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拓展提升04 空间角的几何求法
题型01 异面直线所成角
解题锦囊
1、线线角的定义：
①定义：设
是两条异面直线，经过空间任一点
作直线
，
，把
与
所成的锐角或直
角叫做异面直线
所成的角(或夹角)
②范围：
2、求异面直线所成角一般步骤：
（1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．
（2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角（或其补角）．
（3）计算：根据几何关系，利用余弦定理等求解角度．
3、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：
①平行四边形平移法；②中位线平移法；③直接平移法．
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【典例1】（24-25 高一·河北衡水·阶段练习）在正三棱柱
中，
，
为
的中
点，则异面直线
和
夹角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图，设
的中点为
，连接
，
，
，易证
.因为
，所以异面直线
和
的夹角为
(或其补角)，因为
，
，
所以
，故选：A
【变式1】（24-25 高一下·全国·随堂练习）如图，已知正四棱锥
的所有棱长均为2，
为棱
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题中条件连接
，取
的中点
，连接
,
，作出异面直线所成的角，利用余弦定理
求解即可.
【详解】连接
，取
的中点
，连接
,
，
由题意知，
，则异面直线
与
所成角为
（或其补角），
在
中，
，
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则
，
则异面直线
与
所成角的余弦值为
.
故选：B.
【变式2】（24-25 高一·山东·期中）已知直三棱柱
，若
，
，
是棱
中点，则直线
与直线
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】若
为
中点，连接
，又
是棱
中点，
所以，在直三棱柱
中
且
，
即
为平行四边形，
所以
，则直线
与直线
所成角即为
，
若
，则
，
，
所以
.故选：C
【变式3】（24-25 高一下·河南·阶段练习）在正方体
中，
是正方形
的中心，
则直线
与直线
所成角大小为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【答案】A
【解析】设正方体的棱长为
，连接
，
，
，
因为
，故
或其补角为直线
与直线
所成角.
而
，
，
，
故
，所以
，
所以
，因为
为锐角，故
，故选：A.
【变式5】（2025 高一·全国·专题练习）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十
一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若
都是直角圆锥
底面圆的直径，且
，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图，连接
.
因为
为
中点，且
，所以四边形
为
矩形，所以
，所以
或其补角为异面直线
与
所成的
角.
设圆
的半径为1，则
.因为
，所以
.在直
角
中，
，得
.所以
，
所以异面直线
与
所成角的余弦值为
.故选：C.
【变式6】平面α 过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1
＝n，则m，n 所成角的正弦值为________．
【答案】
【解析】设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.∵平面α∥平面CB1D1，
∴m1∥m.
又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，
∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m.
∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，
同理可证CD1∥n.
因此直线m 与n 所成的角即直线B1D1与CD1所成的角．
在正方体ABCDA1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，
故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为.
【典例2】（24-25 高一下·全国·课堂例题）如图，已知
分别是三棱锥
的棱
的中点，
与
所成的角为60°，且
，求EG 的长．
【答案】
或
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【分析】根据线线平行可证四边形
是平行四边形，即可利用线线角求解.
【详解】因为
分别是三棱锥
的棱
的中点，
所以
为
的中位线，故
且
，
同理GH 为
的中位线，故
且
，
所以
，所以四边形
是平行四边形且
．
同理
且
．
因为
与
所成的角为
，所以
或
，
当
时，
为等边三角形，故
；
当
时，
为等腰三角形，故
．
【变式1】（23-24 高三上·陕西西安·期末）如图，在长方体
中，
，异面直
线
与
所成的余弦值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】把异面直线所成的角，转化为平面角，再用解三角形的方法求解.
【详解】连接
，交
于点
，取
的中点
，连接
.
因为
，所以
与
所成的角为
（或其补角）.
令
，在
中，由
，得
.
又
，
，
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由余弦定理得
，即
，解得
，
所以
.
故选：C
【变式2】（23-24 高一下·宁夏固原·期末）在三棱锥
中，
，且直线
与
所成的角为
，
分别为棱
的中点，则直线
与
所成角的大小为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【分析】利用异面直线夹角的定义即可求解.
【详解】如图，取
的中点
，连接
，
易知
，
，且
，
，
故
，且
是异面直线
与
所成角或其补角，
所以
或
，
所以异面直线
与
所成角为
或其补角，
当
时，
；当
时，
，
所以直线
与
所成角的大小为
或
故选：C
【变式3】如图，空间四边形ABCD 的对角线AC＝8，BD＝6，M、N 分别为AB、CD 的中点，并且异面直
线AC 与BD 所成的角为90°，则MN＝ .
【答案】5
【分析】取AD 的中点P，连接PM、PN，∠MPN 即为异面直线AC 与BD 所成的角，解△MPN 即可.
【详解】取AD 的中点P，连接PM，PN，
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则BD∥PM，AC∥PN，
∴∠MPN 即为异面直线AC 与BD 所成的角，
∴∠MPN＝90°，PN＝
AC＝4，PM＝
BD＝3，
∴MN＝5.
故答案为：5.
【变式4】（24-25 高一下·全国·课后作业）已知在正四棱台
中，
．若异面
直线
与
所成角的余弦值为
，则正四棱台
的体积为 ．
【答案】
【分析】由正棱台的性质可知
为异面直线
与
所成角，即可求出
，再连接
，过点
作
交
于点
，过点
作
交
于点
，求出
即为棱台的高，再由台体的体
积公式计算可得.
【详解】如图，在正四棱台
中，
，
所以
为异面直线
与
所成角，又
，
所以
，且
，所以
．
连接
，过点
作
交
于点
，过点
作
交
于点
，
则
平面
且
，
所以
，则
，
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即正四棱台
的高
，
所以棱台的体积
．
故答案为：
题型02 线面角
解题锦囊
1、线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，取值范围：[0°，90°]
2、垂线法求线面角（也称直接法）：
（1）作垂直：作平面的垂线
（2）证明：连结斜足与垂足为斜线AB 在面
上的投影；投影BO 与斜线AB 之间的夹角为线面角；
（3）计算：利用余弦定理等求角度。
3、公式法求线面角（也称等体积法）：
用等体积法，求出斜线PA 在面外的一点P 到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。
公式为：sinθ = h
l ，其中θ是斜线与平面所成的角，ℎ是垂线段的长，l是斜线段的长。
【典例3】（24-25 高一下·安徽·期中）在三棱柱
中，
，
，且
，则直线
与平面
所成的角的大小为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【答案】A
【解析】∵
，
，∴
，
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∵
，
，
，
平面
，
∴
平面
，
∴
就是
与平面
所成的角，即
与平面
所成的角是
，
∵棱柱中
，∴
与平面
所成的角的大小为
，
故选：A．
【变式1】在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB1C1C 的中心，则AD
与平面BB1C1C 所成角的大小是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【变式2】在《九章算术》中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图,四棱锥
为阳马,侧棱
底面
,
,
为棱
的中点,则直线
与平面
所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】因为
平面
,
平面
,故可得
,
又
,
,
平面
, 故可得
平面
.连接
. 故
即为直线
与平面
所成角.不妨设
, 故在直角三角形
中,
,
, 故可得
.则
. 则直线
与平面
所成角的正弦值为
.
【变式3】在棱长均相等的正三棱柱
中,E 为棱AB 的中点,则直线
与平面
所成角的
正弦值为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题线面角的定义,作出线面角,根据勾股定理算出线面角所在直角三角形的边长,进而求出正弦值.
【详解】过E 作
,F 为垂足,连接
,则
为直线
与平面
所成角,
设三棱柱的棱长为2,则
,
,
∴
.
故选：A
【典例4】如图，在直三棱柱
中，
，
，
，
分别是
，
的
中点，则直线
与平面
所成角的正弦值为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题设，
且
到平面
的距离为
.
又
，
，故
到
上高为
，所以
.
设
到平面
的距离为
，
由
得：
，解得
，
故直线
与平面
所成角的正弦值为
.故选：D
【变式1】如图，正方体
的棱长是.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）证明出
，
，再利用线面垂直的判定定理即可证得结论成立；
（2）设点
到平面
的距离为，计算出三棱锥
的距离，以及
的面积，利用等体积法
可求得点
到平面
的距离，再求出.
【详解】（1）证明：连接
、
，如下图所示：
因为四边形
为正方形，则
，
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平面
，
平面
，
，
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
，
四边形
为正方形，则
，
平面
，
平面
，
，
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
，
又因为
，
平面
，
平面
，
平面
.
（2）设点
到平面
的距离为，
，
，
易知
，则
是边长为
的正三角形，
所以，
，
所以，
，解得
，
因此，点
到平面
的距离为
因为
，
所以
平面
所成角的正弦值为
.
【变式2】如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，
，
分别为
，
的中点.
(1)求三棱锥
的体积；
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(2)求直线
与平面
所成线面角的正弦值.
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】（1）根据
，再根据棱锥的体积计算公式，求解即可；
（2）根据（1）中所求棱锥
的体积，求得点
到平面
的距离，结合
的长度，利用公式，
直接求解即可.
【详解】（1）
面
面
，故
，故
，
又在直角梯形
中，
，
；
又
为
中点，故
.
（2）因为
//
，故
，又
面
面
，故
，
又
面
，
故
面
面
，则
，则△
为直角三角形；
易知
，
故
，
设点
到面
的距离为
，
由（1）可得
，解得
；
因为
分别为
的中点，故
//
，
则
面
，又
面
，则
，
故△
为直角三角形，则
，
设直线
与平面
所成角为
，则
.
【典例5】（24-25 高二上·贵州·阶段练习）在长方体
中，
，
与平面
所成的角为
，则四棱锥
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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【分析】结合长方体性质，利用线面角的定义，从而得到角与边之间的关系，然后利用棱锥的体积公式即
可求得结果．
【详解】
在长方体
中，
利用长方体的性质可知，
平面
，
则
与平面
所成的角为
，从而
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
在直角
中，根据
，
，可得
，
再由勾股定理，可以确定
，
利用长方体的性质可知，
平面
，
所以该四棱锥
的体积为
，
故选：B．
【变式1】（2025·贵州毕节·二模）正四棱台
中，
与底面
所成的
角为
，则此四棱台的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】连接
，分别取
的中点
，过
作
交
于
，确定
，
由线面角，求得棱台高，代入体积公式即可求解；
【详解】
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∵
，
，∴上、下底面的面积分别为
，
设正四棱台
的高为，
连接
，分别取
的中点
，
由正四棱台性质可知：
面
，
面
，∴
，
过
作
交
于
，则
，
面
，
∴
，为
与底面
所成的角，
∵
，
由
，
可得：
，即
，
所以
.
故选：B.
【变式2】（23-24 高一下·江苏扬州·阶段练习）已知
的直角顶点
在平面
外，
与平面
所成的角分别为
，则点
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】C
【分析】由题意作出
于H，可得
，
，
中勾股定理解得
，即为
点
到平面
的距离.
【详解】过C 作
于H，连结
，则
，
.
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在
和
中，
，
.
又在
中有
，即
，得
.
即C 到平面
的距离为1.
故选：C.
【变式3】（24-25 高一下·天津·期中）已知在直三棱柱
中，
，且
分别是
，
的中点.证明：
平面
.
【答案】证明过程见解析
【分析】根据面面平行的判定定理、面面平行的性质，结合三角形中位线定理、棱柱的几何性质进行证明
即可.
【详解】设
是
的中点，连接
和
，
因为
是直三棱柱，
所以四边形
是矩形，
因为
是
的中点，所以
，
而
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
是
的中点，所以
，
而
平面
，
平面
，
所以
平面
，而
平面
，
所以平面
平面
，而
平面
，
所以
平面
.
【变式4】（23-24 高三上·北京西城·阶段练习）在长方体
中，已知
与平面
和平
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面
所成的角均为
，则（ ）
A．
B．
与
所成的角为
C．
D．
与平面
所成的角为
【答案】D
【分析】根据线面角的定义易得
、
，进而可得
，令
求相关边的长度，结合异面直线、线面角定义判断各项正误.
【详解】由
面
，故
与平面
所成角为
，
由
面
，故
与平面
所成角为
，
所以
，令
，则
，
所以
，故
，A 错；
由
，故
与
所成角，即
与
所成角，为
或其补角，
在
中
，显然
不为
，B、C 错；
由
面
，故
与平面
所成角为
（锐角），
所以
，故
，D 对；
故选：D
题型03 二面角
解题锦囊
1.、二面角的定义
（1）二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角
的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
（2）二面角的大小范围：[0°，180°]
2、求二面角大小的一般步骤
（1）作：找出这个平面角；
（2）证：证明这个角是二面角的平面角；
（3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小．
3、确定二面角的平面角的方法：
法一：定义法（棱上一点双垂线法）；
法二：三垂线法（面上一点双垂线法）；
法三：垂面法（空间一点垂面法）.
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【典例6】（24-25 高一下·黑龙江·期中）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-AC-B1的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题连接AB1，B1C，AC，取AC 的中点O，连接B1O，BO，可得
即为所求二面角，设出
正方体棱长后，在Rt△B1OB 中，表示出各边长即可求解.
【详解】
如图，连接AB1，B1C，AC，取AC 的中点O，连接B1O，BO，
由AB＝BC，得BO⊥AC，
由AB1＝B1C，得B1O⊥AC，
故∠B1OB 即为二面角B-AC-B1的平面角，
不妨设正方体的棱长为1，则在△ABC 中，BO＝
AC＝
，
又B1B＝1，在Rt△B1OB 中，tan ∠B1OB＝
＝
．
故选：B．
【变式1】如图，在正方体
中，点
是
的中点，则平面
与底面
所成角的正
切值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由正方体的性质可得
，
，即可得到
为平面
与底面
所成角的
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平面角，再由锐角三角函数计算可得.
【详解】依题意
平面
，
平面
，
所以
，
，
所以
为平面
与底面
所成角的平面角，
设正方体的棱长为
，则
，
，
又
，所以
，
即平面
与底面
所成角的正切值为
.
故选：B
【变式2】（2025 高一下·天津·专题训练）如图，正方体
，棱长为
是
的中点，则
二面角
的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据二面角平面角的定义得到
是二面角
的平面角，然后求正弦值即可.
【详解】
如图，取
中点
，连接
，
，
因为
为正方体，所以
，
，
因为
为
中点，所以
，
，
因为平面
平面
，
平面
，
平面
，
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所以
是二面角
的平面角，
，
，
，
，所以二面角
的正弦值为
.
故选：B.
【变式3】（23-24 高二上·辽宁沈阳·阶段练习）如图所示，在正四棱锥
中，若
的面积与正
四棱锥的侧面面积之和的比为
，则侧面与底面所成的二面角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据正四棱锥的结构特征，作出侧面与底面所成的二面角的平面角，解直角三角形即可得答案.
【详解】如图，设正四棱锥
底面对角线的交点为O，BC 的中点为E，
连接
，则
底面
，
则
为PE 在底面
上的射影，且
，
故
即为正四棱锥
侧面与底面所成的二面角的平面角，
设正四棱锥
的棱长为2，高
，
则由
的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为
，
得
，解得
，
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故在
中，
,
即正四棱锥
侧面与底面所成的二面角为
，
故选：D
【变式4】如图，已知
为圆的直径，且
，
垂直于圆所在的平面，且
，
是圆周上一点，
，则二面角
的余弦值（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用线面垂直的判定定理可得
平面
，再由性质定理可得
即为二面角
的平面角，在
中求出
可得答案.
【详解】因为
垂直于圆所在的平面
，且
平面
，
所以
，
，因为
是圆周上一点，所以
，
且
，
平面
，所以
平面
，
平面
，所以
，可得
即为二面角
的平面角，
因为
，
，
，所以
，
因为
，
，所以
，
，
故选：C.
【变式5】在正方体
中，截面
与底面
所成锐二面角
的正切值为
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
取
是
中点，连接
，
，确定
是二面角
的平面角，计算得到答案.
【详解】如图所示：
是
中点，连接
，
，设正方体边长为，
，则
；
，则
，
平面
，
平面
，
故
是二面角
的平面角，故
.
故选：C
【典例7】（24-25 高二上·福建福州·阶段练习）如图，已知二面角
平面角的大小为
，其棱l 上有
A、B 两点，
、
分别在这个二面角的两个半平面内，且都与
垂直.已知
，
，则
（ ）
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A．4
B．8
C．
D．
【答案】C
【分析】利用二面角定义以及所给长度由线面垂直性质利用勾股定理计算可得结果.
【详解】如下图所示，以
，
为邻边作平行四边形
，连接
，
因为
，
，则
，
又因为
，
，
，故二面角
的平面角为
，
因为四边形
为平行四边形，则
，
，
因为
，故
为等边三角形，则
，
∵
，则
，
，
又
，
平面
，故
平面
，
因为
平面
，则
，故
．
故选：C．
【变式1】（23-24 高一下·黑龙江绥化·期中）已知圆锥的顶点为
，母线长为2，轴截面为
，若
为底面圆周上异于
，
的一点，且二面角
的大小为
，则
的面积为（ ）
A．4
B．2
C．
D．
【答案】B
【分析】作出辅助线，找到
即为二面角
的平面角，即
，并利用勾股定理求出
各边长，求出三角形面积.
【详解】由题意得
，
设底面圆圆心为
，取
的中点
，连接
，
则
，故
，
因为
，
，所以
⊥
，
⊥
，
故
即为二面角
的平面角，即
，
故
，
，
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由勾股定理得
，
，
所以
的面积为
故选：B
【变式2】（23-24 高三上·重庆·阶段练习）已知正三棱台
的上､下底面的边长分别为6 和12，
且棱台的侧面与底面所成的二面角为
，则此三棱台的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用正三棱台的几何特征求出棱台的高，再求出上下底面积，利用棱台的体积公式求解即可.
【详解】由题意可知正三棱台
的上底面面积为
，下底面面积为
，
设
中点为
，
为下、上底面中心，连接
，过
作
底面
交
于
，
由正三棱台的性质可知
，
，
因为平面
平面
，所以
为棱台的侧面与底面所成的二面角的平面角，即
，
因为
，
，
所以
，
，
所以此三棱台的体积
，
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故选：C
【变式3】（24-25 高一下·全国·单元测试）已知腰长为
的等腰直角
，现沿斜边
上的高
翻
折，使得二面角
的大小为
，则点B 到
的距离为 ．
【答案】
【分析】根据折前折后不变的数量关系，二面角的平面角，利用等面积法求高．
【详解】如图，
图①中，由题意，
，
所以
，
因为
，
所以
为二面角
的平面角，
即
，
所以图②中
，
设点B 到
的距离为h，
由等面积法可知
，
即
，
故答案为：
．
【变式4】二面角
为
，
,
是棱上的两点，
，
分别在半平面
，
内，
，
，且
，
，则
的长为 ．
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【答案】
【分析】将
分解为
，再求模即可.
【详解】由题意，∵二面角
为
，
，
，∴
与
夹角为
，
∴
与
夹角为
，
，
∴
，即
的长为
.
故答案为：
.
