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第16 讲导数概念与求导公式、法则
（知识清单+7 典例精讲+5 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
导数四则运算、幂函数求导，考查 ( x
α)
' =α x
α −1 基础公式运算求值
填空题
5 分
综合考查四则运算法则、复合函数求导 y x
' = yu
' ⋅ux
' ，为导数大题基础运算环节
解答题
12 分
导数定义辨析、基础求导公式判断，考查 (ln x)
' = 1
x ,(e
x)
' =e
x 公式正误辨析
多选题
6 分
乘法求导法则应用 [ f ( x)g( x)]
' = f
'( x)g( x)+ f ( x)g
'( x)，求函数在定点的导
数值
填空题
5 分
乘法求导法则应用 [ f ( x)g( x)]
' = f
'( x)g( x)+ f ( x)g
'( x)，求函数在定点的导数
值
解答题
12 分
平均变化率公式 Δ y
Δ x = f ( x2)−f ( x1)
x2−x1
计算与导数瞬时变化率辨析
单选题
5 分
除法求导法则 ( f ( x)
g( x) )
'
= f
'( x)g( x)−f ( x)g
'( x)
g
2( x)
综合辨析判断
多选题
6 分
【知识点01】导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f' ( x 0)或y'|x＝x0.
f'(x0)＝
lim
Δ x→0 Δ y
Δ x
＝
lim
Δ x→0 f ( x0＋Δ x)−f ( x0)
Δ x
.
(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)
f'(x)＝y'＝
lim
Δ x→0 f ( x＋Δ x)−f ( x)
Δ x
.
【例1】求函数f ( x)=2 x
2在区间[2,4 ]上的平均变化率。
【知识点02】基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c 为常数)
f'(x)＝0
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)
f'(x)＝αx
α － 1
f(x)＝sin x
f'(x)＝cos
x
f(x)＝cos x
f'(x)＝－
sin
x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1)
f'(x)＝a x ln
a
f(x)＝ex
f'(x)＝e x
f(x)＝logax(a>0，且a≠1)
f'(x)＝
1
x ln a
f(x)＝ln x
f'(x)＝1
x
【例2】求函数f ( x)=2 x
4−1
x 的导数。
【知识点03】导数的运算法则
若f'(x)，g'(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]'＝f' ( x )±
g' ( x ) ；
[f(x)g(x)]'＝f' ( x ) g ( x ) ＋
f ( x ) g' ( x ) ；
[
f ( x)
g( x)]'＝f
'( x)g( x)−f ( x)g
'( x)
[ g( x)]
2
(g(x)≠0)；
[cf(x)]'＝cf'
( x ) .
【例3】求函数y =( x +1)sin x的导数。
【知识点04】复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y'x＝y'u· u' x，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数
与u 对x 的导数的乘积.
【例4】求函数y = ln ( x
2+2)的导数。
【题型一】瞬时变化率与导数的概念
【例1】（2026·广东梅州·一模）某个弹簧振子在振动过程中的位移
（单位：cm）与时间（单位：s）之间的关系
为
，则当位移
时，弹簧振子的瞬时速度大小为（ ）
.
A．
B．
C．
D．
【变式1】（多选）（2025·广东湛江·一模）设定义在R 上的函数
和
，记
的导函数为
，且满足
，
，若
为奇函数，则下列结论一定成立的有（ ）．
A．
B．
C．
D．
【变式2】（多选）（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数
及其导函数
的定义域均为R，若
是奇函数，
，且对任意
，
，则（ ）
A．
B．
C．
是周期为3 的函数
D．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知符号“
”代表极限的意思，现给出两个重要极限公式：①
；
②
，则依据两个公式，类比求
_____；
________.
【题型二】基本初等函数的导数公式
【例1】（2025·云南·模拟预测）已知斜率为2 的直线与曲线
相交，交点依次为
，
，
，且
，则直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2025·陕西咸阳·三模）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当
在
处的
阶导数都存在时，
．该公式也称为麦克劳林公式．根
据该公式估算
的值为（）（精确到小数点后两位）
注：
表示
的2 阶导数，即为
的导数，
表示
的
阶导数，即为
的导数．
表示
的阶乘，即
．
A．0.85
B．0.88
C．0.91
D．0.95
【变式2】（多选）（2025·四川成都·模拟预测）设
，
，
.若
与
分别是
与
的导函数，则（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．
D．
【变式3】已知函数
，设
，则
__________．
【题型三】导数的运算法则
【例3】（2025·全国二卷·高考真题）若
是函数
的极值点，则
___________
【变式1】（2026·河北·模拟预测）已知函数
则
（ ）
A．0
B．1
C．
D．
【变式2】（2025·四川巴中·模拟预测）已知
是定义在
上的偶函数，且函数
也是偶函数，其中
表示函数
的导函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数
，若
，则
___________．
【题型四】简单复合函数的导数
【例4】（2026·福建泉州·三模）定义在
上的奇函数
，其导函数为
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2025·重庆·三模）设函数
的定义域为
，
是
的导函数.若
是奇函数，则
的图
象（ ）
A．关于
对称
B．关于
对称
C．关于
对称
D．关于
对称
【变式2】（2025·河北·模拟预测）函数
的极小值点为__________.
【变式3】（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数
，及其导函数
的定义域均为
，若
，
，且
，则
______．
【题型五】导数的加减法
【例5】（2025·甘肃白银·三模）若函数
的导函数
为偶函数，则
的解析式可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知函数
，若
，则
（ ）
A．36
B．12
C．4
D．2
【变式2】已知函数
，则函数
___________.
【变式3】（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，若直线
与曲线
相切，求
；
(2)若直线
与曲线
恰有两个公共点，求
．
【题型六】导数的乘除法
【例6】（2026·广东广州·一模）函数
在区间
上的极值点个数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【变式1】（多选）（2024·黑龙江大庆·一模）已知
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知
，则
____________.
【变式3】求下列函数的导数．
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【题型七】求某点处的导数值
【例7】（2026·河南新乡·三模）已知函数
，则
（ ）
A．2
B．
C．1
D．
【变式1】（2025·河北·模拟预测）若函数
与函数
的图象关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．1
C．ln3
D．
【变式2】（2026·湖南·模拟预测）已知函数
，则
______．
【变式3】（2026·辽宁大连·模拟预测）已知函数
.
(1)若
，求实数
的值；
(2)若
在
上有且仅有两个不同极值点，求实数
的取值范围.
【解题大招01】平均变化率快速求解技巧
方法核心：无需化简原函数，直接套固定公式，代入区间端点函数值即可，是导数最基础秒杀方法。
万能公式
Δ y
Δ x = f ( x2)−f ( x1)
x2−x1
解题步骤：求端点函数值→作差→作商，三步直接出结果。
【例1】求函数 f ( x)=3 x
2−2 在区间 [2,4 ] 上的平均变化率。
【解题大招02】导数定义极限式解题技巧
方法核心：抓住导数定义式结构，极限增量无限趋近于0，统一变形为标准定义式求解，无需复杂极限运算。
标准定义式
f
'( x0)=
lim
Δ x→0 f ( x0+ Δ x)−f ( x0)
Δ x
【例2】利用导数定义求 f ( x)=3 x
2 在 x =1 处的导数。
【解题大招03】基础初等函数求导秒杀技巧
方法核心：熟记8 大基础求导公式，幂函数降次、对数取倒数、指数不变、正余互换符号，直接口算求导。
高频速记公式
( x
α)
' =α x
α −1,(ln x)
' = 1
x ,(e
x)
' =e
x
(sin x)
' =cos x ,(cos x)
' =−sin x
【例3】求函数 y = x
4+e
x−3 ln x +sin x 的导数。
【解题大招04】四则运算求导避错技巧
方法核心：和差直接分项求导；乘法“前导后不导+前不导后导”；除法“上导下不导减上不导下导”，顺序绝
对不能颠倒。
核心公式
乘法：[ f ( x)g( x)]
' = f
'( x)g( x)+ f ( x)g
'( x)
除法：( f ( x)
g( x) )
'
= f
'( x)g( x)−f ( x)g
'( x)
g
2( x)
【例4】求 y =( x
2+1)cos x 的导数。
【解题大招05】复合函数逐层求导技巧
方法核心：由外到内、逐层求导、层层相乘，绝不遗漏内层导数，多层复合重复使用法则。
核心法则y x
' = yu
' ⋅ux
'
【例5】求 y = ln (3 x−2) 的导数。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2024·湖北·一模）已知函数
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·甘肃白银·三模）如果质点按规律
（距离单位：m，时间单位：s）运动，则质点在2s 末的瞬时
速度为（ ）
A．8 m/s
B．7m/s
C．6 m/s
D．5 m/s
3．（2025·云南昆明·模拟预测）若函数
为奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．（2024·海南·模拟预测）已知
，若函数
的图象在点
处的切线与
轴平行，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
5．（2024·江苏南通·二模）已知
，当
时，
_________.
6．（2024·湖北黄石·三模）已知函数
，则
______.
四、解答题
7．（2026·安徽黄山·一模）已知
是正项数列
的前
项和，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
为函数
的导函数，记
，求数列
的前
项和
．
8．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列
中，
，
.
(1)证明：数列
是等差数列；
(2)给定正整数m，设函数
，求
．
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·河南南阳·二模）若
是函数
的极值点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·江苏盐城·三模）若
，则
（ ）
A．0
B．2
C．－2
D．－4
3．（2026·山东青岛·二模）部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，
导致臭氧含量
随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量
与时间之间满足关系式
，其中
是臭氧的初始含量，则（ ）
A．随着时间的增加，臭氧含量在增加
B．当从1 变化到2 时，臭氧含量减少
C．当从0 变化到2 时，臭氧含量的平均变化率为
D．当
时，臭氧含量的瞬时变化率为
二、多选题
4．（2026·吉林通化·模拟预测）已知定义域为
的奇函数
满足
，
，使得
，
为函数
的导函数且
的定义域为
，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
5．（2025·广西柳州·一模）已知定义在
上的函数
，
为
的导函数，
定义域也是
，
满足
，则
______．
四、解答题
6．（2024·四川德阳·模拟预测）记数列
的前
项和为
.
(1)设
，若
，求
的通项公式；
(2)记
，设
，求
.
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·安徽合肥·模拟预测）若
，则
（ ）
A．−10
B．0
C．10
D．20
2．（2023·安徽亳州·模拟预测）狄利克雷（1805~1859）Dirichlet，PeterGustavLejeune 德国数学家.对数论、数学分析
和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.他提出了著名的狄利克雷函数
，狄利克雷函数是数学分析中
典型的病态函数.
则关于
有以下结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．存在
使得以点
为顶点的三角形是等腰直角三角形
D．设函数
，则
二、多选题
3．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知定义在
上的偶函数
满足
，
，设
在
上的
导函数为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
4．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知数列
的通项公式为
，函数
，
求
________.
四、解答题
5．（2025·安徽·一模）已知函数
为函数
的导函数.
(1)证明：
；
(2)若函数
，请判断
在区间
上的零点个数，并说明理由；
(3)若函数
，证明：当
时，
.
