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拓展提升04 空间角的几何求法
题型01 异面直线所成角
解题锦囊
1、线线角的定义：
①定义：设
是两条异面直线，经过空间任一点
作直线
，
，把
与
所成的锐角或直
角叫做异面直线
所成的角(或夹角)
②范围：
2、求异面直线所成角一般步骤：
（1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．
（2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角（或其补角）．
（3）计算：根据几何关系，利用余弦定理等求解角度．
3、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：
①平行四边形平移法；②中位线平移法；③直接平移法．
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【典例1】（24-25 高一·河北衡水·阶段练习）在正三棱柱
中，
，
为
的中
点，则异面直线
和
夹角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一下·全国·随堂练习）如图，已知正四棱锥
的所有棱长均为2，
为棱
的中点，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高一·山东·期中）已知直三棱柱
，若
，
，
是棱
中点，则直线
与直线
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高一下·河南·阶段练习）在正方体
中，
是正方形
的中心，
则直线
与直线
所成角大小为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【变式5】（2025 高一·全国·专题练习）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十
一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若
都是直角圆锥
底面圆的直径，且
，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6】平面α 过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1
＝n，则m，n 所成角的正弦值为________．
【典例2】（24-25 高一下·全国·课堂例题）如图，已知
分别是三棱锥
的棱
的中点，
与
所成的角为60°，且
，求EG 的长．
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【变式1】（23-24 高三上·陕西西安·期末）如图，在长方体
中，
，异面直
线
与
所成的余弦值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·宁夏固原·期末）在三棱锥
中，
，且直线
与
所成的角为
，
分别为棱
的中点，则直线
与
所成角的大小为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【变式3】如图，空间四边形ABCD 的对角线AC＝8，BD＝6，M、N 分别为AB、CD 的中点，并且异面直
线AC 与BD 所成的角为90°，则MN＝ .
【变式4】（24-25 高一下·全国·课后作业）已知在正四棱台
中，
．若异面
直线
与
所成角的余弦值为
，则正四棱台
的体积为 ．
题型02 线面角
解题锦囊
1、线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，取值范围：[0°，90°]
2、垂线法求线面角（也称直接法）：
（1）作垂直：作平面的垂线
（2）证明：连结斜足与垂足为斜线AB 在面
上的投影；投影BO 与斜线AB 之间的夹角为线面角；
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（3）计算：利用余弦定理等求角度。
3、公式法求线面角（也称等体积法）：
用等体积法，求出斜线PA 在面外的一点P 到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。
公式为：sinθ = h
l ，其中θ是斜线与平面所成的角，ℎ是垂线段的长，l是斜线段的长。
【典例3】（24-25 高一下·安徽·期中）在三棱柱
中，
，
，且
，则直线
与平面
所成的角的大小为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【变式1】在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB1C1C 的中心，则AD
与平面BB1C1C 所成角的大小是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【变式2】在《九章算术》中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图,四棱锥
为阳马,侧棱
底面
,
,
为棱
的中点,则直线
与平面
所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
【变式3】在棱长均相等的正三棱柱
中,E 为棱AB 的中点,则直线
与平面
所成角的
正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
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【典例4】如图，在直三棱柱
中，
，
，
，
分别是
，
的
中点，则直线
与平面
所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】如图，正方体
的棱长是.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
【变式2】如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，
，
分别为
，
的中点.
(1)求三棱锥
的体积；
(2)求直线
与平面
所成线面角的正弦值.
【典例5】（24-25 高二上·贵州·阶段练习）在长方体
中，
，
与平面
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所成的角为
，则四棱锥
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2025·贵州毕节·二模）正四棱台
中，
与底面
所成的
角为
，则此四棱台的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·江苏扬州·阶段练习）已知
的直角顶点
在平面
外，
与平面
所成的角分别为
，则点
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【变式3】（24-25 高一下·天津·期中）已知在直三棱柱
中，
，且
分别是
，
的中点.证明：
平面
.
【变式4】（23-24 高三上·北京西城·阶段练习）在长方体
中，已知
与平面
和平
面
所成的角均为
，则（ ）
A．
B．
与
所成的角为
C．
D．
与平面
所成的角为
题型03 二面角
解题锦囊
1.、二面角的定义
（1）二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角
的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
（2）二面角的大小范围：[0°，180°]
2、求二面角大小的一般步骤
（1）作：找出这个平面角；
（2）证：证明这个角是二面角的平面角；
（3）求：将作出的角放在三角形中，解这个三角形，计算出平面角的大小．
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3、确定二面角的平面角的方法：
法一：定义法（棱上一点双垂线法）；
法二：三垂线法（面上一点双垂线法）；
法三：垂面法（空间一点垂面法）.
【典例6】（24-25 高一下·黑龙江·期中）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-AC-B1的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】如图，在正方体
中，点
是
的中点，则平面
与底面
所成角的正
切值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025 高一下·天津·专题训练）如图，正方体
，棱长为
是
的中点，则
二面角
的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高二上·辽宁沈阳·阶段练习）如图所示，在正四棱锥
中，若
的面积与正
四棱锥的侧面面积之和的比为
，则侧面与底面所成的二面角为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【变式4】如图，已知
为圆的直径，且
，
垂直于圆所在的平面，且
，
是圆周上一点，
，则二面角
的余弦值（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5】在正方体
中，截面
与底面
所成锐二面角
的正切值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例7】（24-25 高二上·福建福州·阶段练习）如图，已知二面角
平面角的大小为
，其棱l 上有
A、B 两点，
、
分别在这个二面角的两个半平面内，且都与
垂直.已知
，
，则
（ ）
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A．4
B．8
C．
D．
【变式1】（23-24 高一下·黑龙江绥化·期中）已知圆锥的顶点为
，母线长为2，轴截面为
，若
为底面圆周上异于
，
的一点，且二面角
的大小为
，则
的面积为（ ）
A．4
B．2
C．
D．
【变式2】（23-24 高三上·重庆·阶段练习）已知正三棱台
的上､下底面的边长分别为6 和12，
且棱台的侧面与底面所成的二面角为
，则此三棱台的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高一下·全国·单元测试）已知腰长为
的等腰直角
，现沿斜边
上的高
翻
折，使得二面角
的大小为
，则点B 到
的距离为 ．
【变式4】二面角
为
，
,
是棱上的两点，
，
分别在半平面
，
内，
，
，且
，
，则
的长为 ．
