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1
第01 讲 实数指数幂及其运算
课程标准
学习目标
①有理指数幂含义及运算
②实数指数幂
1.理解有理数指数幂的含义,会用幂的运算法则进行有
关计算.
2.通过具体实例了解实数指数幂的意义.
3.通过本节的学习,体会“用有理数逼近无理数”的思
想,可利用计算器或计算机实际操作,感受“逼近”的过
程.
知识点01 n 次方根的定义及表示
(1)定义
给定大于1 的正整数n 和实数a，如果存在实数x，使得__ __，则__ _称为__ __的n 次方根．
(2)表示
①0 的任意正整数次方根均为___，记为__ __；
②正数a 的偶数次方根有__ __个，它们互为__ __数，其中正的方根称为a 的n 次____根，记为
____，负的方根记为____；负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当a＜0 且n 为偶数时，
没有意
义；
③任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为____．而且正数的奇数次方根是一个____数，负数的
2
奇数次方根是一个____数．
【即学即练1】
1．若＋(a－4)0有意义，则a 的取值范围是( )
A．[2，＋∞)
B．[2，4)∪(4，＋∞)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，4)∪(4，＋∞)
知识点02 根式的定义和性质
(1)定义
当 有意义时， 称为根式，n 称为____，a 称为_ _．
(2)性质
①
＝____；
②当n 为奇数时，
＝____；当n 为偶数时，
＝____．
【即学即练2】
2．
（ ）
A．0
B．
C．1
D．2
知识点03 有理数指数幂
（1）如果m，n∈N*，n＞1，且是既约分数，那么当有意义时，规定：
＝____，a＝____．
（2）有理数指数幂的运算法则
asat＝__ __，(as)t＝__ __，(ab)s＝__ _．
【即学即练3】
3．（多选）下列表达式不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点04 实数指数幂的运算律
（1）aras＝__ __(a>0，r，s∈__R_).
（2）(ar)s＝__ __(a>0，r，s∈__R__).
（3）(ab)r＝__ __(a>0，b>0，r∈__R__).
【即学即练4】
3
4．
的值是( )
A．3 B．3 C．9 D．81
题型01 根式的性质与运算
【典例1】下列各式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．16 的4 次方根是
B．
C．
D．
【变式2】
.
【变式3】已知
，化简：
．
【变式4】求下列各根式的值：
(1)
(2)
（其中
）．
题型02 根式与分数指数幂的互化
【典例2】（1）求值：
；
（2）求值：
；
（3） 化简：
.
【变式1】化简
的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
4
【变式2】（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】化简：
= .
【变式4】（1）求值：
（2）用分数指数幂表示
题型03 指数幂的运算与化简
【典例3】计算：
．
【变式1】．若
，
，则
的值是（ ）
A．0.9
B．1.08
C．2
D．4
【变式2】已知
，则
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【变式3】（多选）下列运算不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】化简：
.
【变式5】计算：
.
题型03 条件求值问题
5
【典例4】已知
，求下列各式的值：
①
；
②
.
【变式1】已知实数
满足
，则
的值为（ ）
A．14
B．16
C．12
D．18
【变式2】已知
，那么
等于（ ）
A．
B．
C．
D．7
【变式3】已知
，则
的值为 .
【变式4】已知
，求下列各式的值：
①
；
②
；
③
.
一、单选题
1．
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．下列各式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．化简
的结果为（ ）
A．5
B．
C．
D．
5．已知
且
，则有（ ）
6
A．
B．
C．
D．
6．若
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
7．已知
，则
的值( )
A．
B．
C．
D．
8．已知
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．24
D．
9．当
有意义时，化简
的结果是（ ）．
A．
B．
C．
D．
10．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
11．下列各式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．若实数
满足
，则（ ）
A．
且
B．
的最大值为
C．
的最小值为7
D．
三、填空题
14．计算
．
15．化简：
.
16．借助信息技术计算
的值，我们发现当
时
7
的底数越来越小，而指数越来越大，随着
越来越大，
会无限趋近于（
是自然对数
的底数）.根据以上知识判断，当
越来越大时，
会趋近于 .
四、解答题
17．化简求值:
(1)
；
(2)
．
18．计算．
(1)
；
(2)
．
19．已知
，求下列各式的值：
(1)
；
(2)
．
