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第02 讲 基本初等函数的导数、求导法则
课程标准
学习目标
1．熟记基本初等函数的导数公式，并能运用公
式求简单函数的导数．
2．掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂
函数的导数
3．掌握复合函数的求导法则，会求复合函数的
导数．
1．通过学习导数的四则运算法则，培养数学运
算素养．
2．借助复合函数的求导法则的学习，提升逻辑
推理、数学抽象素养．
知识点01 基本初等函数的导函数
1．导函数的概念
一般地，如果函数
在某定义内的每一个点
都可导，则称
可导。此时，对定义域内的
每一个值
，都对应一个确定的导数
。于是，在
的定义域内，
是一个函数，这个函数通
常称为
的导函数，记作
（或
，
），即
.
【解读】f′(x0)与f′(x)是不同的，f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，而f′(x0)是f′(x)在x＝x0处的导数值．
2．几个常用函数的导数
原函数
导函数
其中
为常数
3．基本初等函数的导数公式
函数
导函数
函数
导函数
(c 是常数)
( 为实数)
特别地
特别地
【即学即练1】（24-25 高二上·全国·课后作业）设函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点02 导数的运算法则
1．导数的四则运算法则
（1）加减法：
（2）乘法：
（3）除法：
2．公式推广与结构特征
（1）公式推广：函数和、差的导数可以推广到
个函数
设
，
，
…
，
在
处
可
导
，
则
（2）结构特征：乘法公式中间用“加号”，前导后不导＋前不导后导；除法公式分母平方，分子用“减
号”。
【即学即练2】
1.（23-24 高二下·河南洛阳·阶段练习）下列求导正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（24-25 高三上·上海闵行·期中）函数
在
处的导数是 .
知识点03 复合函数的导数
1．复合函数的概念
一般地，已知函数y＝f(u)与u＝g(x)，给定x 的任意一个值，就能确定u 的值，如果此时还能确定y 的
值，则y 可以看成x 的函数，此时称f(g(x))有意义，且称y＝h(x)＝f(g(x))为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函
数，其中u 称为中间变量．
2．复合函数的求导法则
一般地，对于由函数y＝f(u)与u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝
g(x)的导数间的关系为：y′x＝y′uu′x，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．
【解读】 求复合函数的导数的步骤
(1)适当选定中间变量，正确分清复合关系；
(2)分步求导；
(3)把中间变量代回原自变量的函数，整个过程可简记为“分解——求导——回代”
【即学即练3】（23-24 高二下·北京通州·期中）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型01 基本初等函数的导数
【典例1】（24-25 高二下·北京通州·期中）下列求导运算结果错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高三上·河北邯郸·阶段练习）下列求导运算中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高二上·全国·课后作业）设函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高三上·山东滨州·开学考试）(多选)下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【变式4】（24-25 高二上·全国·课后作业）设函数
，对任意的正整数
，定义函数列
，
且
．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型02 利用四则运算求导数
【典例2】（24-25 高三上·陕西咸阳·期中）（多选）下列求导运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高二下·天津北辰·期中）下列函数的求导正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高二下·江苏扬州·期中）下列导数运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高二上·全国·课后作业）函数
的导函数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（24-25 高三上·北京海淀·期中）已知
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【变式5】（23-24 高二下·福建龙岩·期中）若函数
，则
.
题型03 求复合函数的导数
【典例3】（24-25 高三上·江苏镇江·开学考试）（多选）下列求导运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高二下·广东佛山·阶段练习）下列求导运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高二下·海南·期中）下列函数求导正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【变式3】（23-24 高二下·湖北武汉·期中）下列求导运算错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型04 求某点处的导数值
【典例4】（24-25 高三上·山西·期中）若函数
满足
，则
的值为（ ）
A．
B．2
C．3
D．4
【变式1】（24-25 高三上·陕西西安·阶段练习）已知函数
，
为
的导函数，则
的值为 .
【变式2】（24-25 高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数
，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【变式3】（24-25 高三上·上海·阶段练习）设
，则
．
【变式4】（24-25 高三上·上海·期中）已知函数
，则
.
【变式5】（24-25 高三上·上海·期中）若
，则
.
题型05 在某点的切线问题
【典例5】（24-25 高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）函数
在点
处的切线与两坐标轴
围成的封闭图形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【变式1】（24-25 高三上·江苏盐城·阶段练习）曲线
在
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2024·河南新乡·一模）函数
的图象在点
处的切线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，若曲线
在点
处的切线过坐标原点，则实数
的值为 ．
【变式4】（24-25 高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知
，设函数
的图象在点
处
的切线为l，则l 与
轴交点的坐标为 ．
题型06 过某点的切线问题
【典例6】（24-25 高二上·江苏南京·阶段练习）过点
且与曲线
相切的切线斜率不可能为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高二·阶段性训练）若过点
作曲线
的切线，则这样的切线共有（ ）
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．3 条
【变式2】（2024 高三·全国·专题练习）过点
作曲线
的切线，则切点坐标为
.
【变式3】（24-25 高三上·四川·期中）已知函数
的图象在点
处的切线过点
，则
．
【变式4】（24-25 高三·全国·专题练习）已知曲线
与过点
的直线相切，则的斜率为
．
题型07 切线的平行垂直问题
【典例7】（24-25 高三上·安徽·阶段练习）已知曲线
，
在点
处的
切线与直线
垂直，则a 的值为（ ）
A．1
B．
C．3
D．
【变式1】（2024·四川宜宾·一模）设曲线
在
处的切线与直线
垂直，则
【变式2】（24-25 高三上·湖北宜昌·阶段练习）函数
在点(1,f (1))处的切线与直线
相互垂直，则实数
【变式3】（23-24 高二下·甘肃白银·阶段练习）求曲线
与直线
垂直的切线的方程．
题型08 公切线问题
【典例8】（24-25 高三上·辽宁大连·期中）直线
是曲线
和
的公切线，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【变式1】（24-25 高三上·江苏无锡·阶段练习）若斜率为1 的直线与曲线
和圆
都相
切，则实数
的值为（ ）
A．2
B．0 或
C．0 或2
D．
【变式2】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知曲线
在点
处的切线与曲线
相切，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高三上·江苏·阶段练习）已知直线：
分别与曲线
，
都相切，则
的值为 ．
题型09 与切线有关的最值问题
【典例9】（24-25·四川高二·阶段训练）已知P 是曲线
（
）上的动点，点Q 在直线
上运动，则当
取最小值时，点P 的横坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高三上·辽宁·期中）若曲线
的一条切线为
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【变式2】（2024 高三·全国·专题练习）点
分别是曲线
和直线
上任意一点，则
的最小值为 ．
【变式3】（24-25 高三·全国·专题练习）已知直线
与函数
，若直线
与直线、曲线y = f (x)分别交于点
，则当
取最小值时，
．
一、单选题
1．（2024 高三·全国·专题练习）函数
的导数为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·广东广州·阶段练习）一质点A 沿直线运动，其位移
单位：
与时间
单位：
之间
的关系为
，则质点A 在
时的瞬时速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·甘肃天水·阶段练习）
，若
，则
等于（ ）
A．
B．1
C．
D．
4．（24-25 高三上·广东·阶段练习）曲线
在x =0处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三上·广东东莞·阶段练习）曲线
在点
处的切线斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·四川成都·二模）直线
与函数
和
的图象都相切，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
7．（24-25 高三上·山西·阶段练习）曲线
与
的公切线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（24-25 高三上·湖南·阶段练习）若函数
及其导函数
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（24-25 高二上·浙江宁波·期中）下列选项正确的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
10．（2024 高三·全国·专题练习）若直线
是函数
图象的一条切线，则函数
可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2024·全国·模拟预测）设
，曲线
在点
处切线的斜率为
，与x 轴的交点为
，
与y 轴的交点为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．（24-25 高三上·青海·期中）曲线
在点
处的切线方程为 .
13．（2024 高三·全国·专题练习）若函数
，则
.
14．（2024 高三·全国·专题练习）若曲线
有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是 .
四、解答题
15．（24-25 高二下·四川凉山·期中）求下列函数的导数：
(1)
；
(2)
（
为常数）；
(3)
．
16．（24-25 高二下·广东汕头·阶段练习）求下列函数的导数：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
；
17．（24-25 高二下·重庆永川·阶段练习）已知函数
.
(1)求
的导数
；
(2)求函数
的图象在
处的切线方程.
18．（24-25 高二上·广西桂林·期中）已知函数
，且
.
(1)求
的解析式；
(2)求曲线
在
处的切线方程.
19．（24-25 高二下·福建福州·阶段练习）已知函数
．
(1)求
的导数；
(2)求曲线
在点
处的切线方程，并求出切线与坐标轴所围三角形的面积．
