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拓展提升01 三角函数中的参数问题
题型01 已知单调性求参数
【典例1】（24-25 高一上·天津·期末）已知
，函数
在
上单调递增，则
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】因为
，
，可得
，函数
在
上
单调递增，得出
，
，即可求解．
【详解】
，
，
，
则
，
，
当
时，由
，解得
，又
，故
；
当
时，由
，得
无解，
同理当
时，
无解．
故选：B．
【变式1】（24-25 高一上·重庆·期末）若函数
在区间
上单调递增，则正数
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】依题意可得
，即可求出
，再由
的取值范围求出
的取值范围，从而确定
左端点
的取值范围，即可得到
，解得即可.
【详解】函数
在区间
上单调递增且
，
所以
，解得
，
由
，则
，则
，
所以
，解得
，即正数
的取值范围为
.
故选：A
【变式2】（24-25 高一上·湖南常德·期末）已知函数
在区间
上单调递增，则
的最
大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据
可得
，结合正弦函数的单调性即可求解.
【详解】由题意可得
，当
时，
.
由
在区间
上单调递增，则
，解得
，即
的最大值为
.
故选：B.
【变式3】（24-25 高一上·河北秦皇岛·期末）已知直线
是函数
（其中
）的图
象的一条对称轴，且函数
在区间
上单调，则
的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】由
是函数
的一条对称轴，可得
，再根据
在区间
上单调，
则
，可得
，运算可求得
的值.
【详解】由直线
是函数
的图象的一条对称轴，有
，可得
，
又由函数
在区间
上单调，则
，可得
，
有
，有
，可得
，
.
故选：A.
【变式4】（24-25 高一上·天津·期末）已知点
在锐角
的终边上，若函数
在
上存在最值，且在
上单调，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据点
在锐角
的终边上求出
，根据
在
上进行最值分析，且在
上进行单调分析即可.
【详解】因为点
在锐角
的终边上，所以
，
，所以
，
所以
，当
时，因为
，则
，
因为函数
在
上存在最值，则
，解得
，当
时，
，
因为函数
在
上单调，则
，
所以
，所以
，解得
，
又因为
，则
．
当
时，
；当
时，
；当
时，
．
又因为
，因此的取值范围是
．
故选：C.
【变式5】（24-25 高一上·浙江宁波·期末）函数
在区间
上不单调，则实数m 的取
值范围为 ．
【答案】
【分析】利用整体法即可结合正弦函数的性质求解.
【详解】
时，则
，
由于
在区间
上不单调，则
，故
，
故答案为：
【变式6】（24-25 高一上·福建漳州·期末）已知函数
的图象过点
，
且
在区间
单调递增，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先根据已知点求出
的值，再根据单调递增区间列出关于
的不等式求解.
【详解】因为函数
的图象过点
，代入函数可得：
，即
.
又因为
，所以
，则函数
.
对于余弦函数
，其单调递增区间为
.
那么对于函数
，有
.
解不等式
可得：
.
解不等式
可得：
.
因为
在区间
单调递增，所以
.
由
可得：
.
由
可得：
.
因为
，所以
，解得
，所以
.
故答案为：
.
【变式7】（24-25 高一上·浙江杭州·期末）若函数
在区间
上单调递减，
则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】分类讨论，根据正弦函数性质求单调区间，再根据集合包含关系列不等式，解得
的取值范围.
【详解】设
，
，
当
时，则
由已知
，
且
，
又
，结合
，
，故
，
当
时，则
由已知
，
，
又
，结合
，
，故
，
当
时，
，
综上可得
的范围为
故答案为：
【变式8】（24-25 高一上·新疆喀什·期末）已知函数
（
，
，
）的部
分图象如图所示，与x 轴交于点
，且平行四边形EDCB 的面积为
.
(1)求函数
的解析式
(2)若函数
在区间
上单调递增，则实数m 的取值范围
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得
，由平行四边形
的面积为
得
，由
得
，由此即可
得函数表达式；
（2）结合三角函数、复合函数单调性可列不等式组求解.
【详解】（1）由图可知
，又因为平行四边形
的面积为
，
所以
，解得
，
所以
，
又
的图象过点
，
所以
，
所以
，
又因为
，所以
，
所以
.
（2）若
，则
，
若函数
在区间
上单调递增，
则由复合函数单调性可知
，
所以
，解得
.
题型02 已知最值、值域求参数
【典例2】（24-25 高一上·山西·期末）已知函数
，若对任意
，
在区间
上的值域均为
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数，结合函数在
上的值域和题设条件，可知区间
长度必须大于一个周期，从而建立不等式，即可求得
的范围.
【详解】因为
，
当
时，
，故
．
因为
，
在
上的值域均为
，
故区间长度
必须大于一个周期，
即
，解得
．
故选：A.
【变式1】（24-25 高一上·浙江杭州·期末）已知函数
在区间
上的最大值为
，则实数
的取值个数最多为（ ）个
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据
，得到
，再由
，分
，
，
由最大值为
求解.
【详解】因为函数
在区间
上的最大值为
，
所以
，解得
，
因为
，所以
，
当
，即
时，
，
令
，
在同一坐标系中作出图象：
令
，
因为
，
，
所以存在唯一
，使得
；
当
，即
时，
，即
，解得
.
所以实数
的取值个数最多为2.
故选：B.
【变式2】（24-25 高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数
的图象关于直线
对称，且
在
上没有最小值，则
的值为（ ）
A．
B．4
C．
D．
【答案】A
【分析】根据对称轴，得到解得
，再根据
在
上没有最小值，得到
，计算即可.
【详解】由
的图象关于直线
对称可得
，
，
而
，故
，
.
若
，则
，故由
可知
在
上有最小值
.
所以
，
.
故选：A．
【变式3】（23-24 高一下·辽宁大连·阶段练习）已知函数
的定义域为
，值域为
，则
的值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】由题可得
，观察函数图象得出
的最大值和最小值即可判断.
【详解】
的定义域为
，值域为
，
则
，则观察
函数图象可得，
的最大值为
，
的最小值为
，
，故可能是
.
故选：ABC.
【变式4】（24-25 高一上·河北石家庄·期末）已知函数
在
上有最大值，无
最小值，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】设
，求出
的范围，结合正弦函数的图象，依题意得到不等式组,解之即得.
【详解】因
，设
，当
时，
，
作出
在
上的图象如图.
要使
区间
上有最大值，无最小值，需使
,
解得，
，即
的取值范围为
.
故答案为：
.
【变式5】（24-25 高一上·江苏无锡·阶段练习）函数
在区间
上的值域为
则实
数a 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由
，结合函数在
上的值域，列出不等式即可求出实数a 的取值范围．
【详解】当
时，
，
由
，可得
，
函数
在区间
上的值域为
，
根据正弦函数的图象知，
，解得
，
所以实数a 的取值范围是
．
故答案为：
．
【变式6】（24-25 高三上·江苏苏州·期中）已知函数
在区间
上的值域为
，且
，则
的值为 .
【答案】
【分析】利用整体代入法，结合正弦函数的图像求解即可.
【详解】
，故
，
因为
在区间
上的值域为
，
且
，故必有
，
如图所示，则
故
故答案为：
【变式7】（23-24 高一下·辽宁辽阳·期中）若函数
在
上的值域是
，则m
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先根据函数的定义域求
的范围，再根据函数的定义域确定右端点的取值范围.
【详解】当
，
，
由函数的值域为
，可知
，
解得：
.
故答案为：
【变式8】（23-24 高一下·四川成都·期中）已知函数
，且
在区间
上的
最大值为
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用整体法，求解
，即可结合正弦函数的性质求解.
【详解】由于
，则
，
由于
在区间
上的最大值为
，则
在区间
上的最大值为1，
故
，解得
，故
的最小值为
故答案为：
【变式9】（23-24 高一下·湖南邵阳·期末）已知函数
在区间
上有最大值，
无最小值，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】设
，求出
的范围，结合正弦函数的图象，依题意得到不等式组,解之即得.
【详解】因
，设
，当
时，
，
作出
在
上的图象如图.
要使
区间
上有最大值，无最小值，需使
,
解得，
，即
的取值范围为
.
故答案为：
.
【点睛】思路点睛：本题主要考查正弦型函数的性质应用，属于较难题.
解题思路一般是将辐角
看成整体角，求出其范围，借助于正弦函数（或余弦函数）的图象，即可求
得.
题型03 已知对称性求参数
【典例3】（24-25 高一上·江苏常州·期末）若函数
在区间
上有且仅有5
条对称轴，则
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用正弦函数的性质求解出对称轴，再结合题意建立不等式组，求解参数范围即可.
【详解】令
，解得
，
若函数在区间
上有且仅有5 条对称轴，
则函数
在
上由小到大的第1 条对称轴为
，
第2 条对称轴为
，第3 条对称轴为
，
第4 条对称轴为
，第5 条对称轴为
，
第6 条对称轴为
，由题意知，
，
解得
，故D 正确.
故选：D
【变式1】（24-25 高一上·天津武清·期末）若函数
在区间
上有且仅有2 条
对称轴，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意可得函数的对称轴为
，进而可得
，即得.
【详解】又
可得
的对称轴为
，
当
时，
，当
时，
，当
时，
，
因
，由题意
，可得
，
故选：B
【变式2】（24-25 高三上·山东德州·阶段练习）设函数
（
）在区间
上恰好
有3 条对称轴，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先求出函数
的对称轴方程，根据题意列出相应不等式，即可求得答案.
【详解】由函数
（
），
令
，即
，
因为
（
）在区间
上恰好有3 条对称轴，
显然当
时，
为
内最左侧的对称轴，
故
，解得
，
即
的取值范围是
，
故选：C
【变式3】（23-24 高一下·安徽·期末）函数
的图象在区间
上恰有一条对称
轴和一个对称中心，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用正弦型函数的性质列出关于
的不等式，求解即可．
【详解】由
，设
，则
，
由图可知直线
在线段
之间，不含点
，
所以
，得
．
故选：C.
【变式4】（24-25 高一上·全国·课后作业）已知函数
，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先判断
是函数
的一条对称轴，再根据
的对称轴列式求解.
【详解】由题知
是函数
的一条对称轴，即
，解得
，
又
，则当
时，
取得最小值为
．
故选：B
【变式5】（23-24 高一下·山东临沂·期中）已知函数
图象关于直线
对称，
且关于点
对称，则
的值可能是（ ）
A．7
B．9
C．11
D．13
【答案】C
【分析】利用余弦函数图象的对称性，由对称轴和对称中心方程求得
的表达式，即可求得其取值.
【详解】根据图象关于直线
对称可得
，解得
;
又关于点
对称可得
，解得
；
经检验当
时，
符合题意.
故选：C
【变式6】已知函数
在区间
上至少存在两条对称轴，则
的最小值为
（ ）
A．6
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】化简函数
，根据题意，结合余弦型函数的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】因为函数
，
由
，可得
，
要使得函数
在区间
上至少存在两条对称轴，
根据余弦型函数的性质，则满足
，解得
，
所以实数
的最小值为
.
故选：C.
题型04 已知零点、最值点个数求参数
【典例4】（24-25 高一上·北京·期末）函数
在区间
上恰有2 个零点，则
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据
得
，即可得
解出即可.
【详解】因为
，因为
在区间
上恰有2 个零点，
所以
，所以
的取值范围为
，
故选：B.
【变式1】（24-25 高一上·广东揭阳·期末）函数
在
内恰有两个最小值点，
则
的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据正弦型函数的最小值的性质，结合题意进行求解即可.
【详解】因为函数
在
内恰有两个最小值点，
，
所以
所以
，
所以
.
故选：B
【变式2】（24-25 高一上·广西南宁·期末）设函数
在区间
恰有三个最值点
和两个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先由题中条件，求出
，令
，
，依次列举其
最值点和零点，再由题意，得出
，求解即可.
【详解】因为
，
，所以
，
令
，
，
则函数
中大于
的最值点与零点依次是：
又函数
在区间
恰有三个最值点和两个零点，
所以只需
，解得
；
故选：C
【变式3】（23-24 高一下·北京·期中）已知函数
，若关于x 的方程
在区间
上有且仅有4 个不相等的实数根，则正整数
的取值为（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】B
【分析】利用换元法求出
的取值范围，再根据三角函数的图象得到
的不等式，即可得答案；
【详解】令
，∵
，∴
，
设
，
∵若关于x 的方程
在区间
上有且仅有4 个不相等的实数根，
∴
在
上有且仅有4 个不相等的实数根，
∴
，
∴正整数
的取值为.
故选：B.
【变式4】（24-25 高一上·宁夏银川·期末）已知函数
在区间
上单调递增，
且
在区间
上只取得一次最大值，则
的取值范围为
【答案】
【分析】因为根据
在区间
上只取得一次最大值，得
，求
的取值范围，函
数在区间
上单调递增，有
，求
的取值范围，求出两
个范围的交集即可.
【详解】当
时，
，
因为函数
在区间
上只取得一次最大值，
所以
，解得
①，
当
时，
，
因为函数
在区间
上单调递增，
结合①有
，解得
，
综上所述，
的取值范围为
.
故答案为：
【变式5】（23-24 高一上·江苏盐城·期末）若函数
在区间
上恰有两个最大
值，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】求出
，根据函数恰有两个最大值，得到
，得到答案.
【详解】因为
，
，
所以
，
又
上恰有两个最大值，
所以
，解得
.
故答案为：
题型05 已知周期求参数
【典例5】（23-24 高一下·河南驻马店·期末）函数
的最小正周期为T，
若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】运用周期公式，代入解析式．再已知函数值，求角度即可
【详解】
，则
，即
，
即
，即
，则
，又
，则
.
故选：B.
【变式1】（2025 高一上·全国·专题练习）若函数
的最小正周期是2，则
的值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据周期公式即可得到答案.
【详解】依题意
．所以ω 的值为
，
故选：B.
【变式2】（24-25 高二上·湖南·开学考试）已知函数
图象的两个相邻对
称中心为
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据两相邻对称中心的距离为周期的一半及周期公式求得
，再代入正弦函数的中心对称结
论列式，根据
求解即可.
【详解】由
图象的两个相邻对称中心为
，
，
可得
，所以
，故
，
又
，则
，结合
，得
.
故选：A.
【变式3】（23-24 高一下·辽宁沈阳·期末）已知
的最大值为
，若存在不同的实数
，使得对任意实数
总有
成立，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据解析式求出
得
的最小值为
可得答案.
【详解】因为
，所以
，
由题意得
为最小值，
为最大值，所以
的最小值为
，
所以
的最小值为
.
故选：A.
【变式4】（23-24 高一下·广西钦州·期末）已知
，
是函数
（
）图象与
轴的两
个相邻的交点，若
，则
（ ）
A．4
B．8
C．4 或8
D．8 或16
【答案】C
【分析】将问题转化为
的两个相邻的解之间距离为
，由此列式求解，即可得答案.
【详解】由题意
，
是函数
（
）图象与
轴的两个相邻的交点，
且
，则
的两个相邻的解之间距离为
，
而
或
，
即
或
，
则
，或
，
解得
或
，
故选：C
【变式5】已知函数
的周期不大于2，则正整数k 的最小值为（ ）
A．10
B．11
C．12
D．13
【答案】D
【分析】根据周期的公式求解分析即可.
【详解】由题设
，
,
又
，
正整数k 的最小值为13.
故选：D
题型6 根据图像变化求参数
【典例6】（24-25 高一上·湖南衡阳·期末）将函数
的图象向右平移
个单位，所
得函数图象关于
轴对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出图象平移之后的函数解析式，利用函数图象关于
轴对称可求
的最小值.
【详解】将函数
的图象向右平移
个单位，
所得函数解析式为
，即
，
∵函数
的图象关于
轴对称，
∴函数
为偶函数，
∴
，故
，
∵
，∴当
时，
.
故选：D.
【变式1】（24-25 高一下·全国·课后作业）已知函数
的图象向左平移
个单位长度后与原图象重合，则实数
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．8
【答案】B
【分析】由题可知，
是该函数的周期的整数倍，根据
可得答案.
【详解】由题可知，
是该函数的周期的整数倍，即
，
解得
，又
，故其最小值为
．
故选： B.
【变式2】（24-25 高一上·山西·期末）若函数
在
处取得最大值，将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到的函数
是奇函数，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出
的值，再根据平移变换求出
的最小值.
【详解】因为
时函数
取得最大值，则
，解得
.
所以
，
将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到
，
，函数
为奇函数，则
，
所以
，当
时，
有最小值
.
故选：D.
【变式3】（24-25 高一上·福建福州·期末）将函数
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象关于原点对称，则
的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由三角函数的平移变换求出函数
的图象，然后利用函数的对称性求得
的关系式，即可得出
答案.
【详解】函数
的图象向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，
所以
，
因为函数
图象关于原点对称，
，
所以
，所以
的值可以是
.
故选：B.
【变式4】（24-25 高一上·北京大兴·期末）将函数
图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变
为原来的
（
）倍，得到函数
的图象，若
，则正数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用图象变换得函数
的解析式，再根据正切函数的图象和周期公式即可得正数
的最小值.
【详解】由题意，得
，
，设函数
的最小正周期为
，
因为
，所以
，
，又
，
，
解得
，
，所以正数
的最小值为6.
故选：A.
【变式5】（24-25 高一上·山东菏泽·期末）已知函数
，将
的图象向左
平移
个单位长度后得到函数
的图象，若
与
的图象关于原点对称，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】D
【分析】根据函数图象变换求函数
的解析式，结合条件列方程求
.
【详解】因为将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到函数
的图象，
所以
，
因为
与
的图象关于原点对称，
函数
的图象关于原点对称的图象对应的函数解析式为
，
所以
，
即
，
所以
，
，
所以
，
，
又
，
所以
，
故选：D.
【变式6】（24-25 高一上·山西太原·期末）把函数
的图象向左平移
个单位长度，再把所得图象
上各点的横坐标变为原来的
（
）倍，纵坐标不变得到
的图象，若函数
在
上没有
零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由图象变换得到
，再根据函数
在
上没有零点，由
或
求解.
【详解】解：把函数
的图象向左平移
个单位长度得到
，
再把所得图象上各点的横坐标变为原来的
（
）倍，纵坐标不变得到
，
因为函数
在
上没有零点，
所以
或
，
解得
或
，
当
时，
或
，
故选：B
【变式7】（24-25 高一上·福建莆田·期末）将函数
图象上所有点的横坐标伸长到原来的4
倍（纵坐标不变），再向左平移
个单位长度，得到函数
的图象．若函数
为偶函数，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用三角恒等变换得到
，利用伸缩变换和平移变换得到
，由
为偶函数得到方程，求出
，得到最小值.
【详解】
，
所有点的横坐标伸长到原来的4 倍（纵坐标不变），得到
，
向左平移
个单位长度，得到函数
，
因为
为偶函数，所以
，解得
，
故
的最小值为
.
故答案为：
【变式8】（24-25 高一上·湖南郴州·期末）将函数
的图象向左平移
个单位后，
得到
的图象，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据左加右减得到平移后的解析式，得到方程，求出
，得到最小值.
【详解】
的图象向左平移
个单位后，得到
，
从而
，解得
，
又
，故当
时，
取得最小值，最小值为
.
故答案为：
题型07 根据不等式恒成立求参数
【典例7】（24-25 高一上·江苏镇江·期末）已知函数
在
上满足
，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出
，再结合正弦函数的图象性质可得
，即可得解.
【详解】由
，且
，可得
，
由于
，则
，可得
.
故选：D
【变式1】（23-24 高一下·江西景德镇·期中）已知函数
，若对于
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
的取值范围求出
的范围，再根据正弦函数的性质求出
的值域，即可得到
，从而得解.
【详解】当
，则
，
所以
，则
，
因为对于
，不等式
恒成立，
所以
，解得
，所以实数
的取值范围为
.
故选：B
【变式2】（23-24 高一下·四川内江·期中）已知
，函数
，
，
，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】依题意
为最大值或最小值，从而得到
为函数的对称轴，再根据正弦函数的性质求
出
，最后确定
的最小正值.
【详解】因为
，且
，
，
即
为最大值或最小值，即
为函数
的一条对称轴，
所以
，
解得
，
又
，所以当
时
取得最小值
.
故选：B
【变式3】（24-25 高一上·甘肃白银·阶段练习）设函数
，若
对任
意的实数
都成立，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】分析可知
的最大值为
，结合正弦函数最值运算求解即可.
【详解】因为
对任意的实数
都成立，可知
的最大值为
，
则
，可得
．
因为
，所以当
时，
取最小值，最小值为
．
故答案为：
．
