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拓展提升01 几何体中的截面问题
题型01 判断截面形状
解题锦囊
作截面的几种方法
(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找
交线的过程.
(2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点.
(3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直
线的平行线找到几何体与截面的交线.
【典例1】（（25-26 高二上·上海·单元测试）在正方体
中，P、Q、R 分别是棱BC、
、
的中点，过P、Q、R 三点的平面与正方体表面的交线围成的封闭图形的形状是（ ）
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
【答案】D
【分析】利用平面的性质作出过P、Q、R 三点的截面，从而可判断其形状.
【详解】如图，延长
交
的延长线于点
，连接
交
于点
，连接
，
因为P、Q、R 分别是棱BC、
、
的中点，所以
为
的中点，
延长
交
的延长线于点
，延长
交
的延长线于点
，
则
，
连接
交
于点
，交
于点
,
连接
，则六边形
为过P、Q、R 三点的平面与正方体表面的交线围成的封闭图形.
故选：D
【变式1】（23-24 高一下·江苏无锡·期中）如图，在正方体
中，作截面
如图交
，
，
，
分别于
，
，
，
，则四边形
的形状为（ ）
A．平行四边形
B．菱形
C．矩形
D．梯形
【答案】A
【分析】根据题意，结合面面平行的性质，证得
和
，进而得到答案.
【详解】在正方体
中，可得平面
平面
，
且平面
平面
，平面
平面
，
所以
，同理可证：
，
所以四边形
的形状一定为平行四边形.
故选：A.
【变式2】（23-24 高一下·贵州贵阳·期末）如图，在正方体
中，点
分别是
的
中点，过点
的平面截该正方体所得的截面是（ ）
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
【答案】C
【分析】把截面补形，利用共面可得结果．
【详解】
延长
与直线
相交于
连接
与
分别交于点
连接
，则五边形
即为截面，
故选：C.
【变式3】（24-25 高一下·全国·课后作业）如图，在下列四个正方体中，
，
，
，
，
，
，
为
所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与
，
，
三点所在平面平行的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意可知，经过
，
，
三点的平面如图，截面为六边形
（
，
，为所在棱的
中点），然后逐个分析判断即可.
【详解】由题意可知，经过
，
，
三点的平面如图，截面为六边形
（
，
，为所在棱的
中点），
对于A，由图可知
与
是相交直线，所以A 错误；
对于BC，由图可知
在经过
，
，
三点的平面上，所以B，C 错误；
对于D，因为
分别为
的中点，
所以
∥
，
∥
，
因为
平面
，
平面
，
所以
∥平面
，
∥平面
，
因为
平面
，所以平面
∥平面
，所以D 正确.
故选：D
【变式4】（2024·湖南郴州·模拟预测）已知正方体
中，点
、
满足
，则平面
截正方体
形成的截面图形为（ ）
A．六边形
B．五边形
C．四边形
D．三角形
【答案】B
【分析】由题意，点
是线段
上靠近
的三等分点，点
是线段
上靠近
的三等分点，作出截面
图形可得结论.
【详解】如图，
因为点
、
满足
，
点
是线段
上靠近
的三等分点，点
是线段
上靠近
的三等分点，
延长
与交于点
，连接
交
于
，
延长
交于点
，连接
交
于
，连接
，
则五边形
为所求截面图形.
故选：B．
【变式5】（2025 高三下·全国·专题练习）在长方体
中，过直线
的平面交直线
于
点E，交直线
于点F，则四边形
的形状为 .
【答案】平行四边形
【详解】在长方体
中，平面
平面
，平面
平面
，平
面
平面
，
则
，
同理，由平面
平面
可得
，
所以四边形
为平行四边形.
故答案为：平行四边形.
题型02 截面周长问题
解题锦囊
先作出截面图形，在根据题设条件求出截面的周长，要注重具体问题具体分析，尤其遇到似曾相识的
问题时应注重联系已有的解题经验，应用所学的几何知识找到参数之间的内在关系，构建正确的数学方程，
快速破解问题．
【典例2】（24-25 高二下·四川成都·阶段练习）如图，已知正方体
的棱长为2，若K 为棱
的中点，过A，C，K 三点作正方体的截面，则截面的周长为（ ）．
A．
B．6
C．
D．
【答案】A
【分析】取
的中点
，连接
，作出截面
，分别求出边长，进而求出截面的周长.
【详解】如图，取
的中点
，连接
，则
.
则在正方形
中，
，
，
所以四边形
是平行四边形，
所以
，
又
，所以
，
则四边形
即为过
三点截面，
因为正方体
的棱长为2，
所以
，
，
,
则其周长为
.
故选：A.
【变式1】（24-25 高二下·四川内江·开学考试）一棱长为
的正四面体木块如下图所示，点
在平面
内，过点
将木块锯开，且使截面平行于直线
和
，则在木块表面画线的总长度为（ ）
A．
B．
C．
D．无法确定
【答案】B
【分析】根据线面平行的判定定理，通过构造平行线确定截面，截面周长即为所求.
【详解】
如图，在平面
内过点
作
，分别交
于点
，则
，
.
在平面
内作
交
于点
，在平面
内作
交
于点
，则
，
，
∴
，故截面为平行四边形
，
∴在木块表面画线的总长度为
.
故选：B.
【变式2】（23-24 高一下·重庆长寿·期中）如图所示，在正四棱台
中，上底面边长为4，
下底面边长为6，体积为
，点E 为AD 中点，过点E 的平面α 与平面
平行，且与正四棱台各面
相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先过点
作
于点
，结合已知得
，由棱台体积公式得，由勾股定理得，再求
出的长，最终根据相似三角形对应边成比例即可得解.
【详解】如图所示，点
作
于点
，因为
，所以
，
则四棱台的高为
，则四棱台的体积为
，
解得
，所以侧棱长为
.
如图所示：
作
于点
，
作
于点
，连接
，
由对称性可知
，
，
所以
，而
，
所以
，所以
，
同理
，
分别在棱
上取中点
，则平面
即为平面
，
，
所以截面多边形的周长为
.
故选：D.
【变式3】（2025·高一·全国·单元测试）正方体
的棱长为1cm，过
作平行于对角线
的截面，则截面面积为
；其周长为 cm．
【答案】
【解析】如图，在正方体
中，
，则
为
的中点，
令过
平行于对角线
的截面交
于
，即平面
平面
，
由
平面
，
平面
，得
，则
为
的中点，
于是
，而
，
所以截面面积
（
）；
又
，所以截面周长
（
）．
故答案为：
；
【变式4】（23-24 高一下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在正三棱柱
中，
，
，
，
分别为棱
，
，
的中点，过
，
，
三点作正三棱柱
的截面，则截面与
侧面
的交线长为 .
【答案】
【分析】延长
交
的延长线于
，连接
交
于
，连接
，则
截面
与侧面
的
交线，再结合数量关系求解即可.
【详解】如图，延长
交
的延长线于
，连接
交
于
，连接
.
因为
面
，
，所以
面
，又
面
，所以
面
，
所以
为截面
与侧面
的交线.
取
中点
，连接
，则
，且
,
易知
，所以
，所以
为
的中点，
所以
，则
.
故答案为：
.
题型03 截面的面积问题
【典例3】（24-25 高一下·河南·阶段练习）已知正四棱柱
中，
(点E 在棱
BB1上)，
，则该四棱柱被过点
，
，
的平面截得的截面面积为
A．
B．36
C．
D．
【答案】C
【分析】在
上取点
，使
，连接
，
，得出截面四边形
是平行四边形，利用勾股
定理，分别求得
，结合余弦定理和面积公式，即可求解.
【详解】由题意，正四棱柱
中，
，
，
可得
，
，
在
上取点
，使
，如图所示，
连接
，
，可得
且
，则四边形
是平行四边形，
四棱柱被过点
，
，
的平面截得的截面为
，
由勾股定理可得
，
，
，
所以
，
所以
，
所以平行四边形
的面积为
.
故选: C.
【变式1】（24-25 高二上·重庆·期末）已知正方体
，E，F，G 分别为棱AB，
，
的中点，若平面EFG 截该正方体的截面面积为
，点P 为平面EFG 上动点，则使
的点P 轨迹
的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】通过平行可知截面为正六边形，然后截面面积可求得正方体边长.再结合正方体中
截面EFG
可得
，进而可判断点P 的轨迹是以O 为圆心，半径为
的圆，轨迹长度即可求解.
【详解】由题意截面EGF 则为正六边形，如图所示，
由截面面积为
及三角形面积公式可得
，解得
，∴正方体的棱长
.
因为
截面EFG，O 为
的中点，也是截面EFG 的中心，且
，
，即
，解得
.
∴使得
的点P 的轨迹是以O 为圆心，半径为
的圆，所以轨迹长度为
.
故选：C.
【变式2】（23-24 高一下·江苏连云港·期末）在边长为2 的正方体
中，E，F，G 是
的中点，那么过点E，F，G 的截面图形为 （在“三角形、四边形、五边形、六边
形”中选择一个）；截面图形的面积为 ．
【答案】 六边形
【分析】根据面面平行的性质定理可推断正方体截面图形的形状为正六边形，再根据截面图的边长与正方
体棱长关系以及正六边形结构特征即可求解面积.
【详解】如图，分别取
、
、
的中点为
、
、
，
连接
，则由正方体的结构特征可知：
，且
，
又由面面平行的性质定理可知过点E，F，G 的截面与正方体上下面的两条交线平行，
与左右两个面的两条交线平行，与前后两个面的交线也平行，
故六边形
是正方体中过点E，F，G 的截面,
所以过点E，F，G 的截面图形为六边形.
因为
，
所以六边形
是棱长为
的正六边形，
如图，根据正六边形结构特征可以将其分割成6 个全等的正三角形，且边长为
，
故由正三角形面积公式得截面图形的面积为
.
故答案为：六边形；
.
【变式3】（24-25 高二上·广西柳州·期中）如图，正方体
的棱长为2，E，F 分别为
的中点，则平面AEF 截正方体所得的截面面积为 .
【答案】
【分析】由
，
，从而截面为梯形
求解.
【详解】解：如图所示：
因为
，所以
，所以截面为梯形
，
因为正方体的棱长为2，则
，
梯形的高为
，
所以梯形的面积为：
，
故答案为：
【变式4】（23-24 高一下·浙江杭州·期中）在棱长为2 的正方体
中，则它的外接球的表面
积为 ；若E 为
的中点，则过B、D、E 三点的平面截正方体
所得的截面面
积为 .
【答案】
【分析】利用正方体的对角线和外接球的半径的关系，求得外接球的半径，进而求得球的表面积，再利用
直线间的平行关系和平面的基本性质，得出截面，进而求得截面等腰梯形的面积.
【详解】在棱长为2 的正方体
中，
可得其外接球的半径为
，所以
,
所以外接球的表面积为
；
如图所示，过点
作
，连接
，
所以过
三点的平面截正方体
所得的截面为
且为等腰梯形，
过点
作
于点
，过点
作
，连接
，
所以
为等腰梯形
的高，且
,
所以梯形
的面积为
.
故答案为：
；
.
题型04 圆柱、圆锥、圆台中的截面问题
解题策略：
圆柱体：当平面平行于底面去截时，得到的截面是圆；当平面垂直于底面去截时，得到的截面是矩形；
当平面既不平行也不垂直于底面去截时，得到的截面是椭圆或椭圆的一部分。
圆锥体：当平面平行于底面去截时，得到的截面是圆；当平面通过圆锥的顶点且垂直于底面去截时，
得到的截面是等腰三角形；当平面既不平行于底面，也不通过顶点去截时，得到的截面是椭圆或抛物线或
双曲线的一部分。
【典例4】（24-25 高三下·浙江杭州·阶段练习）若圆锥的轴截面是一个边长为
的等边三角形，则它的体
积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由条件确定圆锥的底面半径和高，在利用圆锥的体积公式求结论.
【详解】因为圆锥的轴截面是一个边长为
的等边三角形，
所以圆锥的底面半径
，高
，
所以圆锥的体积
.
故选：A.
【变式1】（24-25 高二上·北京·期中）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下
底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ）
A．（1）（2）
B．（1）（3）
C．（1）（4）
D．（1）（5）
【答案】D
【分析】该平面过圆柱上、下底中心时截面图形为（1），不过上、下底的中心时截面图形为（5）.
【详解】当该平面过圆柱上、下底中心时截面图形为（1）；
当不过上、下底的中心时，截面图形为（5）.
所以只有（1）、（5）正确.
故选：D.
【变式2】（23-24 高一下·云南迪庆·期末）已知圆锥的高为
，底面积为
，平行于圆锥底面的
截面面积为
，则截面与底面的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据圆锥中平行底面截面的性质求解.
【详解】设截面与底面的距离为
，则
，解得
.
故选：C
【变式3】（2025·广东深圳·三模）底面半径为3 的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、
高为2 的圆锥，所得圆台的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】画出图形，由三角形相似比得到
，再由两圆锥的侧面积之差计算可得.
【详解】如图，设截面圆的圆心为
，截面圆的半径
，底面圆半径
，
，
由于
，所以
，
所以
，
所以原圆台的侧面积为
，
故选：A.
【变式4】（2025 高一·全国·专题练习）下列说法不正确的是（ ）
A．有两个面互相平行，其余各面均是平行四边形的多面体是棱柱
B．用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面
C．侧面是全等的矩形的五棱柱一定是正五棱柱
D．过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大
【答案】ACD
【分析】根据棱柱的定义判断A，由球的性质判断B，由正五棱柱定义判断C，根据圆锥过顶点的截面的性
质判断D．
【详解】如下图的多面体，有两个面互相平行，其余各面均是平行四边形的，但它不是棱柱，A 错；
用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面，B 正确；
侧面是全等的矩形的五棱柱的底面不一定是正五边形，C 错；
过圆锥顶点的所有截面中，设两条母线的平角为
，母线长为，则截面面积为
，
当轴截面等腰三角形的顶角
大于
，截面中两条母线夹角
为
的截面面积最大，D 错.
故选：ACD.
【变式5】（2025·上海金山·二模）已知圆锥底面半径为1，高为
，则过圆锥母线的截面面积的最大值为
.
【答案】
【分析】依题意求得圆锥的母线长，确定轴截面的顶角，从而求出截面面积的取值的最大值，由此得解．
【详解】依题意，设圆锥的母线长为，
圆锥的底面半径为，高为
，
，
设圆锥的轴截面的两母线夹角为
，显然
，
则过该圆锥的母线作截面，截面上的两母线夹角设为
，
故截面的面积为
，当且仅当
时，等号成立，
故截面的面积的最大值为
．
故答案为：
.
题型05 球的截面问题
解题策略：
球的截面形状
①当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆；
②当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆.
(2)球的截面的性质
①球心和截面圆心的连线垂直于截面；
②球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 之间满足关系式：
.
【典例5】（2025 高一·全国·专题练习）四面体
的棱长为4，E 为棱BC 的中点，过点E 作其外接球
的截面，则截面面积的最小值是 .
【答案】
【分析】将正四面体
放置于正方体中，该正方体的外接球就是正四面体
的外接球，求出半径，
过点
作其外接球的截面，当截面到外接球的球心
的距离最大时，截面面积最小，据此即可求解.
【详解】将正四面体
放置于如图所示的正方体中，可得该正方体的外接球就是正四面体
的外
接球，
设该外接球的球心为
，半径为R，
正四面体
的棱长为4，且正四面体
的棱长是正方体的面对角线长，
正方体的棱长为
，
正方体外接球的半径
满足
，
解得
，
为棱BC 的中点，
过点
作其外接球的截面，
当截面到外接球的球心
的距离最大时，截面面积最小，
此时
为截面圆心，球心
到截面的距离
，
由截面的性质可得截面半径
，
故截面面积的最小值为
．
故答案为：
.
【变式1】（24-25 高二下·云南·开学考试）若球
被一个平面所截，所得截面的面积为
，且球心
到该
截面的距离为2，则球
的表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求出截面圆的半径，再利用勾股定理求得球的半径，再根据球的表面积公式即可得出答案.
【详解】因为球的一截面的面积为
，所以截面圆的半径为
，
又因为球心到该截面的距离为2，所以球的半径为
，
所以球的表面积为
.
故选：C.
【变式2】（2025·云南曲靖·一模）已知正三棱锥
的所有顶点都在球
的球面上，
，
，过棱
作球
的截面，则所得截面面积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出三棱锥外接球的半径，取
的中点
，当
垂直截面时，截面的面积最小，此时截面圆
的直径为
长，当截面过球心时，截面圆的面积最大，即可得解.
【详解】如图，作
平面
，垂足为
，取
的中点
，外接球的球心为
，连接
，
易得
为
的中心，则
，所以
，
设外接球半径为
，则
，即
，解得
，
当
垂直过
的截面时，截面的面积最小，此时截面圆的直径为
长，
最小面积为
，
当截面过球心
时，截面圆的面积最大，最大面积为
，
故截面面积的取值范围是
.
故选：B.
【变式3】（2025·甘肃兰州·一模）正方体
的棱长为2，平面
截正方体内切球所得的
截面面积为 ．
【答案】
【分析】根据正方体和球的结构特征，判断出
是正三角形，求出利用等体积法求得
到平面
的
距离，进而求得O 到平面
的距离，求得截面半径，即可求得面积．
【详解】正方体
的中心是内切球球心，设为O，O 到平面
的距离为d，
设A 到平面
的距离为
，因为
，所以
，
所以
，
所以
，
正方体内切球半径
，正方体内切球被平面
截球面所得的截面是一个圆半径为r 的圆，
所以
，所以圆的面积为
．
故答案为：
．
【变式4】（24-25 高二下·上海宝山·阶段练习）已知球
的半径为5，球心到平面
的距离为4，则球
被
平面
截得的截面面积为 ．
【答案】
【分析】利用勾股定理可求得截面的半径，即可求解
【详解】
设截面圆的半径为，球
的半径为
，球心到平面
的距离为
，
则
，
即
可得
，
所以截面面积为
，
故答案为：
.
【变式5】（24-25 高一上·湖南邵阳·期末）已知正四面体
的四个顶点在球
的球面上，
，
Q 为BC 的中点，则过点
的平面截球
所得截面圆的面积的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用正方体与正四面体的外接球相同这一关系，先确定球心和球的半径，再根据球的截面性质分
别找出过点
的截面圆面积的最大值和最小值，从而得到取值范围.其中正方体的外接球的球心是正方体体
对角线的中点，球的截面中，过球心的截面圆面积最大，当球心与截面圆心的连线垂直于截面时，截面圆
面积最小.
【详解】已知正方体的外接球与正四面体
的外接球相同，且正方体体对角线的中点为球心
.设正
四面体的棱长为
. 设外接球半径为
,正四面体体积公式
.
正四面体的外接球半径
与棱长
的关系为
. 已知
.
那么
，所以
.代入可得:
.
根据圆的面积公式（对于球的截面圆，当截面过球心时，截面圆半径等于球的半径
），所以最大截面
为过球心的圆，其面积
.
这是因为过球心的截面圆是球的大圆，此时圆的半径就是球的半径，所以面积最大.
因为
为
的中点，由正方体结构特征可得
.
设截面圆半径为
，球的半径为
，球心到截面的距离为
（这里
，
），根据球的截面
性质
（在由球心、截面圆心和球面上一点构成的直角三角形中，球的半径
为斜边，球心到
截面的距离
和截面圆半径
为两直角边，满足勾股定理），则
.
再根据圆的面积公式，可得最小截面圆面积
.
这是因为当
与截面圆垂直时，球心到截面的距离
达到最大，此时截面圆半径
最小，所以截面圆面积
最小.
由前面求出的最大截面圆面积
和最小截面圆面积
，
可知过点
的平面截球
所得截面圆的面积的取值范围为
.
故答案为：
.
