文档文本内容
第02 讲 向量数量积的运算律
课程标准
学习目标
1.通过向量数量积的定义给出向量数量积的
运算律．
2.能利用运算律进行向量的数量积运算．
1.通过向量加法与数乘运算律得到数量积的运算律，
培养学生的数学抽象的核心素养．
2.利用平面向量的运算律进行数量积运算，提升学生
数学运算的核心素养.
知识点01 平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ 为实数)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
【注意】向量数量积不满足：
①消去律，即a·b＝a·c⇏b＝c；
②结合律，即(a·b)·c⇏a·(b·c)．
【即学即练1】（24-25 高一·上海·课堂例题）若
、
、是三个任意向量，则下列运算中错误的是（ ）
A．
；
B．
；
C．
；
D．
.
【答案】A
【分析】根据向量的四则运算、数量积的定义及分配律逐个判断即可.
【详解】对A，
得出的是数量，故
结果是与共线的向量，
同理
得出的是与
共线的向量，
等式对任意三个向量
、
、不一定正确，故A 错误；
对B，由数量积定义可得，
，故B 正确；
对C，向量数量积运算满足加乘分配律，故C 正确；
对D，由分配律可得，
故D 正确.
故选：A.
知识点02 平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
【即学即练2】（23-24 高一下·广西百色·阶段练习）关于平面向量
，
，，下列说法不正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，且
，则
D．
【答案】CD
【分析】利用数量积的运算律判断AB；利用数量积推理判断C；由共线向量的意义判断D.
【详解】对于A，由向量的运算法则，得A 正确；
对于B，向量数量积满足分配律，B 正确；
对于C，由
，得
，当
时，满足题设，C 错误；
对于D，
是与共线的向量，
是与
共线的向量，而
与无任何关系，D 错误.
故选：CD
题型01 利用运算律求数量积
【典例1】（24-25 高三上·辽宁丹东·期末）在边长为2 的正方形ABCD 中，E 是AB 的中点，则
（ ）
A．2
B．
C．1
D．
【答案】D
【分析】
，利用向量数量积公式计算出结果.
【详解】边长为2 的正方形ABCD 中，E 是AB 的中点，故
，
.
故选：D
【变式1】（24-25 高二上·湖南长沙·期末）已知向量
，
均为单位向量，且
，则
（ ）
A．2
B．
C．4
D．
【答案】B
【分析】根据向量数量积的运算性质及垂直关系的向量表示即可求解.
【详解】因为向量
，
均为单位向量，且
，所以
，
，
所以
，
故选：B.
【变式2】 （2025·广东惠州·模拟预测）已知向量
和
的夹角为
，且
，
，则
（ ）
A．3
B．8
C．12
D．13
【答案】D
【分析】应用平面向量数量积的定义及运算律计算即可.
【详解】因为向量
和
的夹角为
，且
，
则
.
故选：D.
【变式3】 （24-25 高三上·江西·阶段练习）中国象棋是一种古老的棋类游戏，大约有两千年的历史，是中
华文明非物质文化的经典产物.如图，棋盘由边长为1 的正方形方格组成，已知“兵”“马”“炮”“帅”
分别位于A，B，C，D 四点，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】结合向量的线性运算，利用数量积定义直接求解即可.
【详解】如图：
可知
，
故
.
故选：A.
【变式4】 （23-24 高一下·江苏南京·期中）如图，在梯形
中，
，
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意得
，结合数量积的定义得
，最后由数量积的运算律即可求解.
【详解】
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C.
题型02 向量的夹角问题
【典例2】（24-25 高三上·山西太原·期末）已知向量
，
满足
，且
，
，则
与
的夹角为（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
【答案】C
【分析】利用向量的数量积的运算律求得
，利用向量的夹角公式可求得
，可求
与
的夹角.
【详解】由
，可得
，即
又
，所以
，解得
，
所以
，又
，所以
，
所以
与
的夹角为
.
故选：C.
【变式1】 （24-25 高一下·全国·课后作业）已知向量
，
满足
，
，
，则向量
，
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先设向量夹角为
，再由平面向量数量积的运算，结合平面向量夹角的运算，求解即可.
【详解】设向量
，
的夹角为
.因为
，则
，
所以
，则
，解得
，所以
.
故选：C.
【变式2】（2025·浙江·模拟预测）已知
，
，且
与
互相垂直，则向量
与
的夹角
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据已知，应用向量垂直关系及数量积的运算律可得
，即可得答案.
【详解】由题设
，
，
，
所以
，即向量
与
的夹角为
.
故选：C
【变式3】（24-25 高三上·辽宁沈阳·阶段练习）已知单位向量
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用数量积的运算律及向量夹角公式计算得解.
【详解】单位向量
满足
，则
，
，
，
所以
.
故选：A
【变式4】 （24-25 高三上·江苏扬州·期末）设
，
均为非零向量，且
，
，则
与
的
夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用平面向量垂直的条件结合数量积的定义求解夹角即可.
【详解】设
与
的夹角为
，根据题意
，可得
，
所以
，代入
，所以
，
解得
，因为
，所以
与
的夹角为
．
故选：D
【变式5】
题型03 向量的模的问题
【典例3】（23-24 高一下·江苏无锡·期中）已知
，则
（ ）
A．12
B．
C．8
D．
【答案】B
【分析】利用向量数量积的运算律以及模长的坐标运算即可得出结果.
【详解】易知
，即
，
又
可得
；
所以
.
故选：B
【变式1】（2025·广东·一模）已知平面向量
的夹角为
，且
，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．4
【答案】B
【分析】根据向量模长的关系，利用平方法转化为向量数量积公式，解一元二次方程即可得出答案.
【详解】由
，
所以
，即
，
即
，整理得
，
解得
或
（舍去），
所以
.
故选：B.
【变式2】（24-25 高三上·山东临沂·阶段练习）已知
，
，
，则
等于（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】通过平方的方法，结合向量数量积运算求解即可.
【详解】因为
，所以
，
即
，所以
，
则
.
故选：A.
【变式3】 （24-25 高一上·浙江宁波·期末）已知向量
满足
，则
在
方向上的投
影向量是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用数量积的运算律和投影向量公式求解即可.
【详解】因为向量
满足
，
所以
，解得
，
所以
在
方向上的投影向量是
，
故选：D.
【变式4】（24-25 高三上·河南·期末）已知
，
为相互垂直的单位向量，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．4
【答案】C
【分析】由
知
，
，
的模都等于1，先计算
的平方，再开方即得模长.
【详解】解：因为向量
，
满足
，
，
，
所以
，
则
故选：C
【变式5】（2024 高三·全国·专题练习）已知向量
满足
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据
，由
求得
，再利用向量的模公式求解.
【详解】解：由
，得
，
即
，解得
，
所以
．
故选：D
题型04 数量积的最值问题
【典例4】（24-25 高一上·湖南衡阳·期末）
是边长为2 的正三角形，
为
所在平面内任意一
点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．-2
【答案】B
【分析】设
的中点为
的中点为E，则
可表示为
，进而可得答案.
【详解】设
的中点为
的中点为E，
则有
，
则
，
而
而
，
，
故当P 与E 重合时，
有最小值
，
所以
的最小值为
，
故选：B.
【变式1】（24-25 高一上·河北保定·期末）已知平面向量
，
满足
，
，则
的最大
值为（ ）
A．8
B．
C．10
D．
【答案】C
【分析】根据向量数量积运算律得
，再利用向量不等式即可得到答案.
【详解】因为
则
，则
，
所以
，所以
，
，
故选：C.
【变式2】（23-24 高一下·福建福州·期末）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示
的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块
面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形
的边长为
，点
是正八边形
的内
部（包含边界）任一点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】延长
交于点
，延长
交于点
，转化为求
的最值，根据数量积的几何意
义可得
的范围．
【详解】延长
交于点
，延长
交于点
，
如图所示：
根据正八边形的特征，可知
，
又
，
所以
，
，
则
的取值范围是
.
故选：B.
【变式3】（23-24 高一下·江苏泰州·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间
艺术之一，图1 是一个正八边形窗花隔断，图2 是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正
八边形
的边长为2，P 是正八边形
八条边上的动点，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由投影向量的定义得到当
在
上时，
取得最大值，进而得到答案.
【详解】由投影向量的定义可知，当
在
上时，
取得最大值，
延长
交
的延长线于点
，
的最大值为
，
其中正八边形的外角为
，故
，
故
，
，
故
，
所以
最大值为
.
故选：B
题型05 判断三角形的形状
【典例5】（23-24 高一下·天津·阶段练习）在
中，若
且
，则
为（ ）
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．等腰非等边三角形
D．等边三角形
【答案】D
【分析】根据
可得
为等腰三角形，根据
可得
，由此可得
答案.
【详解】∵
，∴
，其中
分别是与
方向相同的单位
向量.
如图，在
边上分别取点
，使
，
作平行四边形
，则
，
由
得平行四边形
为菱形，则
为
的平分线，
由
得
，故
，
延长
交
于点
，则
，故
既是高线，又是角平分线，
∴
为等腰三角形，且
，
∵
，∴
，
由
得，
，
∴
为等边三角形.
故选：D.
【变式1】（23-24 高一下·广东佛山·期中）在△ABC 中，若
，则△ABC 为（ ）
A．等腰直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形
D．直角三角形
【答案】D
【分析】根据向量的减法法则可得
，化简可得
，即可得出结果.
【详解】解：由题意可知：
，
故
，则
，
故
，即△ABC 为直角三角形.
故选：D
【变式2】（23-24 高一下·山东枣庄·期中）
中，若非零向量
与
满足
，
，则
为（ ）
A．等腰直角三角形
B．三边均不相等的直角三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形
D．等边三角形
【答案】A
【分析】利用
和
都为单位向量，得到
，再利用
，得到
，判断即可．
【详解】
和
都为单位向量，
垂直平分
，故
，
，
，
为等腰直角三角形．
故选：A．
【变式3】（24-25 高一下·全国·课后作业）已知
是非零向量且满足
，
，则
的形状为（ ）
A．等腰（非直角）三角形
B．等边三角形
C．直角（非等腰）三角形
D．
等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根据向量垂直得到数量积为
，再由数量积的运算律得到
，从
而求出
，即可得解.
【详解】
是非零向量且满足
，
，
，
，
即
，
，
，
，且
，又
，
所以
，
∴
是等边三角形.
故选：B．
【变式4】
是
所在平面上一点满足
的形状是（ ）
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【答案】B
【分析】利用向量的减法，数量积的运算律计算即得.
【详解】由
，得
，即
，
两边平方并化简得
，则
，即
，所以
是直角三角形.
故选：B
题型06 三角形的“心”
【典例6】 （24-25 高一下·全国·课后作业）已知O 是
所在平面上的一点，若
，则点O 是
的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【答案】A
【分析】根据向量数量积的运算律，即可得
，结合外心定义即可求解.
【详解】由已知得
，
所以
，所以
，
所以点O 是
的外心，
故选:A．
【变式1】 （23-24 高一下·贵州贵阳·期末）已知点
在
所在平面内，且
，
，
，则点
依次是
的（ ）
A．外心、重心、垂心
B．重心、外心、垂心
C．重心、外心、内心
D．外心、重心、内心
【答案】A
【分析】利用三角形外心、重心、垂心的定义和性质判定即可.
【详解】因为
，即O 到
各顶点距离相等，所以O 为
的外心；
取
的中点分别为
，连接
，
则有
，
所以
三点共线，
三点共线，
三点共线，
即N 为
的重心；
由
，即
，同理
，
所以
为
垂线的交点，故
为
的垂心.
故选：A
【变式2】（23-24 高一下·河北·期中）平面向量中有一个非常优美的结论：已知O 为
内的一点，
，
，
的面积分别为
，
，
，则
．因其几何表示酷似
奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O 为
的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据三边，先求出角B 的余弦值,再由内心可得到
，进而由“奔驰定理”得到
，在对向量进行线性运算即可.
【详解】因为
，
，
，
所以
，
因为O 为
的内心，设
，由题意
，
则
，
同理可得
所以根据“奔驰定理”有
，
所以
，
即
，
所以
，
．
故选：A．
题型07 新定义问题
【典例7】 （24-25 高二上·浙江杭州·期中）定义两个向量
之间的一种新运算：
，其
中
是向量
的夹角，则对于非零向量
，则下列结论一定成立的是（ ）
A．若
，则
B．
C．
D．若
，则
【答案】AB
【分析】根据数量积的公式和新定义判断即可.
【详解】A 选项，
，则
，即
或
，所以
，故A 正确；
B 选项，
，故B 正确；
C 选项，
，故C 错；
D 选项， 当
时，
，故D 错.
故选：AB.
【变式1】（23-24 高一下·四川自贡·期中）定义两个非零平面向量的一种新运算
，其
中
表示
，
的夹角，则对于两个非零平面向量
，
，下列结论一定成立的有（ ）
A．
在
上的投影向量为
B．
C．
D．若
，则
与
平行
【答案】BD
【分析】先对新定义进行理解，再结合平面向量数量积的运算逐一判断即可得解．
【详解】对于选项A，
在
上的投影向量为
，
可知
与
共线，但
与
共线，两者方向不一定相同，
所以
在
上的投影向量不为
，故选项A 错误，
对于选项B，
，故选项B 正确，
对于选项C，
，
显然
时，
不成立，故选项C 错误，
对于选项D，由
，所以
，
则
，即
，故选项D 正确，
故选：BD．
【点睛】思路点睛：对于向量的新定义的运算需正确理解向量的新定义运算，再结合向量的投影、向量的
运算和向量的平行等进行推理运算即可.
【变式2】（23-24 高一下·山西大同·期中）已知两个非零向量
，定义新运算
，则（ ）
A．当
时，
B．对于任意非零向量，都有
C．对于不垂直的非零向量
，都有
D．若
，则
【答案】BD
【分析】由定义新运算及数量积的定义分别判断即可．
【详解】设
为向量
与
的夹角，由新运算可知，
，
对于A，由上可知
，
则
，
又
，所以
，则
，
当
为钝角时，
，即
，故A 错误；
对于B，因为
，
，
所以
，故B 正确；
对于C，设
为非零常数，
则
，
当
时，
，故C 错误；
对于D，因为
，
所以
，所以
，
又
，所以
，所以
中至少一个为0，则
，故D 正确，
故选：BD．
【变式3】（23-24 高一下·河南驻马店·阶段练习）已知两个非零的平面向量
与
，定义新运算
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．对于任意与
不共线的非零向量，都有
C．对于任意的非零实数，都有
D．若
，
，则
【答案】ABD
【分析】对于A：根据题中定义即可判断；对于BC：根据题意结合数量积的运算律分析判断；对于D：分
析可知
，可得
，进而可知
，即可得结果.
【详解】对于选项A：因为
，
，
所以
，故A 正确；
对于选项B：因为
，故B 正确；
对于选项C：因为
，
当且仅当
时，
，故C 错误；
对于选项D：若
，
，
则
，
可得
，则
，
且
，可知
，
结合题意可知
，
，所以
，故D 正确；
故选：ABD.
【变式4】定义两个非零平面向量的一种新运算
，其中
表示
的夹角，则对于
两个非零平面向量
，下列结论一定成立的有
A．
在
方向上的投影为
B．
C．
D．若
，则
与
平行
【答案】BD
【解析】本题首先根据投影的定义判断出
是否正确，然后通过
即可判断出
是否
正确，再然后通过取
即可判断出
是否正确，最后通过计算得出
即可判断出
是否正确并
得出答案．
【详解】由向量投影的定义可知，A 显然不成立；
，故B 成立；
，当
时不成立，故C 不成立；
由
，得
，即两向量平行，故D 成立．
综上所述，故选BD．
一、单选题
1．（23-24 高一下·江苏南通·期中）已知单位向量
的夹角为
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．3
【答案】C
【分析】根据已知条件及数量积的运算律即可得解.
【详解】由已知有
，
.
故
.
故选：C.
2．（24-25 高二下·全国·随堂练习）已知空间向量
和
的夹角为
，且
，
，则
等
于（ ）
A．12
B．8
C．4
D．14
【答案】D
【分析】根据数量积的运算律，结合定义即可求解.
【详解】
,
故选：D
3．（24-25 高二上·广西南宁·阶段练习）设非零向量
，
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
两边平方后得
即可.
【详解】因为
，两边平方得
，
所以
，故
.
故选：A
4．（23-24 高一下·山东威海·阶段练习）已知平面向量
满足
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】A
【分析】根据等式变形，再两边平方结合已知条件计算得出结果；
【详解】
，
等式两边平方得
，
因为
，
，
，化简可得
，
所以
.
故选：A.
5．（23-24 高一下·江苏淮安·期末）在平行四边形
中，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【分析】根据平面向量的线性运算结合数量积的运算性质即可求解．
【详解】在平行四边形
中，
，
由题意得
.
故选：C.
6．（24-25 高三上·湖北武汉·阶段练习）若
，
，且
，则
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据向量垂直列方程，结合向量数量积的运算以及向量夹角的知识求得正确答案.
【详解】因为
，所以
，
由于
，所以
，
由于
，所以
.
故选：B
7．（23-24 高一下·河北沧州·期末）在
中，
，
，P 是BN 上一点，且
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】C
【分析】作出图形，由平面向量基本定理求出
的值，再用向量数量积的运算律计算即得.
【详解】
如图，
，
，且
，
因
三点共线，故
，即
，
，
故
．
故选：C．
8．（24-25 高三上·浙江·期末）已知平面向量
，
，满足
且
在
上的投影向量为
，若向量
与向量
的夹角为
，则向量
（ ）
A．2
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】利用投影向量的意义求出
，再利用向量数量积的运算律及夹角公式列式求得答案.
【详解】依题意，
在
上的投影向量为
，即
，则
，
又
，则
，
解得
，由
，解得
.
故选：B
二、多选题
9．（24-25 高三上·山西大同·阶段练习）设
，
是两个相互垂直的单位向量．若向量
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】根据平面向量的数量积、模长的运算、向量平行逐项判断即可得结论.
【详解】
，
是两个相互垂直的单位向量，
所以
，
对于A，
，
，所以
，故A 正确；
对于B，
，故B 不正确；
对于C，
，所以
，故C 正确；
对于D，
，故D 不正确.
故选：AC.
10．（23-24 高一下·宁夏固原·期末）设
，
是非零向量，且
，下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BCD
【分析】根据向量数量积的运算即可判断
，
；根据向量的运算性质和向量垂直的条件即可判断
，
.
【详解】对于
，若
，则
，故
不正确；
对于
，设
，
的夹角为
，所以
，
若
，则
，所以
，即
，
同向，
所以
，故
正确；
对于
，若
，则
，
所以
，
因为
，
，所以
，故
正确；
对于
，设
，
的夹角为
，
若
，则
，
所以
，
所以
，所以
，故
正确.
故选：
.
11．（24-25 高一下·湖南岳阳·开学考试）关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．非零向量
满足
，则
与
的夹角为
C．非零向量
和
满足
，
，则
D．
的外接圆的圆心为
，若
，且
，则向量
在向量
方向上的投
影向量为
【答案】BCD
【详解】A 选项，变形计算得到
，得到
或
，或
；B 选项，利用向量线性运
算法则得到四边形
为菱形，可确定
与
的夹角为
；C 选项，利用
计算出
，得到模长；D 选项，推出
，
为等边三角
形，
，利用投影向量的定义得到
在
方向上的投影向量为
.
【分析】A 选项，
，
故
或
，或
， A 错误；
B 选项，设
，
，则
，
又
，故
为等边三角形，
又
，四边形
为平行四边形，
所以四边形
为菱形，
由此可确定
与
的夹角为
，B 正确；
C 选项，
，
，
故
，
又
，故
，
，故C 正确；
对于D，
，
为
中点，又
为
外接圆圆心，
，
，
为等边三角形，
，
，
在
方向上的投影数量为：
，
在
方向上的投影向量为
，D 正确.
故选：BCD
三、填空题
12．（23-24 高一下·四川内江·期中）已知
，
，均为单位向量，且满足
，则
.
【答案】
/
【分析】由题意
，两边平方，结合数量积的定义、运算律即可求解.
【详解】由题意
，所以
，解得
.
故答案为：
.
13．（24-25 高二上·贵州贵阳·期末）定义两个向量
的运算“
”
与运算“ ”：
，其中
是
的夹角.若
，则
.
【答案】8
【分析】利用向量数量积公式求出夹角的余弦值，再根据向量夹角的范围求出向量夹角的正弦值，最后利
用定义计算即可.
【详解】由
得
，
所以
，所以
.
故答案为：.
14．（24-25 高三上·天津·期末）在矩形ABCD 中
在AD 上取一点M，在AB 上取一点P，
使得
过M 点作
交BC 于N 点，若线段MN 上存在一动点E，线段CD 上存在
一动点
（1）若
用向量
表示向量
；
（2）若
则
的最小值为 .
【答案】
【分析】（1）根据矩形的性质、平面向量的线性运算法则，求出用向量
表示向量
的式子；
（2）由
结合
算出
然后根据向量的模的公式算
出
的最小值．
【详解】解：（1）根据题意，可得
且
所以
可得
结合
、
可得
；
（2）因为
所以
观察图形可得：
当
时等号成立，
所以
可得
即
的最小值为
故答案为：
；
四、解答题
15．（24-25 高三上·上海·期中）已知
，且
.
(1)求向量
与
的夹角大小；
(2)求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果；
（2）由向量的模长公式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由
可得
，
即
，
所以
，解得
，
且
，所以
.
（2）
.
16．（24-25 高一上·江西景德镇·期末）如图，
的内角
的对边分别为
是边
的中点，
点
在边
上，且满足
与
交于点
．
(1)试用
表示
和
；
(2)若
，求
．
【答案】(1)
,
(2)
【分析】（1）根据平面向量线性运算法则得到
，设
，根据平面向量共线定理的推论求出
，
即可求出
；
（2）首先用
、
表示出
、
，再根据数量积的运算律及定义计算可得.
【详解】（1）因为
，所以
，
设
，所以
，
又
三点共线，所以
，解得
，
所以
.
（2）因为
，
设
，
又
三点共线，所以
，解得
，所以
，
所以
，
又
，即
，
即
，解得
或
（舍去）.
17．（2024·四川德阳·一模）平面向量
，
满足
(1)若
在
上的投影向量恰为
的相反向量，求实数t 的值；
(2)若
为钝角，求实数t 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据投影向量的定义及数量积的运算律求解即可；
（2）结合利用向量夹角的余弦与数量积的定义，及向量共线的表示求解即可.
【详解】（1）由题意得
，
则
，即
，
因为
，则
，
所以
，
，
所以
，解得
.
（2）由（1）知，
，
因为
为钝角，所以
，即
，
若
共线，设
，即
则
，解得
或
，
要使
为钝角，则
且
，
即实数t 的取值范围为
．
18．（2025 高一·全国·专题练习）如图，在边长为1 的正方形
中，
是对角线
上一点，且
，则
(1)
；
(2)若点
为线段
（含端点）上的动点，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）表达出
，利用向量数量积公式得到
；
（2）设
，
，表达出
，
，利
用向量数量积公式得到
，故当
时，
取得最小值，最小值为
.
【详解】（1）由题意可知：
，
，
则
，
，
所以
.
（2）因为点
为线段
（含端点）上的动点，设
，
，
则
，
，
其中
，
可得
，
故当
时，
取得最小值，最小值为
.
19．（23-24 高一下·浙江宁波·期末） 已知向量
满足
，且
与
互相垂直.
(1)求向量
在向量
上的投影向量 （用
表示）；
(2)定义平面非零向量之间的一种运算“*”：
（其中
是非零向量
和
的夹角），求
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）由
与
互相垂直得
，再根据投影向量的定义计算可得答案；
（2）利用定义对
平方再开方计算可得答案.
【详解】（1）因为
与
互相垂直，所以
，
可得
，所以
，
向量
在向量
上的投影向量为
；
（2）因为
，
又
，所以
，
，
.
