专题 35 导数中双变量与极值点偏移必刷 100 题
类型一:极值点偏移问题1-25题
1．（1）设 ，且 ，证明： ；
（2）若函数 ，且m为非零实数，若存在 ，且 ，使得
，证明 ： ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）双变量问题转化为单变量问题，通过构造函数来进行证明；（2）通过构造函数证明 ，
再结合第一问的结论证明
【详解】
证明：（1）不妨设 ，则 ，
等价于 ，
设 ，令 ， ，
所以 在 上单调递减， ，故 ，
设 ，令 ， ，
所以 在 上单调递增， ，故 ，
故 ．（2） 的定义域为 ， ，
因为 为非零实数，所以 ，
，
即 ，
令 ， ，所以 在 上单调递减，
不妨设 ， ， ， ，
由（1）得 ，所以 ，所以
2．已知函数 有且仅有两个极值点 ， 且 ．
（1）求实数 的取值范围；
（2）证明： ．
【答案】
（1）
（2）证明见解析
【分析】
（1）原问题等价于 有两个零点 ， 且 ，（i）当 时， 在 上单调
递减，至多有一个零点，不符合题意；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递
增，
令 ，又 ， ，由函数零点存在定理可得，即可求解；
（2）由题意， ， ，即 ， ，两式相减得 ，令
，则 ， ， ， ，要证： ，即证： ，只需证： ，最后构造函数即可证明.
（1）
解：函数 ， ，
因为函数 有两个极值点 ， ，
所以 有两个零点 ， 且 ，
令 ， ，
（i）当 时， ，则 在 上单调递减，至多有一个零点，不符合题意；
（ii）当 时，令 ， ，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
所以 的最小值为 ，
令 ，解得 ，
又因为 ， ，
所以由函数零点存在定理可得，在区间 和 上各有一个零点，符合题意，
所以 的取值范围为 ；
（2）
证明：由（1）可知 ， ，
所以. ，
因为 ， 是 的两个零点，所以 ， ，即 ， ，
两式相减得 ，令 ，则 ， ， ，
所以 ， ， ，
要证： ，即证： ，即证： ，
只需证： ，
令 ， ， ，
，
所以 在 上单调递增且 ，
所以 ，则 在 上单调递增且 ，
所以 ，从而得证 ．
3．已知函数 （ 为自然对数的底数）， 为 的导函数．
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）当 时，若存在不相等的实数 ， ，使得 ，证明： ．
【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】
（Ⅰ）先计算 ，再对 求导得 ，分 、 、 分别解不等式 和
即可得单调单增区间和单调递减区间；
（Ⅱ）计算 的单调性和最小值，可判断 ，由 可得 ，
构造函数 ，计算 ， 再构造函数 求导利用单调性判断 即可得 ，代入 即可求证.
【详解】
（Ⅰ）由 得： ，
，
当 时， 是常函数，不具有单调性；
当 时，由 即 可得 ，由 即 可得 ，
当 时，由 即 可得 ，由 即 可得 ，
综上所述：当 时， 是常函数，没有单调区间；
当 时， 的单调递区间是 ， 的单调减区间是 ，
（Ⅱ）当 时， ，
由 可得 ；由 可得 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，
因为存在不相等的实数 ， ，使得 ，
当 时， ，当 趋近于 时， 趋近于 ，所以 ，
所以 ，即
两边同时取对数可得： ，即 ，
设 ，则 ，且 ，
由 可知 ，
而
，
令 ，则 ，所以
所以 ，
所以 在 上单调递减，故 ，
即 ，所以 ， ，
则有 ，
即 .
4．已知函数 .
（1）求 的单调区间与极值.
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
【答案】（1）单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，极大优值 ，无极小值；（2）证明见
解析.【分析】
首先求函数的导数，利用导数和单调性，极值点的关系，即可求解；
（2）首先由条件变形为 ，即 ，通过构造函数 ，
，转化为极值点偏移问题，即可求解.
【详解】
（1）解： 的定义域为 ， .
当 时， ；当 时，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
故 在 处取得极大值，且极大值为 ，无极小值.
（2）证明：易知 ， ，
即 ， .
不妨设 ， ， .
（1）可知 ， ，
当 时， ，
当 时， ，
设 ， ，
则 ，
因为 ， ，所以 ， 在区间 上单调递增，
，
所以 ，
又因为 ， ，所以 ，
即 ，故 .
5．已知函数 ，其中 ，且 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若直线 恒在函数 图像的上方，求实数 的取值范围；
（3）若存在 ， ，使得 ，求证： .
【答案】（1）答案见解析；（2） ；（3）证明见解析.
【分析】
（1）写出函数的定义域并求导，进而讨论参数a，最后求出函数的单调性；
（2）将问题转化为不等式 恒成立问题，进而求出a的范围；
（3）构造函数 ，进而求出函数的单调性，然后将 化到同一单调区间，最后得到
答案.
【详解】
（1） 的定义域为 ， .
①当 时， ，∴函数 在 上单调递增.②当 时，在区间 上， ；在区间 上， ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减.
综上，当 时，函数 在 上单调递增，当 时，函数 在 上单调递增，在
上单调递减.
（2）当 时，取 ，
则 ，不符合题意.
当 时，令 ，
则 .
问题转化为当 恒成立时，求实数 的取值范围.
∵ ，
∴在区间 上， ， 单调递减；在区间 上， ， 单调递增.
∴ 的最小值为 ，∴只需 ，即 ，
∴ ，∴ .
即实数 的取值范围为 .
（3）由题意知， .构造函数 （ ），
则 ，
∴ ，
∴函数 在区间 上单调递减.
∵ ，∴ ，∴ .
又 ，∴ .
由（1）知，当 时 在 上单调递减，∴ ，即 .
6．已知函数 ，其中 为自然对数的底数.
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，且 ，证明： .
【答案】（1） 时，递增； 时，递减；（2）证明见解析.
【分析】
（1）首先求函数的导数，并判断导数的单调性，结合导函数的零点，判断函数的单调性；（2）首先方程
变形为 ，设 ， ，通过构造函数 ，
，利用导数证明 ，再分 和 时，证明 .
【详解】
解：（1） ， 是减函数， 是增函数，所以 在 单调递减，
∵ ，
∴ 时， ， 单调递增； 时， ， 单调递减.
（2）由题意得， ，即
， ，
设 ， ，则由 得， ，且 .
不妨设 ，则即证 ，
由 及 的单调性知， .
令 ， ，则
，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，取 ，则 ，
又 ，则 ，
又 ， ，且 在 单调递减，∴ ， .
下证： .
（i）当 时，由 得， ；（ii）当 时，令 ， ，则
，
记 ， ，则 ，
又 在 为减函数，∴ ，
在 单调递减， 在 单调递增，∴ 单调递减，从而，
在 单调递增，
又 ， ，
∴ ，
又 ，
从而，由零点存在定理得，存在唯一 ，使得 ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增.
所以， ，
又 ，
，
所以， ，
显然， ，所以， ，即 ，
取 ，则 ，
又 ，则 ，
结合 ， ，以及 在 单调递增，得到 ，
从而 .
7．已知函数 ．若函数 存在三个零点，分别记为 ， ， ．
（1）求 的取值范围；
（2）证明： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）通过导数求出函数的单调区间，然后结合零点存在定理即可得到答案；
（2）要证 ，∵ ，∴ ，则 ，由函数的单调性可
知，只需证明： 即可.
【详解】
（1） ，
令 ，得 ， ．
所以当 时， ，则 单调递增，
当 时， ，则 单调递减，
当 时， ，则 单调递增，
所以 的极大值为 ，极小值为 ．若函数 存在三个零点，
则 ，所以 ，
此时 ， ， ，故 存在三个零点，
所以 ，函数 存在三个零点；
（2）证明：要证 ，只需证
因为函数 存在三个零点，分别记为 ， ， ，
由（1）知 ，故
又 时， 单调递减，
故只需证 ，
又
，所以 ，即 ．
8．已知函数 （ ，且 ）为单调减函数， 的导函数 的最大值不
小于0．
（1）求 的值；
（2）若 ，求证： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【分析】
（1）由 在 上恒成立求得 的一个范围，再由 的最大值不小于0又得 的一个范围，
两者结合可得 值．（2）由（1）知 ，因此 中一个不大于1，另一个不小于1，不妨设 ，构造函数
证明它在 上 ，利用已知式可得 与 的不等关系，证得结论成立．
【详解】
（1）因为 为单调减函数，
所以 恒成立，
所以 在 上恒成立．
由于当 时， ，
所以 ，解得 ．
因为 ，
当 时， 的最大值为 ，
由题意， ，所以 ．
综上， ．
（2）由（1）知， ，所以 ．
因为 ， 为 单调减函数，
可设 ．
令 ， ．
所以
，所以 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ， ．
因为 ，所以 ．
因为 为 单调减函数，
所以 ，即 ．
9．已知函数 ( )．
（1）求函数 的单调性；
（2）设函数 满足 ，若函数 有两个不同的零点 、 且 ．
①求实数 的取值范围；
②证明： ．
【答案】（1） 在 上单调递增；（2）① ；②证明见解析．
【分析】
（1）求导后分析导函数的正负即可.
（2）
①求出 ，再令 ，问题转化为寻求 使得 的极小值小于0即
可
②极值点偏移问题，构造对称函数即可证明.
【详解】
（1）由已知得函数 的定义域为 ，则 ，
∵ 时 恒成立，∴ 在 上单调递增，
（2）∵ ，
∴ ，其定义域为 ，①设 ( )，∴ ，
令 ，则 ，令 ，则 ，
∴当 时 单调递减，
当 时 单调递增，∴ 的极小值为 ，
∵函数 有两个不同的零点，即 有两个不同的零点，
∴需 的极小值 ，即 ，
∵当 时 ， ，
令 ( )，则 ，
当 时 ，∴ 在 上单调递增，
∴ ，
∴ 在 和 上分别有 个零点，
∴当 时 在 上有两个不等零点，
即 有两个不同的零点，∴实数 的取值范围为 ，
②由①知 ，∴ ，要证 ，即证 ，
∵ 时 单调递增，故而即证 ，
又 ，即证 ，
设函数 ，其中 ，
由于 ，
故 ，当且仅当 时等号成立，
∴ 在 上单调递减，由于 ，因而 ，
即 ，故而 得证．
10．已知函数 有两个相异零点 ．
（1）求a的取值范围．（2）求证： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出导函数 ，由 确定单调性，然后结合零点存在定理求出参数范围；
（2）由（1）不妨设 ，首先把多个变量 ， 的不等式 变形为
，构造函数 ，确定单调性后证得 ，这样利用 在
是递增，要证原不等式只要证 ，即证 ，构造函数
，利用导数证明此不等式成立．
【详解】
解：（1）
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；
由 得，
当 时， ，
所以 使得f 使得 ，
综上：
（2）由（1）可知， ，
要证
即证构造函数 ，则
所以 在 单调递减， ．
故有
因为 在 上单调递增，
所以只需证
即证
构造函数 ，
下面证 在 时恒成立
即证
构造函数
在 时恒成立
因此 在 上单调递增，从而 ，
在 时恒成立
在 时单调递增
成立，即
成立．
11．已知函数 ．
（1）讨论 在其定义域内的单调性；
（2）若 ，且 ，其中 ，求证： ．
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析.【分析】
（1）求出导函数 ，由 确定增区间，由 确定减区间；
（2）由（1）知函数的单调性，不等式不等式转化为 ，由于 ， ，利用
单调性不等式转化为故只需证明 ，
即证 ，这样引入新函数 ，利用导数证明
时， 即得．
【详解】
（1）
①当 时， ，则 在区间 上单调递增；
②当 时， ， ， 在区间 上单调递增；
， ， 在区间 上单调递减，
（2）由（1）得：
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ ，
将要证的不等式转化为 考虑到此时， ， ，
又当 时， 递增，
故只需证明 ，即证 ，
设 ，
则 .
当 时， ， 递增，所以，当 时， .
所以 ，从而命题得证.
12．已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的图象在点 处的切线方程；
（Ⅱ）若存在两个不相等的数 ， ，满足 ，求证： ．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】
（Ⅰ）首先求函数的导数，利用导数的几何意义，求函数的图象在点 处的切线方程；（Ⅱ）首先
确定函数零点的区间，构造函数 ，利用导数判断函数 的单调性，并得
到 在 上恒成立，并利用单调性，变形得到 .
【详解】
（Ⅰ） ，
所以 的图象在点 处的切线方程为 ．
（Ⅱ）令 ，解得 ，
当 时 ， 在 ．上单调递增；当 时， ， 在 上单调递减．
所以 为 的极大值点，不妨设 ，由题可知 ．
令 ，
，因为 ，所以 ，
所以 单调递减．
又 ，所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立．
所以 ，
因为 ， ，
又 在 上单调递增，所以 ，
所以 ．
13．设函数 ， .
（1）若 对 恒成立，求 的取值范围；
（2）若 ，当 时，求证： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出导函数 ，分类讨论，确定 的单调性，最大值，解相应的不等式可得；（2） 变形为 ，在证的不等式中若 或
，不等式已经成立，因此只要证 时不等式成立，
首先引入函数 ， ， ，由导数确定出 的单调性，要证的
不等式为 转化为证 ， ，即证： ，为此再
引入新函数 ， ，利用导数可证．
【详解】
（1）解： ，
当 时， ，令 得： ，
∴ 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
∴ ，由 ，得： ，
当 时， ，则 对 恒成立，
∴ 在区间 上单调递增，且 ，所以不符合.
故： 的取值范围为 .
（2）∵ ，
∴ ，得： ，若 或 ，则结论显然成立.
当 时， ，
令 ， ，
，所以 为单调递增函数，
则，证： 证： ，而 ，
所以等价于证： ，即证： ，
，
令： ，
，
得： 在区间 上递增，在区间 上递减，
∴ ，因为 ，所以 ，所以 ，
故原不等式得证.
14．已知函数 .其中 为常数.
（1）若函数 在定义域内有且只有一个极值点，求实数 的取值范围；
（2）已知 ， 是函数 的两个不同的零点，求证： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出导函数 ，分类讨论确定 的正负，得 的单调性，从而得极值点个数，由此可得结
论；（2）结合（1）求得函数有两个零点时 的范围，设 ，则 ， ，
引入函数 ，由导数确定它是减函数，得 ，
然后利用 ，再结合 的单调性得出
证明．
【详解】
（1） ，
当 时， ， 在 上单调递增，不符合题意，
当 时，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以此时 只有一个极值点．
（2）由（1）知
当 时， ， 在 上单调递增，函数 至多有一个零点，不符合题意，
当 时，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故当 时，函数 取得最小值 ，
当 时， ， ，函数 无零点，不合题意，
当 时， ， ，函数 仅有一个零点，不合题意，
当 时， ， ，又 ，所以 在 上只有一个零点，
令 ，则 ，
故当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 在 上只有一个零点.
所以 满足题意.
不妨设 ，则 ， ，
令 ，
则 ，
，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
所以当 时， ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
又 ， ，且 在 上单调递增，
所以 ，故 得证.15．已知函数 ， ，其中 .
（1）若函数 的图象与直线 在第一象限有交点，求 的取值范围.
（2）当 时，若 有两个零点 ， ，求证： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据题意设 ，问题转化为方程 ，在 有解，求导，分类讨论
①若 ，②若 ，③若 时，分析单调性，进而得出结论.
（2）运用分析法和构造函数法，结合函数的单调性，不等式的性质，即可得证.
【详解】
解：（1）设 ，
则由题设知，方程 ，在 有解，
而 .
设 ，则 .
①若 ，由 可知 ，且 ，
从而 ，即 在 上单调递减，从而 恒成立，
因而方程 在 上无解.
②若 ，则 ，又 时， ，
因此 ，在 上必存在实根，设最小的正实根为 ，
由函数的连续性可知， 上恒有 ，
即 在 上单调递减，也即 ，在 上单调递减，从而在 上恒有 ，
因而 在 上单调递减，故在 上恒有 ，即 ，
注意到 ，因此 ，
令 时，则有 ，由零点的存在性定理可知函数 在 ， 上有零点，符合题意.
③若 时，则由 可知， 恒成立，从而 在 上单调递增，
也即 在 上单调递增，从而 恒成立，故方程 在 上无解.
综上可知， 的取值范围是 .
（2）因为 有两个零点，所以 （2） ，
即 ，
设 ，则要证 ，
因为 ， ，
又因为 在 上单调递增，
所以只要证明 ，
设 ，
则 ，
所以 在 上单调递减， （2） ，所以 ，
因为 有两个零点， ， ，所以 ，
方程 即 构造函数 ，
则 ， ， ，
记 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，且 ，
设 ，
，
所以 递增，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ，
即 ，
， ， ，
所以 ，
同理 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
由 得：
，
综上： .
16．已知f（x）＝m e2x﹣2x（x+1） ex，其中e为自然对数的底数，且函数f（x）恰有两个极值点x，x.
1 2
（1）求实数m的取值范围；
（2）求证：3＜xx﹣（x+x）＜8.
1 2 1 2
【答案】（1） ；（2）证明见解析.【分析】
（1）求得导数，构造函数 ，将问题转化为 值域的求解，利用导数处理即可；
（2）构造函数 ，据此求得 的范围，借助基本不等式求得 的范围，即可证
明.
【详解】
（1） ，
函数f（x）恰有两个极值点x，x，则 有两个变号零点，
1 2
当 时， ，其 ，
故此时 有两个变号零点，满足题意；
当 时， ，
令 ，
故可得 ，
故当 或 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增.
且当 时， 恒成立，当 趋近于正无穷时， 趋近于0，
又 趋近于负无穷时， 趋近于正无穷；且 ，
故当 时， 只有一个极值点，不满足题意；
当 时， 有三个极值点，不满足题意；
当 时， 有两个极值点，满足题意；
当 时， 没有极值点，不满足题意.综上所述，
（2）令 ，则 ，
不妨设 ，由（1）可得： ，
令 ，
则
，
故 在 单调递减.
故当 时， ，即 .
令 ，则 ，又 ，故 ，
又因为 ，且 在 单调递减，
故 ，即 .
故 ，
由（1）知 ，
则
故 ，即 .综上可得： ， .
故3＜xx﹣（x+x）＜8即证.
1 2 1 2
17．已知函数 .
（1）若 ，求 的最小值；
（2）若 ，且 ，证明： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【分析】
（1）当 时, ,先求导可得 ,设 ,利用导函数可判断
在 上单调递增,由 ,即可判断 的单调性,进而求解；
（2）先求导可得 ,容易得到 在 上单调递增,由 ,即可判断 在
上单调递减,在 上单调递增,设 ,则 , ,设 ,利
用导函数可判断 在 上单调递增,则 ,即 ,则可得 ,即
,进而由 的单调性求证即可.
【详解】
（1）解:当 时, ,
所以 ,设 ,则 ,所以 在 上单调递增,
即 在 上单调递增,
因为 ,
所以当 时, ；当 时, ,
因此 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 .
（2）证明: ,则 ,所以 在 上单调递增,因为 ,
所以当 时, ；当 时, ,
因此, 在 上单调递减,在 上单调递增,
由 ,不妨设 ,则 , ,
令
,
则，
当 时， ，
故 ,所以 在 上单调递增；
所以当 时， 即 时, ，
因此 ,
又 ,所以 ,
因为 , , 在 上单调递增,
所以 ,即 ,故 .
18．已知函数 在 内有两个极值点x，x（x＜
1 2 1
x），其中a为常数.
2
（1）求实数a的取值范围；
（2）求证：x+x＞2.
1 2
【答案】（1）a＞1；（2）证明见解析.
【分析】
（1）转化问题为 有两个变号零点,设 ,利用导函数可得 在
上单调递增,则 ,即转化问题为 有两个变号零点,即 ,则,设 ,则直线y=a与 在x∈（0,+∞）有两个交点,进而利用导函数求
的最值,即可求解；
（2）由（1）,若x+x＞2,则g（x）＞g（2﹣x）,即g（x）＞g（2﹣x）,构造函数F（x）=g（x）﹣g（2
1 2 2 1 1 1
﹣x）,进而证明x∈（0，1）时F（x）＞0即可.
【详解】
（1）因为 ,
由题意知x，x 是导函数 的变号零点,
1 2
令 ,则 ,所以 在 上单调递增,
又 ,所以 ,
所以x，x 是 的两个零点,即 ,则 ,
1 2
又令 ,则g（x）=g（x）,
1 2
从而只需直线y=a与函数g（x） 的图象在x∈（0,+∞）上有两个交点,
由 可得当 时, ；当 时, ,
所以g（x）在（0,1）递减,在（1,+∞）递增,
从而 ,
所以a＞1.
（2）证明:由（1）知,0＜x＜1＜x,
1 2
若不等式x+x＞2成立,则g（x）＞g（2﹣x）,即g（x）＞g（2﹣x）,
1 2 2 1 1 1
令F（x）=g（x）﹣g（2﹣x）,x∈（0，1）,则只需F（x）＞0,
而 ,只需研究 的符号,因为 , ,
所以 ,
所以 ,则 ,
所以 ,
即x+x＞2成立.
1 2
19．已知函数 有两个不同的零点 ， .
（1）求a的范围；
（2）证明： .
【答案】（1） （2）见解析
【分析】
（1）分类讨论参数 的范围，利用导数得出单调性，结合函数的零点个数，得出 的范围；
（2）不妨设 ，由（1）可知， ，结合函数 的单调性，
得出 等价于 ，即 ，构造函数 ，
，求出 ，即可得出结论.
【详解】
（1）
当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
，且当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→+∞，
则函数 有两个不同的零点 ， ，
当 时， 或 ；在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增
结合 可知，此时函数 只有一个零点
当 时， 或 ；
在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增
结合 ， 可知，此时函数 只有一个零点，
当a＝0时，f（x）＝xex只有一个零点x＝0，不合题意；
综上， .
（2）不妨设 ，由（1）可知，
在 上单调递减
等价于 ，即
由于 ，而
则
设 ， ，则
则函数 在 上单调递减，
即 ，从而
20．已知函数
（1）若 ，试讨论 的单调性；
（2）若 ，实数 为方程 的两不等实根，求证： .
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析
【分析】
（1）根据题意得 ，分 与 讨论即可得到函数 的单调性；（2）根据题意构造函数 ，得 ，参变分离得 ，
分析不等式 ，即转化为 ，设 ，再构造函数 ，
利用导数得单调性，进而得证.
【详解】
（1）依题意 ，当 时， ，
①当 时， 恒成立，此时 在定义域上单调递增；
②当 时，若 ， ；若 ， ；
故此时 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）方法1：由 得
令 ，则 ，
依题意有 ，即 ，
要证 ，只需证 （不妨设 ），
即证 ，
令 ，设 ，则 ，
在 单调递减，即 ，从而有 .
方法2：由 得
令 ，则 ，
当 时 ， 时 ，故 在 上单调递增，在 上单调递减，
不妨设 ，则 ，
要证 ，只需证 ，易知 ，
故只需证 ，即证
令 ，（ ），
则
= = ，
（也可代入后再求导）
在 上单调递减， ，
故对于 时，总有 .由此得
21．已知函数 有两个极值点 .
（Ⅰ）求实数 的取值范围；
（Ⅱ）求证： ；
（III）求证： .
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见解析（III）见解析
【分析】
（Ⅰ）求出导函数 ．设 ，通过导函数判断函数的单调性，转化求解函数最小
值，当函数 有两个极值点时，求解 的取值范围．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， 为 的两个实数根，不妨设 ，要证 ，即证 ，而 在 上单调递减，所以即证 ，即证 ，即 ，
，设 ，利用导数证明其单调性即可得证；
（III）要证 ，只需证 ．设函数 ， ，利用导函
数判断函数的单调性转化求解即可．
【详解】
解：（Ⅰ） ， ．
设 ，则 ．
令 ，解得 ．
当 时， ；当 时， ．
．
当 时， ， 函数 单调递增，没有极值点；
当 时， ，且当 时， ；当 时， ．
当 时， 有两个零点 ， ．
不妨设 ，则 ．
当函数 有两个极值点时， 的取值范围为 ．
（Ⅱ）不妨设 ，要证 ，即证 ，而 在 上单调递减，所以即证
，即证 ，即 ， ，设 ，
则 ，
令 ，则 ，当 ，则 ，即 在 上单调递增，在上单调递减，
所以
即
，
单调递增，
，所以原不等式成立；
（III）由（Ⅰ）、（Ⅱ）知， ， 为 的两个实数根， ， 在 上单调递减且
，
函数 在 ， 上也单调递减， ．
要证 ，只需证 ，即证 ．
设函数 ， ，则 ．
设 ，则 ，
在 上单调递增， ，即 ．
在 上单调递增， ．
当 时， ，则 ，
， ．
22．已知 .
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）设 ，且 ，求证： .
【答案】（1）单调增区间为 ，单调减区间为 ；（2）证明见解析【分析】
（1）利用导数证明单调性即可；
（2）利用导数证明函数 在 上单调递增，且 ，又 ，不妨设 ，
则有 ；利用分析法得出要证 ，只需证明 ，其中 ，构造函数
，利用导数证明其单调性，得出 在 的最小值大于4，即可
证明 .
【详解】
（1）当 时，
∴ ，
令 ，解得 或
令 ，解得
因此 的单调增区间为 ，单调减区间为 .
（2）∵ ，
令 ，则
令 ，解得
令 ，解得
故函数 在 内单调递减，在 内单调递增
因此 ，则函数 在 上单调递增
且 ，又 ，不妨设 ，则有 ；
要证 ，只需证明 ，由 的单调递增，只需证明 ，
即： ，即证明 ，其中 .设 ，则
故 在 上恒成立，则 在 上单调递增
，故 在 上单调递增
从而 ，即有 在 上恒成立，即有 ，
从而有 ，证毕.
23．函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，求证： .
【答案】（1）见解析（2）见解析
【分析】
（1）对 分类讨论，利用导数证明单调性即可；
（2）构造函数 利用导数得出 的极值点，根据极值点得出 ，再
次构造函数 ， 利用导数证明其单调性，根据单调性得出
，结合 得出 ，再由 的单调性，即可证
明 .
【详解】
（1）函数 ， .
.
对 分类讨论： 时， ，可得： 时，函数 单调递减； 时，函数
单调递增.时，令 ， .
时， ， ，则函数 在 上单调递减.
且 时，由 ，解得 ， .
.
时， ，∴函数 在 ， 上单调递减；在 上单调递增.
时， ，∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）证明：
即
令
∴
可得函数 在 上单调递减，在 上单调递增
∴ 时，函数 取得极小值即最小值，
∵ ，∴
设 ，
∴函数 在 上单调递增，∴
∴∵ ， ， 在 上单调递增，∴
∴
24．已知函数 有两个零点.
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设x ，x 是 的两个零点，证明： .
1 2
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）见解析
【详解】
试题分析：（Ⅰ）求导，根据导函数的符号来确定（主要要根据导函数零点来分类）；（Ⅱ）借助（Ⅰ）
的结论来证明，由单调性可知 等价于 ，即 ．设
，则 ．则当 时， ，而 ，故当 时，
．从而 ，故 ．
试题解析：（Ⅰ） ．
（Ⅰ）设 ，则 ， 只有一个零点．
（Ⅱ）设 ，则当 时， ；当 时， ．所以 在 单调递减，
在 单调递增．
又 ， ，取 满足 且 ，则
，
故 存在两个零点．
（Ⅲ）设 ，由 得 或 ．
若 ，则 ，故当 时， ，因此 在 单调递增．又当 时
，所以 不存在两个零点．若 ，则 ，故当 时， ；当 时， ．因此
在 单调递减，在 单调递增．又当 时， ，所以 不存在两个零点．
综上， 的取值范围为 ．
（Ⅱ）不妨设 ，由（Ⅰ）知 ， ， 在 单调递减，所以
等价于 ，即 ．
由于 ，而 ，所以
．
设 ，则 ．
所以当 时， ，而 ，故当 时， ．
从而 ，故 ．
25．已知函数 .
（1）证明： 在 上为增函数；
（2）若 ， ，证明： .
【答案】
（1）证明见解析
（2）证明见解析
【分析】
（1）由题可知 ，利用导数可求最小值，即证；
（2）由题可得 ，要证 ，只需证， ，构造函数
，利用导数即证.
（1）由题意， ，
令 ，则 ，令 ，则 ，
故在区间 上， ， 为减函数；
在区间 上， ， 为增函数，
∴ ，
故 ，故 在 上为增函数.
（2）
由（1）知 为增函数，且 ，故由 ， ，
可得 ，则 .
欲证： ，只需证： ，即证： ，即证： .
令 ，则 ，
令 ，则 ，
故 为增函数， ，故 为增函数， ，
故 ，则 ，
∴ .
类型二:消元解决双变量问题26-100题
26．设函数 ，
（1）求 的单调区间；（2）设 ，求证： ，恒有 .
（3）若 ，函数 有两个零点 ，求证 .
【答案】
（1）答案见解析
（2）证明见解析
（3）证明见解析
【分析】
（1）求出函数 的定义域，讨论 、 时，解不等式 和 即可得出函数
的单调递增区间和递减区间；
（2）利用导数分析函数 在区间 上的单调性，利用导数证明出 ，即可证得结
论成立；
（3）分析得出要证明 ，由已知条件得出 ，要证明 ，分析得出
等价于证明 ，令 ，构造函数 ，利用导数证明出
，即可得出 ，进而可证得结论成立.
（1）
函数 的定义域为 ，
且 ，
当 时，由 可得 ，由 可得 ，
因此函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；当 时， 恒成立，此时 的单调递增区间为 ，
综上所述：当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 .
（2）
， ，
所以 ，
因为 ，
所以当 时， ，函数 在区间 上单调递减，
当 时， ， ，
所以 ，其中 ，
构造函数 ，其中 ， ，
则 ，所以函数 在 上单调递增，
则 ，
所以函数 在 上单调递增， ，
所以对于 、 ，恒有 ；
（3）
因为 ，则 ，
所以函数 单调递增，且 ，
要证 ，即证 ，即证 ，即证 ，
因为函数 有两个零点 ，
由题意可得 ，
上述两个等式作差得 ，
下面先证明 ，只需证： ，
整理得 ，即证 ，
设 ，不妨设 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，所以 ，
因为 ，所以 ，故原不等式 成立.
27．已知函数 .
（1）函数 在定义域内恒成立，求实数 的取值范围：
（2）求证：当 时， ；
（3）若 有两个不同的零点 ，求证： .
【答案】
（1）
（2）证明见解析（3）证明见解析
【分析】
（1） 在定义域内恒成立只需要 在定义域内满足 ，对 进行分类讨论；
（2）取 时， ，然后将待证不等式的左边取对数，让左边的式子结构能和 产生联
系；（3）由题知 ，联立该两个方程，由于待求证表达式不含有 ，故想办法消去参数，
只保留 的关系，然后构造函数进行解决.
（1）
函数定义域为 ， ，当 时， ，不满足题设；当 时，
， ，在 上， ， 单调递增，在 上， ， 单调递减，
所以 ，解得 .综上： 的取值范围是 .
（2）
证明：由（1）得，当 时 ，当且仅当 时等号成立，所以 ，结合对数的运
算法则可得
，
所以 .所以 .
（3）
由题意 ， ，两式相减得 ，即 ，故要证明，即证明 ，
即证明 ，不妨设 ，令 ，
，
令 ， ，
所以 在 上单调递减， ，所以 在 上单调递减，
， 在 上成立，
令 ，得 ，所以 .
28．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）设 ,当 时，满足 ，求证： ．
【答案】（1） ， 上减； ， 上减， 上增；（2）证明见解析．
【分析】
（1）求导分两种情况当 时，当 时，利用导函数的正负得到函数 的单调性．
（2）由 得到 ，代入所求，化简得 ，令
， ，令 ，求导分析单调性，最值，即可得出结论．
【详解】
（1）函数 ，定义域为 ， ，当 时， ，所以 在 上为减函数，
当 时， 即 ，所以 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上为减函数，在 上为增函数.
综上，当 时， ，所以 在 上为减函数，
当 时， 在 上为减函数，在 上为增函数.
（2）由题意 ，由 ，得
所以 ，将 代入得：
得 ，又 ，
所以 ，
设 ， ，则
所以 在 上是减函数，
所以 ，即 ，又 ，
所以 .
29．已知函数 ， .
（1）求函数 的单调区间；（2）若函数 的图象与函数 的图象交于 ， 两点，其中 ，求
证： .
【答案】（1）增区间为 ，减区间为 ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出导函数，结合导函数值的正负研究函数的单调性，即可求出单调区间；
（2）证明不等式 ，先找两个式子之间的联系，将不等式转化为证明
，再设 ，利用换元法 减少参数数量来证明，即证 ，
再构造函数 ，利用最值思想证得该不等式.
【详解】
（1） ， ，
令 ，得 ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；
的增区间为 ，减区间为 .
（3）证明：由 ，得 ，记 ，由 ，得 ，记 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
又 ，
下面证： ，设 ，
则
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，
故 .
30．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性;
（2）若 ，设 为 的导函数，若函数 有两个不同的零点 ，求证： ．【答案】（1）见解析
（2）证明过程见解析.
【分析】
（1）根据实数 的正负性，结合导数的性质分类讨论进行求解即可；
（2）根据零点的定义，结合指数的运算法则，通过构造新函数，利用导数的性质进行证明即可.
【详解】
（1）由 ，可得 ，
当 时， ，函数 是实数集上的增函数，
当 时，令 ，
当 时， ，函数 单调递增，当 时， ，函数 单调递减，
综上所述：当 时，函数 是实数集上的增函数，
当 时，当 时，函数 单调递增，当 时，函数 单调递减；
（2）由（1）可知：当 时，当 时，函数 单调递增，当 时，函数 单调递减，
所以函数有最小值，
最小值为： ，
因为函数 有两个不同的零点 ，不妨设 ，
因为当 时， ，当 时， ，
所以有 ，即 ，
，
因为函数 有两个不同的零点 ，
所以 ，因此
令 ，构造函数 ，
因为 ，所以 ，因此 ，
所以当 时，函数 单调递减，故有 ，而 ，
所以 .
31．已知函数 .
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）若 ，证明： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）分离参数得到 ，进而通过导数方法求出函数 的最大值即可；
（2）根据条件得到 ，进而整理为 ，
进而求出 的范围，再解出 的范围，最后得到答案.
【详解】
（1）因为 ，所以 对 恒成立.
设函数 ，则 .
令函数 ，因为 在 上单调递减，且 .所以当 时， ，则 ；当 时， ，则 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
从而 ，故 的取值范围为 .
（2）由 ，得 ，
即 ，整理得 .
令 ，设函数 ，则 ，所以 在 上单调递减，在 上单调
递增，所以 ，即 ，
所以 .因为 ，所以 .
因为方程组 无解，所以 中的等号不成立，
所以 .
32．已知函数 .
（1）讨论 的极值点的个数；
（2）若函数 有两个极值点 ， ，证明： .
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由题可求导函数 ，再通过分类讨论即得；
（2）由（1）知 ，由题得需证明 ，构造函数 ，
然后利用导函数求最值即可.【详解】
（1）由题意得， ，
设 ，
则 ，
①当 时， ， 单调递减，
，
故 时， 有唯一零点， 在 上有一个极值点；
②当 时， ， 单调递增，
，
故 时， 有唯一零点， 在 上有一个极值点.
综上可得，当 时， 的极值点的个数为0；
当 时， 的极值点的个数为2；
当 时， 的极值点的个数为1.
（2）证明：因为函数 有两个极值点，
由（1）可知 .
设 ，则 ， ，
当 ， 时， 显然成立；
则 ， ， ，
则 ，
故 ，故 ，
同理 ，
两式相减得 ，
则 .
而要证 ，
只需证 ，
即 ，
因为 ，
所以 ，
故上式可化为 ，
即
令 ，
则 ，
上式即为 .
令 ，
则 ，
故 为减函数，
故 ，即 ，原命题得证.
33．已知函数 有三个不同的极值点 ， ， ，且 .
（1）求实数a的取值范围；
（2）若 ，求 的最大值.
【答案】（1） （2）3
【分析】
(1)由题意转化为 有三个不同解，即 有两个不同正根，分离参数得 ，结合
的单调性及最小值即可求解；
（2）由（1）知条件可化为 ，令 ，条件转化为 ，利用导数求出函
数 单调递增且 即可求解.
【详解】
（1） ，原函数定义域为 ，
由题意， 则 或 ，
有两个不等于1的正实根，
令 ，则 ，即当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
， ，
.（2）由题意三个极值点 ，
可化为 ，
令 ，
，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
故 单调递增，
， ，
单调递增，
，
34．已知函数f(x)＝lnx﹣ax，a为常数．
（1）若函数f(x)在x＝1处的切线与x轴平行，求a的值；
（2）当a＝1时，试比较f（m）与f（ ）的大小；
（3）若函数f(x)有两个零点x、x，试证明xx＞e2．
1 2 1 2
【答案】（1）a＝1；（2）答案不唯一，具体见解析；（3）证明见解析．
【分析】
（1）求出原函数的导函数，由函数在x＝1时的导数值等于0求得a的值；
（2）把a＝1代入函数解析式，利用导数求出函数的单调区间，构造函数 ，由导数得
到函数h（m）的单调性，在定义域内分m＜1，m＝1，m＞1得到h（m）的符号，从而得到f（m）与f（）的大小；
（3）由函数f(x)有两个零点x、x，得到lnx﹣ax＝0，lnx﹣ax＝0，进一步得到 ，lnx+lnx
1 2 1 1 2 2 1 2
＝a（x+x），把证明xx＞e2转化为证lnx+lnx＞2，结合lnx+lnx＝a（x+x）转化为证明
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
（x＞x），换元后利用导数得到证明．
1 2
【详解】
（1）解：由f(x)＝lnx﹣ax，得： ，
∵函数f(x)在x＝1处的切线与x轴平行，
∴ ，即a＝1；
（2）当a＝1时，f(x)＝lnx﹣x，
∴ ，
当0＜x＜1时， ，f(x)单调递增，
当x＞1时， ，f(x)单调递减．
令 ，
则 ．
又∵h（1）＝0，
①当0＜m＜1时，h（m）＞0，即 ；
②当m＝1时，h（m）＝0，即 ；
③当m＞1时，h（m）＜0即 ；
（3）证明：∵函数f(x)有两个零点x、x，
1 2
∴lnx﹣ax＝0，lnx﹣ax＝0，
1 1 2 2∴lnx+lnx＝a（x+x），lnx﹣lnx＝a（x﹣x），
1 2 1 2 1 2 1 2
∴ ，
欲证明 ，即证lnx+lnx＞2，
1 2
∵lnx+lnx＝a（x+x），
1 2 1 2
∴即证 ，
∴原命题等价于证明 ，
即证： （x＞x），
1 2
令 ，则t＞1，设 （t＞1），
，
∴g（t）在（1，+∞）上单调递增，
又∵g(1)＝0，
∴g（t）＞g(1)＝0，
∴ ，即 ．
35．已知函数 ， .
（1）若 存在单调递增区间，求 的取值范围；
（2）若 ， 与为 的两个不同极值点，证明： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由题意知 有解，分离 可得 有解，令 ，可得 ，利
用导数求 的最大值即可求解；（2）由题意知 ， 是 的两根，将 ， 代入 整理可得 ，所证
明不等式为 ，令 ， 问题转化为证明
成立，利用导数证明单调性求最值即可求证.
【详解】
（1）函数定义域为 ，根据题意知 有解，
即 有解，令 ， ，
且当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，所以 ；
（2）由 ， 是 的不同极值点，知 ， 是 的两根，
即 ，所以 ①，
联立可得： ②，
要证 ，由①代入即证 ，即 ，
由②代入可得 ③，因为 ，则③等价于 ，
令 ， 问题转化为证明 ④成立，
而 ，
在 上单调递增，当 ， ④成立，即得证.
36．已知函数 存在两个零点 ， .
（1）求 的取值范围；
（2）证明： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求 ，讨论 时 单调不合题意， 时需 ，求出 的范围，再讨论 的范围，
结合单调性以及零点存在定理即可求证 的范围符合题意；
（2）由（1）知： 在 和 上分别有一个零点；不妨设 ，将零点代入整理可
得 ，要证 ，只需证 ，令 ，构
造函数 ， 利用导数求最值即可求证 ，即得证.
【详解】
（1） ，
①当 时， ，则 在 上单调递增， 至多有一个零点，不合题意；②当 时，当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增，
则 ，解得 ，注意此时 ，
（i）当 时， ，此时 ，
则 在 和 上分别存在一个零点；
（ii）当 时， ，
设 ， ，所以 ， ，
所以 在 单调递增，则 ，
所以 在 单调递减，则 ，即 ，
此时 ，则 在 和 分别存在一个零点；
综上，若 有两个零点，则 的取值范围为 ；
（2）不妨设 ，由 得：
，
两式相减得： ，
两式相加得： ，
要证 ，只需证 ，
只需证 ，
因为 ，所以只需证 ，即证 ，
令 ， ， ，
则 ，
所以 在 单调递增，
则 ，所以原不等式得证.
37．已知函数 ， .
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）当 ，时，函数 有两个极值点 ， （ ），证明： .
【答案】（1）减区间为 ，增区间为 ；（2）具体见解析.
【分析】
（1）对函数求导，根据导函数和原函数的关系得出单调区间；
（2）先求出导函数 ，设 ，进而通过 的符号得出 的单调区间，再通过特值法和
放缩法判断出 零点的位置，进而得到 的符号，从而得出原函数的单调区间和极值点，最后再通
过放缩法证明问题.
【详解】
（1） ， ， 时， ， 时， ，则函数 在
单调递减，在 单调递增.
（2） ，令 ，∵ ，则 在R上单调递增，∴ 时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增，∴
在 处取得极小值，且 .
令 ， ，则 时， ， 单调递增，∴ ，
∴x>0时， ，则 ，于是x>0时， .
∴ ，
∴ 时， ，于是 （x 唯一），使得 .
2
∴ 时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减， 时，
， 单调递增.
则函数 在 处取得极小值，在 处取得极大值.
又∵ ，∴ ，∴ ，∴ .
38．已知函数 ， .
（1）已知函数 在区间 上单调，求实数m的取值范围；
（2）设 ，若 ， ， ，求整数m的最小值.（参考数据：
， ）
【答案】（1） ；（2）3.
【分析】
（1）由函数的导数与函数单调性的关系，分函数在 上单调增与单调减两种情况讨论，综合即可得答案；
（2）由题意得， ，分析可得必有 对 求导，对m
分类讨论即可得答案.
【详解】
解：（1） ，
若函数 在区间 上单调递增，则 在 恒成立，
所以 ，解得 ；
若函数 在区间 上单调递减，则 在 恒成立，
所以 ，解得 ，
综上，实数m的取值范围为 .
（3）由题意得， ，
因为 ，所以 ，
即 ，
由 ，
当 时，因为 ，则不合题意；
当 时，由 ，得 或 （舍去），
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增.所以 ，即 ，
整理得， ，
设 ， ，
所以 单调递增， ，
又因为 ， ，
所以 ，
故整数m的最小值为3.
39．已知函数 ， .
（1）求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；
（2）设g(x)=f(x)+（a+1）x，证明：当-1<a<0时，在区间（a，0）上任取不等的两数m和n，总有
.
【答案】（1）定义域为 ，单调性见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据真数大于零，即可求出函数f(x)的定义域，再求出导数，根据 分类讨
论即可解出；
（2）不妨设 ，原不等式可化为 ，从而可知函数f(x)在（a，0）上单
调递减，由（1）中结论，即可证出．
【详解】
（1）由 可得 ，所以函数f(x)的定义域为 ．
，由 可得 或 ．
当 时，由 解得 ，由 解得 ；当 时，由 解得 或 ，由 解得 ；
当 时， 恒成立；
当 时，由 解得 或 ，由 解得 ．
综上，当 时，函数 的增区间是 ，减区间是 ；
当 时，函数 的增区间是 和 ，减区间是 ；
当 时，函数 的增区间是 ，无减区间；
当 时，函数 的增区间是 和 ，减区间是 ．
（2）不妨设 ，原不等式可化为 ，即
所以函数 在 上单调递减，由（1）可知，当 时，函数 在 上单调递减，故原
命题得证．
40．已知函数 ．
（1）当 ， 时，求 的单调区间；
（2）当 时，若函数 有两个不同的极值点 ， ，且不等式 有解，求实
数 的取值范围；
（3）设 ，若 有两个相异零点 ， ，求证： ．
【答案】（1）单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；（2） ；（3）证明见解析．
【分析】
（1）当 ， 时，求得导函数，利用导函数与单调性的关系进行求解；
（2）利用导数与极值的关系转化为方程 有两个不相等的正实数根，利用二次函数的图象和性质及韦达定理求得 的取值范围，不等式 有解，转化为
， 利用韦达定理的结论可以整理为关于实数 的函
数，进而利用导数进行研究求得其最大值即得 的取值范围;
（3）设 的两个相异零点为 ， ，设 ，将要证不等式 ，转化为 ，进
一步可转化为 ，设 上式转化为 ，然后构造函数
，利用导数研究单调性进而证明即可.
【详解】
解：（1）当 ， 时， ，
∴ ，
∵ ，令 ，则 或 ，
令 ，则 ，
∴ 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；
（2）证明：由题可得 ，
∵函数 有两个不同的极值点 ， ，
∴方程 有两个不相等的正实数根，
于是有 解得 ．∵不等式 有解，∴ ．
∴
．
设 ， ，
故 在 上单调递增，故 ，
∴ ．故实数 的取值范围为 ．
（3） ，设 的两个相异零点为 ， ，
设 ，欲证 ，需证 ．
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ．
要证 ，即证 ，
即 ，即 ，
设 上式转化为 ，
设 ，∴ ，
∴ 在 上单调递增，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
41．已知函数 ．
（1）当 时，若函数 恰有一个零点，求实数a的取值范围；
（2）当 ， 时，对任意 ，有 成立，求实数b的取值范围．
【答案】（1） 或 ；（2） .
【分析】
（1）要先求出 ,利用分类讨论思想，讨论函数的单调性，结合零点存在定理可求答案；
（2）先把 转化为 ，然后求解函数的最值，构造函数，结合单
调性可得b的取值范围．
【详解】
（1）定义域为 ，当 时， ；
当 时， ， 为增函数，
取 ， ，
所以 ，故此时恰有一个零点；
当 时，令 ， ，
时， ，所以 在 单调递减，时， ，所以 在 单调递增；
要使函数恰有一个零点，需要
解得 ，
综上，实数a的取值范围是 或 .
（2）因为对任意 ，有 成立，且
所以 .
因为 ，所以 ，
所以 ，
当 时， ，当 时， ；
所以函数在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 与 ，所以
令
则当 时， ，
所以 在 上单调递增，故 ，所以 ，
从而
所以 ，即 .
令 ，则 .当 时， ，所以 在 上单调递增.
又 ，所以 ，即 ，解得 ，
所以b的取值范围是 .
42．已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）实数 ， 满足 ，求 的最大值．
【答案】（1）单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；（2） .
【分析】
（1）求出导函数，根据导函数的正负即可求解单调区间；
（2）化简等式得 ，同构函数 得 ， ，即可代入求解最
值.
【详解】
（1） ，
的两根为 和 ，
所以当 或 时， ；
当 时， ；
所以 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ．
（2）由题意知 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，令 ，
，
所以 在 单调递增，
所以 ， ，
令 ，
令 ， ，
所以当 ， ，当 ， ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，
所以 ，
所以 最大值为 ．
43．已知函数 ， ．
（1）曲线 在 处的切线方程；
（2）设函数 ．
①若 在定义域上恒成立，求a的取值范围；
②若函数 有两个极值点为 ， ，证明： ．
【答案】（1） ；（2）① ；②证明见解析．
【分析】（1）先求导函数，计算 和 ，再利用斜率和切点写直线方程即可；
（2）①先化简整理 即 ，再构造函数 ，利用导数求其最大值
，即得 ；
②求导函数 ，先说明讨论 时不符合题意，得到 ，再利用 ， 整理得
，利用分析法只需证 时 ，构造函数 ，利用导数
判断单调性证明 ，即证结论.
【详解】
解：（1） ，则 ， ，
所以切线斜率为2，切点为（1，1），切线方程为y-1=2（x-1），
在 处的切线方程为 ；
（2）① ， ，
因为 ， ，
， 在 上恒成立，
令 ， ，
时， ， 时 ，
， ；
② ， ，
设 ，则 ，当 时， ， 在 单调递增，
故 不可能有两根，即函数 不可能有两个极值点，不符合题意，所以 .
有两个极值点 ， ，可设 ，
，
， ，
要证 ，只需证 ，即证 ，
即 ，即 ，设 ， ，
，即证函数 ，
而 ，即 在 上递增，
，故 ，
所以 成立.
44．已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个相异零点 ，求证： .
【答案】（1） 时， 在 单调递增； 时， 在 单调递减，在 单调递增；
（2）证明见解析.
【分析】
（1）先求导，再对 分两种情况讨论得解；（2）要证 ，等价于证明 ，令 ，则 ，等价于证明 成立，设
函数 ，求出函数 最小值即得证.
【详解】
解：由题意得 ，
① 时， 恒成立，
所以 ，所以 在 单调递增.
② 时，在 上 ，在 上 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增.
综上， 时， 在 单调递增.
时， 在 单调递减，在 单调递增.
（2）因为 有两个相异零点 ， ，由（1）可知， ，
不妨设 ，因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
要证 ，
即证 ，
等价于证明 ，而 ，
所以等价于证明 ，也就是 . （*）
令 ，则 ，
于是欲证（*）成立，等价于证明 成立，
设函数 ，
求导得 ，
所以函数 是 上的增函数，
所以 ，
即 成立，
所以 成立.
45．已知函数 ， ，若函数 的图象与函数 的图
象的一个公共点 的横坐标为 且两函数图象在点 处的切线斜率之和为 .
（1）求 的值；
（2）对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）由题意列方程组，解出 的值；
（2）把对任意 ，不等式 恒成立，转化为 ，分别求出 和 ，建立不等式，即可求出k的范围.
【详解】
解：（1）因为 ，所以 ，即 ，
又 ，所以
，
由题意得 ，
所以
由 得
（2）由（1）得 ，
对任意的 ， 恒成立，
所以 ，
因为 ，
令 得 ，令 得 或 .
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
而 ，所以 ，
而 ，
当 时， ，
故 ，所以实数 的取值范围是 .
46．已知函数 ， .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 ， ，求证： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求得 的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程可得切线的方程；
（2）求得 的导数，判断 不成立，设 ， ，求得导数，判断 的单调性，
得到 ， 的不等式，再运用分析法，结合构造函数法，求得导数，判断单调性，即可得证．
【详解】
（1）当 时， ，导数为 ，
可得切线的斜率为 ，且 ，
所以切线的方程为 ，
即为 ；
（2）证明：由题意可得 ，
若 ，则 ，所以 在 递增，
因此不存在 ，使得 ，所以 ；
设 ， ，则 ，
令 ， ，
所以 在 递减，又 ，所以 在 恒成立，
从而 在 递减，从而 .①又由 ，可得 ，
所以 .②
由①②可得 .
又因为 ，所以 ，
因此要证 ，
只需证明 ，
即证 ，③
设 ， ，则 ，
所以 在 上为增函数，
又因为 ，所以 ，即③式成立.
所以 获证.
47．已知函数 .
（1）求函数 在定义域内的最值.
（2）当 时，若 有两个不同的零点 ， ，求证： .
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1） 的定义域为 ，对 求导，讨论 、 、 时 单调性即可求解；
（2）根据已知条件可得 ，可得 ，不妨设 ， 整理
可得关于 的方程，令 ，构造关于 的函数，求导判断单调性即可求证.
【详解】
（1）函数 的定义域为 .
.
当 时 ，此时函数 为增函数，无最值.
当 时，令 ，得 或 .
①若 ，则 ， .
由 ，得 ；
由 ，得 .
所以函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
所以函数 在定义域内有最大值 ，无最小值.
②若 ，则 ， .由 ，得 ；由 ，得 .
所以函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
所以函数 在定义域内的最大值为 ，
无最小值.
（2）由（1）知，当 时，函数 在定义域内的最大值为 .
因为 有两个不同的零点 ， ，所以 ，解得 .
不妨设 ，由题意知， ，
所以 ，
即 ，即 .
设 ，则 ，
所以当 时， ，此时 单调递增，
故 ，即 ，所以 .
令 ，则上式可化为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 .
又因为 恒成立，所以 .
48．已知 .
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）已知函数 有两个极值点 （ ），若 恒成立，试求 的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；（2） .
【分析】
（1）求出导函数 ，结合导数与函数单调性的关系即可求解.
（2）根据题意可得 是方程 的两个不等正实根，利用韦达定理得 ，故，然后分离参数只需 恒成立， ，从而令
， ，利用导数求出 的最小值即可求解.
【详解】
（1） 时， ，
所以 ，
，得 （舍）或 ，
当 时， ，函数单调递增，
当 时， ，函数单调递减，
所以函数的单调递增区间是 ，函数的单调递减区间是
（2）由（1）得 ，
若 有两个极值点 ，则 是方程 的两个不等正实根，
则 ，故 ，
要使 恒成立，只需 恒成立．即
因为 ，
，
设 ， ，，
， ，即
所以 ， 单调递减，当
由题意，要使 恒成立，只需满足 ，即
所以实数 的取值范围 ．
49．已知函数 （ ）.
（1）当 时，讨论函数 的单调性；
（2）若函数 恰有两个极值点 ， （ ），且 ，求 的最大值.
【答案】（1）答案见解析；（2） .
【分析】
（1）首先求函数的导数，再分 和 求函数的导数；（2）首先由条件可知 ，变形
后两式相除得 ，设 ，换元后，分别解出 和 ，通过构造函数 （ ），
利用导数证明函数的单调性，再解抽象不等式，从而求得 的最大值.
【详解】
（1）函数的定义域为 ， ，当 时， 恒成立， 在 上单调递增；
当 时，令 ，则 ，设 ，则 ，
易知，当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
∴ ，
∴ ， 在 上单调递增；
综上，当 时， 在 上单调递增；
（2）依题意， ，则
两式相除得， ，设 ，
则 ， ， ，∴ ， ，
∴ ，
设 （ ），
则 ，
设 ，则 ，
所以 在 单调递增，
则 ，
∴ ，则 在 单调递增，
又 ，且∴ ，
∴ ，即 的最大值为 .
50．已知函数 有两个零点 ， .
（1）求实数 的取值范围；
（2）证明： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求导，对参数分类讨论，通过导数研究函数的零点情况，求得参数取值范围；
（2）方法一：由题意得 ，令 ，两式相除得 ，欲证 ，即证
，即证 ，记 ，通过导数研究函数的最值情况，即可证得
不等式；
方法二：令 ，代入化简得 ， ，将不等式转化为 ，即证
.记 ，通过求导，并对导数中的部分函数求导研究原
函数的最值情况，证得不等式.
【详解】
（1）解： 的定义域为 ， .
①当 时， ，所以 在 上单调递增，
故 至多有一个零点，不符合题意；②当 时，令 ，得 ；令 ，得 ，故 在 上单调递减，在
上单调递增，所以
（i）若 ，则 ，故 至多有一个零点，不符合题意；
（ii）若 ，则 ， ，
由（i）知 ，∴ ，
∴ ， .
又∵ ， ，故 存在两个零点，分别在 ， 内.
综上，实数 的取值范围为 .
（2）证明：方法1：由题意得 ，令 ，
两式相除得 ，变形得 .
欲证 ，即证 ，即证 .
记 ， ，故 在 上单调递减，
从而 ，即 ，所以 得证.
方法2：由题意得：
由（1）可知 ， ，令 ，则 ，则 ，两式相除得 ， ，，
欲证 ，即证 ，即证 .
记 ， ，
令 ， ，故 在 上单调递减，则 ，
即 ，∴ 在 上单调递减，从面 ，
∴ 得证，
即 得证.
51．已知函数 .
（1）当 时，讨论函数 的单调性：
（2）若函数 恰有两个极值点 ，且 ，求 的最大值.
【答案】（1） 在 上单调递增；（2）最大值为3.
【分析】
（1）对函数 求导，然后分 及 讨论即可得 的单调性；
（2）设 ，由题意， ， ，则 ，设 ，判断函数
的单调性，结合题意即可求得 的最大值.
【详解】
解：（1）函数的定义域为 ， ，当 时， 恒成立， 在 上单调递增；
当 时，令 ，则 ，
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
∴ ，
∴ ， 在 上单调递增；
综上，当 时， 在 上单调递增；
（2）依题意， ，则 ，
两式相除得， ，设 ，则 ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
设 ，则 ，
∴ 在 单调递增，则 ，
∴ ，则 在 单调递增，
又 ，即 ，而 ，
∴ ，即 的最大值为3.52．已知函数 ， .
（1）讨论 的零点个数；
（2）若 有两个极值点 ， ，且 ，证明： .
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先求解出 ，然后根据 、 、 分类讨论 的取值正负，由此确定出 的单
调性，再结合 分析 的零点个数；
（2）根据已知条件确定出 满足的关系式，然后计算 并将其转化为“ ”，故只
需证明“ ”，通过构造函数 并分析其单调性以及取值范围来完
成证明.
【详解】
解：（1）函数 的定义域为 ， ，
令 ，
时，因为 ， ， ，
所以 在 上单调递增，又 ，故 有且只有 个零点：
时， ， ，
在 上单调递增，又 ，故 有且只有 个零点；时， 有两正根， ， ，
由于 ，所以 ， ，
当 时， ， ， 单调递增；
当 时， ， ， 单调递减；
当 时， ， ， 单调递增；
因为 ， ，所以 在 上有 个零点，且 ， ，
又 ， ，且
， ，
所以 在 ， 上各 有个零点.
综上所述，当 时， 有且只有 个零点：当 时， 有 个零点.
（2）证明：由（1）知， 存在两个极值点当且仅当 .
由于 的两个极值点 ， 满足 ，所以 ， ，
不妨设 ，则 ，则 ，
，
所以 等价于 ，即 ，令 ，则
所以 在 上单调递减，所以 ，所以 .
53．已知函 （ ）有两个极值点 ， ．
（1）求 的取值范围；
（2）当 时，证明： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【分析】
（1）先求定义域为 ，求导可得 ，
令 ，由函数 有两个极值点 ， ，则函数 有两个零点 ， ，再根据函
数 的性质即可得解；
（2）由（1）知，当 时，不妨设 ，则 ， ，由 ，所
以 ，考查函数 ，即可得解.
【详解】
（1）由题可知，函数 的定义域为 ，
，
令 ，
因为函数 有两个极值点 ， ，所以函数 有两个零点 ， ， ，
当 时， ， 在 上单调递减，函数 至多有一个零点，不符合题意．
当 时，令 ，得 ，
所以当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增．
注意到 ，
所以当 ，即 时， 有唯一零点 ，不符合题意．
当 即 时， ，
当 即 时， 在 上有唯一零点 ．
，设 ， ，
则 ，所以 在(0，1)上单调递减，
所以 ，即 ．
又 ，所以 在 上有唯一零点．
此时 有两个零点，符合题意．
当 ，即 时， 在 上有唯一零点 ．而 ， （易知 ），
所以 在 上有唯一零点．
此时 有两个零点，符合题意．
综上， 的取值范围是 ．
（2）由（1）知，当 时， 有两个极值点 ， ，
不妨设 ，则 ， ．
因为 ，所以 ．
设 ， ，
则 ，
设 ， ，则 ，
所以 在 上单调递减， ，即 ，
所以 在 上单调递减．
因为 ，
所以 ， ，
即证得 ．
54．已知函数（1）讨论 的单调性；
（2）若 存在两个极值点 ， ，且 ，求 的最大值．
【答案】（1）答案见解析；（2） ．
【分析】
（1）先求解出 ，然后根据 ， 进行分类讨论，由此确定出 的单调性；
（2）根据 的结果化简 ，将其转化为关于 的函数，再采用换元法令 ，构造
关于 的函数，分析其单调性并确定出其最大值，则 的最大值可求.
【详解】
解：（1） ．
①当 时， ，则函数 在 单调递增；
②当 时， ，其中 ，
若 ，则 ，函数 在 单调递增；
若 ，设方程 的两根分别为 ， ，则 ， ．
解得： ， ，
则函数 在 ， 单调递增，在 单调递减，
综上，当 时，函数 在 单调递增；
当 时，函数 在 ， 单调递增，在 单
调递减．（2）由（1）知当 时，函数 有两个极值点，
且 ， ，
所以 ，
由（1）知 ， ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，令 ，则 ，
，则函数 在 时单调递减，
则
的最大值为 ．
55．已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）证明： ， ， .
【答案】（1）单调递减区间 ，单调递增区间为 ；（2）证明见解析.
【分析】（1）求出 ，令 和 可得答案.
（2）即证明： ,设 ，可得 为 上的减函数，可得
， 从而得证.
【详解】
解：（1）由 ，则 ， ，
，
令 ，解得 ；令 ，解得 .
所以函数 的单调递减区间 ，单调递增区间为 .
（2）证明： ，要证明 .
即证明： .
即证明： .
令 ， ，且 .
，所以函数 在 上单调递减，
则 ，由 ，则 ，
所以 ，即： ， ， 成立.
56．设函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若关于 的方程 有两个实根，设为 ， （ ），证明： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据导数的几何意义求得切点处的斜率，从而写出切线方程；
（2）由函数导数求得函数单调区间，分别取在 点的切线方程 及在 处的切线方
程为 与 的交点横坐标为 ，分别证得 ， ，从而证得
.
【详解】
解：（1）由于 ，又 ，
故在点 的切线斜率 ，
因此所求切线方程 ，
即 ．
（2）由于 ，
故 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，由图易知， ， ，
由（1）可知，在 点的切线方程为 ，
设 与 的交点横坐标为 ，且
即 ，下证 ．
由于 在 单调递减，故只需证明 即可．
设 （ ）．
，
故 ， ，函数单调递减，
， ，函数单调递增，
因此 ，
即 ．
又 在 处的切线方程为 ，
设 与 的交点横坐标为 ，，即 ，下证 ．由于 在 单调递增，故只需证明 即可，
设 ，
，函数在 单调递减， ，
即 ．
综上易知， ，
即 ．
57．已知 ，
（1）求 在 处的切线方程及极值
（2）若不等式 对任意 成立，求 的最大整数解．
（3） 的两个零点为 ，且 为 的唯一极值点，
求证：
【答案】（1）切线方程为 ；极小值为 ，无极大值；（2） ；（3）证明见
解析．
【分析】
（1）求出函数的导数，求出 ， 即可得到切线方程，解 得到单调递增区间，解
得到单调递减区间，需注意在定义域范围内；
（2） 等价于 ，求导分析 的单调性，即可求出
的最大整数解；
（3）由 ，求出导函数分析其极值点与单调性，构造函数即可证明；
【详解】解：（1） 所以定义域为 ，
， ， ，
所以切线方程为 ；
，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
所以 在区间 上单调递减，在 上单调递增．
时 有极小值为 ，无极大值；
（2） 等价于 ，
，记 ， ，
所以 为 上的递增函数，且 ， ，
所以 ，使得 ，即 ，
所以 在 上递减，在 上递增，且 ，
所以 的最大整数解为 ；
（3）证明： ，
得 ，
当 ， ； ， ；
所以 在 上单调递减， 上单调递增，
而要使 有两个零点，要满足 ，即 ；
因为 ， ，令 ，由 ，
，即 ，
，
而要证 ，
只需证 ，即证 ，即证 ，
由 ， 只需证 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
故 在 上递增， ，
故 在 上递增， ，
．
58．已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，若关于 的方程 有两个实数根 ， ，且 ，求证： .
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出导函数，对 分 和 两种情况讨论；（2）根据题意，得 ，两式相减得 ，即 ，令
，构造函数即可证明.
【详解】
解：（1）因为 ，所以 ，
当 时， 对任意的 成立
当 时，令 ，得 ；令 ，得
综上，当 时，函数 在区间 上单调递增；
当 时，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
证明：（2）当 时，方程 ，即为 .
根据题意，得 ，
两式相减得 ，即 ，
故 ，所以 ，即 ，
令 ，则 ，设 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 在区间 上单调递增.
又当 时， ，
所以当 时， ，即 ，
所以当 时 ，即 .
59．已知函数 有最小值M，且 .
（Ⅰ）求 的最大值；
（Ⅱ）当 取得最大值时，设 ， 有两个零点为 ，证明：
.
【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】
（1）根据题意，对参数b分类讨论，通过导数验证函数是否有最小值，并求得最小值满足的关系，即可证
明不等式.
（2）当 取得最大值时， ,代入函数 ，分别表示两个零点满足的关系，将问题
等价转化为 ，消去参数m，以 进行换元，将问题
转化为函数的最值问题，从而证明不等式.
【详解】
（Ⅰ）有题意
当 时， ， 在 上单增，此时显然不成立；当 时，令 ，得 ，此时 在 上单减，在 上单增，
，即 ，所以 .
所以 的最大值为1.
（Ⅱ）当 取得最大值时， , .
的两个零点为 ，则 ； ，即
不等式 恒成立等价于 .
两式相减得 ，
带入上式得 .
令 ， ， ，
所以函数 在 上单调递减， ，得证.
60．已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ，对于任意 ，证明： .
【答案】（1）当 时， 的增区间是 ，减区间是 ；当 时， 的增区间是
，减区间是 ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先求导，再按 的正负分类讨论，分区间确定 的正负情况；（2）当 时，不等式变形为二元 的对数式与齐二次分式形式，故采取整体元构造函数法，令
，构造新函数 ，求导研究单调性，证明 即可.
【详解】
解：（1） 的定义域为 ，且 ，
则 ，
当 时， ，此时 在 上单调递增，
，此时 在 上单调递减；
当 时， ，此时 在 上单调递增，
，此时 在 上单调递减.
综上可知：当 时， 的增区间是 ，减区间是 ；
当 时， 的增区间是 ，减区间是 .
（2）由 ， ， ，
由于 ，所以 .设 ，
故：
，
令 ，则 ，由于 ，故 ，则 在 上单调递增，
故 ，
即：所证不等式 成立.
61．已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 在点（1， ）处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 的单调区间；
（Ⅲ）已如函数 ，若 ， ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 在（0， ）递增，在 递减；（Ⅲ） .
【分析】
（Ⅰ）求函数导数得切线斜率，进而由点斜式即可得解；
（Ⅱ）求函数导数，根据导数的正负即可得单调区间；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得 的最大值是 ， ， ，不等式 恒成立，转化为
恒成立，再求 的导数，讨论单调性求最值即可.
【详解】
（Ⅰ）∵ ，定义域是 ，
∴ ， ， ，
故切线方程为 ，即 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ） ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，故 在（0， ）递增，在 递减；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得 的极大值是 ，
即 的最大值是 ，
∵ ，∴ ，
令 ，解得 或 ，
若 ， ，不等式 恒成立，
则 时， 恒成立，
①当 即 时， 在 上单调递增，
此时 ，令 ，得 ；
②当 时，即 时， 在 递减，在 递增，
此时 ，
令 ，解得 ，不符合题意；
③当 即 时， 在 递减，
故 ，
令 ，解得 ，不符合题意
综上，实数 的取值范围是 ．
62．已知函数 ( 为常数).
（1）讨论函数 的单调区间；（2）当 时，设 的两个极值点 ， ，求 的最小值.
【答案】（1）答案见解析；（2）最小值为 .
【分析】
（1）先求解出 ，然后分类讨论 与 的大小关系，由此确定出 的单调区间；
（2）根据 是 的两个极值点可求得 的值，再利用 的值将 化简成
，然后通过构造新函数 并分析其定义域结合单调性求解出其值域，则
的取值范围可求.
【详解】
解：（1） ， ，
当 ，由 ，解得 ，即当 时， ， 单调递增；
由 解得 ，即当 时， ， 单调递减；
当 时， ，即 在 上单调递增；
当 时， ，故 ，即 在 上单调递增.
综上：当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 .
（2）由题意得 ， 为 的两个零点，
由（1）得 ，故
设 ，由 且 得 ，
则 ，得 .
在 上单调递减，故 .
故 最小值为 .
63．已知函数 （ ）， .
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）当 时，若函数 有两个极值点 ， （ ），求证： .
【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】
（Ⅰ）先对函数 求导，并对参数 的取值范围分类讨论，再利用导数研究函数的单调性即可；
（Ⅱ）先确定 存在极值点的条件，再利用韦达定理对 进行化简，然后构造函数求其最大
值并比较即可得出结论.
【详解】
解：（Ⅰ）函数 （ ）的定义域为 ， ，
当 时， ，
∴函数 在 上单调递增；
当 时，令 ， ，
显然这两个图象有一个交点.不妨令 ，
则当 时， ，
即 ，
∴函数 在 上单调递减；
当 时， ，即 ，
∴函数 在 上单调递增.
综上所述：当 时，函数 在 上单调递增；当 时，函数 在 上单调递减，在
上单调递增.
（Ⅱ）证明： ，
则 ，
此时 ， 是方程 的两根，
且 ，解得 .
由韦达定理得 ， ，
∴
.
令 （ ），
则 .令 ，
则 .∵ ，∴ ，
∴函数 在 上单调递减，
∴ .
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ .
64．已知函数 ， 为 的导数.
（1）设函数 ，求 的单调区间；
（2）若 有两个极值点 ，
①求实数a的取值范围；
②证明：当 时， .
【答案】（1）答案见解析；（2）① ；②证明见解析.
【分析】
（1）首项求 ，并且得到函数 的解析式，并求 ，讨论 和 求函数的单调区
间；（2）① 有两个极值点，所以 有两个零点，根据（1）的单调性，可知 ，并求出函数
的极小值 ，讨论 ，并结合零点存在性定理求 的取值范围；②首先判断
，并根据 是 的两个零点，并转化 和 ，构造函数，利用导数判断函数的单调性，证明不等式.
【详解】
解：（1）依题意， 的定义域为 ，且 ，
则 .
①当 时， 在 上恒成立， 单调递减；
②当 时，令 得， ，
所以，当 时， ， 递减；
当 时， ， 递增.
综上，当 时， 的减区间为 ，无增区间；
当 时， 的减区间为 ，增区间为 .
（2）①因为 有两个极值点，所以 有两个零点.由（1）知， 时不合；
当 时， .
（i）当 时， ， 没有零点，不合；
（ii）当 时， ， 有一个零点 ，不合；
(ⅲ)当 时， .
，
设 ， ，则 .所以 ，即 .
所以存在 ，使得 .
又因为 ，所以存在 ，使得 .
的值变化情况如下表：
x
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
所以当 时， 有两个极值点.
综上，a的取值范围是 .
②因为 ， ，
所以 .
因为 是 的两个零点，
所以 ， .
所以 ， .
记 ，则 ，
所以 在 上单调递增.又因为 ，所以 ，即 .
65．已知函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）已知 为函数 的两个极值点，求 的最大值．
【答案】（1） 在 和 单调递增， 单调递减；（2） .
【分析】
（1）当 时，求出导函数，利用导数求单调区间；
（2）先由 为函数 的两个极值点，得到 ，令 ，则由 ，求
出 ；
对于 换元后得到 利用导数判断单调性，
求出最大值即可.
【详解】
定义域为 .
（1）当 时，
令 ，
当 时， ；
当 时， ，∴ 在 和 单调递增， 单调递减．
（2）由题得 ，
因为 为函数 的两个极值点，则 为方程 的两个实根，∴
，所以
∴ ，∴ ，
所以令 ，则有 ，∴ ，∴
对于 ，
令 则
当 时，有 ；当 ，有 ，
所以 在 为增函数， 时为减函数，所以
所以y有最大值为 ．
66．已知函数 (a R)．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ， 为函数 的两个极值点，证明： ．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出导函数 ，根据 的解的情况分类讨论得单调性；（2）由（1）知 ，化简 ，不等式化为 ，再由 不妨设 ，转化
为只要证 这个不等式可利用（1）中的结论证明．
【详解】
（1） ，令
当 即 时， ， 在 上单调递增；
当 即 或 时，
① 当 时， 在 上单调递增；
② 当 时，令 ，
+ 0 - 0 +
递增 极大值 递减 极小值 递增
综上：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，
在 上单调递减.
（2）由（1）知 时 有两个极值点 ，
且 ，不妨设 ，
要证即证 ，即 ，
设 由（1）知当 时， 在 上单调递增， ，则 在
上单调递减， .原式得证.
67．已知函数 .
（Ⅰ）设函数 ，当 时，证明：当 时， ；
（Ⅱ）若 恒成立，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）若 使 有两个不同的零点 ，证明： .
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ）证明见解析.
【分析】
（Ⅰ）当 时对 求导，证明 时， 即可.
（Ⅱ）设函数 ，根据函数的单调性判断 与 的关系，根据 恒成立，
确定 的取值范围；
（Ⅲ）根据函数的单调性求出 ，得到
，证明结论成立即可.
【详解】
（Ⅰ）
当 时，
，当 时， ，
所以 在 上为单调递增函数，
因为 ，所以 ，
（Ⅱ）设函数 ，则 ，
令 ，
当 时，当 时， ，
当 时， ，得 ，
所以当 时， 在 上为单调递增函数，且 ，
所以有 ，可得 ．
当 时，有 ，
此时 有两个零点，设为 ，且 .
又因为 ， ，
所以 ，
在 上， 为单调递减函数，
所以此时有 ，即 ，得 ，
此时 不恒成立，
综上 ．
（Ⅲ）若 有两个不同的零点 ，不妨设 ，
则 为 的两个零点，且 ， ，由（Ⅱ）知此时 ，并且 在 ， 为单调递增函数，
在 上为单调递减函数，且 ，
所以 ， ，
因为 ， ， ，
且 图象连续不断，
所以 ， ，
所以 ，
因为 ，
综上得: .
68．已知函数 .
（1）求函数 的最大值；
（2）若关于 的方程 有两个不等实数根 ，证明： .
【答案】（1）2；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先求函数的导数，判断含的单调性，再求函数的最大值；（2）首先方程变形为
，再构造函数 ，判断函数的单调性，转化为
有两个实数根 ， ，再利用分析法，转化不等式证明为 ，转化为证明
，利用换元转化为证明 .
【详解】（1）解：因为 ，所以 .
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 .
（2）证明：方程 可化为 .
设 ，显然 在 上是增函数，又 ，
所以有 ，即方程 有两个实数根 ， .
由（1）可知 ，则有 ，所以 的取值范围为 .
因为方程 有两个实数根 ， ，所以 ，则 ，要证
，即证 .
，需证 .
需证 .不妨设 ，令 ，则 ，即要证
.
设 ，则 ，所以 在 上是增函数， ，即
成立，故原式成立.
69．已知函数 在 和 时取极值，且 .
（1）已知 ，求 的值；（2）已知 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）求出 ，由 的两根是 可求得 ；
（2）由韦达定理得 ， ，同时注意 ，化简
，从而转化为 的函数，由 及 有两不等实根得
的范围，再利用导数求得函数的取值范围．
【详解】
解：⑴∵ ，∴ ，
∵ 在 和 时取极值，∴ ，
∴ ， 是 的两个不等实根，
∴ ， ，解得 ，
经检验，符合题意.
⑵由⑴知 ， ，
∴
∵ ， 是 的两个不等实根，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴设 ，
∵ ，∴ ，①
又 ， 是 的两个不等实根，
∴△= ，得 ，②
由①②知 ，
而 ，设 ，则 ， ，
由二次函数的性质可知 在 上恒成立，
则 在 上恒成立，则 在 上单调递减，
而 ， ，故 的取值范围为 .
70．已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）函数 有两个不同的极值点 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）对 求导，切线斜率为 ，再求切点坐标，利用点斜式即可写出切线方程；
（2）由题意可得 ， 是方程 的两个不等式的实根，等价于 ， 是方程 的两个
根，由根与系数的关系可得 ， ，将 转化为关于 的函数，再利用单
调性求最值即可求解.【详解】
（1）由题意知 ，因为 ，
所以 ， ，
所以所求切线方程为 ，即 ；
（2）由（1）知 ，
因为 是 的两个不同的极值点，
所以 ， 是方程 的两个根，可得 ， ， ，
易得 ，所以
，
， ，
，因为 可得 ，
所以 ， 在 单调递减，
，
所以 在 上单调递减， ，
从而 的取值范围为 .71．已知函数 若关于 的方程 有两个正实数根 且 .
（1）求实数 的取值范围；
（2）求证： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）对 求导，判断 的单调性，作出 的图象，所求 的值使得 与 的
图象有两个横坐标大于 的交点即可；
（2）由 ， 两式相加相减可得 ，由（1）知
，构造函数 ， ，对其求导判断单调性，再结合
可得 ，要证不等式等价于
即 ，证明其显然成立即可求证原不等式成立,
【详解】
（1） ，
由 可得 ；由 可得 或 ，
所以 在 和 单调递减，在 单调递增，
所以 的极小值 ， 的极大值 ，
所以 的图象如图所示：若 有两个正实数根 ，
则 与 的图象有两个横坐标大于 的交点，
由图知： ，
（2）由题意可得 ， ，
两式相加可得： ①，
两式相减可得： ②，
所以 ，即 ③，
将③代入①可得 ，
因为 ，由图知 ，
设 ， ，
则 ，
所以 在 单调递减，
所以 ，
即 ，因为 ，所以 ，因为 在 单调递减，
所以 ，即 ，
要证 ，只需证 ，
即证 ，因为 ， ，所以 显然成立，
故
72．已知函数 有两个零点.
（1）求实数 的取值范围；
（2）记 的两个零点分别为 ， ，求证： ( 为自然对数的底数).
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先求解出 ，然后根据 对 进行分类讨论： 、 ；当 时，根据零点个数直接判
断即可，当 时，先分析单调性，然后分析最小值的取值正负以及根据零点的存在性定理判断零点个数，
由此确定出有两个零点时 的取值范围；
（2）通过等式变形，将待证明的问题转化为“当 时， ”，通过构造新函数
，利用导数分析其单调性确定出最值，由此完成证明.
【详解】
解：（1） 的定义域为 ，
①当 时， 恒成立， 在 上单调递增， 至多有一个零点，不符合题意；
②当 时， ，且当 时， ；当 时， ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，从而 的最小值为 ．
（i）若 ，即 ，此时 至多有一个零点，不符合题意：
（ii）若 ，即 ，
∵ 在 上单调递增， ， ，
根据零点存在性定理得， 在 内有且只有一个零点
又∵ 在 上单调递减，且 ，
考虑 的正负，令 ， ，
则 ，∴ 在 上单调递减，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ， ，
根据零点存在性定理得， 在 内有且只有一个零点．
所以，当 时， 恰有两个零点，符合题意．
综上得， ．
（2）由条件得， ，∴
要证 ，即证 ，即证 ，即证 ，即证 ①，
设 ，不妨设 ，由 知，
证①式，即转化为证明：当 时， ，
设 ，则 ，
∴当 时， 恒成立，即 在 上单调递增，
∴当 时， ，
所以 成立．
73．已知函数 ．
（1）若 ， ，试证明：当 时， ；
（2）若对任意 ， 均有两个极值点 ， ．
①求 应满足的条件；
②当 时，证明： ．
【答案】（1）证明见解析；（2）① ；②证明见解析.
【分析】
（1）求出导数 ，求出其最小值，由最小值大于0，从而证明出结论．
（2）①首先 有两个不等的实根，再用导数研究 的性质，求导 ，利用 的
正负确定 的单调性及最小值点，在 时，计算出 ， ， ，由
零点存在定理可得 存在两个零点，即 有两个极值点；当 时，可取 ，此时没有零点极值点；
②由①知， ， 为 的两个实数根，由于 ，可判断出两零点一正一负，即 ，
且 在 递减，下面先证 ，只需证明 ，注意到
得 ，从而 ，再证 ；由函数单调性得 ，
问题转化为只需证明 ，即证明 ，这再用导数加以证明．
【详解】
（1）证明： ， ， ，
， ，
令 ，解得 ．
可得： 时，函数 取得极小值即最小值，
∴ ，
∴函数 在当 时单调递增，∴ ．
∴当 时， ．
（2）① ， ．
设 ，则 ，
∴ ， ， ， ，
故 在 递减，在 递增，
故 至多有2个零点．（ⅰ）当 时，∵ ，∴ ，
∴ ，且 ，
又∵ ，
由（1）可知 ，
∵ 是 上的连续函数，
∴ 在 ， 上各有1个零点 ， ，
此时， ， 为函数 的2个不同的极值点，
故 符合题意．
（ⅱ）当 时，取 ，则 在 递减，在 递增，
故 ，
故 时， ，
故函数 递增，没有极值点，不合题意，
综上，当 时，对任意 ， 均有2个极值点；
②由①知， ， 为 的两个实数根，
∵ ，∴ ， 在 递减，
下面先证 ，只需证明 ，
∵ 得 ，
∴ ，设 ， ，
则 ，
故 在 递减，
∴ ，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ 时， ，
∴ 在 递减，∴ ，
问题转化为只需证明 ，
即证明 ，
设函数 ， ，
则 ，
设 ，则 ，
∴ 在 递增，
∴ ，即 ，
∴ 在 递增，∴ ，
∴当 时， ，
则 ，
∴ ，∴ ．
74．已知函数 ， .（1）求 的最小值；
（2）设函数 ，讨论 的单调性；
（3）设函数 ，若函数 的图像与 的图像有 ， 两个不同的
交点，证明： .
【答案】（1） ；（2）答案见解析；（3）证明见解析.
【分析】
（1）利用导数研究单调性，进而求得最小值；
（2）求出 的表达式并求导，通分，分解因式，然后根据导函数在定义域内的零点的不同情况对实数
进行分类，利用导数与函数单调性的关系讨论 的单调性；
（3）由题意可得 有两个不同的根，则 ①， ②， 消去参数 得
，构造函数 求导研究函数单调性并利用放缩法推
出 ，再次构造函数 ，通过证明 来证明 .
【详解】
解：（1） .
令 ，得 ，所以 在 上单调递增；
令 ，得 ，所以 在 上单调递减.所以 的最小值为 .
（2） ，定义域为 ，
.
当 时， 在 上单调递增，在 上单调通减.
当 时.令 ，得 ，
所以 在 ， 上单调递增；
令 ，得 ，
所以 在 上单调递减.
当 时， ， 在 上单调递增.
当 时，令 ，得 ，
所以 在 ， 上单调递增；
令 ，得 ，
所以 在 上单调递减.
（3） ，
因为函数 的图象与 的图象有两个不同的交点.
所以关于 的方程 ，即 有两个不同的根.由题知 ①， ②，
① ②得 ③，
② ①得 ④.
由③，④得 ，
不妨设 ，记 .
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 .
则 ，即 ，
所以 .
因为 ，
所以 ，即 .
令 ，则 在 上单调递增.
又 ，
所以 ，即 ，所以 .
两边同时取对数可得 ，得证.
75．已知函数 .
（1）当 时，求 的单调递减区间；
（2）若对任意 ，总存在不相等的正实数 ， ，恒有 成立，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）参数已知时，利用换元法把函数变成一元二次函数，根据复合函数单调性来找到原函数的单减区间；
（2）方法一通过分参，基本不等式，将问题转化为函数问题，构造新函数，求得最大值，即可求得；方
法二先换元，将问题变成两个变量的问题，借助不等式去掉一个，然后构造函数，求得最值，从而求得范
围.
【详解】
（1）由已知可得，函数的定义域为 .
当 时，令 ，所以原函数可化为 ，且 .
①当 时，因为 在 上单调递减，由于 在 上单调递增，故令
，即 ，解得 .
所以原函数在区间 单调递减.
②当 时，因为 在 上单调递减，由于 在 上单调递减，故原
函数的不存在单调递减区间.
综上所述：原函数的单调递减区间为 .（2）解法一：由题意可知，由于 ，故
，
即 ， ，
∵ ， ，且 ，∴ 恒成立，
∴ ，因为 ，
∴ .
整理可得不等式 ，令 （ ）
∴ ，当且仅当 时， 取最大值 ，∴ .
解法二：由于 ，令 ，∴ ，
， ，且 ，∵ ，∴ ，
∴ ，
由于 ，所以上式不能取等号.即不等式 ，
令 （ ）
∴ ，当且仅当 时， 取最大值 ，∴ .76．已知函数 ， .
（1）求函数 的极值；
（2）若存在 ， ，且当 时， ，当 时，求证： .
【答案】（1） 有极小值 ，无极大值；（2）证明见解析.
【分析】
(1)首先整理得到 ，求导得 ，由此可知导函数的正负跟 的取值有关，
所以对 进行分类讨论判断函数的单调性，进而得到函数的极值.
(2)首先证明当 ， 在 上为增函数，
分析得到当 时， 当且仅当 ，
由 得到关系式化简得到
，
又根据
将上式化简得 ，
所以将问题转化成 即 成立，
接着利用换元法证明上述不等式成立即可.
【详解】
（1）由 ， ，
当 ， ， 在 上为增函数，无极值，
当 ， ， ； ， ，
在 上为减函数，在 上为增函数，
， 有极小值 ，无极大值，综上知：当 ， 无极值，
当 ， 有极小值 ，无极大值.
（2） ， ，
， ， ，
所以，当 ， 在 上为增函数，
所以当 时，恒有 ，即 成立；
当 ， 在 上为增函数，
当 ， 在 上为增函数，
这时， 在 上为增函数，
所以不可能存在 ， ，
满足当 时， ，
所以有 .
设 ， 得：
，
①，
，
②，
由①②式可得： ，
即 ，
又 ， ，
③，
要证 ④，所以由③式知，只需证明： ，即证 ，
设 ，只需证 ，
即证： ，令 ，
由 ， 在 上为增函数，
， 成立，
所以由③知， 成立.
77．设函数 ( )．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 且方程 ， 在 上有两个不相等的实数根 ， ，求证： ．
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）求出函数导数，讨论 和 根据导数正负可求解；
（2）由题可得不等式化为 ，即 ，令 ，可得利用导数证
明 即可.
【详解】
（1）
当 时， 恒成立， 在 上单调递增，当 时，令 得 ，令 得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
综上：当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）方程 即 ，
在 上有两个不等实根 和 ，不妨设 ，
则 ①，
②，
①-②得 ，
欲证 ，
只需证 ，
因为 ，所以 ，则 ，
即需证： ，
整理得： ，即证
令 ，设 ，
则 ，显然 在 上单增．所以 ，故原命题得证．
78．已知函数 （ 为常数）.
（1）若 是定义域上的单调函数，求 的取值范围；
（2）若函数 存在两个极值点 ， ，且 ，求 的范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）求出 ，解不等式 即得解；
（2）求导得到韦达定理，再化简 ，设 ，求出 的最值即
得解.
【详解】
（1）∵ ，
∴只要 ，即 时 恒成立， 在定义域 上单调递增.
（2）由（1）知 有两个极值点则 ，
的二根为 ，
则 ， ，，
设 ，又 ，∴ .
则 ， ，
∴ 在 递增， .
即 的范围是 .
79．已知函数 .
（Ⅰ）若 在 处的切线方程为 ，求a的值；
（Ⅱ）若 ， ，都有 恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【分析】
（Ⅰ）求出函数的导函数，依题意可知 ，即可求出参数的值.
（Ⅱ）由已知 在区间 上是增函数，函数 是减函数，不妨设 ，由已知得，
，所以 ，构造函数
，参变分离即可求出参数的取值范围.
【详解】
（Ⅰ）求导 ，
在 处的切线方程为 ，即斜率为 ，
，即 ，解得 .（Ⅱ）若 ， ， ， 在区间 上是增函数，函数 是减函数，
不妨设 ，由已知， ，所以 ，
设 ， ，
则 在区间 是减函数，
在 上恒成立， ，
令 ，求导 在 上恒成立，
单调递减， ，
所以 ，故 .
80．（1）已知 ，求证： ；
（2）若 ，求证： .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）先设 ，然后根据指数与对数的互化可求M，N，然后根据指数的运算性质可求；
（2）将要证明的等式进行变形，将双变量问题通过集中转化为单变量 ，再换元构造函数，研究其导函
数证明即可.
【详解】
（1）设 ，由对数定义，得
，则 ，所以 .所以 成立.
（2）由 ，得 .
要证明 ，只要证 ，即证 .
令 ，则只要证当 时， 恒成立.
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
即 成立，从而原不等式成立.
81．已知函数 .
（1）求曲线 上一点 处的切线的方程；
（2）设函数 的两个极值点为 ，求 的最小值.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）利用导数的几何意义，求曲线的切线方程；（2）有条件可知 是方程 的两个实数根，得
，代入 后消元得到
，再根据换元，构造函数求最小值.
【详解】对 求导得： ，故切线斜率为 ，
因此切线方程为 ，即 ，
故切线的方程为 ；
（2）函数 ，定义域为 ，
，
因为 是函数 的两个极值点，所以 是方程 的两不等正根，
则有 ，
∴ ，故 ，
且有 ，
，
，
令 ，则 ，
， ，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，所以， ，
所以， 的最小值为 .
82．已知函数 ， ．
（1）求函数 的最小值；
（2）若 是 的切线，求实数k的值；
（3）若 与 的图象有两个不同交点A( ， )，B( ， )，求证： ．
【答案】（1） ；（2）1；（3）证明见解析.
【分析】
（1）利用导数求出其单调性，即可得出函数 的最小值；
（2）利用导数的几何意义得出切线方程 ，再由
求出 的值；
（3）将 两式相加相减化简得出 ，令 ，构造
函数 ，利用单调性证明 ，从而得出 ，再由令
的单调性得出 ，从而得出 .
【详解】
解：（1）∵ ，∴
当 时， ，∴ 在 上单调递减；当 时， ，∴ 在 上单调递增．
故函数 的最小值为
（2）若 是 的切线，设切点为
则过点 的切线方程为
即 ，即
由题意知
令 ，则 时，
∴ 在 上单调递增，又
∴ 有唯一的实根 ，则 ．
（3）由题意知
两式相加得
两式相减得 ，即
∴ ，即
不妨令 ，记 ，则
令 ，则∴ 在 上单调递增，则
∴ ，因而
令 ，则 时， ，∴ 在 上单调递增
∵ ，∴ ．
83．设函数 ， ，其中 ， .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 且方程 在 ，上有两个不相等的实数根 ， ，求证 .
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）首先求函数的导数，并求导数的零点，讨论零点的大小，确定函数的单调性；（2）首先将
转化为 ，并利用零点求出 ，并转化为证明
整理后即证明 ，通过换元法构造函数 ，判断
函数的单调性，转化为证明 .
【详解】
（1）
1°若 ，即 时，令 ，得 或 ，令 ，得 ．
在 和 上单调递增，在 上单调递减
2°若 ，即 时， 恒成立
在 上单调递增
3°若 ，即 时，
令 得 或 ，令 得
在 和 上单调递增，在 上单调递减
综上： 时， 在 上单调递减， 和 上单调递增
时， 在 上单增
时， 在 上单减，在 和 上单增
（2）方程 即
在 上有两个不等实根 和 不妨设
则 ①
②
①-②得
因为 ，由（1）知
在 上单减， 上单增
即 时， ， 时，故若证 ，只需证
即证
只需证
因为 ，所以
即需证：
整理得：
即证
令 ，
显然 在 上单增．
所以
故 得证
84．已知函数 ， 为 的导函数.
（1）当 时，
（i）求曲线 在点 处的切线方程；
（ii）求函数 的单调区间和极值；（2）当 时，求证：对任意的 且 ，有 .
【答案】（1）（i） ；（ii）递减区间为 ，递增区间为 ；极小值为 ，无极大值；
（2）证明见解析.
【分析】
（1）（i）确定函数 ，求出 ，然后利用导数的几何意义求出切线方程即可；
（ii）确定函数 ，求出 ，利用导数研究函数 的单调性与极值即可；
（2）求出 ，对要证得不等式进行等价转换后，构造新函数，利用导数研究新函数的单调性，结合等
价转换后的结果即可证明结论成立.
【详解】
（1）（i）当 时， ，故 .
可得 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（ii）依题意， ， ，从而求导可得 ，整理可得
.
令 ，解得 .
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
1
0
极小值所以，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ； 的极小值为 ，无极大值.
（2）证明：由 ，得 .
对任意的 ，且 ，令 ，则
. ①
令 ， .
当 时， ，由此可得 在 单调递增，
所以当 时， ，即 ，
因为 ， ， ，
所以
. ②
由（1）（ii）可知，当 时， ，即 ，
故 . ③
由①②③可得 .所以，当 时，对任意的 ，且 ，有 .
85．已知函数 ， ，设 ．
（1）若 ，求 的最大值；
（2）若 有两个不同的零点 ， ，求证： .
【答案】（1）最大值为 ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）首先求出函数的导函数，再判断 的符号，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值；
（2）由题知， ，即 ， ，要证
，即可 ，令 ，则只需证 ．构造函数
，利用导数说明其单调性即可得证；
【详解】
解：
（1）解：当 时，
所以 ．
注意 ，且当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递增减．
所以 的最大值为 ．
（2）证明：由题知， ，
即 ， ，可得 ．
．
不妨 ，则上式进一步等价于 ．
令 ，则只需证 ．
设 ， ，
所以 在 上单调递增，
从而 ，即 ，
故原不等式得证．
86．已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）当 时，函数 有三个不同的零点 ， ， ，求证： ．
【答案】（1）增区间为 ， ；减区间为 ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求出原函数的导函数，得到函数零点，由导函数零点对定义域分段，再由导函数在不同区间段内的
符号得到原函数的单调区间；
（2）由 ，可得 是函数的一个零点，不妨设 ，把问题转化为证 ，即证
．由 ，得 ，结合 ， 是方程 的两个实根，得到
，代入 ，只需证 ，不妨设 ．转化为证 ．
设 ，则等价于 ．设 ，利用导数证明 即可．【详解】
（1）解： ，
令 ，得 ， ．
当 或 时， ；当 时， ．
增区间为 ， ；减区间为 ；
（2）证明： ， 是函数的一个零点，不妨设 ，
则要证 ，只需证 ．
由 ，得 ，
， 是方程 的两个实根，
，①
，②，
① ②得： ，
代入 ，只需证 ，不妨设 ．
， 只需证 ．
， 只需证 ．
设 ，则等价于 ．
设 ，只需证 ，
又 ，设 ，
则 ， 在 上单调递增，则 ．，从而 在 上是增函数，
．
综上所述， ．
87．已知函数 ， ．其中 ， 为常数．
（1）若函数 在定义域内有且只有一个极值点，求实数 的取值范围；
（2）已知 ， 是函数 的两个不同的零点，求证： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【分析】
（1）首先求函数的导数，根据题意转化为 在 内有且仅有一个变号零点，根据二次
函数的单调性，列式求解 的取值范围；（2）求出当函数 有两个零点时，求出 ，再构造函数
，利用导数判断函数的单调性，得到 ，再
通过构造得到 ，利用函数的单调性证明结论.
【详解】
（1） ，因为函数 在定义域有且仅有一个极值点，
所以 在 内有且仅有一个变号零点，
由二次函数的图象和性质知 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 ．
（2） ，当 时， ， 在 上单调递增，函数 至多有一个零点，不符合题意，
当 时，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故当 时，函数 取得最小值 ，
当 时， ， ，函数 无零点，不合题意，
当 时， ， ，函数 仅有一个零点，不合题意，
当 时， ， ，
又 ，所以 在 上只有一个零点，
令 ，则 ，
故当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 在 上只有一个零点．
所以 满足题意．
不妨设 ，则 ， ，
令 ，
则 ，，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
所以当 时， ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
又 ， ，且 在 上单调递增，
所以 ，故 得证．
88．已知函数 ．
（1）若 时，函数 有最大值为-1，求b的值；
（2）若 时，设 ， 为 的两个不同的极值点，证明： ；
（3）设 ， 为 的两个不同零点，证明 ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】
（1）首先求出函数的导函数，对参数 分两种情况讨论，当 时， ，函数单调递增，不存在
最大值；当 时，函数在 时取得最大值，由最大值为 ，即可求出参数的值；
（2）求出函数的导数，由 ， 为 的两个不同极值点，则 ， 是方程 的两不等正根，
则 ， ，且 ，则 ，利用基本不等式即可得证；
（3）要证明 ，即证： ，由（1）知只需证明： 成立，因为 ， 为 的两个不同零点，不妨设 ，则
， ，令 ，则 ，即证
，构造函数，利用导数研究函数的单调性，即可得证；
【详解】
解：（1）当 时， ，
从而 ，
①当 时， ，此时， 在 上单调递增，函数 不存在最大值，不合题意；
②当 时， ，当 时， ，此时， 单调递增，当 时，
，此时， 单调递增，
故当 时， ，解得 ，
（2）当 时， ，所以 ，
因为 ， 为 的两个不同极值点，所以 ， 是方程 的两不等正根，故 ，
，且 ，
所以 ，当
且仅当 时等号成立，因为 ，所以 ．
（3）要证明 ，即证： ，
由（1）得 ，故只需证明： 成立．
因为 ， 为 的两个不同零点，不妨设 ，
① ②
所以①-②可得 ，
两边同时乘以 ，可得 ，
即 ，
令 ，则 ，
即证
即
即证 ．
令函数 ．
则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，
所以 ．89．已知函数 有两个零点 ， .
（1）求实数 的取值范围；
（2）求证： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】
（1）写出函数 定义域并求导，从而得到函数的单调性，根据单调性得到函数的最大值，要使 有
两个零点，只需最大值 即可.
（2）函数 有两个零点 ， ，可得 ，两式相减得 ，
欲证 ，即证 ，设 ，构造函数 ，通过函
数 的单调性即可得到证明.
【详解】
（1）函数 定义域为 ， .
令 得 ，可得 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 时， ， 时， ，
故欲使 有两个零点，只需 ，即 .（2）证明：不妨设 ，则由（1）可知 ，
且 ，两式相减可得 .
欲证 ，即证 ，
设 ，则即证 ，
构造函数 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，故 ，
所以 ，原不等式得证.
90．已知函数 ，曲线 在点 处切线与直线 垂直．
（1）试比较 与 的大小，并说明理由；
（2）若函数 有两个不同的零点 ， ，证明： ．
【答案】（1） ，理由见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）求出 的导数，由两直线垂直的条件：斜率相等，即可得到切线的斜率和切点坐标，进而 的
解析式和导数，求出单调区间，可得 ，即可得到 与 的大小；
（2）运用分析法证明，不妨设 ，由根的定义可得所以化简得 ， ．可得
， ，要证明， ．即证明 ，也就是 ．
求出 ，即证 ，令 ，则 ，即证 ．令 ，求出导数，判断单调性，即可得证．
【详解】
解：（1）函数 ， ，
所以 ，又由切线与直线 垂直，可得 ，即 ，解得 ．此时
， ，
令 ，即 ，解得 ；
令 ，即 ，解得 ，
所以 的增区间为 ，减区间为 ．
所以 ，即 即 ，
即有： ．
（2）证明：不妨设 ，因为 ，
所以化简得 ， ．可得 ， ，
要证明 ，即证明 ，也就是 ．
因为 ，即证 ，
即 ，令 ，则 ，即证 ．令 ．
由 ，
故函数 在 是增函数，
所以 ，即 得证．
所以 ．
91．已知函数 （ ）.（1）若 是定义域上的增函数，求a的取值范围；
（2）若 ，若函数 有两个极值点 ， （ ），求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
（1）由题得 ，化为 恒成立，即得解；
（2）先求出 ， ，再求出 ，令 ，则 ，得
，求出 即得解.
【详解】
（1） 的定义域为 ， ，
∵ 在定义域内单调递增，
∴ ，即 对 恒成立.
则 恒成立. ∴ ，
∵ ，∴ .
所以，a的取值范围是 .
（2）设方程 ，即 得两根为 ， ，且 .由 且 ，得 ，
∵ ， ， ∴ ， ∴ .
，
∵ ，
∴ 代入得 ，
令 ，则 ，得 ， ， ，
∴ 而且 上递减，从而 ，
即 ， ∴ .
92．已知函数 .（其中 为自然对数的底数，）
（1）若 恒成立，求证： ；
（2）若 的两个零点为 ， 且 ，求 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】
（1）将不等式 分类参数，构造函数 ，利用导数判断其单调性，求得其值域，即可容
易求得结果；
（2）根据零点定义，用 表示参数目标式，令 ，构造函数 ，利用
单调性求其单调性和值域，则问题得解.
【详解】（1）由 得 ，即有
令 ，则 ，
令 ， ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减.
∴ ，∴
（2）由题意， ， .
令
又
∴ 在 上单调递减
∴
∴
∴ 的取值范围为 .
93．已知函数 .
（1）判断函数 的单调性；
（2）若方程 有两个不同的根，求实数a的取值范围；（3）如果 ，且 ，求证： .
【答案】（1）在 上单调递增，在 上单调递减.；（2） ；（3）证明见解析.
【分析】
（1）先求解导数 ，通过求解不等式，判断函数单调性；
（2）利用单调性求解函数的值域，结合图象变化趋势可得 ，然后求解不等式可得结果；
（3）构造函数 ，判断单调性得出 ，结合函数 的单调性可
得 ，从而可证结论.
【详解】
（1）因为 ，所以 ，令 可得 ；令 可得 ；所以函数
在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由（1）可得函数 在 处取得最大值，
，
所以函数 的值域为 ，且 时， ；
因为方程 有两个不同的根，
所以 ，即 ， ，解得 .
即实数a的取值范围为 .
（3）证明：由 ， ，不妨设 ，构造函数 ， ，
则 ，
所以 在 上单调递增， ，
也即 对 恒成立.
由 ，则 ，
所以 ，.
即 ，又因为 ， ，且 在 上单调递减，所以 ，
即证 .
即 .
94．已知实数 ，设函数 .
（1）当 ， 时，证明： ；
（2）若 有两个极值点 ，证明： .
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析
【分析】
（1）转化原不等式为 ，令 ， ，对称轴 ，
求导分析单调性，可得 在 上单调递增，在 上递减， 在 上递增，只需证明
，构造 ，分析单调性，即可得证；
（2）求导，由 为极值点，可得 ， ，化简可得，继而构造函数 可证明 ，
令 可得 ，令 ，求导研
究单调性，可证明 ，即得证
【详解】
（1） ，即为
即
令 ，则
令
令对称轴
则
时， 时， 时，
在 上单调递增，在 上递减，且
在 上递增
故只需证明 ，即证
即
令则
在 上单调递减，而
当 时， ，当 时， 即 成立
当 时， 成立；
（2）
有两个极值点
令
当 时， ；当 时，
在 上递减， 上递增
故 即
由 可得
则由 得 ，下证 即
即证
等价于证明
令
故
令 则
令
则
在 上递减
即95．已知函数 ，其中 ， ，e为自然对数的底数.
(1)若 ，且当 时， 总成立，求实数a的取值范围；
(2)若 ，且 存在两个极值点 ， ，求证：
【答案】(1) ；(2)见解析.
【分析】
(1)由已知可得 ，只需对 与0的大小关系分类讨论，确定函数的单调性，从
而确定函数 的最小值，即可求出实数a的取值范围；
(2)根据 ， 是 的根，可得 与 的关系及其范围，进而可将 用含有 的式子表示，
构造函数即可证出.
【详解】
(1)若 ，则 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以当 ，即 时， ，
所以函数 在 上单调递增，所以 ，符合题意；
当 ，即 时， 时， ； 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，不符合题意，综上：实数a的取值范围为 .
(2) 若 ，则 ，
所以 ，
因为 存在两个极值点，所以 ，所以 ，
令 ，得 ，
所以 是方程 的两个根，
所以 ， ，且 ， ，
不妨设 ，则 ，
所以
，
令 ，
所以 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，又 ，
所以 .
96．已知函数 ．
（1）求函数 的最大值；（2）若函数 存在两个零点 ，证明： ．
【答案】（1）最大值是 ；（2）证明见解析．
【分析】
（1）求出导数，由导数确定单调性后可得最大值．
（2）由（1）知两个零点 ， ， ，零点间关系是 ，
变形为 ，引入变量 ，则 ， ， ，要证的不等式等价变形为 ，
，即证 ，（ ），为此引入新函数 ，利用导数研究函数的单
调性为减函数，则可证得结论成立，这里需要多次求导变形再求导才可证明．
【详解】
（1）函数定义域是 ，由题意 ，
当 时， ， 递增，当 时， ， 递减，
所以 时， 取得唯一的极大值也是最大值 ．
（2）由（1） ，即 时， 有两个零点 ，（ ），则 ， ，
由 ，得 ，
令 ，则 ， ， ，
， 显然成立，
要证 ，即证 ，
只要证 ，即证 ，（ ），
令 ， ，， ，
令 ，则 ， ，
令 ，
， ，
令 ，
， 时， 是减函数，所以 时， ，
所以 是减函数， ，即 （ ），
所以 是减函数， ，所以 ， 在 时是减函数，
，即 ，所以 在 上是减函数， ，
所以 ，即 ，
综上， 成立．
97．已知函数 有两个极值点.
（1）求实数 的范围；
（2）设函数 的两个极值点分别为 ， ，且 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【分析】
（1）求出导函数 ，令 可得 ，令 ，只需直线 与曲线
有且只有两个交点，利用导数求出 的最值，进而求出实数 的范围.
（2）由（1）根据题意可得 ， （ ），即 ，令 ，代入上式可得 ，令 ，利用导数求出函数 的最值，进而可得 ，由 ，
在 单调递减，即可求解.
【详解】
（1）解： .由 得， .
令 ，则直线 与曲线 有且只有两个交点.
因为 ，当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.且当 时， ；
当 时， .
所以 .
（2）依题意得： ， （ ）.
两式相除可得： . 令 ，则 .
所以 ，则 .
令 ， .
令 ， .
所以 在 单调递减，所以 ，
即 ，因此 在 单调递减，所以 ，故 .
又因为 ， 在 单调递减，所以 .98．已知函数 的最大值为 ，且曲线 在x＝0处的切线与直线 平行
（其中e为自然对数的底数）．
（1）求实数a，b的值；
（2）如果 ，且 ，求证： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【分析】
（1）对原函数求导数，然后利用在x＝0处切线的斜率为1，函数的最大值为 列出关于a，b的方程组求
解；
（2）利用 找到 的关系式 ，然后引入 ，构造关于t的函数，将
转换成关于t的函数，求最值即可．
【详解】
解：（1）由已知 ．
则易知 ，又因为 ，故a＝0．
此时可得 ．
①若b＞0，则当 时， 递减；
当 时， 递增．
此时，函数 有最小值，无最大值．
②若b＜0，则当 时， 递增；
当 时， 递减．
此时 ，解得 ．
所以 即为所求．（2）由 ，且 得： ．
∴ ．设 ，则
可得 ，所以要证 ，即证 ．
∵t＞0，所以 ，所以即证 ．
设 ，则 ．
令 ，则
当 时， 递减；当 时， 递增．
所以 ，即 ，所以 在 上递增．
所以 ．
．
99．已知函数 ，曲线 在函数零点处的切线方程为 .
(1)求 ， 的值；
(2)当 时，若有 成立，求证： .
【答案】(1) ；(2)证明见解析
【分析】
(1)求 ，判断其单调性并结合零点存在性定理可求出函数 的零点，根据导数的几何意义求出在零
点切线的斜率，根据点斜式方程即可求出切线方程，再与 比较对应项的系数，即可求出 ， 的
值；
(2)构造函数 ，由 单调性可知 ，从而可得，进而可得 ，再结合
，即可证出 .
【详解】
(1)由题意得：因为 ，定义域为 .
，
因为 ，所以 在 上为减函数.
因为 ，
所以由零点存在定理可知， 在 上必存在一点 使
所以当 时， ，即 在 上为增函数，
当 时， ，即 在 上为减函数，
所以 ，故 至多有两个零点，
极大值
又因为 ， ，故 ， 是 的两个零点，
所以由 ， ，
所以两切线方程为： 或
所以 或
(2)由已知得 ，
设
，因为 ，
所以 在 上为增函数，
因为 ，
所以当 时， ，即 在 上为减函数，
当 时， ， 在 上为增函数，所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，所以 .
100．已知函数 ， .
（1）若函数 存在两个极值，求 的取值范围；并证明：函数 存在唯一零点.
（2）若存在实数 ， ，使 ，且 ，求 的取值范围.
【答案】(1) ；证明见解析；(2)
【分析】
(1)求出 的导数，结合二次函数的性质得到关于 的不等式组，解出即得 的范围；令
，求出 ，得到 至多有一个零点，再验证
，即可证明；
(2)求出 ，以及 ，设 ，记
，根据导数与单调性，最值的应用，即可求解.
【详解】
由题意 ，
所以方程 有两个不相等的正实数根 ，不妨设 ，则
，解得： ，
所以 的取值范围为 ；
由题易知 在 处取得极大值，当 处取得极小值，且有，故 ，
令 ，故 ，
令 ，解得 ，
由导数与函数的最值可知：
故 ，所以 至多有一个零点，
又因 ，
所以函数 存在唯一零点；
由题意知： ，
即 ，
故 ，
设 ，记
则 ，
所以 在定义域上单调递减，所以 ，
即 ，
故 的取值范围.为 .
