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圆锥曲线的切线与光学性质 【知识拓展】 1.抛物线的光学性质 (1)如图1 所示，从抛物线的焦点F 发出的光线，被抛物线反射后，得到的是一 系列的与抛物线对称轴平行(或重合)的光线；反之，平行于抛物线对称轴的一系 列光线照射到抛物线上，经反射后都通过焦点.抛物线这种聚焦特性成为聚能装 置或定向发射装置的最佳选择.例如探照灯、卫星通讯像碗一样接收或发射天线， 太阳能热水器. (2)如图2 所示，设抛物线在P 处的切线l 交对称轴于点Q，PM⊥切线l 交对称轴 于点M，则焦点F 是QM 的中点. 2.椭圆的光学性质 (1)如图3 所示，从椭圆的一个焦点发出的光线，被椭圆反射后，必定经过另一 个焦点；椭圆的这种光学特性常被用来设计一些照明设备或聚热装置.例如电影 放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门在另一个焦点 上. (2)如图4 所示，椭圆在点P 处的切线为l，直线PQ⊥l 交直线F1F2 于点Q，则 PQ 平分∠F1PF2，由角平分线性质定理，＝. 3.双曲线的光学性质 (1)如图5 所示，从双曲线一个焦点发出的光线，被双曲线反射后，反射光线的 反向延长线通过另一个焦点；双曲线这种反向虚聚焦性质在天文望远镜设计等方 面有实际应用. (2)如图6 所示，双曲线在点P 处的切线l 与直线F1F2 相交于点Q，则PQ 平分 ∠F1PF2，由角平分线性质定理，＝. 【类型突破】 类型一 解决反射与入射问题 例1 (2024·杭州调研)设抛物线C：y2＝x，一光线从点A(5，2)射出，平行C 的对 称轴，射在C 上的P 点，经过反射后，又射到C 上的Q 点，则P 点的坐标为 ________，Q 点的坐标为________. 答案 (4，2) 解析 如图，直线AP 平行于对称轴且A(5，2)， 则P 点的坐标为(4，2)， 因此反射线PQ 过点F， 设Q(t2，t)，则＝＝， 解得t＝－，∴Q. 规律方法 1.解决反射与入射问题都要抓住光线过焦点这个性质. 2.涉及线段长度问题要注意利用圆锥曲线的定义. 训练1 (2024·南京调研)已知椭圆方程为＋＝1，若有光束自焦点A(3，0)射出， 经两次反射回到A 点，设两次反射点分别为B，C，如图所示，则△ABC 的周长 为________. 答案 20 解析 在椭圆方程为＋＝1 中，c2＝25－16＝9， 因为A(3，0)为该椭圆的一个焦点， 所以自A(3，0)射出的光线AB 反射后， 反射光线BC 定过另一个焦点A′(－3，0)， 故△ABC 的周长为|AB|＋|BA′|＋|A′C|＋|CA|＝4a＝4×5＝20. 类型二 解决距离之和的最值或范围 例2 (2024·武汉质检改编)已知椭圆C：＋＝1，F1，F2为分别是其左、右焦点， 点Q(2，1)，P 是C 上的动点，求|PF1|＋|PQ|的取值范围. 解 法一 |PF1|＋|PQ|＝2a－|PF2|＋|PQ|＝10＋(|PQ|－|PF2|)， 即问题转化为求|PQ|－|PF2|的最大值与最小值， 因为两边之差小于第三边，因此当P，Q，F 三点一线时，取得|PQ|－|PF2|的最大 值与最小值，即在P1处取得最小值，P2处取得最大值， 所以最小值为2a－|F2Q|＝10－，最大值为2a＋|F2Q|＝10＋， 所以|PF1|＋|PQ|的取值范围为[10－，10＋]. 法二 根据光线的“最近传播法则”，结合椭圆的光学性质，可得：从F1射出 被椭圆反射后经过点Q 的光线所经过的路程往往是最短的.这种情况又分为两类， 一是被上半椭圆反射(如图，光线从F1→P1→Q)，二是被下半椭圆反射(如图，光 线从F1→P2→F2→Q) 综上所述，只需求出|F2Q|＝， 可得最小值为2a－|F2Q|＝10－，最大值为2a＋|F2Q|＝10＋. 即|PF1|＋|PQ|∈[10－，10＋]. 易错提醒 1.注意利用圆锥曲线的定义解题； 2.要考虑全面，不要漏掉其中一种情况(如例2 中光的两种反射路线). 训练2 已知双曲线C：x2－＝1，F1，F2分别是其左、右焦点，点Q，M 是C 上 的动点，求|MF2|＋|MQ|的取值范围. 解 根据双曲线的光学性质，如图，连接F1Q，交双曲线的右支于点P，则|MF2| ＋|MQ|≥|PQ|＋|PF2|＝|F1Q|－(|F1P|－|PF2|)＝|F1Q|－2＝－2＝， 故|MF2|＋|MQ|的取值范围为. 类型三 解决与切线相关的问题 例3 (2024·保定二模)甲、乙两名探险家在桂林山中探险，他们来到一个山洞， 洞内是一个椭球形，截面是一个椭圆，甲、乙两人分别站在洞内如图所示的A， B 两点处，甲站在A 处唱歌时离A 处有一定距离的乙在B 处听得很清晰，原因在 于甲、乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质， 即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点.现已知椭圆C：＋＝1 上一点 M，过点M 作切线l，A，B 两点为左、右焦点，cos∠AMB＝－，由光的反射性 质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心O 到切线l 的距离为________. 答案 解析 如图，过M 作M 处切线的垂线交AB 于N，过A，O，B 分别作切线的垂 线交切线于点A1，O1，B1，由光学性质可知MN 平分∠AMB，∠B1MB＝∠A1MA， 则∠A1AM＝∠AMN＝∠BMN＝∠B1BM， 因为cos∠AMB＝－， 故cos(π－∠AMB)＝cos 2∠AMA1＝1－2sin2∠AMA1＝， 所以sin∠AMA1＝，|OO1|＝(|AA1|＋|BB1|)＝(|AM|sin∠AMA1＋|BM|sin∠BMB1)＝ ·20·sin∠AMA1＝. 规律方法 解答本题的关键是根据光学性质和几何位置关系得到∠A1AM＝ ∠AMN＝∠BMN＝∠B1BM，从而得到sin∠AMA1＝，再利用梯形的中位线的性 质求解. 训练3 (2024·济南调研)费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以 推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点P 为双曲线(F1，F2为焦点)上一点，点 P 处的切线平分∠F1PF2.已知双曲线C：－＝1，O 为坐标原点，l 是点P 处的切 线，过左焦点F1作l 的垂线，垂足为M，则|OM|＝________. 答案 2 解析 如图，延长PF2交F1M 延长线于点N， 由题意可得△PF1M≌△PNM， 所以|PN|＝|PF1|，且M 为F1N 的中点， 又点O 为F1F2的中点， 且|PF1|－|PF2|＝2a＝4， 所以|OM|＝|F2N|＝(|PN|－|PF2|)＝(|PN|－|PF1|＋4)＝2. 【精准强化练】 一、单选题 1.如图所示，椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆 反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知曲线C：x2＋4y2＝4 的左、右焦点 分别为F1，F2，直线l 与椭圆C 相切于点P，且|PF1|＝1，过点P 且与直线l 垂直 的直线l′与椭圆的长轴交于点M，则|F1M|∶|F2M|＝( ) A.∶ B.1∶ C.1∶3 D.1∶ 答案 C 解析 曲线C 的方程为x2＋4y2＝4， 即为＋y2＝1，则有a＝2， 故有|PF1|＋|PF2|＝4， 又|PF1|＝1， 所以|PF2|＝3， 根据椭圆的光学性质，PM 是∠F1PF2的平分线， 所以＝＝. 2.(2024·泉州调研)智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学 性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反 射出平行光线.如图，从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散 光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知双曲线的离心率为，则当入 射光线F2P 和反射光线PE 互相垂直时(其中P 为入射点)，∠F1F2P 的大小为( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 因为e＝，所以c＝a，a＝b， 不妨设双曲线的标准方程为x2－y2＝1， 设|PF2|＝m，则|PF1|＝2＋m(m>0). 所以m2＋(m＋2)2＝(2)2， 解得m＝－1(m＝－－1 已舍去). 所以cos∠F1F2P＝＝， 所以∠F1F2P＝75°＝.故选D. 3.(2024·西安质检)用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平 行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面(抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面 叫抛物面)的反射集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截 得的抛物线放在直角坐标系中，对称轴与x 轴重合，顶点与原点重合，如图，若 抛物线过点A，平行于对称轴的光线经过点A 反射后，反射光线交抛物线于点 B，则线段AB 的中点到准线的距离为( ) A.2 B. C. D. 答案 C 解析 设抛物线方程为y2＝2px， 将点A 代入可得1＝2p×，解得p＝2， 所以抛物线方程为y2＝4x，焦点为F(1，0)，准线为x＝－1， 由题意可得，直线AB 的方程为 y－0＝(x－1)， 即y＝－(x－1)， 由 可得y2＋3y－4＝0， 解得或 所以A，B(4，－4)， 可得AB 的中点为， 所以线段AB 的中点到准线的距离为＋＝＋1＝，故选C. 4.(2024·成都诊断)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射 后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线 经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y2＝4x 的焦点为F，O 为坐标原 点，一束平行于x 轴的光线l1 从点P(m，n)(n2<4m)射入，经过抛物线上的点 A(x1，y1)反射后，再经抛物线上另一点B(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，则直线 l1与l2间的距离最小值为( ) A.2 B.4 C.8 D.16 答案 B 解析 由抛物线的光学性质可知，直线AB 过抛物线的焦点F(1，0)， 设直线AB 的方程为x＝ty＋1， 将直线AB 的方程代入y2＝4x 中， 得y2－4ty－4＝0， 所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4， 直线l1与l2间的距离d＝|y1－y2|＝＝≥4， 当t＝0 时，d 取最小值4，故选B. 5.(2024·郑州质检)古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光 学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的 另一焦点，设椭圆方程＋＝1(a>b>0)，F1，F2为其左、右焦点，若从右焦点F2发 出的光线经椭圆上的点A 和点B 反射后，满足AB⊥AD，cos∠ABC＝，则该椭圆 的离心率为( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 由题意，连接AF1，BF1， 由题意可知A，D，F1三点共线，B，C，F1三点共线， 在△ABF1中，因为AB⊥AD，且cos∠ABF1＝＝， sin∠ABF1＝＝＝， 即|AB|∶|AF1|∶|BF1|＝4∶3∶5， 可设|AB|＝4k，|AF1|＝3k，|BF1|＝5k， 由|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋|BF2|＋|AF1|＋|BF1|＝4a， 则4k＋3k＋5k＝4a， 即3k＝a，|AF2|＝2a－|AF1|＝3k， 在Rt△AF1F2中， |F1F2|＝＝3k＝2c，则e＝＝＝. 6.椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光 线过椭圆的另一个焦点(如图).已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过F2的直线与椭圆E 交于点A，B，过点A 作椭圆的切线l，点B 关于l 的对称点为M，若|AB|＝，＝，则＝( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 如图，由椭圆的光学性质可得M，A，F1三点共线. 设|BF2|＝x，则|BF1|＝2a－x， |MF1|＝|AF1|＋|MA|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋x. 故＝＝，解得x＝. 又|AB|＝，所以|AF2|＝，|AF1|＝. 所以＝＝＝＝. 7.圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反 射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的 切线，平分该点与两焦点连接的夹角.请解决下面问题：已知F1，F2分别是双曲 线C：x2－＝1 的左、右焦点，点P 为C 在第一象限上的点，点M 在F1P 延长线 上，点Q 的坐标为，且PQ 为∠F1PF2的平分线，则下列正确的是( ) A.＝3 B.|PF1＋PF2|＝2 C.点P 到x 轴的距离为 D.∠F2PM 的角平分线所在直线的倾斜角为150° 答案 D 解析 由已知可得PQ 是双曲线的一条切线， 设点P(x0，y0)， 则切线PQ 为x0x－＝1， 将点Q 代入切线方程，可得x0＝， 所以P(，2)，即点P 到x 轴的距离为2，所以C 错误； 由双曲线的方程可得F2(，0)， 由角平分线定理可知＝＝2，故A 错误； 因为|PF1＋PF2|＝2|OP|＝2，故B 错误； 又因为直线PQ 的斜率为， 所以∠F2PM 的角平分线所在直线的斜率为－，即倾斜角为150°，故D 正确. 二、多选题 8.(2024·广州调研)双曲线具有如下光学性质：如图F1，F2是双曲线的左、右焦点， 从右焦点F2发出的光线m 交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n 的反向延长线过左焦点F1.若双曲线C 的方程为－＝1，则( ) A.双曲线的焦点F2到渐近线的距离为 B.若m⊥n，则|PF1||PF2|＝42 C.若n 过点Q(3，6)时，光线由F2→P→Q 所经过的路程为8 D.反射光线n 所在直线的斜率为k，则|k|∈ 答案 ABD 解析 对于A，由双曲线C 的方程为－＝1 知双曲线的渐近线方程为x±2y＝0， 焦点F2(5，0)到直线x±2y＝0 的距离为＝，故A 正确； 对于B，若m⊥n，则∠F1PF2＝90°. 因为P 在双曲线右支上，所以|F1P|－|F2P|＝4. 由勾股定理得|F1P|2＋|F2P|2＝|F1F2|2. 二者联立解得|PF1|·|PF2|＝＝＝42，故B 正确； 对于C，光由F2→P→Q 所经过的路程为|F2P|＋|PQ|＝|F1P|－2a＋|PQ|＝|F1P|＋| PQ|－2a＝|F1Q|－2a＝－4＝6，故C 不正确. 对于D，双曲线－＝1 的渐近线方程为y＝±x， 设左、右顶点分别为A，B. 如图所示，当m 与F2B同向共线时，n 的方向为BF2，此时k＝0，最小. 因为P 在双曲线右支上，所以n 所在直线的斜率为|k|<. 即|k|∈，故D 正确. 9.(2024·青岛模拟)抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后， 沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛 物线反射后，必过抛物线的焦点.已知平行于x 轴的光线l1从点M 射入，经过抛 物线C：y2＝8x 上的点P 反射，再经过C 上另一点Q 反射后，沿直线l2射出，经 过点N，则( ) A.若l1的方程为y＝2，则|PQ|＝8 B.若l1的方程为y＝2，∠PQM＝∠MQN，则M(13，2) C.延长PO，与NQ 交于点D，则点D 在C 的准线上 D.抛物线C 在点P 处的切线分别与直线FP，l1所成角相等 答案 BCD 解析 对于A，B，若l1的方程为y＝2， 则P，又F(2，0)， ∴直线PF 的斜率k＝＝－， ∴直线PF 的方程为y＝－(x－2)， 联立得2x2－17x＋8＝0， ∴x1＝，x2＝8，∴Q(8，－8)， ∴|PQ|＝x1＋x2＋4＝，A 错误； 由P，Q(8，－8)，得直线PQ 的方程为 4x＋3y－8＝0，直线l2的方程为y＝－8， 若∠PQM＝∠MQN，则点M 在∠PQN 的平分线上，点M 到直线PQ 和到直线l2的 距离相等， 设M(a，2)，则有＝2－(－8)， 由a>0，解得a＝13，所以M(13，2)，B 正确； 对于C，抛物线C：y2＝8x，焦点坐标F(2，0)，准线方程x＝－2， 设P，Q， 由PF∥QF，得y2＝y1， 即y1y2(y2－y1)＝16(y1－y2)， 由y1≠y2，得y1y2＝－16， 又直线PO 的斜率kPO＝， ∴直线PO 的方程为y＝x，直线NQ 的方程为y＝y2， 延长PO，与NQ 交于点D，由y2＝x 得x＝＝＝－2，即点D 横坐标为－2，所以 点D 在C 的准线上，C 正确； 对于D，设抛物线C 在点P 处的切线为l， 且l 与x 轴交于点T，在l 上的P 点右侧取一点S(如图)， 由抛物线的光学性质可得∠SPM＝∠TPF， 即抛物线C 在P 处的切线分别与PF，l1所成角相等，D 正确. 三、填空题 10.(2024·石家庄调研)根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛 物线反射后光线都平行于抛物线的对称轴，已知抛物线y2＝2x，若从点Q(3，2) 发射平行于x 轴的光射向抛物线的A 点，经A 点反射后交抛物线于B 点，则|AB| ＝________. 答案 解析 由条件可知AQ 与x 轴平行，令yA＝2，可得xA＝2，故A 点坐标为(2， 2)， 因为lAB经过抛物线焦点F， 所以lAB方程为y－0＝， 整理得4x－3y－2＝0，联立 得8x2－17x＋2＝0， 所以xA＋xB＝， 所以|AB|＝xA＋xB＋p＝. 11.(2024·汉中二模)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经 椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题： 现有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程＋＝1，点A，B 是它的两个焦点. 当静止的小球从点A 开始出发，沿60°角方向作直线运动，经椭圆内壁反射后再 回到点A 时，小球经过的路程为________. 答案 8 解析 如图，根据题意，小球从点A 出发，经椭圆反射经过点B 继续前行，碰 到点Q 后回到点A，根据椭圆的定义，小球所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到 两焦点距离之和，因为a2＝4⇒a＝2，所以小球经过的路程为4×2＝8. 12.(2024·长沙二模)椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射 后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆C：＋＝1(0<b<2)，F1，F2 为其左、右焦点.M 是C 上的动点，点N(0，)，若|MN|＋|MF1|的最大值为6.动直 线l 为此椭圆C 的切线，右焦点F2关于直线l 的对称点P(x1，y1)，S＝|3x1＋4y1－ 24|，则椭圆C 的离心率为________，S 的取值范围为________. 答案 [7，47] 解析 根据椭圆定义得|MF1|＋|MF2|＝2a， 所以|MN|＋|MF1|＝|MN|－|MF2|＋2a≤|NF2|＋2a， 因为|MN|＋|MF1|的最大值为6， 因为a＝2，所以|NF2|＝2，即＝2， 解得c＝1，所以离心率为＝. 右焦点F2(1，0)关于直线的对称点P(x1，y1)， 设切点为A，由椭圆的光学性质可得P，A，F1三点共线，所以|F1P|＝|F1A|＋|AP| ＝|F1A|＋|AF2|＝2a＝4， 即点P(x1，y1)的轨迹是以(－1，0)为圆心，半径为4 的圆， 圆心(－1，0)到直线3x＋4y－24＝0 的距离为＝， 则圆上的点到直线3x＋4y－24＝0 的距离最小值－4＝，最大值＋4＝， 所以点P(x1，y1)到直线3x＋4y－24＝0 的距离为， 所以S＝|3x1＋4y1－24|表示点P(x1，y1)到直线3x＋4y－24＝0 的距离的5 倍， 则S＝|3x1＋4y1－24|∈， 即S∈[7，47].
