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第01 讲 复数的概念
课程标准
学习目标
1．通过方程的解，认识复数；
2．理解复数的代数表示及相关概念；
3．理解两个复数相等的含义。
1．了解复数的概念，能类比有理数扩充到实数系的过
程和方法，通过方程的解认识复数；
2．能描述复数代数表示式的结构特征，正确判断复数
的实部、虚部
3．知道复数集、实数集、虚数集与纯虚数集之间的关
系。
知识点01 复数的概念
1、虚数单位：一般地，为了使得方程
有解，人们规定的平方等于
，即
，并称为虚数
单位.
2、复数的定义：一般地，当
与
都是实数时，称
为复数.
3、复数的表示：复数一般用小写字母
表示，即
，其中
称为
的实部，
称为
的
虚部，分别记作
，
.
4、复数集：所有复数组成的集合称为复数集，复数集通常用大写字母C 表示，因此
.
【注意】复数概念说明：
（1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b R)
∈
的形式，其中0＝0＋0i.
（2）复数的实部是a，虚部是实数b 而非bi.
（3）复数z＝a＋bi 只有在a，b R
∈
时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．
【即学即练1】（2025 高二上·黑龙江·学业考试）在复数集中，为虚数单位，则
（ ）
A．
B．0
C．2
D．3
【答案】A
【分析】利用复数的运算性质求解即可.
【详解】由复数运算性质得
，故A 正确.
故选：A
知识点02 复数的分类
1、复数的分类：任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0 的复数实际上是一个实数.特别地，
称虚部不为0 的复数为虚数，称实部为0 的虚数为纯虚数.这样，复数
可以分类如下：
2、复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
【即学即练2】（24-25 高一上·上海·课后作业）下列集合关系表述正确的是（ ）（其中：
自然数集，
整数集）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由各数集的含义可得
【详解】
为自然数集，
为整数集，因为整数集包含自然数集与负整数集，所以
；
为整数集，
为有理数集，因为有理数集包含整数集和小数集，所以
为有理数集，
为实数集，因为实数集包含有理数集与无理数集，所以
为实数集，
复数集，因为复数集包含实数集和虚数集，所以
，
综上，所以
，
故选：A.
知识点03 复数相等
1、复数相等的概念：两个复数
与
，如果实部与虚部对应相等，那么我们就说这两个复数相等，记作
2、复数相等的充要条件：如果
都是实数，那么
。特别的，当
都是实数时，
的充要条件是
且
【注意】两个复数不一定能比大小
（1）根据复数相等的定义，知在
，
两式中，只要有一个不成立，那么
；
（2）若两个复数都全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则她们必须都是实数
（即虚部均为0）；
（3）若两个复数不全是实数，则不能比较大小。
【即学即练3】（24-25 高一下·河北·阶段练习）已知为虚数单位，
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据复数相等即可求解.
【详解】由
，化简得
所以
.
故选：C
题型01 复数的基本概念
【典例1】（24-25 高二下·陕西咸阳·期中）设是虚数单位，若复数
的实部与虚部互为
相反数，则实数
（ ）
A．5
B．
C．3
D．
【答案】A
【分析】根据已知结合复数的定义列式，即可解出答案.
【详解】
复数
的实部与虚部互为相反数，
，解得：
，
故选：A.
【变式1】（2024 高二下·湖南娄底·学业考试）已知复数
，则
的虚部为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据复数虚部的定义进行求解即可.
【详解】因为复数
，所以
的虚部为
.
故选：D.
【变式2】（24-25 高一下·河北邢台·期中）复数
，则（ ）
A．
的实部为
B．
的虚部为
C．
的实部为
D．
的虚部为
【答案】B
【分析】根据复数的概念求解.
【详解】因为
，所以，
所以
与
的实部均为1，A，C 错误；
的虚部为
，B 正确，D 错误.
故选：B.
【变式3】（24-25 高一下·陕西西安·期中）在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若复数
满足
，则
是实数
【答案】B
【分析】根据复数的乘法运算即可判断AB，根据虚数的性质即可判断C，利用待定系数法，结合复数的分
类即可求解D.
【详解】对于A，
，故A 错误；
对于B，
，故B 正确；
对于C，两个虚数不能比较大小，故C 错误；
对于D，设
，则
，
，则
，解得
，故
是
虚数，故D 错误；
故选：B
【变式4】（24-25 高一·全国·课后作业）已知复数
的实部与复数
的虚部相等，则实数a
等于（ ）
A．-3
B．3
C．-1
D．1
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用复数的相关概念直接列式计算作答.
【详解】复数
的实部为1，复数
的虚部为-a，则-a =1，解得
，
所以实数a 等于-1.
故选：C
题型02 复数的分类
【典例2】（24-25 高一下·全国·随堂练习）若复数
为纯虚数，则实数
的值为
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】C
【分析】根据纯虚数的定义即可列关系求解.
【详解】由于
为纯虚数，
所以
且
，
解得
，
故选：C
【变式1】（23-24 高一下·河北唐山·期中）如果复数
是纯虚数，
，是虚数单
位，则（ ）
A．
B．
C．
或
D．
且
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．
【详解】解：
是纯虚数，
则
，解得
．
故选：B．
【变式2】（24-25 高一下·全国·课后作业）设
，则“
”是“复数
为纯虚数”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念分析判断即可.
【详解】当
时，复数
，为纯虚数；
当复数
为纯虚数时，有
，得
或
．
所以“
”是“复数
为纯虚数”的充分不必要条件．
故选：A．
【变式3】（23-24 高一下·上海·期末）“
”是“
是纯虚数”的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．既不充分也不必要D．充要
【答案】D
【分析】依题意得，
即可求解．
【详解】解：
是纯虚数，
则
，得
，
则“
”是“
是纯虚数”的充要条件，
故选：D
【变式4】（23-24 高一下·四川凉山·期末）若复数
是实数，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由复数分类可得其虚部为0，可得
.
【详解】根据题意可得其虚部为
，解得
.
故选：C
题型03 复数相等及应用
【典例3】（24-25 高一·全国·课后作业）若
，是虚数单位，
，则
等于
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据复数相等可得
，
，进而即得.
【详解】因为
，
所以
，
，即
，
，
所以
．
故选：D．
【变式1】（24-25 高一下·广东江门·期末）实数
满足条件：
，（其中为i
虚数单位），则
（ ）
A．
B．2
C．3
D．
【答案】A
【分析】由复数相等的条件列出式子，即可求解
【详解】因为
，
所以
，解得
，
所以
，
故选：A
【变式2】（23-24 高一下·新疆·期中）已知
，则
．
【答案】1
【分析】由复数分类的定义可知，实部和虚部都为0，则复数为0，联立方程求解即可．
【详解】由
，得
，解得
．
故答案为：1．
【变式3】（23-24 高一下·福建龙岩·期末）若虚数i 是方程
的一个根，则
.
【答案】1
【分析】把i 代入方程
，化简方程，利用相等复数的概念得到p、q 的值，即可求解.
【详解】因为i 是方程
的一个根，
所以
，即
，
得
，解得
，
所以
.
故答案为：1
【变式4】（24-25 高一下·山西阳泉·期末）已知复数
，
且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用复数相等可得和三角函数的平方关系可得
，再根据正弦函数的取值范围
与二次函数的性质可得
的取值范围.
【详解】复数
，且
，
所以
，则
因为
，所以
，当
时，
，当
时，
所以
的取值范围是
.
故选：B.
题型04 复数的综合问题
【典例4】（2025 高一全国专题训练）欧拉恒等式
（i 为虚部单位，为自然对数的底数）被称为
数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式
的特例：当自变量
时，
，得
．根据欧拉公式，复数
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
则虚部为
．故选：C．
【变式1】已知复数
，
，若
，则实数
.
【答案】
或
【解析】若
，则
，又
，
则
，解得
或
.
【变式2】（23-24 高一下·全国·专题练习）已知
，
为
的一个内角．
若不论
为何值，总存在
使得是实数，求实数
的取值范围．
【答案】
.
【解析】∵是实数，
，
，∴
，即
恒成立．
又
，
，
，
∴
，∴
，
∴当
时，不论
为何值，总存在
使得是实数，
故
的取值范围为
.
【变式3】已知复数
，其中
.
（1）若
且
，求的值；
（2）若
，求
.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）因为
，所以
，解得
，
因为
，所以
，
当
时，
，不符合条件，当
时，满足
，综上，
.
（2）若
，则
，
所以
，即
，
所以
，即
，解得
，
又因为
，所以
.
1．（23-24 高一下·河北唐山·期末）已知复数
，则
的虚部为（ ）
A．
B．1
C．
D．3
【答案】A
【分析】根据虚部的概念即可得到答案.
【详解】因为
，则其虚部为
.
故选：A.
2．（2024 高一·全国·专题练习）下列命题正确的个数是（ ）
①
；②若
，且
，则
；③若
，则
；④两个虚数不能比较
大小.
A．1
B．2
C．0
D．3
【答案】B
【分析】根据虚数单位的性质判断①，根据虚数不能比较大小判断②④，举反例判断③.
【详解】对于①，因为
，所以
，故①正确；
对于②，两个虚数不能比较大小，故②错误；
对于③，当
，
时，
成立，故③错误；④正确.
故选：B
3．（24-25 高一下·重庆·阶段练习）若
为实数，
是纯虚数，则复数
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据复数的概念得出
的值即可.
【详解】
为实数，则
，
是纯虚数，则
，
则
故选：D
4．（24-25 高一下·全国·随堂练习）若复数
为纯虚数，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】C
【分析】根据纯虚数的定义即可列关系求解.
【详解】由于
为纯虚数，
所以
且
，
解得
，
故选：C
5．（24-25 高一上·浙江湖州·阶段练习）复数
，则（ ）
A．
的实部为
B．
的虚部为
C．
的虚部为
D．
的虚部为1
【答案】C
【分析】利用复数实部、虚部的定义逐项判断得解.
【详解】复数
的实部为1，虚部为
，ABD 错误，C 正确.
故选：C
6．（23-24 高一下·四川凉山·期末）若复数
是实数，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由复数分类可得其虚部为0，可得
.
【详解】根据题意可得其虚部为
，解得
.
故选：C
7．（多选）（23-24 高一下·四川达州·期中）下列四种说法不正确的是（ ）
A．如果实数
，那么
是纯虚数．
B．实数是复数．
C．如果
，那么
是纯虚数．
D．任何数的偶数次幂都不小于零．
【答案】ACD
【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可求解.
【详解】对A，当
时，则
是实数，故A 错误；
对B，根据复数定义可知，故B 正确；
对C，
，那么
是实数，故C 错误；
对D，根据虚数
，故D 错误.
故选：ACD
8．（24-25 高一下·全国·课后作业）已知复数
．
(1)若z 是实数，求实数m 的值；
(2)若z 是虚数，求实数m 的取值范围；
(3)若z 是纯虚数，求实数m 的值．
【答案】(1)
或
(2)
且
(3)
【分析】（1）根据复数为实数的充要条件列式求解即可.
（2）根据复数为虚数的充要条件列式求解即可.
（3）根据复数为纯虚数的充要条件列式求解即可.
【详解】（1）若z 是实数，则
，解得
或
．
（2）若z 是虚数，则
，解得
且
．
（3）若z 是纯虚数，则
解得
．
