1
1.1.3 集合的基本运算
课程标准
学习目标
1.理解两个集合的并集与交集、全集和补集
的含义；
2.掌握求两个简单集合的交集与并集的方
法；
3.会求给定子集的补集.
1.对集合两个集合的交集、并集、全集概念的理
解；
2.补集的理解；
3.会求集合间的交集、并集及其补集的运算；
4.在借助Venn 图理解集合的基本运算.体会直观图
示对理解抽象概念的作用,培养数形结合的思想；
5.通过观察身边的实例，发现集合间的基本运算，
体验其现实意义。
知
识点01 交集
自然语言
一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集
(union set)，记作 A∪B(读作“A 并B”)，
符号语言
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B},
2
图形语言
可用Venn 图表示．
2.交集常用的运算性质
性质
定义
满足交换律
空集与任何集合的交集都是空集
集合与集合本身的交集仍为集合本身
多个集合的交集满足结合律
若
，则
交集关系与子集关系的转化
两个集合的交集是其中任一集合的子集
3、解题思路：单个数字交集找相同，不等式的交集画数轴，不同集合高度画不同。
【即学即练1】（2024·全国·高一）设集合A =¿，B =¿，则A ∩B =（ ）
A．¿
B．¿
C．¿
D．¿
【即学即练2】（2024·全国·高一假期作业）设集合A ={x|−1≤x ≤2}，B ={x|0≤x ≤4}，则Venn图阴
影区域表示的集合是（ ）
A．{x|0≤x ≤2}
B．{x|1≤x ≤2}
C．{x|0≤x ≤4}
D．{x|1≤x ≤4}
【即学即练3】（2024·江苏·高一假期作业）已知集合M =¿则M ∩N=________．
知识点02 并集
自然语言
一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为集合A 与B 的交集，
记作 A∩B(读作“A 交B”)，
符号语言
A∩B＝{x|x A
∈，且x B}
∈
图形语言
可用Venn 图表示．
2.并集的常用运算性质
性质
定义
满足交换律
任何集合与其本身的并集等于这个集合本身
3
任何集合与空集的并集等于这个集合本身
多个集合的并集满足结合律
,
任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集
任何集合与它子集的并集都是它本身，反之亦然
3、解题思路：两个集合所有元素集中在一起，但重复元素只写一次，要满足集合中的互异性
【即学即练4】（2024 春·浙江宁波·高一统考期末）已知集合A = {0,1,2}，B = {−1,0}，则A ∪B =
（ ）
A．{−1,1,2}
B．{0,1,2}
C．{−1,0}
D．{−1,0,1,2}
【即学即练5】（2024·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）已知集合A = {a,5−a,4}，B = {3,2a+1}，
A ∪B = {2,3,4,5}，则a=（ ）．
A．1
B．2
C．3
D．4
知识点03 全集与补集
1．全集
(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作U.
2．补集
自然语言
对于一个集合A，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称
为集合A 相对于全集U 的补集，记作∁UA
符号语言
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
图形语言
可用Venn 图表示．
3.补集的常用运算性质
性质
定义
任何集合与其补集的并集为全集
任何集合与其补集的交集为空集
任何集合补集的补集为集合本身
全集的补集为空集，空集的补集为全集
【注意】并不是所有的全集都是用字母U 表示，也不是都是R，要看题目的。
【即学即练7】（2023 春·贵州·高一贵州师大附中校联考阶段练习）已知集合A ={x|2≤x ≤5}，
B ={x|3≤x<4}，则∁A B =（ ）
4
A．{2,4,5}
B．¿或4≤x ≤5}
C．¿或4≤x ≤5}
D．¿或4< x ≤5}
【即学即练8】（2024 秋·山西大同·高一统考期末）已知集合A = {1,2,3,4,5,6}，B = {2,3}，C = {2,4,6}，
则(∁A B)∩C =（ ）
A．{2,4,6}
B．{1,3,4,5,6}
C．{4,6}
D．{2}
知识点04 德摩根律与容斥原理
1、德摩根定律：设集合U 为全集，A、B 为U 的子集，则有
（1）
（2）
2、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，
常用Venn 图表示两集合的交、并、补。如果用card 表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A
的元素个数，则有如下结论：
（1）
（2）
【即学即练9】（2024 秋·河南洛阳·高一校考阶段练习）移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的
新“四大发明”.某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调查了100 位学生，其中使用
过移动支付或共享单车的学生共90 位，使用过移动支付的学生共有80 位，使用过共享单车且使用过移动
支付的学生共有60 位，则该校使用共享单车的学生人数为（ ）
A．50
B．60
C．70
D．80
难点：交集、并集性质的运用
示例1：已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋8＝2}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，若∅⫋(A∩B)，且
A∩C＝∅，求a 的值．
难点：补集思想的应用
示例2：已知集合A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0}，B＝{x|x＜0}，若A∩B≠∅，求实数m 的取值范围．
⫋
5
【题型1：交集的运算】
例1．（2024·浙江温州·高二统考学业考试）设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1．（2024·浙江·高二）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2．（甘肃省2023-2024 学年高一下学期期末数学试题）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3．（2024·河北唐山·高二期末）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4．（山东省济宁市2023-2024 学年高二下学期期末数学试题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5．（陕西省汉中市2023-2024 学年高二下学期期末校际联考理科数学试题）已知集合
，
或
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6.（2024·高一·练习）已知A＝{x|x≤1}，B＝{y|y≥0}，则集合A∩B 等于( )
6
A．
∅
B．{x|x≤1} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}
变式7．（2024·天津和平·高一耀华中学校考期中）若集合
，
，则
.
变式8．（2024·四川绵阳·高二期末）集合
，则
的元
素个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．8
变式9.（2024·高二·练习）已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则
A∩B＝________.
【方法技巧与总结】
1、对交集概念的理解
(1)对于“A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}”，包含以下两层意思：①A∩B 中的任一元素都是A 与B 的公共元素；
②A 与B 的公共元素都属于A∩B，这就是文字定义中“所有”二字的含义，如A＝{1，2，3}，B＝{2，
3，4}，则A∩B＝{2，3}，而不是{2}或{3}．
(2)任意两个集合并不是总有公共元素，当集合A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是
A∩B＝∅.
(3)当A＝B 时，A∩B＝A 和A∩B＝B 同时成立．
2、求交集的基本思路
首先要识别所给集合，其次要化简集合，使集合中的元素明朗化，最后再依据交集的定义写出结果，
有时要借助于Venn 图或数轴写出交集．借助于数轴时要注意数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组
成了交集．
3、求两个集合的交集的方法
(1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可．
(2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所
覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．
【题型2：并集的运算】
例2．（2024·浙江·统考模拟预测）已知集合
，则
（ ）
A．{2}
B．{2,3,4}
C．{1,2,3,4}
D．{0,2,3,4}
变式1．（2024·全国·高一假期作业）设集合
，
，则
（ ）
7
A．
B．
C．
D．
变式2．（2024·江西景德镇·高一统考期中）集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3．（2024·广东汕头·高一金山中学校考期中）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4.（2024·全国·高一假期作业）已知集合
，集合
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
变式5．（2024·广西·高二校联考期中）已知集合
，
，则
中的
元素个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
变式6.（2024·全国·高一假期作业）已知集合
，若
，则B 可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式7.（2024·全国·高一假期作业）已知集合A={三角形}，B={等腰三角形}，C={矩形}，D={菱形}，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
{正方形}
【方法技巧与总结】
求并集的基本思路
(1)在求两个集合的并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次．
(2)此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定
义直接观察或用Venn 图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，
此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．
【题型3：补集的运算】
例3.（2024·全国·高一假期作业）设全集
，集合
，则
（ ）.
8
A．
B．
C．
D．
变式1．（2024·贵州·高二贵州师大附中校联考阶段练习）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
或
变式2．（2024·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）设全集
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3．（2024·天津河北·高二统考期末）已知集合
，
，则集合
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4．（2024·云南昆明·高二统考期中）设全集
或
，则
＝（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．{0，1，2，3，4，5，6}
变式5.（2024·全国·高一假期作业）已知集合
，
，全集
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
1、全集概念的理解
全集不是固定不变的，它是一个相对概念，是依据具体问题来选择的．例如，我们在研究数集时，通
常把实数集R 作为全集；当我们只讨论大于0 且小于5 的实数时，可选{x|0<x<5}为全集，通常也会把给定
的集合作为全集．
2、补集与全集的关系
(1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；
另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．
(2)补集既是集合之间的一种关系，也是集合之间的一种运算．求集合A 的补集的前提是A 为全集U 的
子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的.
(3)集合的补集运算与实数的减法运算可进行类比：
实数
集合
9
被减数a
被减集合(全集)U
减数b
减集合A
差a－b
补集∁UA
(4)符号
有三层意思：①A 是U 的子集，即A⊆U；②
表示一个集合，且(
)⊆U；③
是U 中不属于A 的所有元素组成的集合，即
＝{x|x∈U，且x∉A}．
3、求补集的原则和方法
(1)一个基本原则．
求给定集合A 的补集，从全集U 中去掉属于集合A 的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即为A 的
补集．
(2)两种求解方法：
①若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后
再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍．
②若所给的集合是用列举法表示，则用Venn 图求解．
【题型4：集合交、并、补的综合运算】
例4．（2024·海南海口·海南华侨中学校考一模）设全集
，
，
，则
（ ）
A．{1，2}
B．
C．
D．
变式1.（2024·江苏·高一假期作业）设全集
，集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2.（2024·江苏·高一假期作业）设集合
则
．
变式3.（2024·全国·统考高考真题）设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4.．（2024·广东惠州·高三统考阶段练习）设
，
，
，求
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5.（2024·高一假期作业）设集合
，
，则
（ ）
10
A．
B．
C．
D．
变式6．（2024·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）已知集合
满足
，则
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式7．（2024·江苏南通·高一统考期末）设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式8.（2024·全国）设集合
，集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
求集合交、并、补运算的方法
注：1、进行集合运算时，可按照如下口诀进行：
交集元素仔细找，属于
且属于
；
并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一；
全集
是大范围，去掉
中
元素，剩余元素成补集。
2、解决集合的混合运算问题时，一般先算括号内的部分；
3、当集合是用列举法表示时（如数集），可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合用描述
法表示时（如不等式行事表示的集合），则可运用数轴求解。
【题型5：集合运算的求参问题】
（一）根据交集运算求参数
例5.（2024·江西宜春·高一江西省清江中学校考期末）已知集合
，
，若
，
则
（ ）
11
A．3
B．4
C．5
D．6
变式1.（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知集合
，
，若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2.（2024·全国·高一假期作业）设集合
，
，若
，求
实数
的取值范围.
变式3.（2024·全国·高一假期作业）设集合
,
(1)若
，求
；
(2)若
，求实数
的取值范围．
（二）根据并集运算求参数
例6.（2024·全国·高三专题练习）已知集合
，
，且
，则实
数a 的所有值构成的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1.（2024·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）设集合
，
，若
，则实数的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2.（2024·全国·高三专题练习）已知
，集合
，
，若
，则实数
的取值范围是 .
变式3.（2024·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知集合
，且
，则实数
的取值范围是 .
变式4.（2024·高一课时练习）己知集合
．
（1）若
，则实数a 的取值范围是 ．
（2）若
，则实数a 的取值范围是 ．
（3）若
，则实数a 的取值范围是 ．
变式5.（2024·高一单元测试）已知集合
或
，
．
12
(1)若
，求
的取值范围；
(2)若
，求
的取值范围．
（三）根据补集运算求参数
例7．（2024·江苏·高一假期作业）已知U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2，m}，且∁UA＝{1,3,5}，则m＝ .
变式1.（2023·陕西商洛·校考三模）设全集
，集合
，
，则实数
的值为
（ ）
A．0
B．-1
C．2
D．0 或2
变式2.（2023 秋·浙江温州·高一校考开学考试）已知集合
，
，
求实数
的值.
变式3.（2024·江苏·高一假期作业）已知
.若
，则实数m 的取
值范围为________.
（四）根据交、并、补集运算求参数
例8．（2024·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知集合
，集合
．
(1)若
时，求
，
；
(2)若
，求实数
的取值范围．
变式1.（2024·高一单元测试）已知集合
，
且
，则实数
的取值
范围是（ ）A．
B．
C．
D．
变式2.（2024·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知集合
，
，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3.（2024·高一课时练习）已知集合
，若
，求实
数m 的取值范围．
【方法技巧与总结】
利用交并补求参数范围的解题思路
1、根据并集求参数范围：
，
若A 有参数，则需要讨论A 是否为空集；
13
若B 有参数，则
2、根据交集求参数范围：
若A 有参数，则需要讨论A 是否为空集；
若B 有参数，则
注：(1)在进行集合运算时，若条件中出现A∩B＝A 或A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决
问题，并注意A＝
的情况．
∅
(2)集合运算常用的性质：
①A∪B＝B⇔A⊆B；
②A∩B＝A⇔A⊆B；
③A∩B＝A∪B⇔A＝B.
【题型6：韦恩图的应用】
例9．（2024·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知全集
，则图
中阴影部分代表的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1．（2024·陕西西安·校考模拟预测）已知集合
，
，则下图中阴
影部分表示的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2.（2024·高一课时练习）设全集
，集合
，
，则如图所示的阴影
部分表示的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
14
变式3.（2024·福建·高二统考学业考试）已知全集为U，
，则其图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4.（2024·高一课时练习）已知全集为
，集合A，B 为
的非空真子集，
，则
（ ）
A．A B．B C．
D．
变式5．（2024·北京西城·北师大实验中学校考三模）如图，集合
均为
的子集，
表示的区
域为（ ）
A．I
B．II
C．III
D．IV
变式6.【多选】（2024·江西·高一统考阶段练习）如图，三个圆形区域分别表示集合A，B，C．则（ ）
A．Ⅰ部分表示
B．Ⅱ部分表示
C．Ⅲ部分表示
D．Ⅳ部分表示
【题型7：集合运算中的元素个数问题】
例10．（2024·江西景德镇·高一统考期中）某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26 名学生参加数学竞赛，
25 名学生参加物理竞赛，23 名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7 名，只参加数、物
两科的有6 名，只参加物、化两科的有8 名，只参加数、化两科的有5 名．若该班学生共有51 名，则没有
参加任何竞赛的学生共有（ ）名
A．7
B．8
C．9
D．10
15
变式1.（2024·全国·高三专题练习）“四书五经”是中国传统文化瑰宝，是儒家思想的核心载体，其中
“四书”指《大学》《中庸》《论语》《孟子》．某大学为了解本校学生阅读“四书”的情况，随机调查
了200 位学生，其中阅读过《大学》的有60 位，阅读过《论语》的有160 位，阅读过《大学》或《论语》
的有180 位，阅读过《大学》且阅读过《论语》及《中庸》的有20 位．则该校阅读过《大学》及《论语》
但未阅读过《中庸》的学生人数与该校学生总数比值的估计值是（ ）
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4
变式2.（2024·全国·高三专题练习）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19 种商品，
第二天售出13 种商品，第三天售出18 种商品；前两天都售出的商品有3 种，后两天都售出的商品有4 种．
则该网店这三天售出的商品最少有（ ）．
A．25 种 B．27 种 C．29 种 D．31 种
变式3.（2024·全国·高一专题练习）某班共30 人，其中15 人喜爱篮球运动，10 人喜爱乒乓球运动，8 人对
这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的有________人．
【题型8：集合的运算新定义】
例11.【多选】（2024 秋·江苏连云港·高一连云港高中校考阶段练习）对于非空集合A，B，我们把集合
{x| x∈A且x∉B}叫做集合A与B的差集，记作A −B．例如，A ={1，2，3，4，5}，B ={4，5，6，
7，8}，则有A −B = A ={1，2，3}，如果A −B =∅，集合A与B之间的关系为（ ）
A．A ∩B = A
B．A ∩B = B
C．A ∩B =∅
D．A ∪B = B
变式1. （2024· 高一单元测试）对于集合M , N，定义M −N = {x| x∈M , x∉N }，
M ⊕N =(M −N )∪(N −M )，
设
A ={x| x ≥−9
4 , x∈R}，B = {x| x<0, x∈R}，
则
A ⊕B =
（ ）
A．(−9
4 ,0)
B．[−9
4 ,0)
C．(−∞,−9
4)∪[0,+ ∞)
D．(−∞,−9
4]∪(0,+∞)
变式2.【多选】（2024 秋·江苏徐州·高一徐州市第七中学校考阶段练习）整数集合Z 中，被4 所除余数为
K 的所有整数组成一个“类”，记作[K ]，以下判断正确的是（ ）.
A．2021∈[1]
B．−2∉[2]
C．[2]∪[3]=∁Z[1]
D．a∈[2]，b∈[3]，则a+b∈[1]
16
一、单选题
1．（23-24 高一下·甘肃兰州·期末）设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高二下·云南曲靖·期末）已知全集
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高二下·天津和平·期末）已知全集
，集合
，集合
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高二下·湖南·期末）设全集
，集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高二下·重庆·阶段练习）已知全集
，集合
，
，则
图中阴影部分表示的集合的子集个数为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
6．（23-24 高二下·福建·期末）设集合
，
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2023·河南驻马店·一模）已知全集
，若
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
17
二、多选题
8．（2024·江西南昌·三模）下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
的取值范围是
B．若
，则
的取值范围是
C．若
，则
的取值范围是
D．若
，则
的取值范围是
9．（23-24 高二下·江西宜春·阶段练习）设
，
，若
，则实
数
的值可以是（ ）
A．0
B．
C．4
D．1
10．（23-24 高一下·云南玉溪·期末）已知集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
11．（22-23 高一上·河南平顶山·阶段练习）某社团有100 名社员，他们至少参加了A，B，C 三项活动中的
一项.得知参加A 活动的有51 人，参加B 活动的有60 人，参加C 活动的有50 人，数据如图，则图中
；
；
.
12．（23-24 高二下·江西鹰潭·期末）定义集合运算：
，若集合
，
，则集合
中所有元素之和为 .
四、解答题
13．（23-24 高一上·河北石家庄·期末）已知集合
．
(1)求
；
(2)若
，且
，求
的取值范围．
14．（23-24 高一上·河南洛阳·期末）已知全集为
，
，
．
(1)求
；
18
(2)若
，且
，求实数
的取值范围．
15．（23-24 高一上·湖南湘西·期末）已知集合
，
．
(1)当
时，求
；
(2)若
，求实数
的取值范围．
16．（2024·山西·三模）已知集合
，
均为集合
的子集，则
表示的区域为（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
17．（23-24 高一上·河南郑州·阶段练习）某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有
人听了数学
讲座，
人听了历史讲座，
人听了音乐讲座，记
是听了数学讲座的学生，
是听了历史讲座的学生，
是听了音乐讲座的学生.
用
来表示有限集合
中元素的个数，若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
18．【多选】（23-24 高二下·山西吕梁·期末）已知全集
，
，则下列选项正
确的为（ ）
A．
B．
的不同子集的个数为8
C．
D．
19．（23-24 高一上·四川乐山·期中）记全集
，已知集合
，
．
(1)若
，求
；
19
(2)若
，求
的取值范围．
20．（23-24 高二下·江西南昌·期中）设集合
，
，
(1)若
，求
，
；
(2)若
中只有一个整数，求实数m 的取值范围．
