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专题 35 导数中双变量与极值点偏移必刷 100 题
类型一:极值点偏移问题1-25题
1．（1）设 ，且 ，证明： ；
（2）若函数 ，且m为非零实数，若存在 ，且 ，使得
，证明 ： ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）双变量问题转化为单变量问题，通过构造函数来进行证明；（2）通过构造函数证明 ，
再结合第一问的结论证明
【详解】
证明：（1）不妨设 ，则 ，
等价于 ，
设 ，令 ， ，
所以 在 上单调递减， ，故 ，
设 ，令 ， ，
所以 在 上单调递增， ，故 ，
故 ．（2） 的定义域为 ， ，
因为 为非零实数，所以 ，
，
即 ，
令 ， ，所以 在 上单调递减，
不妨设 ， ， ， ，
由（1）得 ，所以 ，所以
2．已知函数 有且仅有两个极值点 ， 且 ．
（1）求实数 的取值范围；
（2）证明： ．
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）原问题等价于 有两个零点 ， 且 ，（i）当 时， 在 上单调
递减，至多有一个零点，不符合题意；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递
增，
令 ，又 ， ，由函数零点存在定理可得，即可求解；
（2）由题意， ， ，即 ， ，两式相减得 ，令
，则 ， ， ， ，要证： ，即证： ，只需证： ，最后构造函数即可证明.
（1）
解：函数 ， ，
因为函数 有两个极值点 ， ，
所以 有两个零点 ， 且 ，
令 ， ，
（i）当 时， ，则 在 上单调递减，至多有一个零点，不符合题意；
（ii）当 时，令 ， ，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
所以 的最小值为 ，
令 ，解得 ，
又因为 ， ，
所以由函数零点存在定理可得，在区间 和 上各有一个零点，符合题意，
所以 的取值范围为 ；
（2）
证明：由（1）可知 ， ，
所以. ，
因为 ， 是 的两个零点，所以 ， ，即 ， ，
两式相减得 ，令 ，则 ， ， ，
所以 ， ， ，
要证： ，即证： ，即证： ，
只需证： ，
令 ， ， ，
，
所以 在 上单调递增且 ，
所以 ，则 在 上单调递增且 ，
所以 ，从而得证 ．
3．已知函数 （ 为自然对数的底数）， 为 的导函数．
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）当 时，若存在不相等的实数 ， ，使得 ，证明： ．
【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】
（Ⅰ）先计算 ，再对 求导得 ，分 、 、 分别解不等式 和
即可得单调单增区间和单调递减区间；
（Ⅱ）计算 的单调性和最小值，可判断 ，由 可得 ，
构造函数 ，计算 ， 再构造函数 求导利用单调性判断 即可得 ，代入 即可求证.
【详解】
（Ⅰ）由 得： ，
，
当 时， 是常函数，不具有单调性；
当 时，由 即 可得 ，由 即 可得 ，
当 时，由 即 可得 ，由 即 可得 ，
综上所述：当 时， 是常函数，没有单调区间；
当 时， 的单调递区间是 ， 的单调减区间是 ，
（Ⅱ）当 时， ，
由 可得 ；由 可得 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，
因为存在不相等的实数 ， ，使得 ，
当 时， ，当 趋近于 时， 趋近于 ，所以 ，
所以 ，即
两边同时取对数可得： ，即 ，
设 ，则 ，且 ，
由 可知 ，
而
，
令 ，则 ，所以
所以 ，
所以 在 上单调递减，故 ，
即 ，所以 ， ，
则有 ，
即 .
4．已知函数 .
（1）求 的单调区间与极值.
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
【答案】（1）单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，极大优值 ，无极小值；（2）证明见
解析.【分析】
首先求函数的导数，利用导数和单调性，极值点的关系，即可求解；
（2）首先由条件变形为 ，即 ，通过构造函数 ，
，转化为极值点偏移问题，即可求解.
【详解】
（1）解： 的定义域为 ， .
当 时， ；当 时，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
故 在 处取得极大值，且极大值为 ，无极小值.
（2）证明：易知 ， ，
即 ， .
不妨设 ， ， .
（1）可知 ， ，
当 时， ，
当 时， ，
设 ， ，
则 ，
因为 ， ，所以 ， 在区间 上单调递增，
，
所以 ，
又因为 ， ，所以 ，
即 ，故 .
5．已知函数 ，其中 ，且 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若直线 恒在函数 图像的上方，求实数 的取值范围；
（3）若存在 ， ，使得 ，求证： .
【答案】（1）答案见解析；（2） ；（3）证明见解析.
【分析】
（1）写出函数的定义域并求导，进而讨论参数a，最后求出函数的单调性；
（2）将问题转化为不等式 恒成立问题，进而求出a的范围；
（3）构造函数 ，进而求出函数的单调性，然后将 化到同一单调区间，最后得到
答案.
【详解】
（1） 的定义域为 ， .
①当 时， ，∴函数 在 上单调递增.②当 时，在区间 上， ；在区间 上， ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减.
综上，当 时，函数 在 上单调递增，当 时，函数 在 上单调递增，在
上单调递减.
（2）当 时，取 ，
则 ，不符合题意.
当 时，令 ，
则 .
问题转化为当 恒成立时，求实数 的取值范围.
∵ ，
∴在区间 上， ， 单调递减；在区间 上， ， 单调递增.
∴ 的最小值为 ，∴只需 ，即 ，
∴ ，∴ .
即实数 的取值范围为 .
（3）由题意知， .构造函数 （ ），
则 ，
∴ ，
∴函数 在区间 上单调递减.
∵ ，∴ ，∴ .
又 ，∴ .
由（1）知，当 时 在 上单调递减，∴ ，即 .
6．已知函数 ，其中 为自然对数的底数.
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，且 ，证明： .
【答案】（1） 时，递增； 时，递减；（2）证明见解析.
【分析】
（1）首先求函数的导数，并判断导数的单调性，结合导函数的零点，判断函数的单调性；（2）首先方程
变形为 ，设 ， ，通过构造函数 ，
，利用导数证明 ，再分 和 时，证明 .
【详解】
解：（1） ， 是减函数， 是增函数，所以 在 单调递减，
∵ ，
∴ 时， ， 单调递增； 时， ， 单调递减.
（2）由题意得， ，即
， ，
设 ， ，则由 得， ，且 .
不妨设 ，则即证 ，
由 及 的单调性知， .
令 ， ，则
，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，取 ，则 ，
又 ，则 ，
又 ， ，且 在 单调递减，∴ ， .
下证： .
（i）当 时，由 得， ；（ii）当 时，令 ， ，则
，
记 ， ，则 ，
又 在 为减函数，∴ ，
在 单调递减， 在 单调递增，∴ 单调递减，从而，
在 单调递增，
又 ， ，
∴ ，
又 ，
从而，由零点存在定理得，存在唯一 ，使得 ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增.
所以， ，
又 ，
，
所以， ，
显然， ，所以， ，即 ，
取 ，则 ，
又 ，则 ，
结合 ， ，以及 在 单调递增，得到 ，
从而 .
7．已知函数 ．若函数 存在三个零点，分别记为 ， ， ．
（1）求 的取值范围；
（2）证明： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）通过导数求出函数的单调区间，然后结合零点存在定理即可得到答案；
（2）要证 ，∵ ，∴ ，则 ，由函数的单调性可
知，只需证明： 即可.
【详解】
（1） ，
令 ，得 ， ．
所以当 时， ，则 单调递增，
当 时， ，则 单调递减，
当 时， ，则 单调递增，
所以 的极大值为 ，极小值为 ．若函数 存在三个零点，
则 ，所以 ，
此时 ， ， ，故 存在三个零点，
所以 ，函数 存在三个零点；
（2）证明：要证 ，只需证
因为函数 存在三个零点，分别记为 ， ， ，
由（1）知 ，故
又 时， 单调递减，
故只需证 ，
又
，所以 ，即 ．
8．已知函数 （ ，且 ）为单调减函数， 的导函数 的最大值不
小于0．
（1）求 的值；
（2）若 ，求证： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【分析】
（1）由 在 上恒成立求得 的一个范围，再由 的最大值不小于0又得 的一个范围，
两者结合可得 值．（2）由（1）知 ，因此 中一个不大于1，另一个不小于1，不妨设 ，构造函数
证明它在 上 ，利用已知式可得 与 的不等关系，证得结论成立．
【详解】
（1）因为 为单调减函数，
所以 恒成立，
所以 在 上恒成立．
由于当 时， ，
所以 ，解得 ．
因为 ，
当 时， 的最大值为 ，
由题意， ，所以 ．
综上， ．
（2）由（1）知， ，所以 ．
因为 ， 为 单调减函数，
可设 ．
令 ， ．
所以
，所以 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ， ．
因为 ，所以 ．
因为 为 单调减函数，
所以 ，即 ．
9．已知函数 ( )．
（1）求函数 的单调性；
（2）设函数 满足 ，若函数 有两个不同的零点 、 且 ．
①求实数 的取值范围；
②证明： ．
【答案】（1） 在 上单调递增；（2）① ；②证明见解析．
【分析】
（1）求导后分析导函数的正负即可.
（2）
①求出 ，再令 ，问题转化为寻求 使得 的极小值小于0即
可
②极值点偏移问题，构造对称函数即可证明.
【详解】
（1）由已知得函数 的定义域为 ，则 ，
∵ 时 恒成立，∴ 在 上单调递增，
（2）∵ ，
∴ ，其定义域为 ，①设 ( )，∴ ，
令 ，则 ，令 ，则 ，
∴当 时 单调递减，
当 时 单调递增，∴ 的极小值为 ，
∵函数 有两个不同的零点，即 有两个不同的零点，
∴需 的极小值 ，即 ，
∵当 时 ， ，
令 ( )，则 ，
当 时 ，∴ 在 上单调递增，
∴ ，
∴ 在 和 上分别有 个零点，
∴当 时 在 上有两个不等零点，
即 有两个不同的零点，∴实数 的取值范围为 ，
②由①知 ，∴ ，要证 ，即证 ，
∵ 时 单调递增，故而即证 ，
又 ，即证 ，
设函数 ，其中 ，
由于 ，
故 ，当且仅当 时等号成立，
∴ 在 上单调递减，由于 ，因而 ，
即 ，故而 得证．
10．已知函数 有两个相异零点 ．
（1）求a的取值范围．（2）求证： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出导函数 ，由 确定单调性，然后结合零点存在定理求出参数范围；
（2）由（1）不妨设 ，首先把多个变量 ， 的不等式 变形为
，构造函数 ，确定单调性后证得 ，这样利用 在
是递增，要证原不等式只要证 ，即证 ，构造函数
，利用导数证明此不等式成立．
【详解】
解：（1）
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；
由 得，
当 时， ，
所以 使得f 使得 ，
综上：
（2）由（1）可知， ，
要证
即证构造函数 ，则
所以 在 单调递减， ．
故有
因为 在 上单调递增，
所以只需证
即证
构造函数 ，
下面证 在 时恒成立
即证
构造函数
在 时恒成立
因此 在 上单调递增，从而 ，
在 时恒成立
在 时单调递增
成立，即
成立．
11．已知函数 ．
（1）讨论 在其定义域内的单调性；
（2）若 ，且 ，其中 ，求证： ．
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析.【分析】
（1）求出导函数 ，由 确定增区间，由 确定减区间；
（2）由（1）知函数的单调性，不等式不等式转化为 ，由于 ， ，利用
单调性不等式转化为故只需证明 ，
即证 ，这样引入新函数 ，利用导数证明
时， 即得．
【详解】
（1）
①当 时， ，则 在区间 上单调递增；
②当 时， ， ， 在区间 上单调递增；
， ， 在区间 上单调递减，
（2）由（1）得：
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ ，
将要证的不等式转化为 考虑到此时， ， ，
又当 时， 递增，
故只需证明 ，即证 ，
设 ，
则 .
当 时， ， 递增，所以，当 时， .
所以 ，从而命题得证.
12．已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的图象在点 处的切线方程；
（Ⅱ）若存在两个不相等的数 ， ，满足 ，求证： ．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】
（Ⅰ）首先求函数的导数，利用导数的几何意义，求函数的图象在点 处的切线方程；（Ⅱ）首先
确定函数零点的区间，构造函数 ，利用导数判断函数 的单调性，并得
到 在 上恒成立，并利用单调性，变形得到 .
【详解】
（Ⅰ） ，
所以 的图象在点 处的切线方程为 ．
（Ⅱ）令 ，解得 ，
当 时 ， 在 ．上单调递增；当 时， ， 在 上单调递减．
所以 为 的极大值点，不妨设 ，由题可知 ．
令 ，
，因为 ，所以 ，
所以 单调递减．
又 ，所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立．
所以 ，
因为 ， ，
又 在 上单调递增，所以 ，
所以 ．
13．设函数 ， .
（1）若 对 恒成立，求 的取值范围；
（2）若 ，当 时，求证： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出导函数 ，分类讨论，确定 的单调性，最大值，解相应的不等式可得；（2） 变形为 ，在证的不等式中若 或
，不等式已经成立，因此只要证 时不等式成立，
首先引入函数 ， ， ，由导数确定出 的单调性，要证的
不等式为 转化为证 ， ，即证： ，为此再
引入新函数 ， ，利用导数可证．
【详解】
（1）解： ，
当 时， ，令 得： ，
∴ 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
∴ ，由 ，得： ，
当 时， ，则 对 恒成立，
∴ 在区间 上单调递增，且 ，所以不符合.
故： 的取值范围为 .
（2）∵ ，
∴ ，得： ，若 或 ，则结论显然成立.
当 时， ，
令 ， ，
，所以 为单调递增函数，
则，证： 证： ，而 ，
所以等价于证： ，即证： ，
，
令： ，
，
得： 在区间 上递增，在区间 上递减，
∴ ，因为 ，所以 ，所以 ，
故原不等式得证.
14．已知函数 .其中 为常数.
（1）若函数 在定义域内有且只有一个极值点，求实数 的取值范围；
（2）已知 ， 是函数 的两个不同的零点，求证： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出导函数 ，分类讨论确定 的正负，得 的单调性，从而得极值点个数，由此可得结
论；（2）结合（1）求得函数有两个零点时 的范围，设 ，则 ， ，
引入函数 ，由导数确定它是减函数，得 ，
然后利用 ，再结合 的单调性得出
证明．
【详解】
（1） ，
当 时， ， 在 上单调递增，不符合题意，
当 时，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以此时 只有一个极值点．
（2）由（1）知
当 时， ， 在 上单调递增，函数 至多有一个零点，不符合题意，
当 时，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故当 时，函数 取得最小值 ，
当 时， ， ，函数 无零点，不合题意，
当 时， ， ，函数 仅有一个零点，不合题意，
当 时， ， ，又 ，所以 在 上只有一个零点，
令 ，则 ，
故当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 在 上只有一个零点.
所以 满足题意.
不妨设 ，则 ， ，
令 ，
则 ，
，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
所以当 时， ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
又 ， ，且 在 上单调递增，
所以 ，故 得证.15．已知函数 ， ，其中 .
（1）若函数 的图象与直线 在第一象限有交点，求 的取值范围.
（2）当 时，若 有两个零点 ， ，求证： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据题意设 ，问题转化为方程 ，在 有解，求导，分类讨论
①若 ，②若 ，③若 时，分析单调性，进而得出结论.
（2）运用分析法和构造函数法，结合函数的单调性，不等式的性质，即可得证.
【详解】
解：（1）设 ，
则由题设知，方程 ，在 有解，
而 .
设 ，则 .
①若 ，由 可知 ，且 ，
从而 ，即 在 上单调递减，从而 恒成立，
因而方程 在 上无解.
②若 ，则 ，又 时， ，
因此 ，在 上必存在实根，设最小的正实根为 ，
由函数的连续性可知， 上恒有 ，
即 在 上单调递减，也即 ，在 上单调递减，从而在 上恒有 ，
因而 在 上单调递减，故在 上恒有 ，即 ，
注意到 ，因此 ，
令 时，则有 ，由零点的存在性定理可知函数 在 ， 上有零点，符合题意.
③若 时，则由 可知， 恒成立，从而 在 上单调递增，
也即 在 上单调递增，从而 恒成立，故方程 在 上无解.
综上可知， 的取值范围是 .
（2）因为 有两个零点，所以 （2） ，
即 ，
设 ，则要证 ，
因为 ， ，
又因为 在 上单调递增，
所以只要证明 ，
设 ，
则 ，
所以 在 上单调递减， （2） ，所以 ，
因为 有两个零点， ， ，所以 ，
方程 即 构造函数 ，
则 ， ， ，
记 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，且 ，
设 ，
，
所以 递增，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ，
即 ，
， ， ，
所以 ，
同理 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
由 得：
，
综上： .
16．已知f（x）＝m e2x﹣2x（x+1） ex，其中e为自然对数的底数，且函数f（x）恰有两个极值点x，x.
1 2
（1）求实数m的取值范围；
（2）求证：3＜xx﹣（x+x）＜8.
1 2 1 2
【答案】（1） ；（2）证明见解析.【分析】
（1）求得导数，构造函数 ，将问题转化为 值域的求解，利用导数处理即可；
（2）构造函数 ，据此求得 的范围，借助基本不等式求得 的范围，即可证
明.
【详解】
（1） ，
函数f（x）恰有两个极值点x，x，则 有两个变号零点，
1 2
当 时， ，其 ，
故此时 有两个变号零点，满足题意；
当 时， ，
令 ，
故可得 ，
故当 或 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增.
且当 时， 恒成立，当 趋近于正无穷时， 趋近于0，
又 趋近于负无穷时， 趋近于正无穷；且 ，
故当 时， 只有一个极值点，不满足题意；
当 时， 有三个极值点，不满足题意；
当 时， 有两个极值点，满足题意；
当 时， 没有极值点，不满足题意.综上所述，
（2）令 ，则 ，
不妨设 ，由（1）可得： ，
令 ，
则
，
故 在 单调递减.
故当 时， ，即 .
令 ，则 ，又 ，故 ，
又因为 ，且 在 单调递减，
故 ，即 .
故 ，
由（1）知 ，
则
故 ，即 .综上可得： ， .
故3＜xx﹣（x+x）＜8即证.
1 2 1 2
17．已知函数 .
（1）若 ，求 的最小值；
（2）若 ，且 ，证明： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【分析】
（1）当 时, ,先求导可得 ,设 ,利用导函数可判断
在 上单调递增,由 ,即可判断 的单调性,进而求解；
（2）先求导可得 ,容易得到 在 上单调递增,由 ,即可判断 在
上单调递减,在 上单调递增,设 ,则 , ,设 ,利
用导函数可判断 在 上单调递增,则 ,即 ,则可得 ,即
,进而由 的单调性求证即可.
【详解】
（1）解:当 时, ,
所以 ,设 ,则 ,所以 在 上单调递增,
即 在 上单调递增,
因为 ,
所以当 时, ；当 时, ,
因此 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 .
（2）证明: ,则 ,所以 在 上单调递增,因为 ,
所以当 时, ；当 时, ,
因此, 在 上单调递减,在 上单调递增,
由 ,不妨设 ,则 , ,
令
,
则，
当 时， ，
故 ,所以 在 上单调递增；
所以当 时， 即 时, ，
因此 ,
又 ,所以 ,
因为 , , 在 上单调递增,
所以 ,即 ,故 .
18．已知函数 在 内有两个极值点x，x（x＜
1 2 1
x），其中a为常数.
2
（1）求实数a的取值范围；
（2）求证：x+x＞2.
1 2
【答案】（1）a＞1；（2）证明见解析.
【分析】
（1）转化问题为 有两个变号零点,设 ,利用导函数可得 在
上单调递增,则 ,即转化问题为 有两个变号零点,即 ,则,设 ,则直线y=a与 在x∈（0,+∞）有两个交点,进而利用导函数求
的最值,即可求解；
（2）由（1）,若x+x＞2,则g（x）＞g（2﹣x）,即g（x）＞g（2﹣x）,构造函数F（x）=g（x）﹣g（2
1 2 2 1 1 1
﹣x）,进而证明x∈（0，1）时F（x）＞0即可.
【详解】
（1）因为 ,
由题意知x，x 是导函数 的变号零点,
1 2
令 ,则 ,所以 在 上单调递增,
又 ,所以 ,
所以x，x 是 的两个零点,即 ,则 ,
1 2
又令 ,则g（x）=g（x）,
1 2
从而只需直线y=a与函数g（x） 的图象在x∈（0,+∞）上有两个交点,
由 可得当 时, ；当 时, ,
所以g（x）在（0,1）递减,在（1,+∞）递增,
从而 ,
所以a＞1.
（2）证明:由（1）知,0＜x＜1＜x,
1 2
若不等式x+x＞2成立,则g（x）＞g（2﹣x）,即g（x）＞g（2﹣x）,
1 2 2 1 1 1
令F（x）=g（x）﹣g（2﹣x）,x∈（0，1）,则只需F（x）＞0,
而 ,只需研究 的符号,因为 , ,
所以 ,
所以 ,则 ,
所以 ,
即x+x＞2成立.
1 2
19．已知函数 有两个不同的零点 ， .
（1）求a的范围；
（2）证明： .
【答案】（1） （2）见解析
【分析】
（1）分类讨论参数 的范围，利用导数得出单调性，结合函数的零点个数，得出 的范围；
（2）不妨设 ，由（1）可知， ，结合函数 的单调性，
得出 等价于 ，即 ，构造函数 ，
，求出 ，即可得出结论.
【详解】
（1）
当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
，且当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→+∞，
则函数 有两个不同的零点 ， ，
当 时， 或 ；在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增
结合 可知，此时函数 只有一个零点
当 时， 或 ；
在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增
结合 ， 可知，此时函数 只有一个零点，
当a＝0时，f（x）＝xex只有一个零点x＝0，不合题意；
综上， .
（2）不妨设 ，由（1）可知，
在 上单调递减
等价于 ，即
由于 ，而
则
设 ， ，则
则函数 在 上单调递减，
即 ，从而
20．已知函数
（1）若 ，试讨论 的单调性；
（2）若 ，实数 为方程 的两不等实根，求证： .
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析
【分析】
（1）根据题意得 ，分 与 讨论即可得到函数 的单调性；（2）根据题意构造函数 ，得 ，参变分离得 ，
分析不等式 ，即转化为 ，设 ，再构造函数 ，
利用导数得单调性，进而得证.
【详解】
（1）依题意 ，当 时， ，
①当 时， 恒成立，此时 在定义域上单调递增；
②当 时，若 ， ；若 ， ；
故此时 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）方法1：由 得
令 ，则 ，
依题意有 ，即 ，
要证 ，只需证 （不妨设 ），
即证 ，
令 ，设 ，则 ，
在 单调递减，即 ，从而有 .
方法2：由 得
令 ，则 ，
当 时 ， 时 ，故 在 上单调递增，在 上单调递减，
不妨设 ，则 ，
要证 ，只需证 ，易知 ，
故只需证 ，即证
令 ，（ ），
则
= = ，
（也可代入后再求导）
在 上单调递减， ，
故对于 时，总有 .由此得
21．已知函数 有两个极值点 .
（Ⅰ）求实数 的取值范围；
（Ⅱ）求证： ；
（III）求证： .
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见解析（III）见解析
【分析】
（Ⅰ）求出导函数 ．设 ，通过导函数判断函数的单调性，转化求解函数最小
值，当函数 有两个极值点时，求解 的取值范围．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， 为 的两个实数根，不妨设 ，要证 ，即证 ，而 在 上单调递减，所以即证 ，即证 ，即 ，
，设 ，利用导数证明其单调性即可得证；
（III）要证 ，只需证 ．设函数 ， ，利用导函
数判断函数的单调性转化求解即可．
【详解】
解：（Ⅰ） ， ．
设 ，则 ．
令 ，解得 ．
当 时， ；当 时， ．
．
当 时， ， 函数 单调递增，没有极值点；
当 时， ，且当 时， ；当 时， ．
当 时， 有两个零点 ， ．
不妨设 ，则 ．
当函数 有两个极值点时， 的取值范围为 ．
（Ⅱ）不妨设 ，要证 ，即证 ，而 在 上单调递减，所以即证
，即证 ，即 ， ，设 ，
则 ，
令 ，则 ，当 ，则 ，即 在 上单调递增，在上单调递减，
所以
即
，
单调递增，
，所以原不等式成立；
（III）由（Ⅰ）、（Ⅱ）知， ， 为 的两个实数根， ， 在 上单调递减且
，
函数 在 ， 上也单调递减， ．
要证 ，只需证 ，即证 ．
设函数 ， ，则 ．
设 ，则 ，
在 上单调递增， ，即 ．
在 上单调递增， ．
当 时， ，则 ，
， ．
22．已知 .
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）设 ，且 ，求证： .
【答案】（1）单调增区间为 ，单调减区间为 ；（2）证明见解析【分析】
（1）利用导数证明单调性即可；
（2）利用导数证明函数 在 上单调递增，且 ，又 ，不妨设 ，
则有 ；利用分析法得出要证 ，只需证明 ，其中 ，构造函数
，利用导数证明其单调性，得出 在 的最小值大于4，即可
证明 .
【详解】
（1）当 时，
∴ ，
令 ，解得 或
令 ，解得
因此 的单调增区间为 ，单调减区间为 .
（2）∵ ，
令 ，则
令 ，解得
令 ，解得
故函数 在 内单调递减，在 内单调递增
因此 ，则函数 在 上单调递增
且 ，又 ，不妨设 ，则有 ；
要证 ，只需证明 ，由 的单调递增，只需证明 ，
即： ，即证明 ，其中 .设 ，则
故 在 上恒成立，则 在 上单调递增
，故 在 上单调递增
从而 ，即有 在 上恒成立，即有 ，
从而有 ，证毕.
23．函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，求证： .
【答案】（1）见解析（2）见解析
【分析】
（1）对 分类讨论，利用导数证明单调性即可；
（2）构造函数 利用导数得出 的极值点，根据极值点得出 ，再
次构造函数 ， 利用导数证明其单调性，根据单调性得出
，结合 得出 ，再由 的单调性，即可证
明 .
【详解】
（1）函数 ， .
.
对 分类讨论： 时， ，可得： 时，函数 单调递减； 时，函数
单调递增.时，令 ， .
时， ， ，则函数 在 上单调递减.
且 时，由 ，解得 ， .
.
时， ，∴函数 在 ， 上单调递减；在 上单调递增.
时， ，∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）证明：
即
令
∴
可得函数 在 上单调递减，在 上单调递增
∴ 时，函数 取得极小值即最小值，
∵ ，∴
设 ，
∴函数 在 上单调递增，∴
∴∵ ， ， 在 上单调递增，∴
∴
24．已知函数 有两个零点.
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设x ，x 是 的两个零点，证明： .
1 2
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）见解析
【详解】
试题分析：（Ⅰ）求导，根据导函数的符号来确定（主要要根据导函数零点来分类）；（Ⅱ）借助（Ⅰ）
的结论来证明，由单调性可知 等价于 ，即 ．设
，则 ．则当 时， ，而 ，故当 时，
．从而 ，故 ．
试题解析：（Ⅰ） ．
（Ⅰ）设 ，则 ， 只有一个零点．
（Ⅱ）设 ，则当 时， ；当 时， ．所以 在 单调递减，
在 单调递增．
又 ， ，取 满足 且 ，则
，
故 存在两个零点．
（Ⅲ）设 ，由 得 或 ．
若 ，则 ，故当 时， ，因此 在 单调递增．又当 时
，所以 不存在两个零点．若 ，则 ，故当 时， ；当 时， ．因此
在 单调递减，在 单调递增．又当 时， ，所以 不存在两个零点．
综上， 的取值范围为 ．
（Ⅱ）不妨设 ，由（Ⅰ）知 ， ， 在 单调递减，所以
等价于 ，即 ．
由于 ，而 ，所以
．
设 ，则 ．
所以当 时， ，而 ，故当 时， ．
从而 ，故 ．
25．已知函数 .
（1）证明： 在 上为增函数；
（2）若 ， ，证明： .
【答案】
（1）证明见解析
（2）证明见解析
【分析】
（1）由题可知 ，利用导数可求最小值，即证；
（2）由题可得 ，要证 ，只需证， ，构造函数
，利用导数即证.
（1）由题意， ，
令 ，则 ，令 ，则 ，
故在区间 上， ， 为减函数；
在区间 上， ， 为增函数，
∴ ，
故 ，故 在 上为增函数.
（2）
由（1）知 为增函数，且 ，故由 ， ，
可得 ，则 .
欲证： ，只需证： ，即证： ，即证： .
令 ，则 ，
令 ，则 ，
故 为增函数， ，故 为增函数， ，
故 ，则 ，
∴ .
类型二:消元解决双变量问题26-100题
26．设函数 ，
（1）求 的单调区间；（2）设 ，求证： ，恒有 .
（3）若 ，函数 有两个零点 ，求证 .
【答案】
（1）答案见解析
（2）证明见解析
（3）证明见解析
【分析】
（1）求出函数 的定义域，讨论 、 时，解不等式 和 即可得出函数
的单调递增区间和递减区间；
（2）利用导数分析函数 在区间 上的单调性，利用导数证明出 ，即可证得结
论成立；
（3）分析得出要证明 ，由已知条件得出 ，要证明 ，分析得出
等价于证明 ，令 ，构造函数 ，利用导数证明出
，即可得出 ，进而可证得结论成立.
（1）
函数 的定义域为 ，
且 ，
当 时，由 可得 ，由 可得 ，
因此函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；当 时， 恒成立，此时 的单调递增区间为 ，
综上所述：当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 .
（2）
， ，
所以 ，
因为 ，
所以当 时， ，函数 在区间 上单调递减，
当 时， ， ，
所以 ，其中 ，
构造函数 ，其中 ， ，
则 ，所以函数 在 上单调递增，
则 ，
所以函数 在 上单调递增， ，
所以对于 、 ，恒有 ；
（3）
因为 ，则 ，
所以函数 单调递增，且 ，
要证 ，即证 ，即证 ，即证 ，
因为函数 有两个零点 ，
由题意可得 ，
上述两个等式作差得 ，
下面先证明 ，只需证： ，
整理得 ，即证 ，
设 ，不妨设 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，所以 ，
因为 ，所以 ，故原不等式 成立.
27．已知函数 .
（1）函数 在定义域内恒成立，求实数 的取值范围：
（2）求证：当 时， ；
（3）若 有两个不同的零点 ，求证： .
【答案】
（1）
（2）证明见解析（3）证明见解析
【分析】
（1） 在定义域内恒成立只需要 在定义域内满足 ，对 进行分类讨论；
（2）取 时， ，然后将待证不等式的左边取对数，让左边的式子结构能和 产生联
系；（3）由题知 ，联立该两个方程，由于待求证表达式不含有 ，故想办法消去参数，
只保留 的关系，然后构造函数进行解决.
（1）
函数定义域为 ， ，当 时， ，不满足题设；当 时，
， ，在 上， ， 单调递增，在 上， ， 单调递减，
所以 ，解得 .综上： 的取值范围是 .
（2）
证明：由（1）得，当 时 ，当且仅当 时等号成立，所以 ，结合对数的运
算法则可得
，
所以 .所以 .
（3）
由题意 ， ，两式相减得 ，即 ，故要证明，即证明 ，
即证明 ，不妨设 ，令 ，
，
令 ， ，
所以 在 上单调递减， ，所以 在 上单调递减，
， 在 上成立，
令 ，得 ，所以 .
28．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）设 ,当 时，满足 ，求证： ．
【答案】（1） ， 上减； ， 上减， 上增；（2）证明见解析．
【分析】
（1）求导分两种情况当 时，当 时，利用导函数的正负得到函数 的单调性．
（2）由 得到 ，代入所求，化简得 ，令
， ，令 ，求导分析单调性，最值，即可得出结论．
【详解】
（1）函数 ，定义域为 ， ，当 时， ，所以 在 上为减函数，
当 时， 即 ，所以 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上为减函数，在 上为增函数.
综上，当 时， ，所以 在 上为减函数，
当 时， 在 上为减函数，在 上为增函数.
（2）由题意 ，由 ，得
所以 ，将 代入得：
得 ，又 ，
所以 ，
设 ， ，则
所以 在 上是减函数，
所以 ，即 ，又 ，
所以 .
29．已知函数 ， .
（1）求函数 的单调区间；（2）若函数 的图象与函数 的图象交于 ， 两点，其中 ，求
证： .
【答案】（1）增区间为 ，减区间为 ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出导函数，结合导函数值的正负研究函数的单调性，即可求出单调区间；
（2）证明不等式 ，先找两个式子之间的联系，将不等式转化为证明
，再设 ，利用换元法 减少参数数量来证明，即证 ，
再构造函数 ，利用最值思想证得该不等式.
【详解】
（1） ， ，
令 ，得 ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；
的增区间为 ，减区间为 .
（3）证明：由 ，得 ，记 ，由 ，得 ，记 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
又 ，
下面证： ，设 ，
则
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，
故 .
30．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性;
（2）若 ，设 为 的导函数，若函数 有两个不同的零点 ，求证： ．【答案】（1）见解析
（2）证明过程见解析.
【分析】
（1）根据实数 的正负性，结合导数的性质分类讨论进行求解即可；
（2）根据零点的定义，结合指数的运算法则，通过构造新函数，利用导数的性质进行证明即可.
【详解】
（1）由 ，可得 ，
当 时， ，函数 是实数集上的增函数，
当 时，令 ，
当 时， ，函数 单调递增，当 时， ，函数 单调递减，
综上所述：当 时，函数 是实数集上的增函数，
当 时，当 时，函数 单调递增，当 时，函数 单调递减；
（2）由（1）可知：当 时，当 时，函数 单调递增，当 时，函数 单调递减，
所以函数有最小值，
最小值为： ，
因为函数 有两个不同的零点 ，不妨设 ，
因为当 时， ，当 时， ，
所以有 ，即 ，
，
因为函数 有两个不同的零点 ，
所以 ，因此
令 ，构造函数 ，
因为 ，所以 ，因此 ，
所以当 时，函数 单调递减，故有 ，而 ，
所以 .
31．已知函数 .
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）若 ，证明： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）分离参数得到 ，进而通过导数方法求出函数 的最大值即可；
（2）根据条件得到 ，进而整理为 ，
进而求出 的范围，再解出 的范围，最后得到答案.
【详解】
（1）因为 ，所以 对 恒成立.
设函数 ，则 .
令函数 ，因为 在 上单调递减，且 .所以当 时， ，则 ；当 时， ，则 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
从而 ，故 的取值范围为 .
（2）由 ，得 ，
即 ，整理得 .
令 ，设函数 ，则 ，所以 在 上单调递减，在 上单调
递增，所以 ，即 ，
所以 .因为 ，所以 .
因为方程组 无解，所以 中的等号不成立，
所以 .
32．已知函数 .
（1）讨论 的极值点的个数；
（2）若函数 有两个极值点 ， ，证明： .
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由题可求导函数 ，再通过分类讨论即得；
（2）由（1）知 ，由题得需证明 ，构造函数 ，
然后利用导函数求最值即可.【详解】
（1）由题意得， ，
设 ，
则 ，
①当 时， ， 单调递减，
，
故 时， 有唯一零点， 在 上有一个极值点；
②当 时， ， 单调递增，
，
故 时， 有唯一零点， 在 上有一个极值点.
综上可得，当 时， 的极值点的个数为0；
当 时， 的极值点的个数为2；
当 时， 的极值点的个数为1.
（2）证明：因为函数 有两个极值点，
由（1）可知 .
设 ，则 ， ，
当 ， 时， 显然成立；
则 ， ， ，
则 ，
故 ，故 ，
同理 ，
两式相减得 ，
则 .
而要证 ，
只需证 ，
即 ，
因为 ，
所以 ，
故上式可化为 ，
即
令 ，
则 ，
上式即为 .
令 ，
则 ，
故 为减函数，
故 ，即 ，原命题得证.
33．已知函数 有三个不同的极值点 ， ， ，且 .
（1）求实数a的取值范围；
（2）若 ，求 的最大值.
【答案】（1） （2）3
【分析】
(1)由题意转化为 有三个不同解，即 有两个不同正根，分离参数得 ，结合
的单调性及最小值即可求解；
（2）由（1）知条件可化为 ，令 ，条件转化为 ，利用导数求出函
数 单调递增且 即可求解.
【详解】
（1） ，原函数定义域为 ，
由题意， 则 或 ，
有两个不等于1的正实根，
令 ，则 ，即当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
， ，
.（2）由题意三个极值点 ，
可化为 ，
令 ，
，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
故 单调递增，
， ，
单调递增，
，
34．已知函数f(x)＝lnx﹣ax，a为常数．
（1）若函数f(x)在x＝1处的切线与x轴平行，求a的值；
（2）当a＝1时，试比较f（m）与f（ ）的大小；
（3）若函数f(x)有两个零点x、x，试证明xx＞e2．
1 2 1 2
【答案】（1）a＝1；（2）答案不唯一，具体见解析；（3）证明见解析．
【分析】
（1）求出原函数的导函数，由函数在x＝1时的导数值等于0求得a的值；
（2）把a＝1代入函数解析式，利用导数求出函数的单调区间，构造函数 ，由导数得
到函数h（m）的单调性，在定义域内分m＜1，m＝1，m＞1得到h（m）的符号，从而得到f（m）与f（）的大小；
（3）由函数f(x)有两个零点x、x，得到lnx﹣ax＝0，lnx﹣ax＝0，进一步得到 ，lnx+lnx
1 2 1 1 2 2 1 2
＝a（x+x），把证明xx＞e2转化为证lnx+lnx＞2，结合lnx+lnx＝a（x+x）转化为证明
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
（x＞x），换元后利用导数得到证明．
1 2
【详解】
（1）解：由f(x)＝lnx﹣ax，得： ，
∵函数f(x)在x＝1处的切线与x轴平行，
∴ ，即a＝1；
（2）当a＝1时，f(x)＝lnx﹣x，
∴ ，
当0＜x＜1时， ，f(x)单调递增，
当x＞1时， ，f(x)单调递减．
令 ，
则 ．
又∵h（1）＝0，
①当0＜m＜1时，h（m）＞0，即 ；
②当m＝1时，h（m）＝0，即 ；
③当m＞1时，h（m）＜0即 ；
（3）证明：∵函数f(x)有两个零点x、x，
1 2
∴lnx﹣ax＝0，lnx﹣ax＝0，
1 1 2 2∴lnx+lnx＝a（x+x），lnx﹣lnx＝a（x﹣x），
1 2 1 2 1 2 1 2
∴ ，
欲证明 ，即证lnx+lnx＞2，
1 2
∵lnx+lnx＝a（x+x），
1 2 1 2
∴即证 ，
∴原命题等价于证明 ，
即证： （x＞x），
1 2
令 ，则t＞1，设 （t＞1），
，
∴g（t）在（1，+∞）上单调递增，
又∵g(1)＝0，
∴g（t）＞g(1)＝0，
∴ ，即 ．
35．已知函数 ， .
（1）若 存在单调递增区间，求 的取值范围；
（2）若 ， 与为 的两个不同极值点，证明： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由题意知 有解，分离 可得 有解，令 ，可得 ，利
用导数求 的最大值即可求解；（2）由题意知 ， 是 的两根，将 ， 代入 整理可得 ，所证
明不等式为 ，令 ， 问题转化为证明
成立，利用导数证明单调性求最值即可求证.
【详解】
（1）函数定义域为 ，根据题意知 有解，
即 有解，令 ， ，
且当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，所以 ；
（2）由 ， 是 的不同极值点，知 ， 是 的两根，
即 ，所以 ①，
联立可得： ②，
要证 ，由①代入即证 ，即 ，
由②代入可得 ③，因为 ，则③等价于 ，
令 ， 问题转化为证明 ④成立，
而 ，
在 上单调递增，当 ， ④成立，即得证.
36．已知函数 存在两个零点 ， .
（1）求 的取值范围；
（2）证明： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求 ，讨论 时 单调不合题意， 时需 ，求出 的范围，再讨论 的范围，
结合单调性以及零点存在定理即可求证 的范围符合题意；
（2）由（1）知： 在 和 上分别有一个零点；不妨设 ，将零点代入整理可
得 ，要证 ，只需证 ，令 ，构
造函数 ， 利用导数求最值即可求证 ，即得证.
【详解】
（1） ，
①当 时， ，则 在 上单调递增， 至多有一个零点，不合题意；②当 时，当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增，
则 ，解得 ，注意此时 ，
（i）当 时， ，此时 ，
则 在 和 上分别存在一个零点；
（ii）当 时， ，
设 ， ，所以 ， ，
所以 在 单调递增，则 ，
所以 在 单调递减，则 ，即 ，
此时 ，则 在 和 分别存在一个零点；
综上，若 有两个零点，则 的取值范围为 ；
（2）不妨设 ，由 得：
，
两式相减得： ，
两式相加得： ，
要证 ，只需证 ，
只需证 ，
因为 ，所以只需证 ，即证 ，
令 ， ， ，
则 ，
所以 在 单调递增，
则 ，所以原不等式得证.
37．已知函数 ， .
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）当 ，时，函数 有两个极值点 ， （ ），证明： .
【答案】（1）减区间为 ，增区间为 ；（2）具体见解析.
【分析】
（1）对函数求导，根据导函数和原函数的关系得出单调区间；
（2）先求出导函数 ，设 ，进而通过 的符号得出 的单调区间，再通过特值法和
放缩法判断出 零点的位置，进而得到 的符号，从而得出原函数的单调区间和极值点，最后再通
过放缩法证明问题.
【详解】
（1） ， ， 时， ， 时， ，则函数 在
单调递减，在 单调递增.
（2） ，令 ，∵ ，则 在R上单调递增，∴ 时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增，∴
在 处取得极小值，且 .
令 ， ，则 时， ， 单调递增，∴ ，
∴x>0时， ，则 ，于是x>0时， .
∴ ，
∴ 时， ，于是 （x 唯一），使得 .
2
∴ 时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减， 时，
， 单调递增.
则函数 在 处取得极小值，在 处取得极大值.
又∵ ，∴ ，∴ ，∴ .
38．已知函数 ， .
（1）已知函数 在区间 上单调，求实数m的取值范围；
（2）设 ，若 ， ， ，求整数m的最小值.（参考数据：
， ）
【答案】（1） ；（2）3.
【分析】
（1）由函数的导数与函数单调性的关系，分函数在 上单调增与单调减两种情况讨论，综合即可得答案；
（2）由题意得， ，分析可得必有 对 求导，对m
分类讨论即可得答案.
【详解】
解：（1） ，
若函数 在区间 上单调递增，则 在 恒成立，
所以 ，解得 ；
若函数 在区间 上单调递减，则 在 恒成立，
所以 ，解得 ，
综上，实数m的取值范围为 .
（3）由题意得， ，
因为 ，所以 ，
即 ，
由 ，
当 时，因为 ，则不合题意；
当 时，由 ，得 或 （舍去），
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增.所以 ，即 ，
整理得， ，
设 ， ，
所以 单调递增， ，
又因为 ， ，
所以 ，
故整数m的最小值为3.
39．已知函数 ， .
（1）求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；
（2）设g(x)=f(x)+（a+1）x，证明：当-1
