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拓展提升05 球的内切外接问题
题型01 外接球问题
解题锦囊
这类问题的求解思路是根据条件找出球心、截面圆的圆心、球心与截面圆的距离，通过构造直角三角
形进行求解。
几何体外接球问题的处理方法
解题关键是确定球心和半径，其解题思维流程：
(R—球的半径，r—截面圆的半径，h—球心到截面圆的距离)
【注意】若截面为非特殊三角形，则可用正弦定理求其外接圆的半径r.
若棱锥有一条侧棱垂直于底面，且棱长为h,底面多边形的外接圆半径为r，则该棱锥的外接球半径
为：
【典例1】（24-25 高一下·浙江杭州·期中）在三棱锥
中，
，
，
，
点P 在平面
上投影为A，则三棱锥
的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一下·天津·期中）在四面体
中，
平面
，
四面体
的四个顶点都在球
的表面上，则球
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知三棱锥
底面是边长为
的正三角形，
平面
，
且
，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知三棱锥P-ABC,在底面△ABC 中,∠A=60°,BC=
，PA⊥面ABC,PA=2,则此三棱锥的外接球
的体积为
( )
【变式4】（2024·四川凉山·二模）已知在三棱锥
中，
，
，底面
是边长为
1 的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5】（24-25 高一下·浙江台州·期中）在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直
角三角形的四面体.如图，在直角
中，AD 为斜边BC 上的高，
，
，现将
沿AD
翻折成
，使得四面体AB＇CD 为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为 .
解题步骤：①取底面Δ ABC 的外心O1，则P,O,O1三点共线；②先算出圆O1的半径AO 1=r （利用正弦
定理），再算出锥体的高PO 1=h ；③在利用勾股定理：OA2=O1 A2+O1O2⇒R2=(h−R)2+r2 ，解
出R .
P
A
D
O1
O
C
B
【典例2】（24-25 高一下·山西太原·阶段练习）已知正三棱锥
的底面是边长为
的正三角形，
侧棱长为
，则该正三棱锥
的外接球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知三棱锥
中，
，则三棱锥
的外接球的体积
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·安徽安庆·阶段练习）已知各棱长均相等的正四棱锥
各顶点都在同一球
面上，若该球表面积为
，则正四棱锥
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2025·广东肇庆·二模）已知正三棱锥的底面是边长为
的正三角形，高为2，则该三棱锥的外
接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
若直棱柱(或有一条棱垂直于一个面的棱锥)的高为h，底面外接圆半径为r，则该几何体
外接球半径R 满足R2＝
＋r2.
【典例3】（23-24 高一下·内蒙古·期末）已知三棱柱
的侧棱与底面垂直，
，
，
，则三棱柱
外接球的表面积为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知正三棱柱
所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（ ）
A．
B．60
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·福建福州·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各
种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．在堑堵
中，
，
，
，
，则此堑堵的外接球半径是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知直三棱柱
外接球的直径为5，且
，则该棱柱体积的最大值为 .
【变式4】（2025·吉林延边·一模）在直三棱柱
中，
，
，且
，则
该三棱柱的外接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5】（24-25 高三上·云南楚雄·期末）在直三棱柱
中，
，
则该三棱柱外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
球内接圆台，棱台：
，其中
分别为圆台的上底面、
下底面、高．基本规律：正棱台外接球，以棱轴截面为主
【典例4】（2022·新高考全国Ⅱ)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3 和4，其顶点都在同一
球面上，则该球的表面积为( )
A．100π
B．128π
C．144π
D．192π
【变式1】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知某圆台的母线长为
，母线与轴所在直线的夹角是
，
且上、下底面的面积之比为
，则该圆台外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2024·山东潍坊·二模）如图，圆台的上、下底面半径分别为
，
，且
，半径为4
的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知正三棱台的上底面边长为
，高为，体积为
，则该正
三棱台的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（2025·贵州黔南·三模）在正四棱台
中，
，
，则该正四棱
台的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
若两个平面垂直，则分别找出两垂直多边形的外接圆圆心，然后分别作过圆心的垂直线，交点即球心
【典例5】（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在三棱锥
中，
，
，
为
的中点，
，
与平面
所成的角为
，则三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2024·江西南昌·三模）已知三棱锥
中，
是边长为2 的正三角形，
是以
为斜边的等腰直角三角形，
分别是线段
的中点，若
，则三棱锥
的外接球的表
面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高三上·安徽蚌埠·期末）已知三棱锥
中，
是边长为3 的正三角形，
，平面
平面
，则该三棱锥的外接球体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
若三棱锥的对棱相等，此时探寻球心无从着手.因为长方体的相对面的面对角线相等，所以可
在长方体中构造三棱锥，从而巧妙探索外接球的球心与半径.
【典例6】（2025·高一下·专题测试）在四面体ABCD 中，
，
，
，则
该四面体的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高三上·广东·开学考试）外接球半径为
的正四面体的体积为（ ）
A．
B．24
C．32
D．
【变式2】（24-25 高一下·安徽·期中）棱长为
的正四面体
，下列说法错误的是（ ）
A．正四面体的体积是
B．正四面体外接球半径是
C．正四面体内切球是
D．正四面体表面积是
模型1：三棱锥的三条侧棱两两互相垂直
模型2：有一侧棱垂直于底面，底面为直角三角形的三棱锥或底面是矩形的四棱锥
【典例4】（2025·山西吕梁·一模）在正三棱锥中
，棱
两两垂直，若
的边
，则该正三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高二下·辽宁朝阳·开学考试）已知点P，A，B，C，D 是球O 表面上的点，
面
，四边形
是边长为
的正方形．若
，求
的面积．（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高二上·山东潍坊·期末）在三棱锥
中，
平面
，则该三棱锥的外接球半径为（ ）
A．
B．3
C．
D．
【变式3】（2025·安徽黄山·一模）已知三棱锥
的四个面均为直角三角形，
平面
，
，
，则三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型02 棱切球问题
【典例5】（23-24 高一下·陕西西安·期中）我们把与正方体所有棱都相切的球称为正方体的棱切球，设正
方体
的棱长为1，则其棱切球的表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2024 高三·全国·专题练习）下列命题中，错误命题的个数为（ ）
① 经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆；② 球的表面积是它大圆面积的4 倍；③ 正方
体的内切球、棱切球(正方体的每条棱都与球相切)、外接球的半径之比为
.
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式2】（23-24 高一下·浙江温州·期末）与多面体的每条棱都相切的球称为该多面体的棱切球．已知四
面体ABCD 满足
，
，且四面体ABCD 有棱切球，则AC 的长为 ．
【变式3】（2024·广东佛山·模拟预测）已知正三棱柱的所有棱长均相等，其外接球与棱切球（该球与其所
有棱都相切）的表面积分别为
，则
．
题型03 内切球问题
多面体内切球的处理策略主要是两个方法：一是几何法，确定球心再球半径；二是利用等体积法球半径.
【典例5】（24-25 高一下·河南·阶段练习）已知四棱锥
的底面是边长为2 的正方形，侧棱长都等
于2，则该四棱锥的内切球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高二上·贵州遵义·期中）（多选）已知球
的半径为
，则（ ）
A．球
的内接正方体的内切球表面积为
B．球
的内接正方体的内切球体积为
C．球
的内接正四面体的内切球半径为
D．球
的内接正四面体的内切球半径为
【变式2】（24-25 高一下·广东广州·期中）已知正方体的外接球的表面积是
，则该正方体的内切球的
体积为 .
【变式3】在三棱锥
中，底面正三角形的边长为
，侧棱长为
，若球
与三棱锥内切，则
该三棱锥
的内切球的表面积为
【变式4】（23-24 高一下·山东·期中）已知正四棱锥
的底面边长为2，高为
，则其内切球半径
是（ ）
A．1
B．
C．
D．
旋转体的内切球问题一般借助于轴截面进行分析，建立几何关系.
【典例6】（24-25 高一下·浙江·期中）已知圆台的一个底面面积为
，且有半径为
的内切球，则该圆台
体积为 ．
【变式1】（23-24 高一下·安徽合肥·期中）一个圆锥内切球的表面积是
，其侧面展开图是半径为
的半
圆，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【变式2】（23-24 高一下·山东聊城·阶段练习）已知某圆柱的轴截面是面积为4 的正方形，则该圆柱的内
切球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高二下·甘肃武威·阶段练习）如图，若圆台的上下底面半径分别为
､
，且
，则
此圆台的内切球（与圆台的上下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为（
､
）
A．
B．
C．
D．
题型04 多球球问题
【典例7】（23-24 高一下·江苏无锡·期中）如今中国在基建方面世界领先，可谓是逢山开路，遇水架桥.公
路里程高铁里程双双都是世界第一
､
.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊平衡盾构机等国之重器更是
､
世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体
的内切球，中等球与最大球和正
四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体
体积为
，则模
型中最大球的体积为 ，模型中九个球的表面积之和为 .
【变式1】（24-25 高一下·河南商丘·期中）已知三棱锥
的棱长均为4，先在三棱锥
内放入
一个内切球
，然后再放入一个球
，使得球
与球
及三棱锥
的三个侧面都相切，则球
的
表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】如图，三个半径都是
的小球放在一个半球面的碗中，小球的顶端恰好与碗的上沿处于同一
水平面，则碗的半径是___________
.
题型05 最值问题
【典例 8】（23-24 高一下·安徽阜阳·期中）已知球O 的半径
，球面上有三点A，B，C，满足
，
，点D 在球面上运动，则当四面体D-ABC 的体积取得最大值时，
（ ）
A．
B．
C．13
D．18
【变式1】（2022·全国·统考高考真题）已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球
O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高一下·浙江温州·期中）在三棱锥
中，
底面
，
，
，
的面积为
，则三棱锥
的外接球表面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
