒成立，求实数
的取值范围
考向三 零点、极值点问题
【典例3】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数
，若
的最小值为0，
(1)求
的值;
(2)若
，证明:
存在唯一的极大值点
，且
.
【变式1】（2024·山东·模拟预测）已知函数
，则使
有零点的一个充分条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高三下·广东韶关·期末）已知函数
，若
有两个零点，则a
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2024·辽宁·模拟预测）已知函数
.
(1)求
在区间
内的极大值；
(2)令函数
，当
时，证明：
在区间
内有且仅有两个零点．
【变式4】（2024·江西新余·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求
在
处的切线方程.
(2)讨论
的单调性.
(3)求证：若
，
有且仅有一个零点.
题型02 极值点偏移问题
【典例4】（24-25 高二上·江苏连云港·期末）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
有两个零点
，且
，证明：
.
【变式1】（23-24 高三上·山东淄博·期末）已知函数
，
，则下列说法正确的是
（ ）
A．函数
与函数
有相同的极小值
B．若方程
有唯一实根，则a 的取值范围为
C．若方程
有两个不同的实根
，则
D．当
时，若
，则
成立
【变式2】已知函数
有两个零点
、
，则下列说法正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2024 高二上·全国·专题练习）已知函数
，直线
是曲线
的一
条切线．
(1)求
的值，并讨论函数
的单调性；
(2)若
，其中
，证明：
．
【变式4】（24-25 高三上·江苏无锡·阶段练习）已知函数
.
(1)若
，当
与
的极小值之和为0 时，求正实数
的值；
(2)若
，求证：
.
【变式5】24-25 高三上·湖南·阶段练习）已知函数
，
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程.
(2)若
有两个极值点
，
．
（i）证明：
；
（ii）证明：
.
【变式6】（24-25 高三上·四川成都·阶段练习）已知函数
，其中为自然对数的底数．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若方程
有两个不同的根
．
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
．
【变式7】（23-24 高二下·江苏苏州·期末）已知函数
．
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若关于
的不等式
在
上恒成立，求实数
的最大值；
(3)若关于
的方程
有两个实根
，
，求证：
．
