文档文本内容
第1 讲 向量数量积的概念
课程标准
学习目标
1．掌握平面向量的夹角的概念；
2．掌握平面向量的数量积的定义、性质；
3．了解向量投影的概念以及投影向量的意
义.
1．理解平面向量数量积的含义，会计算两个向量的数
量积；体会平面向量数量积与向量投影数量之间的关
系；会计算两个向量的夹角。
2．通过本节的学习，加深同学们对数学基础性的理
解，加强数学学科与物理学科的学科融合，体会数学
的实用性。
知识点01 向量的夹角
1、如图,已知两个非零向量
,O 是平面上的任意一点,作
,则
叫做向量
与
的夹角，记作
.
显然,当
时,
与
同向;当
时,
与
反向.
2、如果
与
的夹角是
,我们说
与
垂直,记作
.
【即学即练1】（24-25 高一·上海·课堂例题）若
为等边三角形，求下列各角：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由向量夹角的定义即可求解；
（2）由向量夹角的定义即可求解；
（3）由向量夹角的定义即可求解.
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
.
知识点02 向量数量积的定义
1、已知两个非零向量
与
,它们的夹角为
,我们把数量
叫做向量
与
的数量积(或内积),
记作
,则
2、规定:零向量与任一向量的数量积为0.
【即学即练2】（24-25 高一下·全国·课后作业）已知
，
与
的夹角为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】利用向量数量积公式计算可得答案.
【详解】
.
故选：A．
知识点03 向量的投影向量
1、如图（1）, 设
是两个非零向量，
，作如下的变换：过
的起点
和终点
，分别作
所在直线的垂线，垂足分别为
得到
，则称上述变换为向量
在向量
投影，
叫做向量
在向量
上的投影向量.
2、如图（2）,在平面内任取一点O,作
,过点
作直线
的垂线,垂足为
,则
就是向量
在向量
上的投影向量.
3、设与
方向相同的单位向量为
,
与
的夹角为
,对任意的
,都有
【即学即练3】（24-25 高一下·河北·期末）已知
是夹角为
的单位向量，则
在
方向上的投影向
量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】直接利用投影向量定义及数量积的几何意义进行求解即可．
【详解】因为
．
故选：B．
知识点04 向量数量积的性质
设向量
与
都是非零向量,它们的夹角为
,
是与
方向相同的单位向量,则
（1）
；（2）
；（3）
；
【注】当
与
同向时,
；当
与
反向时，
.
（4）
；（5）
或
【即学即练4】（多选）（24-25 高一下·全国·随堂练习）对于任意向量
，
，，下列命题中不正确的是
（ ）
A．若
，则
与
中至少有一个为
B．向量
与向量
夹角的范围是
C．若
，则
D．
【答案】AB
【分析】根据互相垂直的平面向量的性质判断A，结合平面向量数量积的定义、运算性质判断C,D,向量
与
向量
夹角的范围判断B.
【详解】A，若
，则
与
可以是夹角为
，所以A 选项错误.
B，向量
与向量
夹角的范围是
，B 选项错误.
C，若
，则
，所以C 选项正确.
D，
，D 选项正确.
故选：AB.
题型01 向量数量积的相关概念
【典例1】（23-24 高一下·河南郑州·阶段练习）设
，
都是非零向量，下列四个条件中，能使
一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意可知，向量
与
的方向相反，然后即可得出正确的选项.
【详解】由
得
，所以向量
与
方向相反.
对于A：由
得向量
与
的方向相同，故A 错误；
对于B：由
得向量
与
方向相反，故B 正确；
对于C：由
得
，故C 错误；
对于D：由
得向量
与
的方向相同，故D 错误.
故选：B.
【变式1】（24-25 高一上·全国·单元测试）若
均为非零向量，则
是
与
共线的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】由
，可得
，而
与
共线意味着
或
，由此即可得解.
【详解】一方面：由
，可得
，此时
与
共线;
另一方面：由
与
共线，可得
或
，此时有
或
，
即此时
不一定成立.
结合以上两方面有
是
与
共线的充分不必要条件.
故选：A.
【变式2】（24-25 高一下·全国·单元测试）已知下列命题中：
（1）若
，且
，则
或
；
（2）若
，则
或
；
（3）若不平行的两个非零向量
，满足
，则
；
（4）若
与
平行，则
；
（5）
.
其中真命题的个数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据向量数乘的定义可判断（1）；根据向量数量积的定义可判断（2）（4）；根据向量数量积
的运算律可判断（3）（5）.
【详解】对于（1），若
，且
，则
或
，故（1）正确；
对于（2），若
，则
，不一定能得到
或
，故（2）错误；
对于（3），若不平行的两个非零向量
，满足
，则
，故
（3）正确；
对于（4），若
与
平行，则
，故（4）错误；
对于（5），
，而
，故（5）错误.
故选：C.
【变式3】（23-24 高一下·黑龙江佳木斯·期末）“平面向量
，
平行”是“平面向量
，
满足
”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
根据平面向量数量积的定义，向量平行的定义以及充分条件，必要条件的定义即可判断．
【详解】若平面向量
，
平行，则向量
，
方向相同或相反，所以
或
；
若
，则
，即向量
，
方向相同，以及向量
，
平行．
综上，“平面向量
，
平行”是“平面向量
，
满足
”的必要非充分条件．
故选：B．
【变式4】以下关于两个非零向量的数量积的叙述中，错误的是（ ）
A．两个向量同向共线，则他们的数量积是正的
B．两个向量反向共线，则他
们的数量积是负的
C．两个向量的数量积是负的，则他们夹角为钝角
D．两个向量的数量积是0，则
他们互相垂直
【答案】C
【分析】根据数量积的定义和向量夹角的范围确定答案.
【详解】对于任意得两个非零向量
，
，其中
.
若两个非零向量同向共线，则
，
，
，故A 正确；
若两个非零向量反向共线，则
，
，
，故B 正确；
若这两个非零向量的数量积是负的，则
，
，故C 错误；
若两个非零向量的数量积是0，则
，
，
互相垂直，故D 正确.
故选: C.
题型02 平面向量的夹角
【典例2】（23-24 高一下·吉林·期中）已知向量
，
的夹角为
，
，
且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由数量积公式求夹角即可．
【详解】因为
，
，所以
.
故选：D
【变式1】（2025 高二·全国·专题练习）已知
外接圆圆心为
，且
，则向量
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】作出草图，运用平行四边形法则，结合外接圆圆心特征，得到平行四边形
为菱形，进而得
到
和
为等边三角形，得解.
【详解】由
，得
，
如图所示，结合向量加法的平行四边形法则可得四边形
为平行四边形，
又因为
为
外接圆圆心，所以
，
所以平行四边形
为菱形，
和
为等边三角形，
所以向量
的夹角为
．
故答案为：
.
【变式2】（24-25 高一下·全国·课后作业）已知向量
在
上的投影的数量为
，
，则向量
与
的夹角
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据投影向量公式得出
结合角的范围得出夹角即可.
【详解】依题意
．
又
．
故选：C.
【变式3】（24-25 高一上·上海·课后作业）已知
，
，
，夹角
.
【答案】
/
【分析】根据向量数量积公式可得夹角.
【详解】由
，
，
则
，
解得
，
又
，所以
，
故答案为：
.
题型03 向量数量积的简单计算
【典例3】（24-25 高一·上海浦东新·期末）在边长为3 的等边三角形
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．-
【答案】C
【分析】由题意可得
，再由向量的线性运算求解即可.
【详解】因为
，
所以
，
所以
.
故选：C.
【变式1】（24-25 高三上·北京房山·期中）已知向量
在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个
小正方形的边长均为1，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由图形可求得
，由向量数量积定义可求得结果.
【详解】由图形可知：
，
，
，
.
故选：A.
【变式2】（24-25 高三上·湖南·阶段练习）已知
为单位圆
的内接正三角形，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【分析】先根据内接正
各边以及
与单位圆
半径的关系，求出各边长度，再根据
的模长与夹角代入平面向量数量积公式求解答案.
【详解】如图所示:
因为单位圆
半径为1，
为单位圆
的内接正三角形，
可得
，又
也是正
的中心，延长
交
于
，
可得
，
，
，
设
的边长为
，则由勾股定理得
，
即
，解得
.
所以
，
.又因为
的夹角为
的补角，
，所以
的夹角为
，
所以
.
故选：A.
【变式3】（24-25 高二上·上海宝山·期末）若向量
满足
，且
的夹角为
，则
.
【答案】1
【分析】根据向量数量积的定义运算得解.
【详解】由题，
.
故答案为：1.
【变式4】（24-25 高一下·全国·课堂例题）已知
，
在
上的投影的数量为6，则
．
【答案】30
【分析】利用向量投影数量的计算公式以及向量的模长、结合数量积定义计算求解.
【详解】
.
故答案为：
.
【变式5】（24-25 高一下·全国·课堂例题）在等腰直角三角形ABC 中，若
，
，则
的值等于 ．
【答案】2
【分析】应用平面向量的数量积公式计算即可.
【详解】
．
故答案为：2.
题型04 求向量的投影向量
【典例4】（23-24 高一下·江苏·期末）已知平面向量
与
满足：
在
方向上的投影向量为
在
方
向上的投影向量为
，且
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】根据投影向量的定义，先由
在
方向上的投影向量为
，可得
，再根据
在
方向上的
投影向量为
运算求解即可.
【详解】因为
在
方向上的投影向量为
，且
，
可得
，即
，
又因为
在
方向上的投影向量为
，
可得
，即
.
故选：D.
【变式1】（23-24 高一下·重庆·阶段练习）已知
，若
与
的夹角为
，则
在
上的投影向量
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由投影向量定义结合题设直接计算即可得解.
【详解】由题
在
上的投影向量为
.
故选：C.
【变式2】（24-25 高三上·山东青岛·阶段练习）已知平面向量
满足
，且
，则
在
方向上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据投影向量的定义求解.
【详解】由已知
，
在
方向上的投影向量为
.
故选：A．
【变式3】已知
，
，
，则向量
在
方向上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合向量投影向量公式直接计算即可.
【详解】设
与
的夹角为
，
则向量
在
方向上的投影向量为
.
故选：A.
【变式4】（24-25 高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）在
中，
是
边上的一点，且满足
，
则
在
方向上的投影向量是 （用
表示）
【答案】
【分析】由数量积的运算公式可以得到
，再根据题中条件得到
,
最后利用投影向量的公式进行求解即可.
【详解】
由
，则
，
又
，则
，
又
，则
，即
，
故
，
又向量
在
方向上的投影向量是
，
故答案为：
.
【变式5】（24-25 高一下·全国·课后作业）在
中，已知
，求：
(1)
；
(2)
在
方向上的投影的数量；
(3)
在
方向上的投影的数量．
【答案】(1)
(2)
(3)-4
【分析】（1）应用平面向量的数量积公式计算即可；
（2）应用投影数量的公式计算即可；
（3）应用投影数量的公式计算即可.
【详解】（1）
．
为直角三角形，且
．
．
（2）
．
（3）
一、单选题
1．（23-24 高一下·北京·期中）在
中，“
”是“
为锐角三角形” 的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用数量积的定义可得
，但
不一定为锐角；若
是锐角三角形可知满足
，即可得出结论.
【详解】由
是锐角三角形，得
，从而
，
故
，即必要性成立；
反之，若“
”可得
，所以
，
可得
为锐角，但角
可能为钝角，不一定为锐角，所以充分性不成立；
故选：B
2．（23-24 高一下·辽宁辽阳·阶段练习）在正六边形
中，向量
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据正六边形的性质及向量夹角的定义判断即可.
【详解】如图设
与
交于点
，由正六边形的性质可知
为等边三角形，
所以
，则向量
与
的夹角为
.
故选：B
3．（23-24 高一上·浙江宁波·期末）已知
，且满足
，则
在
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
进行求解，得到答案.
【详解】因为
，
，
所以
在
上的投影向量为
.
故选：D
4．（23-24 高一下·河南漯河·期中）平面向量
是不共线的向量，则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用作差法和向量数量积的定义逐项判断即可.
【详解】因为
，又
不共线，
所以
，则
，故A 和C 都不正确；
因为
，又
不共线，
所以
，则
，故B 不正确，D 正确；
故选：D
5．（23-24 高一下·重庆·期中）在△ABC 中，
，
，
，则
（ ）
A．12
B．6
C．
D．
【答案】C
【分析】利用向量数量积的定义求解.
【详解】△ABC 中，
，
，
，
与
的夹角为角
的补角，
则
.
故选：C
6．（23-24 高一下·广东佛山·期中）已知非零向量
满足
，且向量
在向量
上的投影向量是
，则向量
与
的夹角是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，由平面向量的数量积运算，结合其夹角公式代入计算，即可得到结果.
【详解】∵
，向量
在向量
上的投影向量是
，
∴
，
则
，即
，且
，
则
，
故选：D.
7．（24-25 高一下·全国·课前预习）已知
，且关于
的方程
有实根，则
与
的夹角的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由方程有实根得到
，得
，借助于余弦函数的性质，解此三角不等
式即得.
【详解】设
为向量
与
的夹角，
关于
的方程
有实根，则有
，
又
，则有
，得
，
又
，所以
．
故选：B.
8．（24-25 高三上·北京昌平·期末）在
△
中，
，
为
的中点，
为线段
上的一
个动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，由平行四边形法则得到
,将
表示成
的函数，并利用二
次函数的性质求出最小值.
【详解】
△
中，
，
为
的中点，
所以
，
设
，则
，
，
，
即当
时，
的最小值为
.
故选：B.
二、多选题
9．（23-24 高一下·河北·期末）在正
中，
为
的中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
在
上的投影向量为
【答案】BCD
【分析】利用图形求向量夹角判断选项A；利用向量数量积的运算验证选项B；由向量的线性运算验证选
项C；由投影向量的计算验证选项D.
【详解】正
中，
为
的中点，如图所示，
，A 错误；
，则
，
正确．
，C 正确．
在
上的投影向量为
，
正确．
故选：BCD.
10．（24-25 高二上·河南许昌·开学考试）在
中，下列说法正确的是（ ）
A．与
共线的单位向量为
B．
C．若
，则
为钝角三角形
D．若
是等边三角形，则
，
的夹角为
【答案】AC
【分析】根据单位向量判断A；由向量的减法判断B；由向量的夹角，数量积的定义判断C，D 即可.
【详解】对于A，与
共线的单位向量为
，故A 正确；
对于B，
，故B 错误；
对于C，
，所以
且
，所以
为钝角，所以C 正确；
对于D，若
是等边三角形，则
，
的夹角为
，故D 错误.
故选：AC
11．（24-25 高三上·江苏泰州·阶段练习）已知
是边长为4 的正三角形，该三角形的内心为点
，下
列说法正确的是（ ）
A．
在
方向上的投影向量的模为2
B．
C．
D．若
为
外接圆上任意一点，则
【答案】ABD
【分析】利用投影向量的定义及模的定义判断A，利用数量积的定义判断B，由向量的和的运算判断C，由
向量线性运算法则判断D．
【详解】如图，正
的内心为点
，则
也为
的外心和重心，
分别是
中点，则
，
在
上，
，则
，
在
方向上的投影向量为
，所以
在
方向上的投影向量的模等于
在
方向上的投影向量
的模，模为2，A 正确；
，B 正确；
，C 错误；
，D
正确．
故选：ABD．
三、填空题
12．（23-24 高一下·上海·期中）在正方形
中，向量
与向量
的夹角是 ．（用弧度制
表示）
【答案】
/
【分析】直接根据向量夹角的概念求解.
【详解】向量
与向量
的夹角是
的补角，而
，
故
.
故答案为：
.
13．（23-24 高一下·上海宝山·期中）已知向量
在向量
方向上的投影向量为
，且
，则
(结果用数值表示)
【答案】
【分析】根据投影向量的计算公式，结合数量积的定义式求解.
【详解】因为向量
在向量
方向上的投影向量为
，
即
，故
，
故答案为：
14．（24-25 高三上·内蒙古赤峰·期中）如图，在边长为
的正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，且
，
则
= ．
【答案】
【分析】首先根据平行线的性质，得到
，并求解正切值，最后代入向量数量积公式，即可求
解.
【详解】因为
，所以
．因为
，
所以
．
故答案为：
四、解答题
15．（24-25 高一下·全国·课堂例题）已知等边
的边长为1，求：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根据数量积的公式计算即可，要注意其夹角.
【详解】（1）
与
的夹角为
，
.
（2）
与
的夹角为
，
.
（3）
与
的夹角为
，
.
