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新公式为导向的压轴题
1.我们知道，通过牛顿－莱布尼茨公式可以求曲线梯形(如图1 所示的阴影部分)
的面积A＝其中f(x)dx＝F(b)－F(a)，F′(x)＝f(x).如果平面图形由两条曲线围成(如
图2 所示的阴影部分)，曲线C1 可以表示为y＝f1(x)，曲线C2 可以表示为y＝
f2(x)，那么阴影区域的面积A＝(f2(x)－f1(x))dx，其中
(f2(x)－f1(x))dx＝f2(x)dx－f1(x)dx.
(1)如图3，连续函数y＝f(x)在区间[－3，－2]与[2，3]的图形分别为直径为1 的
上、下半圆，在区间[－2，0]与[0，2]的图形分别为直径为2 的下、上半圆，设
F(x)＝f(t)dt，求F(2)－F(3)的值；
图3
(2)在曲线f(x)＝x2(x≥0)上某一个点处作切线，使之与曲线和x 轴所围成的面积为，
求切线方程；
(3)正项数列{bn}是公差为d(d 为常数，d>0)的等差数列，b1＝1，两条抛物线y＝
bnx2＋，y＝bn＋1x2＋(n∈N*)，记它们交点的横坐标的绝对值为an，两条抛物线围
成的封闭图形的面积为Sn，求证：＋＋…＋<.
(1)解 由题意可知F(2)＝f(t)dt＝×π×12＝，F(3)＝f(t)dt＝f(t)dt＋f(t)dt＝－＝π，
所以F(2)－F(3)＝×－π＝.
(2)解 如图1，设切点为A(x0，x)，
图1
则切线的斜率为y′＝2x0，
则切线方程为y－x＝2x0(x－x0)，
所以切线与x 轴的交点为B，
过点A 作x 轴的垂线，垂足为C，则C(x0，0)，
所以由题意可知围成的面积S＝x2dx－S△ABC＝x－×x0·x＝，得x0＝1，
所以切点坐标为(1，1)，切线方程为y＝2x－1.
(3)证明 两条抛物线的大致图象及位置如图2.
图2
联立
得an＝，
由对称性可知，两条抛物线围成的封闭图形的面积为
Sn＝2dx
＝2dx，
令f(x)＝－dx2＋，F′(x)＝f(x)⇒F(x)＝－x3＋＋C(C 为常数)，
所以f(x)dx＝F(an)－F(0)＝－a＋＝，
所以Sn＝，
所以＝·＝，
则＋＋…＋＝
＝<.
2.(2024·菏泽模拟)帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特
定函数的方法.给定两个正整数m，n，函数f(x)在x＝0 处的[m，n]阶帕德近似定
义为：R(x)＝，且满足：f(0)＝R(0)，f′(0)＝R′(0)，f″(0)＝R″(0)，…，fm＋n(0)＝Rm＋
n(0).(注f″(x)＝[f′(x)]′，f(x)＝[f″(x)]′，f(4)(x)＝[f(x)]′，f(5)(x)＝[f(4)(x)]′，…；f(n)x 为
fn－1(x)的导数).已知f(x)＝ln(x＋1)在x＝0 处的[1，1]阶帕德近似为R(x)＝.
(1)求实数a，b 的值；
(2)比较f(x)与R(x)的大小；
(3)若h(x)＝－f(x)在(0，＋∞)上存在极值，求m 的取值范围.
解 (1)由f(x)＝ln(x＋1)，R(x)＝，
有f(0)＝R(0)，
可知f′(x)＝，f″(x)＝－，
R′(x)＝，R″(x)＝，
由题意，f′(0)＝R′(0)，f″(0)＝R″(0)，
所以所以a＝1，b＝.
(2)由(1)知，R(x)＝，
令φ(x)＝f(x)－R(x)＝ln(x＋1)－(x>－1)，
则φ′(x)＝－＝>0，
所以φ(x)在其定义域(－1，＋∞)内为增函数，
又φ(0)＝f(0)－R(0)＝0，
∴x≥0 时，φ(x)＝f(x)－R(x)≥φ(0)＝0；
－1<x<0 时，φ(x)＝f(x)－R(x)<φ(0)＝0；
所以，x≥0 时，f(x)≥R(x)；
－1<x<0 时，f(x)<R(x).
(3)由h(x)＝－f(x)＝ln(x＋1)，
∴h′(x)＝－ln(x＋1)＋＝.
由h(x)＝－f(x)在(0，＋∞)上存在极值，所以h′(x)在(0，＋∞)上存在变号零点.
令g(x)＝mx2＋x－(x＋1)ln(x＋1)，
则g′(x)＝2mx＋1－[ln(x＋1)＋1]＝2mx－ln(x＋1)，
g″(x)＝2m－.
①m≤0 时，g″(x)<0，g′(x)单调递减，g′(x)<g′(0)＝0，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
g(x)<g(0)＝0，无零点，不满足条件.
②当2m≥1，即m≥时，g″(x)>0，g′(x)单调递增，g′(x)>g′(0)＝0，g(x)在(0，＋
∞)上单调递增，g(x)>g(0)＝0，无零点，不满足条件.
③当0<2m<1，即0<m<时，
令g″(x)＝0，即2m＝，
∴x＝－1.
当0<x<－1 时，g″(x)<0，g′(x)单调递减；
x>－1 时，g″(x)>0，g′(x)单调递增，
∴g′(x)min＝g′＝2m－ln
＝1－2m＋ln 2m；
令H(x)＝1－x＋ln x，0<x<1，H′(x)＝－1＋，H′(x)＝－1＋>0 在0<x<1 时恒成立，
H(x)在(0，1)上单调递增，H(x)<H(1)＝0，
∴g′＝(1－2m)＋ln 2m<0 恒成立；
∵x>0，0<m<1，∴x(m－1)<0，则mx2－1>mx2－1＋mx－x＝(x＋1)(mx－1)，
∴>mx－1，
∴1＋－ln(x＋1)>mx－ln(x＋1)；
∵g(x)＝(x＋1)，
令l(x)＝－ln(x＋1)＝1＋－ln(x＋1)>mx－ln(x＋1)
＝m(x＋1)－ln(x＋1)－m，
令F(x)＝ln(x＋1)－2(x>0)，
F′(x)＝－＝<0，
则F(x)在(0，＋∞)是单调递减，F(x)<F(0)＝－2，所以ln(x＋1)<2，
∴l(x)>m(x＋1)－2－m＝(x＋1)－m＋，
令x＝－1，则x＋1＝，
∴(x＋1)－2≥0，(x＋1)－m＝－m>0.
∴l(x)>0，即l>0.
由零点存在定理可知，l(x)在上存在唯一零点x0，且x0∈，
又由③知，当0<x<－1 时，g″(x)<0，g′(x)单调递减，g′(0)＝0，
∴此时，g′(x)<0，在内无零点，
∴g(x)在(0，＋∞)上存在变号零点，
综上所述，实数m 的取值范围为.
