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圆锥曲线的三大定义 【知识拓展】 1.圆锥曲线的第二定义 平面内任意一点P(x，y)到点F(c，0)(圆锥曲线的焦点)的距离与到直线x＝(圆锥 曲线的准线)的距离之比为e＝(圆锥曲线的离心率)，那么 (1)当0<e<1 时，点P(x，y)的轨迹为椭圆； (2)当e>1 时，点P(x，y)的轨迹为双曲线； (3)当e＝1 时，点P(x，y)的轨迹为抛物线. 2.椭圆与双曲线的第三定义 平面内的动点到定点A(－a，0)，B(a，0)的斜率乘积等于常数λ(λ≠0，λ≠－1)的 点的轨迹是椭圆或双曲线. 当常数λ<0 且λ≠－1 时，轨迹是除去两个定点A，B 的椭圆； 当常数λ>0 时，轨迹是除去两个定点A，B 的双曲线.其中两个定点分别是椭圆或 双曲线的顶点. 【类型突破】 类型一 圆锥曲线第一定义的应用 例1 (1)(2024·郑州质检)已知动圆E 与圆A：(x＋4)2＋y2＝2 外切，与圆B：(x－ 4)2＋y2＝2 内切，则动圆圆心E 的轨迹方程为________. (2)(2024·邢台调研)设F1，F2分别是椭圆C 的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆 C 于M，N 两点，若MF1＝3F1N，且cos∠MNF2＝，则cos∠MF2N＝________. 答案 (1)－＝1(x≥) (2) 解析 (1)由题意得圆A 的圆心为A(－4，0)，半径为，圆B 的圆心为B(4，0)， 半径为. 设动圆E 的半径为R， 由题意得|EA|＝R＋，|EB|＝R－. ∴|EA|－|EB|＝2<4－(－4)＝8， 则动圆圆心E 在以点A(－4，0)，B(4，0)为焦点的双曲线的右支上. 又∵a＝，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14. ∴动圆圆心E 的轨迹方程为－＝1(x≥). (2)如图，设|F1N|＝k(k>0)，因为MF1＝3F1N，所以|MF1|＝3k，|MN|＝4k，由椭圆 的定义知|NF2|＝2a－k，|MF2|＝2a－3k， 在△MNF2中，由余弦定理得|MF2|2＝|MN|2＋|NF2|2－2|MN||NF2|cos∠MNF2， 即(2a－3k)2＝(4k)2＋(2a－k)2－2·4k·(2a－k)·，整理得k＝， 在△MNF2中，|MN|＝，|NF2|＝， |MF2|＝a， 由余弦定理的推论得cos∠MF2N＝＝. 规律方法 解决椭圆、双曲线的焦点三角形问题 注意应用：(1)定义；(2)正弦、余弦定理；(3)三角形面积公式. 训练1 (1)设点P 为椭圆C：＋＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C 的左、右焦点， 且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________. (2)(2024·青岛调研)已知双曲线－＝1 的左、右焦点分别为F1，F2，点P 是双曲线 左支上一点，且|PF1|＋|PF2|＝8，则＝________. 答案 (1) (2)3 解析 (1)由题意知c＝. 又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2， ∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P||PF2|－2|F1P|·|PF2|cos 60°＝4a2－3|F1P|·|PF2|＝4a2 －16， ∴|F1P|·|PF2|＝， ∴S△PF1F2＝|F1P|·|PF2|sin 60°＝××＝. (2)因为双曲线为－＝1，所以a＝2，c＝3，因为点P 是双曲线左支上一点，所 以|PF2|－|PF1|＝4， 又|PF1|＋|PF2|＝8，所以|PF1|＝2，|PF2|＝6， 在△PF1F2中，由正弦定理可得＝， 所以＝＝3. 类型二 圆锥曲线第二定义的应用 例2 (1)(2024·金华段测)双曲线x2－＝1 的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上 的一点P 满足|PF1|＝5，则△PF1F2的面积为________. (2)(2022·新高考Ⅰ卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，C 的上顶点为A，两个焦点为 F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C 交于D，E 两点，|DE|＝6，则 △ADE 的周长是________. 答案 (1)6 或4 (2)13 解析 (1)由题意，a＝1，b＝，c＝2，e＝2，设P(x0，y0)，则|PF1|＝|2x0＋1|＝ 5，解得x0＝2 或－3， 当x0＝2 时，代入双曲线方程可求得y0＝±3，所以S△PF1F2＝·|F1F2|·|y0|＝6； 当x0＝－3 时，代入双曲线方程可求得y0＝±2，所以S△PF1F2＝·|F1F2|·|y0|＝4. (2)因为椭圆的离心率为e＝＝， 所以a＝2c， 所以b2＝a2－c2＝3c2， 则椭圆的方程为＋＝1， 在Rt△AOF2中，AF2＝a，|OF2|＝c，a＝2c， 所以∠AF2O＝，所以△AF1F2为正三角形， 过F1且垂直于AF2的直线与C 交于D，E 两点，DE 为线段AF2的垂直平分线， 所以直线DE 的斜率为. 设直线DE 的方程为y＝(x＋c)，D(x1，y1)，E(x2，y2)，直线DE 的方程与椭圆C 的方程联立得13x2＋8cx－32c2＝0， 则x1＋x2＝－， 所以|DE|＝|DF1|＋|EF1|＝2a＋e(x1＋x2)＝4c＋×＝6，所以c＝，周长为4a＝8c＝ 13. 规律方法 1.椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(x0，y0)为椭圆 上任意点，则椭圆的焦半径|PF1|和|PF2|可按下面的公式计算： (1)|PF1|＝a＋ex0；(2)|PF2|＝a－ex0(记忆：左加右减). 2.椭圆＋＝1(a>b>0)的下、上焦点分别为F1、F2，点P(x0，y0)为椭圆上任意点， 则椭圆的焦半径|PF1|和|PF2|可按下面的公式计算： (1)|PF1|＝a＋ey0；(2)|PF2|＝a－ey0(记忆：下加上减). 3.双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(x0，y0)为双曲线任意 一点，则双曲线的焦半径|PF1|和|PF2|可按下面的公式计算： (1)|PF1|＝|ex0＋a|；(2)|PF2|＝|ex0－a|(记忆：左加右减). 4.双曲线－＝1(a>0，b>0)的下、上焦点分别为F1，F2，点P(x0，y0)为双曲线任意 一点，则双曲线的焦半径|PF1|和|PF2|可按下面的公式计算： (1)|PF1|＝|ey0＋a|；(2)|PF2|＝|ey0－a|(记忆：下加上减). 训练2 (1)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点为F1，F2，若点P 在椭圆上，且满 足|PO|2＝|PF1|·|PF2|(其中O 为坐标原点)的P 的个数( ) A.0 B.2 C.4 D.8 (2)双曲线x2－＝1 的右支上一点P，到左焦点F1 与到右焦点F2 的距离之比为 2∶1，求点P 的坐标________. 答案 (1)C (2) 解析 (1)设P(x0，y0)，则＋＝1， 由椭圆的第二定义可知|PF1|＝a＋ex0， |PF2|＝a－ex0， 所以|PF1|·|PF2|＝a2－e2x， 而|PO|2＝|PF1|·|PF2|，所以x＋y＝a2－e2x， 即x＋b2＝a2－e2x，而e2＝1－， 解得x0＝±，所以满足条件的P 点有4 个，故选C. (2)设点P(x0，y0)(x0>0)，双曲线的左准线为l1：x＝－，右准线为l2：x＝，则点P 到l1，l2的距离分别为d1＝x0＋，d2＝x0－， ∴＝＝＝， 解得x0＝， 将其代入原方程，得y0＝±. 因此，点P 的坐标为. 类型三 椭圆、双曲线第三定义的应用 例3 (2024·许昌质检)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为M， N，P 为C 上异于M，N 的一点，若直线PM，PN 的斜率之积为，且C 的焦距为 4，则双曲线C 的实轴长为( ) A.6 B.4 C.2 D.3 答案 A 解析 由第三定义可知kPM·kPN＝＝，即a2＝3b2， 又双曲线C 的焦距为4，即c＝2， 由得 故双曲线的实轴长为2a＝6. 规律方法 椭圆、双曲线第三定义的推广：A，B 两点为椭圆(或双曲线)上关于 原点对称的两点，P 为椭圆(双曲线)上异于A，B 的任一点，则椭圆中kPA·kPB＝－ ＝e2－1，双曲线中kPA·kPB＝＝e2－1. 训练3 (2024·武汉调研)椭圆C：＋＝1 的左、右顶点分别为A1，A2，点P 在C 上 且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 设点P(x，y)， 则直线PA1的斜率为k1＝＝， 直线PA2的斜率为k2＝＝， k1·k2＝·＝. ∵点P(x，y)满足＋＝1， ∴x2＋＝4，即x2－4＝－， 故k1·k2＝＝－，k1＝－·， ∵k2∈[－2，－1]，k1＝－·是增函数， ∴k1∈，故选B. 【精准强化练】 一、单选题 1.(2024·江西九师联盟联考)阿波罗尼斯(约公元前262 年～约公元前190 年)，古 希腊著名数学家，主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线 论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步 提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦 点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双 曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率e＝，从F2发出 的光线经过双曲线C 的右支上一点E 的反射，反射光线为EP，若反射光线与入 射光线垂直，则sin∠F2F1E＝( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 设|EF1|＝m，|EF2|＝n，|F1F2|＝2c， 由题意知m－n＝2a，F2E⊥EP，＝， 所以m2＋n2－2mm＝4a2，c＝a，m2＋n2＝4c2， 所以mn＝2c2－2a2＝8a2， 又m－n＝2a，所以n2＋2an－8a2＝0，解得n＝2a， 所以sin∠F2F1E＝＝＝. 2.椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q 均在C 上，且关于y 轴对称，若 直线AP，AQ 的斜率之积为，则C 的离心率为( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 如图，设点P 关于x 轴的对称点为P′，则kAP＝－kAP′，由题意得点P′，Q 关于原点对称，故kAP′·kAQ＝－＝e2－1，所以kAP·kAQ＝－kAP′·kAQ＝1－e2＝，故e ＝. 3.(2024·合肥质检)椭圆＋＝1 的左、右焦点分别为F1，F2，点P 在椭圆上，则| PF1|·|PF2|的取值范围是( ) A.[2，6] B.[1，4] C.[，3] D.[4，] 答案 A 解析 由题意，a＝，c＝2，e＝， 设P(x0，y0)，其中－≤x0≤， 则|PF1|＝＋x0，|PF2|＝－x0， 所以|PF1|·|PF2|＝6－x [2 ∈ ，6]. 4.(2024·苏州质检)椭圆C：＋＝1 的左、右焦点分别为F1，F2，P 为C 上一点， 且P 在第一象限，PF1⊥PF2，则点P 的横坐标为( ) A. B.1 C. D. 答案 A 解析 设P(x0，y0)(x0>0，y0>0)， 根据椭圆的第二定义，|PF1|＝|x0＋|＝a＋ex0＝＋x0. 同理|PF2|＝－x0. 由PF1⊥PF2可得|PF1|2＋|PF2|2＝12＋x＝|F1F2|2＝16， 解得x0＝，故P 点横坐标为. 5.设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直 线AF2与该椭圆交于A，M 两点，若∠F1AF2＝90°，则直线BM 的斜率为( ) A. B. C.－1 D.－ 答案 B 解析 ∵∠F1AF2＝90°， ∴△F1AF2为等腰直角三角形，∴b＝c， ∴a2＝2b2＝2c2，∴＝， 且∠AF2O＝45°，∴kMA＝－1， 又kMA·kMB＝－＝－，∴kMB＝. 6.(2024·西安模拟)已知椭圆＋＝1(0<b<2)的左顶点和右焦点分别为A，F，点B， C 为椭圆上关于原点O 对称的两点，且kABkAC＝－，kFBkFC＝－1，则△BFC 的面 积为( ) A. B.2 C.2 D.4 答案 B 解析 由题可知A(－2，0)，设B(x0，y0)，则C(－x0，－y0)， 由椭圆的第三定义知kABkAC＝－＝－＝－， 即b2＝2，c2＝4－b2＝2，则F(，0)， 所以kFBkFC＝·＝＝－1， 即x＋y＝2，与＋＝1 联立得|y0|＝， 所以S△FBC＝S△FCO＋S△FBO＝|FO|×(|－y0|＋|y0|)＝×＝2.(另解：由|y0|＝， 得x0＝0，B，C 为椭圆短轴的两个端点， 故S△FBC＝×2b×c＝2. ) 7.(2024·广州调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)， F2(c，0)，点A，B 在C 上，且满足F1A＝2F2B，F1B·AB＝4c2－，则C 的离心率 为( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 如图，由F1A＝2F2B，得BF2∥AF1， |BF2|＝|AF1|， 取AF1的中点M， 则四边形BMF1F2为平行四边形， |BM|＝|F1F2|＝2c， 于是F1B·AB＝BF1·BA＝(BM＋MF1)·(BM＋MA)＝BM2－MA2＝4c2－MA2， 则4c2－MA2＝4c2－， 解得|AM|＝，|AF1|＝2|AM|＝， 由椭圆定义知|AF2|＝2a－|AF1|＝a， 又|BF2|＝|MF1|＝，|BF1|＝2a－|BF2|＝a， 由BF2∥AF1，得∠AF1F2＋∠BF2F1＝π， 即cos∠AF1F2＋cos∠BF2F1＝0， 在△AF1F2和△BF2F1中，余弦定理得：＋ ＝0， 即＋ ＝0， 整理得2a2＝3c2， 所以C 的离心率为e＝＝. 二、多选题 8.(2024·石家庄调研)有这样一句诗歌：世界上最远的距离，不是树枝无法相依， 而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的 轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点F(1，0)，直线l：x＝ 4，动点P 与点F 之间的距离是点P 到直线l 的距离的一半.若某直线上存在这样 的点P，则称该直线为“最远距离直线”，下列结论中正确的是( ) A.点P 的轨迹方程是＋＝1 B.直线x－2y＋4＝0 是“最远距离直线” C.平面上有一点A(－1，)，则|PA|＋2|PF|的最小值为5 D.点P 到直线x－2y＋6＝0 距离的最大值为2 答案 BCD 解析 由题意可知点P 的轨迹是椭圆，其中c＝1，＝， 则b＝＝. 所以点P 的轨迹方程为＋＝1，故A 错误. 由得x＝－1， 则y＝，所以直线x－2y＋4＝0 上存在P，其与点F 之间的距离是其到直线x－2y ＋4＝0 的距离的一半，则直线x－2y＋4＝0 是“最远距离直线”，故B 正确. 由2|PF|＝d 可知，|PA|＋2|PF|＝|PA|＋d， 当点P 与点A 纵坐标相等且点P 在点A 右侧时，|PA|＋2|PF|取得最小值， 为4－(－1)＝5，C 正确. 由B 可知，直线x－2y＋4＝0 与椭圆相切，直线x－2y＋6＝0 与直线x－2y＋4＝ 0 平行，由椭圆的对称性易知与直线x－2y＋4＝0 平行的另一条椭圆的切线方程 为x－2y－4＝0，故直线x－2y＋6＝0 与直线x－2y－4＝0 之间的距离即所求距 离的最大值，为＝2，故D 正确. 9.(2024·长沙模拟)已知椭圆＋＝1 上一点P 位于第一象限，左、右焦点分别为 F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，∠F1PF2的角平分线与x 轴交于点G，与y 轴 交于点H，则( ) A.四边形HF1PF2的周长为4＋ B.直线A1P，A2P 的斜率之积为－ C.|F1G|∶|F2G|＝3∶2 D.四边形HF1PF2的面积为2 答案 ABD 解析 由题意知，长半轴长a＝2，短半轴长b＝，半焦距c＝1，∴F1(－1，0)， F2(1，0). 由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4， 易得|HF1|＝|HF2|＝＝， ∴四边形HF1PF2的周长为4＋，故A 正确. 由椭圆的第三定义知kA1P×kA2P＝－＝－，故B 正确. 设P(x0，y0)，则＋＝1，0<x0<2，0<y0<，则直线PF1：y＝(x＋1)，即y0x－(x0＋ 1)y＋y0＝0，同理可得直线PF2：y0x－(x0－1)y－y0＝0. ∵PH 是∠F1PF2的角平分线，∴点H 到直线PF1的距离与点H 到直线PF2的距离 相等， ∴＝， 易知(x0＋1)＋y0与(x0－1)－y0必一正一负. ＝＝(x0＋4)， 同理得＝(4－x0)， ∴＝－， 整理得y0＝，∴x0＝1， ∴四边形HF1PF2的面积为×|F1F2|×＝2，故D 正确. kPH＝＝2，直线PH：y＋＝2x， 即y＝2x－，令y＝0，得x＝，故G，∴|F1G|＝－(－1)＝， |F2G|＝1－＝，∴|F1G|∶|F2G|＝5∶3，故C 错误. 三、填空题 10.(2024·成都诊断)双曲线x2－＝1 的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线第一象限 上的一点P 满足△PF1F2为等腰三角形，则点P 的坐标为________. 答案 或 解析 由题意a＝1，b＝，c＝2，e＝2， 设P(x0，y0)(x0>1，y0>0)， 则|PF1|＝|2x0＋1|＝2x0＋1，|PF2|＝|2x0－1|＝2x0－1，|F1F2|＝4， 因为△PF1F2 为等腰三角形，且显然|PF1|≠|PF2|，所以|PF1|＝|F1F2|或|PF2|＝| F1F2|， 若|PF1|＝|F1F2|，则2x0＋1＝4，解得x0＝，代入双曲线方程解得y0＝， 从而P； 若|PF2|＝|F1F2|，则2x0－1＝4， 解得x0＝， 代入双曲线方程解得y0＝，从而P， 所以点P 的坐标为或. 11.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l 交双曲线的右支于A，B 两点，点M 满足AB＋AF1＝2AM，且AM·BF1＝0.若 cos∠AF1B＝，则双曲线C 的离心率是________. 答案 解析 由AB ＋AF1 ＝2AM ，得M 为边BF1 中点，又AM·BF1 ＝0 ，所以 AM⊥BF1， 所以△ABF1为等腰三角形，|AB|＝|AF1|， ∠AF1B＝∠ABF1，如图所示， 设|AF2|＝m，由双曲线第一定义可得|AB|＝|AF1|＝2a＋m，即|BF2|＝2a，|BF1|＝ 4a， 在△BF1F2中，由余弦定理cos∠F1BF2＝， 得＝，整理可得＝， 所以离心率e＝＝. 12.已知椭圆＋＝1 内有一点P(1，－1)，F 是椭圆的右焦点，点M 在椭圆上，则| MP|＋2|MF|的最小值是________，此时点M 的坐标为________. 答案 3 解析 由椭圆的方程，可知a＝2，b＝，c＝1， 所以e＝，右准线l：x＝＝4. 如图，设M 在右准线l：x＝4 上的射影为M1， 根据椭圆的第二定义，有e＝＝，即2|MF|＝|MM1|， 所以|MP|＋2|MF|＝|MP|＋|MM1|. 显然，当P，M，M1三点共线时，|MP|＋|MM1|有最小值， 即(|MP|＋2|MF|)min＝－xP＝4－1＝3. 此时yM＝yP＝－1，将yM＝－1 代入椭圆的方程得xM＝或xM＝－(舍去)， 所以M.
