文档文本内容
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9.1.2 余弦定理
课程标准
学习目标
（1）借助平面向量的数量积，探索三角形边长
与角度的关系，了解余弦定理的推导过程；
（2）掌握余弦定理及其推论
（3）能用余弦定理解三角形，并能判断三角形
的形状.
（1）掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦
定理的向量方法，会运用余弦定理解决两类基本
的解三角形问题；
（2）能应用余弦定理判断三角形形状；
（3）能利用正弦定理、余弦定理解决解三角形
的有关问题。
知识点01 余弦定理
1、余弦定理的描述
（1）文字语言：三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的
积的两倍。
（2）符号语言：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC
2、余弦定理的特点
（1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．
（2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的
量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．
3、余弦定理的证明：在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c
如图，因为⃗AC =⃗AB+⃗BC，∴⃗AC
2=(⃗AB+⃗BC)
2，
2
即⃗AC
2=⃗AB
2+⃗BC
2+2⃗AB∙⃗BC =⃗AB
2+⃗BC
2+2|⃗AB|∙|⃗BC|(cos180°−B)
从而b
2=a
2+c
2−2accosB
同理，根据⃗AB =⃗AC +⃗CB，⃗BC =⃗BA +⃗AC，
可以得到c
2=a
2+b
2−2abcosC，a
2=b
2+c
2−2bccosA
4、余弦定理的推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝
【即学即练1】（23-24 高一下·山东济南·月考）设
分别为
内角
的对边，则下列等式成立
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点02 余弦定理在解三角形中的应用
1、已知三角形的三边解三角形
（1）连续用余弦定理求出两角；
（2）由三角形内角和定理求出第三个角。
2、已知两边和它们的夹角解三角形
（1）用余弦定理求出第三边；
（2）用余弦定理或正弦定理求出第二个角；
（3）由三角形内角和定理求出第三个角.
3、已知两边及其中一边的对角解三角形
利用余弦定理。例如，已知a，b 及角A，可以根据余弦定理列出以边c 为未知数的一元二次方程
，根据解一元二次方程的方法，求边c，然后应用正弦定理或余弦定理，
求出其他元素.
【即学即练2】（23-24 高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，若
，
，
，则
．
3
【题型一：已知两边及一角解三角形】
例1．（23-24 高一下·山西大同·月考）已知
的内角
的对边分别为
，且
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．1
变式1-1．（23-24 高一下·山东滨州·开学考试）已知在三角形
中，
，且
，则角
所对边
的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1-2．（2024·重庆·模拟预测）
中，
，
，
，则
（ ）
A．2
B．3
C．
D．4
变式1-3．（2024·四川成都·二模）在
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．7
变式1-4．（23-24 高一下·陕西西安·月考）（多选）已知
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
且
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：
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一是利用余弦定理的推论求出其余角；
二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解；
【题型二：已知三边解三角形】
例2．（23-24 高一下·江苏徐州·月考）在
中，
，
，
，则
的面积为
.
变式2-1．（23-24 高二上·四川成都·月考）在
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-2．（23-24 高一下·重庆·月考）在
中，
，则
的最大角与最小角的和是
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-3．（23-24 高一下·甘肃武威·月考）在
中，内角
所对的边分别为
，若
，则其最大角为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-4．（22-23 高一下·浙江嘉兴·月考）在
中，
，则
中最大角的余
弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
已知三角形的三边解三角形
法一：已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为
负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一
5
法二：若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已
知三边求解
【题型三：判断三角形的形状】
例3．（22-23 高一下·浙江金华·月考）若
的三个内角满足
，则
的形
状是（ ）
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．以上都有可能
变式3-1．（23-24 高一下·安徽合肥·月考）在
中，若
，则
的形状是
（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
变式3-2．（2024 高三·全国·专题练习）在
中，若
，则
的形状一定是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰或直角三角形
变式3-3．（23-24 高一下·山东聊城·月考）在
中，
，则
的形状为（ ）
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形
变式3-4．（22-23 高一下·上海·期中）若
，且
，则
的形状为（ ）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
【方法技巧与总结】
1、利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即用转化的思想解决问题，一般
有两个思路：（1）化边为角，再进行三角恒等变换，求出三个角之间的关系；（2）化角为边，再进行代
数恒等变换，求出三条边之间的关系.
一般地，若遇到的式子含角的余弦或边的二次式，则要考虑用余弦定理；若遇到的式子含角的正弦或边的
一次式，则要考虑用正弦定理；若以上特征不明显，则要考虑两个定理综合运用.
2、判断三角形形状时常用到的结论
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1、
为直角三角形
或
或
2、
为锐角三角形
，且
，且
3、
为钝角三角形
，且
，且
4、若
，则
或
【题型四：利用余弦定理求最值范围】
例4．（23-24 高一下·江苏连云港·月考）在锐角
中，内角
的对边分别为
，且满足
．则
的取值范围为 .
变式4-1．（23-24 高一下·湖北武汉·月考）
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
的面
积为
，则
的最小值是 ．
变式4-2．（23-24 高二下·云南昆明·月考）已知
分别为
三个内角
的对边，
，且
，则
周长的取值范围为 ．
变式4-3．（23-24 高一下·重庆·月考）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
.
（1）求角B；
（2）若
，求
的最大值.
变式4-4．（23-24 高一下·江苏镇江·月考）在①
；②
两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在
中，角A，
B，C 所对的边分别是a，b，c，且______．
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（1）求角B 的大小：
（2）若点D 在
的延长线上，且
，
，求
面积的最大值．
【方法技巧与总结】
1、三角形中的最值、范围问题的解题策略
（1）定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角
或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围．
（2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示．
（3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值．
2、求解三角形中的最值、范围问题的注意点
（1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的
范围时可以利用余弦定理进行转化．
（2）注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等．
【题型五：余弦定理与平面向量相结合】
例5．（23-24 高一下·广东茂名·月考）在
中，角
的对边分别为
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
变式5-1．（23-24 高一下·新疆乌鲁木齐·月考）若在
中，
，则
.
变式5-2．（23-24 高一下·江苏苏州·月考）在
中，
，
、
、
分别是边
、
、
的
中点，
，则
．
变式5-3．（22-23 高一下·江苏·月考）在
中，已知A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
8
，若O 为
的外心，
，则实数
．
变式5-4．（23-24 高三上·河北保定·期末）在圆内接四边形
中，已知
，
，
平分
．
（1）若
，求
的长度；
（2）求
的值．
【方法技巧与总结】
解决余弦定理与平面向量相结合问题时，首先要弄明白要求的量与向量式的关系，进而利用向量关系求出
需要的值，再解三角形.
【题型六：综合运用正（余）弦定理解三角形】
例6．（23-24 高一下·河北沧州·月考）在
中，已知
，
为
上一点，
，且
.
（1）求
的值；
（2）求
的面积.
变式6-1．（23-24 高一下·福建龙岩·月考）已知
的内角
的对边分别为
，满足
，
（1）求
；
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（2）
是线段
边上的点，若
，求
的面积.
变式6-2．（22-23 高一下·广东佛山·月考）已知
分别为
三个内角
的对边，且
.
（1）求
；
（2）若
为
的中点，
，求
的周长.
变式6-3．（23-24 高一下·北京·月考）如图所示，在
中，
，
，D、E 分别是边AB、AC
上的点（不与端点重合），且
．再从条件①、条件②、条件③
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
．
中选择两个使得三角形存在且解唯一，并求：
（1）
的值；
（2）BE 的长度；
（3）四边形BCED 的面积．
变式6-4．（23-24 高一下·江苏虚轴·月考）在锐角
中，设角
，
，
所对的边长分别为
，
，，
且
.
（1）求
的大小；
（2）若
，
，点
在边
上，___________，求
的长.
请在①
；②
；③
这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成
解答.
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【方法技巧与总结】
利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是：
1、选定理.
（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；
（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；
（3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；
（4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；
（5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；
2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之
间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.
3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），
并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。
一、单选题
1．（2024·江西赣州·一模）在
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高一下·江苏苏州·月考）在
中，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高一下·宁夏银川·月考）在
中，其内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，则
的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
4．（23-24 高一下·重庆·月考）在
中，
，
，且
的面积为
，则
的周长
为（ ）
A．15
B．12
C．16
D．20
5．（23-24 高一下·上海·月考）已知
内角
的对边分别是
，若
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
11
6．（23-24 高一下·江苏南通·月考）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（23-24 高一下·河北沧州·月考）若某锐角三角形的三边长分别为
，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（22-23 高一下·云南昆明·月考）已知在
中，
，
是
的垂
心，且满足
，则
的面积
（ ）
A．
B．8
C．
D．4
二、多选题
9．（23-24 高一下·广东广州·月考）设△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的
是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
10．（22-23 高一下·江苏常州·月考）在
中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，下列关系式恒成立
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（22-23 高一下·山东烟台·期中）在
中，角
所对的边分别为
，
，
，O 为
外接圆圆心，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
外接圆面积为
C．
D．
的最大值为
三、填空题
12．（23-24 高一下·重庆·月考）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
则
.
12
13．（22-23 高一下·湖北·月考）在△ABC 中，已知
，P 是△ABC 的外心，则
的余弦值为 .
14．（22-23 高一下·广东深圳·期中）已知在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
，
点D 为AC 边的中点，已知
，则当角C 取到最大值时
等于 .
四、解答题
15．（22-23 高一下·云南文山·期末）已知在
中，角
的对边长分别是
，
．
（1）证明：
；
（2）若
，
，求
外接圆的面积．
16．（23-24 高一下·河南·月考）在
中，内角
所对的边分别为
，且
（1）证明：
.
（2）若
外接圆的周长为
，且
，求
的面积.
17．（23-24 高三下·北京海淀·开学考试）如图，在平面四边形
中，
，
，
，
.
（1）求线段
的长度；
（2）求
的值.
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18．（23-24 高一下·山西大同·月考）已知
的内角
的对边分别为
，且
．
（1）求
；
（2）设
为
的中点，
，求
的最大值．
19．（22-23 高一下·湖北黄冈·月考）在
中，内角
所对的边分别为
，
的面积为
已知①
，②
，③
，
从这三个条件中任选一个，回答下列问题，
（1）求角
（2）若
，求
的面积的最大值.
