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第01 讲 导数的概念及几何意义
课程标准
学习目标
1.通过具体实例了解函数的平均变化率．
2. 通过对实例的分析，经历由平均变化率过渡
到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背
景.
3.理解导数的概念，会利用导数的定义求函数在
某点处的导数.
4.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切
线方程.
1．求函数的平均变化率，了解平均变化率在实
际问题中的应用.
2．通过本节课的学习，要求会求函数的平均变
化率与瞬时变化率.
3．掌握导数的概念以及几何意义，会处理曲线
的切线问题.
知识点01 函数的平均变化率
1．函数的平均变化率的概念
一般地，若函数y＝f(x)的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，则
(1)自变量的改变量Δx＝x2－x1；
(2)因变量的改变量Δy＝y2－y1；
(3)f(x)在[x1，x2]上的平均变化率为＝.
【解读】(1)求函数在指定区间上的平均变化率应注意的问题
①平均变化率的公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的自变量的差．
②平均变化率的公式中，分子、分母中被减数同为右端点，减数同为左端点．
(2)一次函数的平均变化率
一次函数y＝kx＋b(k≠0)在区间[m，n]上的平均变化率为＝＝k.由上述计算可知，一次函数y＝kx＋b 在
区间[m，n]上的平均变化率与m，n 的值无关，只与一次项系数有关，且其平均变化率等于一次项的系数．
2．平均变化率的实际意义
在以x1，x2为端点的闭区间上，自变量每增加1 个单位，因变量平均将增加个单位．因此，如果自变
量增加h 个单位，那么因变量将增加h 个单位．
3．平均变化率的几何意义
＝表示函数y＝f(x)图象上过两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的割线的斜率．
4．平均速度与平均变化率
如果物体运动的位移x m 与时间t s 的关系为x＝h(t)，则物体在[t1，t2](t1<t2时)或[t2，t1](t2＜t1时)这段
时间内的平均速度为(m/s)．即物体在某段时间内的平均速度等于x＝h(t)在该段时间内的平均变化率．
【即学即练1】（24-25 高二下·全国·课后作业）一质点按运动方程
（s 的单位为米，t 的单位为
秒）做直线运动，则其从
秒到
秒这段时间里的平均速度（单位：米/秒）为（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点02 函数在某点处的导数
1．瞬时变化率
一般地，设函数y＝f(x)在x0附近有定义，自变量在x＝x0处的改变量为Δx，当Δx 无限接近于0 时，若
平均变化率＝无限接近于一个常数k，那么称常数k 为函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率．
2．函数f(x)在x＝x0处的导数
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，也称f(x)在x0处可导，并称k 为f(x)在x＝x0处的导数，记作
f′(x0)＝k.
(2)“当Δx 无限接近于0 时，无限接近于常数k”也常用符号“→”(读作“趋向于”)表示为当Δx→0
时，→k，或者写成lim ＝k，即f′(x0)＝lim .
【即学即练2】
1.（24-25 高二上·全国·课后作业）若某气球起始时半径为2cm，之后以1cm/s 的速度膨胀，则在第3s 时，
该气球表面积的增长速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
2. （24-25 高三上·上海·期中）已知
是定义在
上的可导函数，若
，则
.
知识点03 导数的几何意义
1．导数的几何意义
如果将函数y＝f(x)的图象看成曲线(称为曲线y＝f(x))，而且曲线在点A(x0，f(x0))处的切线为l，则|Δx|
很小时，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))是A 附近的一点，割线AB 的斜率是＝，则当Δx 无限接近于0 时，割线的斜
率将无限趋近于切线l 的斜率．
这就是说，f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处(也称在x＝x0处)的切线的斜率，从而根据直线的点
斜式方程可知，切线的方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2．曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系
导数符号
曲线f(x)在x＝x0
附近的升降情况
切线的斜率k
切线的倾斜角
f′(x0)>0
上升
k>0
锐角
f′(x0)<0
下降
k<0
钝角
f′(x0)＝0
平坦
k＝0
零角(切线与x 轴平行)
【解读】1.切线斜率的绝对值的大小反映了曲线在相应点附近上升或下降的快慢．
2.函数
在
处的导数，是曲线
在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．
曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．
与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．
【即学即练3】（24-25 高二上·全国·课后作业）曲线
在点
处切线的斜率为（ ）
A．
B．
C．3
D．6
题型01 平均变化率
【典例1】（23-24 高二上·江苏南通·阶段练习）函数
在
上的平均变化率为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【变式1】（23-24 高二下·福建龙岩·期中）若函数
，则函数
从
到
的平均变化率
为（ ）
A．6
B．3
C．2
D．1
【变式2】（24-25 高二下·全国·课后作业）汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图所示，在时间段
，
，
上的平均速度分别为
，
，
，则三者的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高三上·北京海淀·期中）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，
好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线
图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（ ）
A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地
B．当日
时到
时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
C．当日
时到
时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同
题型02 瞬时变化率
【典例2】（24-25 高二上·全国·课后作业）已知
，一质点做简谐运动，其位移
，则
时该质点的瞬时速度为（ ）
A．0
B．1
C．
D．
【变式1】（24-25 高三上·广东广州·阶段练习）一质点A 沿直线运动，其位移
单位：
与时间
单位：
之间的关系为
，则质点A 在
时的瞬时速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高二上·全国·课后作业）已知某公交车在起步后8 秒内路程
（单位：m）与时间
（单位：s）满足
，若公交车的瞬时速度未发生突变，则
，公交车在这8 秒
内的平均速度为
．
【变式3】（24-25 高二上·全国·课后作业）车轮旋转的角度
（单位：rad）随时间（单位：s）之间的关
系为
，已知车轮旋转4 圈所需时间为
．
(1)求
时间段内车轮的平均角速度；
(2)求
时刻车轮的瞬时角速度．
题型03 导数的概念
【典例3】24-25 高二上·全国·课后作业）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高二下·浙江·期中）已知
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【变式2】（23-24 高二下·江西萍乡·期中）设
在R上的导函数为f
′ (x)，若
，
则
（ ）
A．−2
B．2
C．
D．6
【变式3】（25-26 高三上·上海·单元测试）对于函数
，若
，则当h 无限趋近于0 时，在
下列式子中无限趋近于2 的式子有（ ）．
A．
B．
C．
D．
题型04 求曲线切线的斜率（倾斜角）
【典例4】（24-25 高三·上海·课堂例题）已知函数
，其中
，求：
(1)点
处的切线的斜率；
(2)点
处的切线方程.
【变式1】（24-25 高二下·全国·课后作业）已知函数
在点
处的切线斜率为2，则
的
值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．
【变式2】（24-25 高二上·全国·课后作业）已知函数
．
(1)求曲线
上任意一点
处的切线斜率；
(2)求曲线
在点
处的切线方程．
【变式3】（24-25 高三·上海·课堂例题）如果曲线
的一条切线与直线
平行，求曲线
与此切线相切的切点坐标.
题型05 导数几何意义的应用
【典例5】（23-24 高二下·安徽合肥·期中）已知函数
的图象如图所示，且f
′ (x)为
的
导函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】定义在
上的函数
的导函数为
，如图是
的图像，下列说法中正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2024 高三·全国·专题练习）函数
的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高二下·广东茂名·期中）函数
的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
一、单选题
1．（23-24 高二下·陕西渭南·期中）某质点沿直线运动，其位移
（单位：
）与时间（单位：）之间
的关系为
，则该质点在
这段时间内的平均速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·上海·阶段练习）已知
是定义在
上的可导函数，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
3．（23-24 高二下·甘肃兰州·期中）设函数
和
在区间
上的图象如图所示，那么下列说法正确
的是（ ）
A．
在
内的平均变化率大于
在区间
平均变化率
B．
在
内的平均变化率小于
在区间
平均变化率
C．
，使函数
在
处的瞬时变化率小于函数
在
处的瞬时变化率
D．对于
，函数
在
处的瞬时变化率总大于函数
在
处的瞬时变化率
4．（24-25 高二上·全国·课后作业）设曲线
与
轴的交点为
，曲线
在点
处的切
线与
轴交于点
，则
点的横坐标为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
5．（23-24 高二下·四川遂宁·阶段练习）设
为可导函数，且满足
，则曲线
在点
处的切线的斜率是（ ）
A．1
B．3
C．6
D．9
6．（23-24 高二下·北京通州·期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，
给出下列四个结论：①汽车在
时间段内匀速行驶；②汽车在
时间段内不断加速行驶；③汽车在
时间段内不断减速行驶；④汽车在
时间段内处于静止状态．其中正确结论的个数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
7．（24-25 高二上·全国·课后作业）曲线
在点
处的切线斜率为（ ）
A．9
B．6
C．3
D．1
8．（23-24 高二下·山东潍坊·期中）函数
的图象如图所示，且f
′ (x)是
的导函数，记
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（23-24 高二下·四川广元·期中）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离（单位：
）与时间
（单位：）之间的函数关系为
，则下列说法正确的是（ ）
A．前
内球滚下的垂直距离的增量
B．在时间
内球滚下的垂直距离的增量
C．前
内球在垂直方向上的平均速度为
D．第
时刻在垂直方向上的瞬时速度为
10．（23-24 高二下·广东东莞·阶段练习）如图显示物体甲、乙在时间0 到
范围内路程的变化情况，下列
说法正确的是（ ）
A．在
处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度
B．在
处，甲的瞬时速度小于乙的瞬时速度
C．在
到
范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在
到
范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度
11．（23-24 高二下·广西南宁·阶段练习）已知函数
的部分图象如图所示，
是
的导函数，
则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．（24-25 高三上·上海·期中）函数
在区间
上的平均变化率为 .
13．（24-25 高三上·上海·期中）已知函数
，则
．
14．（23-24 高三上·上海奉贤·阶段练习）若
为可导函数，且
，则过曲线
上点
处的切线斜率为 ．
四、解答题
15.（24-25 高二下·全国·课后作业）已知函数
在
上的平均变化率是函数
在
上的平均变化率的3 倍，求实数m 的值．
16.（24-25 高二上·全国·课后作业）已知函数
．
(1)求曲线
上任意一点
处的切线斜率；
(2)求曲线
在点
处的切线方程．
17.（23-24 高二下·重庆·阶段练习）若函数
，
(1)用定义求
；
(2)求其图象在与
轴交点处的切线方程．
18.（23-24 高二下·北京·期中）已知直线为曲线
在点
处的切线，
为该曲线的另一条
切线，且
．
(1)利用导数定义求函数
的导数；
(2)求直线、
的方程．
19.（23-24 高三上·上海·期中）设
是定义域为
的函数,如果对任意的
,
均成立,则称
是“平缓函数”.
(1)若
,试判断
是否为“平缓函数”并说明理由;
(2)已知
的导函数
存在,判断下列命题的真假:若
是“平缓函数”,则
,并说明
理由.
(3)若函数
是“平缓函数”,且
是以为周期的周期函数,证明:对任意的
,均
有
.
