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5.1.1 数列的概念
课程标准
学习目标
（1）通过实例了解数列的概念，明确数列与数集的区
别，理解数列的项与项数的含义，理解数列的函数特
征。
（2）根据给定的项数，求出相应数列的通项公式，并
理解通项公式的含义。
（3）知道数列的分类：有穷数列和无穷数列等。
（4）掌握数列的表示方法。
（5）通过观察、归纳、猜想等方法，探索数列的规
律。
通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概
念和表示方法，了解数列是一种特殊的函数。
知识点01 数列的概念
1、数列的定义：按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次
成为这个数列的第1 项（或首项），第2 项……，组成数列的数的个数称为数列的项数。
2、数列的通项公式
（1）数列的一般形式可以写成
，
，
，……，
，……，其中
表示数列的第
项（也称
为
的序号，其中
为正整数，即
），称为数列的通项。此时一般将整个数列简记为
。
（2）一般地，如果数列
的第n 项与序号n 之间的关系可以用
来表示，其中
是关于
的不含其它未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的一个通项公式。
【即学即练1】（2023·陕西宝鸡·高二校考期末）（多选）下列结论中正确的是（ ）
A．数列的项数是无限的
B．数列通项公式的表达式不是唯一的
C．数列1，3，5，7 可表示为
D．数列1，3，5，7 与数列7，5，3，1 不是同一数列
【答案】BD
【解析】数列按项数分类可分为有穷数列与无穷数列，
即数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，故A 错误；
数列通项公式的表达式不是唯一的，
例如，数列1，
，1，
，…的通项公式可以是
，也可以是
，故B 正
确；
构成数列的数是有顺序的，而集合中的元素是无序的，故C 错误；
根据数列定义，两数列的数排列次序不相同，不是相同的数列，故D 正确．故选：BD.
知识点02 数列的分类及表示
1、数列的分类
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大
小关系
递增数列
其中n∈N+
递减数列
常数列
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，
有些项小于它的前一项的数列
2、数列的表示：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．
【即学即练2】（2023·海南儋州·高二校考期中）下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（ ）
A．1，
，
，
，… B．
，
，
，
C．
，
，
，
，… D．1，
，
，…，
【答案】C
【解析】A，B 都是递减数列，D 是有穷数列，只有C 符合题意．故选：C．
知识点03 数列与函数的关系
1、数列与函数的关系
由于数列
中的每一项
与它的序号
有下面的对应关系：
所以，数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R 的函数，其自变量是序号n，对
应的函数值是数列的第n 项an，记为an＝f(n)．也就是说，当自变量从1 开始，按照从小到大的顺序依次取
值时，对应的一列函数值f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是数列{an}．
2、数列的单调性：判断数列的单调性的方法
（1）作差比较法：
⇔数列
是递增数列；
⇔数列
是递减数列；
⇔数列
是常数列．
（2）作商比较法：
ⅰ.当
时，则
⇔数列
是递增数列；
⇔数列
是递减数列；
⇔数列
是常数列；
ⅱ.当
时，则
⇔数列
是递减数列；
⇔数列
是递增数列；
⇔数列
是常数列．
（3）结合相应函数的图象直观判断：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求
其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．
【即学即练3】（2022·高二课时练习）（多选）下列结论中正确的是（ ）
A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集
）上的函数
B．数列若用图像表示，则从图像上看都是一群孤立的点
C．数列的项数是无限的
D．数列
是递增数列
【答案】ABD
【解析】由数列的定义知，数列是特殊的函数，
其定义域是正整数集或它的有限子集
，选项A，B 正确；
由于数列有有穷数列与无穷数列之分，即数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，C 不正确；
对于
，得到
，所以，数列
是递增数列，D 正确，故选：ABD
【题型一：数列的概念及辨析】
例1．（2023·高二课时练习）数列
的通项公式是
，
，则它的图象是（ ）
A．直线 B．直线上孤立的点 C．抛物线 D．抛物线上孤立的点
【答案】B
【解析】数列
对应点为
，
所以图象是直线
上孤立的点，故选：B
变式1-1．（2023·高二课时练习）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．数列可以用图象来表示 B．数列的通项公式不唯一
C．数列中的项不能相等 D．数列可以用一群孤立的点表示
【答案】ABD
【解析】对于A，由数列定义知，数列是以项数为自变量，项为因变量的特殊函数，
故可以用图象来表示，A 正确；
对于B，若数列有通项公式，则该数列的通项公式不一定唯一，
例如：数列
的通项公式可以为
，
也可以为
，B 正确；
对于C，数列中的项可以相等，如常数列，C 不正确；
对于D，由数列是特殊的函数且
知，数列可以用一群孤立的点表示，D 正确.故选：ABD
变式1-2．（2023·黑龙江鸡西·高二鸡西市第四中学校考期中）下列结论中，正确的是（ ）
A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集
）上的函数
B．数列的项数一定是无限的
C．数列的通项公式的形式是唯一的
D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式
【答案】A
【解析】对于A，由数列定义知，A 正确；
对于B，数列
只有5 项，该数列项数有限，B 错误；
对于C，数列
的通项公式可以为
，
也可以为
，该数列通项公式不唯一，C 错误；
对于D，该数列的通项公式可以为
，D 错误.故选：A
变式1-3．（2023·高二课时练习）（多选）下列说法不正确的是（ ）
A．数列
可以表示为
B．数列
与数列
是相同的数列
C．数列
的第
项为1＋
D．数列
可记为
【答案】ABD
【解析】A 选项，数列
和数列
，
前者是有限项，后者是无限项，所以两个数列不一样，A 选项错误.
B 选项，数列
与数列
的项的顺序不相同，
所以不是相同数列，B 选项错误.
C 选项，
，所以数列
的第
项为1＋
，C 选项正确.
D 选项，数列
可记为
，所以D 选项错误.故选：ABD
变式1-4．（2023·云南曲靖·高二曲靖市民族中学校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．数列
与
是相同的
B．数列
可以表示为
C．数列
与
是相同的数列
D．数列
的第
项为
【答案】D
【解析】对于A 项，数列
与
是不同的，
表示数列
，
而
表示数列
中的第
项，故A 项错误；
对于B 项，
是一个集合，故B 项错误；
对于C 项，两个数列中的数虽然相同，但顺序不同，不是相同的数列，故C 项错误；
对于D 项，
，故D 项正确.故选：D.
【方法技巧与总结】
掌握数列的概念辨析解题技巧需要明确数列的定义、数列是一种特殊的函数。
题型二：数列的分类
例2．（2023·新疆塔城·高二塔城市第三中学校考阶段练习）下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列
的是（ ）
A．1，
，
，
，… B．sin
，sin
，sin
，…
C．－1，－
，－
，－
，… D．1，
，
，…，
【答案】C
【解析】D 是有穷数列，A 是递减数列，B 是摆动数列，C 是无穷数列又是递增数列，故选：C.
变式2-1．（2022·江苏南通·高二校考期中）下列数列既是递增数列，又是无穷数列的是（ ）
A．1，2，3，…，20 B．-1，-2，-3，…，-n，…
C．1，2，3，2，5，6，… D．-1，0，1，2，…，100，…
【答案】D
【解析】由递增数列和无穷数列的定义知D 项正确.答案：D
变式2-2．（2022·重庆·高二永川北山中学校校考阶段练习）（多选）下面四个数列中，既是无穷数列又是
递增数列的是（ ）．
A．1，
，
，
，…，
，… B．
，
，
，
，…，
，…
C．
，
，
，…，
，… D．1，
，
，…，
，…
【答案】BD
【解析】对于A，1，
，
，
，…，
，…为递减数列，故A 错误；
对于B，
，
，
，
，…，
，…为递增数列，且是无穷数列，故B 正确；
对于C，
，
，
，…，
，…中
，故不是递增数列，故C 错误；
对于D，1，
，
，…，
，…既是无穷数列又是递增数列的，故D 正确.故选：BD.
变式2-3．（2023·高二课时练习）下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是
常数列？
（1）2017，2018，2019，2020，2021； （2）
；
（3）
； （4）
；
（5）
； （6）9，9，9，9，9，9.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析
（4）答案见解析；（5）答案见解析；（6）答案见解析
【解析】（1）因数列（1）只有5 项，且依次增大，故（1）为有穷数列，且为递增数列.
（2）因数列（2）有无限项，所以不是有穷数列，当
的增大时，
也增大，故为递增数列.
（3）因数列（3）有无限项，所以不是有穷数列，当
的增大时，
减小，故为递减数列.
（4）因数列（4）有无限项，所以不是有穷数列，因数列正负交替，
故数列不是递增数列，也不是递减数列，也不是常数列.
（5）因数列（5）有无限项，所以不是有穷数列，因数列为1，0，-1，0 循环，
故数列不是递增数列，也不是递减数列，也不是常数列.
（6）因数列（6）只有5 项，故（1）为有穷数列，且各项均为9，故为常数数列.
【方法技巧与总结】
判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项。若数列含有限项则是有穷
数列，否则是无穷数列。而判断数列的单调性，则需要从第2 项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，
若满足
，则是递增数列；若满足
，则是递减数列；若满足
，则是常数列；若
与
的大小不确定时，则是摆动数列。
题型三：由数列的前几项求通项公式
例3．（2023·吉林长春·高二长春市第二中学校联考期末）数列
，
，
，
，
的一个通项公式为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】观察数列
，
，
，
，
可知其分母为
，其分子是
交替出现，故分子可为
，
所以该数列的一个通项公式为
.故选：A.
变式3-1．（2023·贵州贵阳·高二校考阶段练习）（多选）数列2，0，2，0，…的通项公式可以是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】对于A，
，符合题意，A 是；
对于B，
，符合题意，B 是；
对于C，
，符合题意，C 是；
对于D，
，不符合题意，D 不是.故选：ABC
变式3-2．（2023·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）数列
，
，
，
，
的一个通项公式
是an=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为数列，
，
，
，
的通项公式为
，
则数列
，
，
，
，
的通项公式为
，
而数列
，
，
，
，
的每一项都是上面数列对应项的
，
所以数列
，
，
，
，
的通项公式为
.故选：C.
变式3-3．（2023·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）根据下面的图形
及相应的点数，写出下列点数构成数列的第5 项的点数（ ）
A．32 B．35 C．36 D．42
【答案】B
【解析】由题意，
，所以
，
根据规律，
，所以
，故选：B
变式3-4．（2023·高二课时练习）写出下列数列的一个通项公式．
（1）
（2）
（3）0，
，
，
，…；
（4）1，11，111，1 111，….
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
.
【解析】（1）观察数列中的数，可以看到
所以它的一个通项公式是
；
（2）数列各项的绝对值为
是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，
所以它的一个通项公式为
；
（3）因为
所以数列的一个通项公式为
；
（4）原数列的各项可变为
，
易知数列9，99，999，9 999，…，的一个通项公式为
，
所以原数列的一个通项公式为
．
【方法技巧与总结】
由数列的前几项求数列的通项公式
（1）各项的符号特征，通过
或
来调节正负项．
（2）考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系．
（3）相邻项(或其绝对值)的变化特征．
（4）拆项、添项后的特征．
（5）通过通分等方法变化后，观察是否有规律．
【注意】根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法，
蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的.
题型四：判断或写出数列中的项
例4．（2022·黑龙江佳木斯·高二校考期末）已知数列
满足：
，则
等于（ ）
A．32 B．64 C．48 D．128
【答案】B
【解析】由
，令
，得
，故选：B.
变式4-1．（2023·江苏南通·高二统考期末）在数列
中，若
，则
的值为（
）
A．17 B．23 C．25 D．41
【答案】A
【解析】依题意，
.故选：A
变式4-2．（2023·河北·高二校联考阶段练习）（多选）已知数列1，
，
，
，…，
，…，则下列说法正确的是（ ）
A．
是它的第3 项 B．
是它的第4 项
C．
是它的第9 项 D．
是它的第16 项
【答案】CD
【解析】当
时，
，C 正确，A 错误；
当
时，
，故D 正确，B 错误．故选：CD．
变式4-3．（2023·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知数列
的通项
，则
.
【答案】
【解析】由于数列
的通项
，
故
，
，所以
.
变式4-4．（2023·广东佛山·高二校考阶段练习）已知数列
的通项公式为
，则
是该数列
的第（ ）项
A．10 B．7 C．5 D．8
【答案】D
【解析】由已知
，解得
，负值舍去，则
是该数列的第项.故选：D.
【方法技巧与总结】
（1）利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n 项an与它的位置序号n 之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出
数列的相应项．
（2）判断某数值是否为该数列的项的方法：先假定它是数列中的第n 项，然后列出关于n 的方程．若方程
的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．
题型五：数列单调性的判断
例5．（2023·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考阶段练习）下列数列是递减数列的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对选项A：
为递增数列；
对选项B：
为递减数列；
对选项C：
，先增后减数列；
对选项D：
，先减后增数列.故选：B.
变式5-1．（2023·河南濮阳·高二范县第一中学校联考阶段练习）已知数列
，
，
为递减数
列，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意可知
，解得
，故答案为：
变式5-2．（2023·贵州·清华中学校联考模拟预测）数列
的通项公式为
，则“
为
递增数列”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条
件
【答案】B
【解析】
，
为递增数列，
故
，故
，
由于
，故
，
因为
，
，
故“
为递增数列”是“
”的必要不充分条件.故选：B
变式5-3．（2023·广东东莞·高二东莞实验中学校考阶段练习）使得“对于任意
，
是递减
数列”为真命题的整数
值是 .（写出一个符合要求的答案即可）
【答案】
（答案不唯一）
【解析】因为对于任意
，
是递减数列，
所以
，所以整数
值可以为
.
变式5-4．（2023·天津·高二咸水沽第一中学校考阶段练习）已知数列
中，
（
且
）．若对任意的
，都有
成立，
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
，已知对任意的
，都有
成立，
，函数在区间
和
单调递减，
结合函数的单调性可得
，得
，
因此实数
的取值范围为
.
【方法技巧与总结】
由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最
小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件．
题型六：数列中的最大项、最小项
例6．（2023·山东枣庄·高二滕州市第一中学新校校考阶段练习）（多选）已知在数列
中，
，则数列
的最小项是（ ）
A．第1 项 B．第2 项 C．第3 项 D．第4 项
【答案】BC
【解析】依题意，
，
函数
的开口向上，对称轴为
，
由于
，所以当
或时，
取得最小值.故选：BC
变式6-1．（2023·湖北省直辖县级单位·高二校考期中）已知数列
的通项公式为
，则数列
中的最大项的项数为（ ）
A．2 B．3 C．2 或3 D．4
【答案】C
【解析】
；
；
，
，
当
时，
，所以
，
所以数列
中的最大项的项数
或.故选：C
变式6-2．（2023·上海·高二复旦附中校考阶段练习）已知数列
的通项公式为
，则数列
的最大项为第 项.
【答案】
【解析】依题意，
，
则
，
当
时，
，
所以当
时，
，
所以数列
的最大项为第项.
变式6-3．（2023·高二课时练习）已知
，求该数列前30 项中的最大项和最小项．
【答案】最大项为
，最小项为
【解析】
，
，
而
，
，
若要
最大，则需要
取最小正数，则当
时，
最大，
若要
最小，则需要
取最大负数，则当
时，
最小．
所以该数列前30 项中的最大项为
，最小项为
.
变式6-4．（2023·高二课时练习）已知数列
的通项公式是
，判断该数列的单调性，并求出
这个数列的最小项．
【答案】答案见解析
【解析】令
，则
，故
时
，
所以
，故该数列的先递减后递增，
又
，故数列最小项为第三、四项为
.
【方法技巧与总结】
求数列最大(小)项的方法
（1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项．
（2）利用
，求数列中的最大项
；
利用
，求数列中的最小项
.
当解不唯一时，比较各解大小即可确定．
一、单选题
1．（2023·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列
B．数列1，0，
，
与
，
，0，1 是相同的数列
C．数列
的第k 项为
D．数列0，2，4，6，
可记为
【答案】C
【解析】对A，数列可为常数数列，A 错误；
对B，一个递减，一个递增，不是相同数列，B 错误；
对C，当
时，
，C 正确；
对D，数列中的第一项不能用
表示，D 错误.故选：C
2．（2018·陕西延安·高二阶段练习）下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（ ）
A．1，
，
，
，… B．
，
，
，
C．
，
，
，
，… D．1，
，
，…，
【答案】C
【解析】A，B 都是递减数列，D 是有穷数列，只有C 符合题意．故选：C．
3．（2023·高二课时练习）已知函数
，设
，则下列说法中错误的是（ ）
A．
是无穷数列 B．
是递增数列 C．
不是常数列 D．
中有最大项
【答案】D
【解析】对于A ，
显然是无穷数列，故A 正确；
对于B，因为
，
即
，即
是递增数列，故B 正确；
对于C，因为
，
，
，故
不是常数列，故C 正确；
对于D，由B 知，
是递增数列，当
趋近于无穷大时，
也趋近于无穷大，
所以
中无最大项，故D 错误.故选：D
4．（2023·全国·高二专题练习）已知数列{an}的通项公式
，则a2a3的值是（
）
A．70 B．28 C．20 D．16
【答案】D
【解析】依题意，
，
，则
，所以a2a3的值是16.故选：D
5．（2023·陕西安康·高二校考阶段练习）已知数列
，则
是这个数列的（ ）
A．第21 项 B．第22 项 C．第23 项 D．第24 项
【答案】B
【解析】由题意可得数列的通项公式为
，
又
，解得
，所以
是这个数列的第22 项．故选：B．
6．（2023·河南·高二校联考阶段练习）数列1，
，
，…的通项公式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
时，对于B 中
，
当
时，对于C 中
，对于D 中
，
四个选项中只有
同时满足
，
，
.故选：A
7．（2023·贵州贵阳·高二校考阶段练习）数列1，
，
，
，…的一个通项公式为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】数列前4 项的绝对值依次为1，
，
，
，由此得数列第n 项的绝对值为
，
而数列的奇数项为正，偶数项为负，可用
表示数列的第n 项的符号，
因此
.故选：B
8．（2023·安徽芜湖·高二芜湖一中校考阶段练习）已知
的通项公式为
（
），若数
列
为递减数列，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
由数列
为递减数列，则
，即
恒成立，即
，
当
时，
的最小值为，即
.故选：C
二、多选题
9．（2023·高二课时练习）已知数列
的通项公式是
，那么（ ）
A．30 是数列
的一项 B．45 是数列
的一项
C．66 是数列
的一项 D．90 是数列
的一项
【答案】BC
【解析】分别令
的值为30，45，66，90，
可知只有当
时，
或
（舍去） ；
当
时，
或
（舍去），故45，66 是数列
的一项．故选：BC
10．（2023·安徽芜湖·高二校考阶段练习）若数列
的前
项分别为
，，
，，则这个数列的通项
公式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】对于A，当
，
，，
时，
分别对应的是
，，
，，正确；
对于B，当
，
，，
时，
分别对应的是
，，
，，正确；
对于C，当
，
，，
时，
分别对应的是
，，
，，正确；
对于D，
，
，
，
，错误.
所以这个数列的通项公式可能是ABC.故选：ABC
11．（2023·陕西西安·高二西安中学校考阶段练习）已知数列
的通项公式
，若
对
恒成立，则满足条件的正整数k 可以为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】BC
【解析】
，当且仅当
，即
时取等，
因为
，所以当
时，
，当
时，
，
所以
的最小值为
和
，
因为
对
恒成立，所以
或
.故选：BC.
12．（2023·江苏·高二淮阴中学校联考阶段练习）设
是无穷数列，若存在正整数
，使待对任意
，
均有
，则称
是“间隔递增数列”，
是数列
的“间隔数”，下列选项正确的是（ ）
A．公比大于1 的等比数列一定是间隔递增数列
B．已知
，则数列
是间隔递增数列
C．已知
，则数列
是间隔递增数列且最小间隔数是2
D．已知
，若数列
是间隔递增数列且最小间隔数是3，则
【答案】BCD
【解析】对于A：设等比数列
的公比为
，
则
，
因为
，所以当
时，
，故A 错误；
对于B：
，
对于函数
，明显其在
上单调递增，
则
，
当
，即
时，
，B 正确；
对于C：
，
当
为奇数时，
，存在
，使
成立，
当
为偶数时，
，存在
，使
成立，
综上，数列
是间隔递增数列且最小间隔数是2，故C 正确；
对于D：若数列
是间隔递增数列且最小间隔数是3，
则
对
恒成立，
即
，解得
，
又该不等式的解为
所以
，解得
，
可以得到
，D 正确；故选：BCD.
三、填空题
13．（2023·甘肃临夏·高二校考阶段练习）数列
中，
，则125 是这个数列的第 项.
【答案】8
【解析】由
，得
，而
，解得
，
所以125 是这个数列的第8 项.
14．（2023·湖北武汉·高二校联考期中）根据下列5 个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第8 个
图有 个点.
【答案】57
【解析】根据题意，图（1）中只有1 个点，无分支；
图（2）除中间一个点外，有两个分支，每个分支由1 个点；
图（3）除中间一个点外，有三个分支，每个分支由2 个点；
图（4）除中间一个点外，有四个分支，每个分支由3 个点，
则第
个图形中除中间一个点外，有
个分支，每个分支有
个点，
第
个图形中有
个点，
故第8 个图形中有
个点．
15．（2023·高二课时练习）已知数列
的通项公式为
，则使
成立的正整数
的最大
值为 ．
【答案】
【解析】由
，解得
，
因为
，所以正整数
的最大值为
.
16．（2023·江苏宿迁·高二校考期中）已知数列
的通项公式
，记数列
落在区间
内项的个数为
，则
．
【答案】23
【解析】由题意
为数列
落在区间
内项的个数，
所以令
，解得
，所以
.
四、解答题
17．（2023·高二课时练习）下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数
列？哪些是常数列？
（1），
，
，
，…；
（2）2，4，6，8，10，…；
（3）7，7，7，7，…；
（4）
，
，
，
，…；
（5）10，9，8，7，6，5，4，3，2，1；
（6），
，
，
，
，
，….
【答案】（1）无穷数列，递减数列；（2）无穷数列，递增数列；（3）无穷数列，常数列
（4）无穷数列，递减数列；（5）有穷数列，递减数列；（6）无穷数列
【解析】（1）数列有无穷多个项，从第2 项起，每一项都小于它前面的一项，
故该数列为无穷数列，递减数列；
（2）数列有无穷多个项，从第2 项起，每一项都大于它前面的一项，
故该数列为无穷数列，递增数列；
（3）数列有无穷多个项，项不变，故该数列为无穷数列，常数列；
（4）数列有无穷多个项，从第2 项起，每一项都小于它前面的一项，
故该数列为无穷数列，递减数列；
（5）该数列共10 项，从第2 项起，每一项都小于它前面的一项，故该数列为有穷数列，递减数列；
（6）数列有无穷多个项，从第2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，
故该数列为无穷数列，摆动数列.
18．（2023·高二课时练习）写出下面各数列的一个通项公式，使它的前4 项分别是下列各数．
（1）
；
（2）
；
（3）1，0，1，0，…；
（4）
，
，
，
，….
【答案】（1）
；（2）
；
（3）
；（4）
【解析】（1）数列可记为
，
所以数列的通项公式为
.
（2）数列的各项符号间隔排列，可用
进行调整，
所以数列的通项公式为
.
（3）数列的奇数项为1，偶数项为0，
因此数列的通项公式为
.
（4）这个数列的前4 项分别为
，
其分母都是序号
加上1，分子都是分母的平方减去1，
所以它的一个通项公式为
.
19．（2023·高二课时练习）在数列
中，
，
，通项公式
，其中p，q 为常数，
．
（1）求
的通项公式；
（2）88 是否是数列
中的项？
【答案】（1）
；（2）88 不是数列
中的项
【解析】（1）因为
，
，通项公式
，
所以
，解得，
，所以
；
（2）令
，解得
，
因为
，所以88 不是数列
中的项.
20．（2023·全国·高二课时练习）已知函数
，设数列
的通项公式为
，其中
；
（1）求证：
；
（2）判断
是递增数列还是递减数列，并说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）递增，理由见解析
【解析】（1）由题意可知
，
又因为
，所以
，因此
，即
.
（2）因为
，
又因为
，
，所以
，
从而
，即
，
因此
是递增数列.
21．（2023·高二课时练习）已知数列
的通项公式为
，试判断数列
的单调性，并
判断该数列是否有最大项与最小项．
【答案】当
时
单调递增，当
时
单调递减，存在最大项
，不存在最小项.
【解析】因为
，
所以
，
又
，所以当
时
，此时
单调递增，
当
时
，此时
单调递减，
又
，
所以
存在最大项
，不存在最小项.
综上可得当
时
单调递增，当
时
单调递减，
存在最大项
，不存在最小项.
22．（2023·高二课时练习）在数列
中，
，请回答下列问题：
（1）这个数列共有几项为负？
（2）这个数列从第几项开始递增？
（3）这个数列中有无最小值？若有，求出最小值；若无，请说明理由．
【答案】（1）共有项为负；（2）从第
项开始数列
递增；（3）有，最小值为
【解析】（1）由
，解得
，
，
所以数列
前项为负数，也即共有项为负数.
（2）因为
，
当
，即从第
项开始数列
开始递增.
（3）
，
根据二次函数的性质知，当
时，
取得最小值
，
即数列中有最小值，最小值为
.
