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第16 题 隐藏的对称性：三次函数两平行切线间距（解透
一题）
【浙江省强基联盟2024－2025 学年高三上学期期末联考数学试卷】
设函数
．若函数
在
和
的切线互相平行，则两平
行线之间距离的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法一】 读译化法
本题给出函数
，条件是函数y=f(x) 在
和
的
切线互相平行，要求两平行线之间距离的最大值．关键在于通过函数导数求出切线斜率，
利用切线平行建立等式，进而得到两平行线间距离表达式，再求其最大值．
对函数
求导，依据求导公式
可得：
已知函数
在
和
的切线互相平行，根据导数的几何意义，函数在某点
处的导数即为该点处切线的斜率，所以
．
即
，即
将
代入
，可得
，即两切线的斜率均为
．
将
代入
，可得
，所以切点为
．
将
代入
，可得
，所以切点为
．
根据点斜式方程
（其中
为直线上一点，\\(k\\)为直线斜率），
根据两平行直线
与
（A、B 不同时为0）间的距离公式
，在x=−1 处的切线方程为
，即
；
在x=0 处的切线方程为y=ax，即ax−y=0，
则两平行线间的距离
． 因为
，所以当a=0 时， d 取得最大值
．
利用导数求切线斜率：通过对函数求导，得到函数在某点处的切线斜率表达式，这是解决
函数切线问题的基础．
根据切线关系建立等式：若切线平行，则斜率相等；若切线垂直，则斜率之积为−1 等，以
此建立关于切点横坐标等未知量的等式求解．
求切线方程：利用点斜式
（其中
为切点）求出切线方程．
求平行直线间距离：使用平行直线间距离公式
求两条平行切线间的距离，并
结合函数性质求最值．
【方法二】构造处理方程f(a)=f(b)
在高考中处理函数满足
的问题，采用代数变形方法，设
，将其转化为代数方程，则
是
，可以利用韦达定理求根之和或
积，可以思考运用对称性分析，若 f(x) 是二次函数，其对称轴为
，则
必然成立．
对函数
求导，可得
．
已知函数
在
和
的切线互相平行，所以
．
令
则
和
为二次方程
的两根，
，解得
，
切点为
和
，切线方程为
和
，
由两线距离公式得
，最大值
在
时取得．
构造方程，借助韦达定理求根之和或积，极大优化了化简处理过
程．
【方法三】对称法
若函数图象关于点
对称，则对称中心两侧的任意一对对称点
和
具有切线斜率对称性：
1．导数关系：点P 和Q 处的切线斜率相等；
2．几何意义：两切线关于对称中心
呈中心对称．若点P 处切线方程为
，则点Q 处切线方程为
，且两条切线关于点
对称．
【解析】
【详解】
是中心对称图形且关于
，
函数
在
和
的切线互相平行，
故
，
关于
对称，所以
，
，
，所以在x=0 处的切线方程为y=ax，即
两平行线之间距离等于中心到一切线距离的2 倍，
． 因为
，所以
当a=0 时， d 取得最大值
．
若函数图象上某两点的切线斜率相等且满足坐标对称关系，可推断图象关于某点对称．已
知对称性时，可利用对称点性质减少题目运算量．
三次函数的对称性为解决极值点、切线、零点等问题提供了结构化思路，通过对称中心坐
标、极值点对称分布、切线斜率关系等性质，可大幅减少计算量．
当对称中心为原点(0，0)(0，0)时，函数为奇函数f(−x)=−f(x)）：对称点对为
和
．
导数满足
，即切线斜率相同，但切线方程分别为
和
，两者关于原点对称．关注训练题1 的处理方法．
【类题，题目命制关键
是奇函数，得到两条切线关于原点对称，故两条平行线距离为
原点O 到点A 处切线的距离的2 倍】
1．若函数
在不同两点
，
处的切线互相平行，则
这两条平行线间距离的最大值为 .
【答案】
【分析】先对函数
求导，得导函数是偶函数，由
在A，B 两点处切线互相平行，
可得
，计算原点O 到点A 处切线的距离的最大值后可得两条平行线距离最大值.
【详解】由题意有
，设
，
所以函数
在点A 处的切线方程为
，
所以原点O 到点A 处切线的距离为
，
因为
，
所以
当且仅当
时等号成立，
因为
是偶函数，且
在A，B 两点处切线互相平行，
所以
，即
在A，B 两点处切线关于原点对称，
所以这两条平行线间的距离的最大值为
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用
是偶函数，得到两条切线关于原点
对称，故两条平行线距离最大值即为原点O 到点A 处切线的距离最大值的2 倍.
【强化两平行线之间的距离】
2．若直线
和
互相平行，则两平行线之间的距离为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据两直线平行求得
再其中一条直线上取一点，利用点线距公式求解即可.
【详解】因为直线
和
互相平行，所以
在直线
上取点
则点
到直线
的距离为
.
故选：D．
【平行线问题距离最值问题】
3．两平行线，
分别过点
与
．设与
之间距离是
，求
的取值范围为
．
【答案】
【分析】由过定点的两条平行直线可得，极限思想可得出其最小要大于重合时的距离，最
大时为与直线
垂直时.
【详解】由极限思想可得，两直线的距离
，
而当平行线，
与直线
垂直时，两平行线的距离最大，即
，
所以，
．
故答案为：
【三次函数对称性与平行线问题拓展】
4．设函数
．
（1）当
时，
的最小值为5，求
的值：
（2）当
时，设
是函数
图象上的两个动点，且在A，B
处的两切线
互相平行，求证：直线AB 必过定点，并求出此定点的坐标．
【答案】（1）2；（2）证明见解析，
.
【分析】（1）求函数
的导数，利用最值和单调性之间的关系，讨论
，利用
的
最小值为5，建立方程关系，求解即可得到结果.（2）当
时，化简方程，利用导数的
几何意义，建立斜率的等式关系，可知
，代入求解过A、B 两点的直线斜率，点斜
式求直线AB 的方程，可求出定点.
【详解】（1）解：
，
①当
时，
在区间
上是单调增函数，最小值为
，由于
，即
，解得
（舍去）；
②当
时，
在区间
上是减函数，区间
上是增函数，故
为最小值，
，即
，即
，
∴
（舍去）或
；
③当
时，
在区间
上是减函数，最小值为
，由
得
，解得
（舍去）．
综上所述，
．
（2）证明：当
时，
，
，则，
的斜率
，
．
∵
，∴
，即
，又∵
，∴
．
∴
，
∴
的方程为
，即
．
由题意
是任意的，
∴直线
过定点
．
【三次函数切线平行拓展到两函数切线平行】
5．设函数
,
,其中
,且
．
(1)若直线
（为自然对数的底数）与曲线
和
分别交于
、
两点,且
曲线
在点
处的切线与曲线
在点
处的切线互相平行,求
的值；求
的值；
(2)设
（
,且
）有两个极值点
,
,且
,证明：
．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由
可得
.
（2）由
，
.可得
有两个极值点
，
，则
，
是方程
的两个实数根，
而
，所以
.结合
，
可得
，进而构造函数求导利用单调性即可证明.
【详解】（1）因为
，
，
所以
，
.
由
，得
.
（2）
，
.
因为
有两个极值点
，
，所以
，
是方程
的两个实数根，
而
，所以
.
因为
，所以
.
令
，
.
则
，
所以
在
内是增函数.
于是
， 即
.
