1
专题突破练17 圆锥曲线的定义、方程与性质
必备知识夯实练
1.(2025 湖北黄冈二模)设abc≠0,“曲线ax2+by2=c 为椭圆”是“ac>0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2025 安徽淮北二模)若抛物线y2=4x 的焦点是椭圆C: x
2
m + y
2
3
=1(m>0)的一个焦点,则椭
圆C 的长轴长为( )
A.2
B.2√3
C.4
D.8
3.(2025 江苏苏州模拟)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的
右焦点为F,右顶点为A,上、下顶点分别为B2,B1,点D 在线段B1F 上,且|B1D|=2|DF|.若
OD∥AB2,则C 的离心率为( )
A.1
3
B.1
2
C.√2
2
D.2
3
4.(2025 浙江台州二模)已知F1,F2为双曲线C: x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2
作直线l 与双曲线C 的右支交于A,B 两点,且|AB|=|BF1|,cos∠ABF1=1
9
,则双曲线C 的离
心率为( )
A.√20
3
B.√21
3
2
C.2√6
3
D.5
3
5.已知双曲线x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,抛物线y2=4√5x 的准线l 经
过F1,且l 与双曲线的一条渐近线交于点A,若∠F1F2A=π
4
,则双曲线的方程为( )
A. x
2
16 - y
2
4
=1
B. x
2
4 - y
2
16
=1
C. x
2
4
-y2=1
D.x2- y
2
4
=1
6.(多选题)(2025 山东泰安二模)已知双曲线C: x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为
F1,F2,则下列选项正确的是( )
A.若a=2,b=√3,则双曲线的任一焦点到渐近线的距离为√3
B.若点P 在双曲线C 上,则直线PF1与PF2的斜率之积为b
2
a
2
C.以线段F1F2为直径的圆与双曲线C 在第一象限交于点P,且|PO|=|PF2|,则双曲线C 的
离心率e=√3+1
D.若过F2的直线l 与x 轴垂直且与渐近线交于A,B 两点,∠AF1O=π
3
,则双曲线C 的渐近
线方程为y=±2√3x
7.(多选题)(2025 安徽黄山二模)已知抛物线C:y2=2px 的焦点为F,点A(8,8)在抛物线上,过
点F 作直线交抛物线于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,则下列说法正确的是( )
A.|MN|的最小值为4
B.以线段MN 为直径的圆与直线x=-2 相切
C.当⃗MF=2⃗FN时,则|MN|=9
D.⃗OM ·⃗ON=-12
8.(2022 全国甲,文15)记双曲线C: x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线
y=2x 与C 无公共点”的e 的一个值: .
9.(2025 江西宜春一模)已知抛物线C:y2=4x 的焦点为F,点P 在C 上且位于第一象限,过
点P 作直线垂直于C 的准线,垂足为A,若直线AF 的倾斜角为2π
3
,则|PF|= .
3
10.(2025 湖北宜昌二模)已知椭圆C: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2
的直线与C 交于A,B 两点.若|AF2|=2|BF2|,|AB|=|BF1|,则椭圆C 的离心率为 .
关键能力提升练
11.(2025 河北秦皇岛二模)已知双曲线C: x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为
F(c,0),过点A 且斜率为k 的直线l 与圆(x-c)2+y2=(c-a)2相切,与C 交于第一象限的一点B.
若√3
3
≤k≤1,则C 的离心率的取值范围是( )
A.[3,3+2√2]
B.[3,3+4√3]
C.[3+2√2,7+4√3]
D.[3+4√3,7+4√3]
12.(多选题)(2025 陕西西安二模)设双曲线C: x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为
F1,F2,下列说法正确的是( )
A.若C 的渐近线的斜率为±1
2
,则C 的离心率为√5
2
B.若C 的渐近线方程为y=±√3
3
x,且点(2,√3
3
)在C 上,则a=2
C.过点F2的直线与C 的右支相交于A,B 两点,若|AB|=4a,∠F1AB=90°,则C 的离心率为
√10
2
D.若C 的左、右顶点分别为M,N,且P 是C 上异于M,N 的一点,则直线PM,PN 的斜率之
积为b
2
a
2
13.(2025 山东菏泽模拟)已知椭圆C: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2
的直线交椭圆于P,Q 两点,且PQ⊥F1Q,S△Q F1F2=2S△P F1F2,则椭圆C 的离心率为 .
核心素养创新练
14.(多选题)(2025 浙江杭州二模)设曲线C: x
2
4
-y|y|=1,直线y=ax+b 与曲线C 的交点的可
能个数的集合记为D(a,b),则( )
A.D(a,b)={0,1,2,3}
4
B.D(a,2)={0,1,2}
C.D(a,-3a)={0,1,2}
D.若D(a,b)={3},则|a|>1
2
且b<0
5
答案：
1.A 解析 若曲线ax2+by2=c 为椭圆,则该椭圆的标准方程为
x
2
c
a
+ y
2
c
b
=1(a≠b).
因为椭圆中分母须大于0,所以c
a
>0 且c
b
>0,又因为abc≠0,那么ac>0 且bc>0,所以充分性
成立.
当ac>0 时,比如a=b=1,c=1,此时曲线方程为x2+y2=1,它表示的是圆不是椭圆,必要性不
成立.所以“曲线ax2+by2=c 为椭圆”是“ac>0”的充分不必要条件.故选A.
2.C 解析 在抛物线y2=4x 中,焦点坐标为(1,0).所以椭圆的焦点在x 轴上,且c=1(c 为椭
圆的半焦距).在椭圆中,m=a2=3+1=4,又因为a>0,所以a=2.则椭圆的长轴长为
2a=2×2=4.故选C.
3.B 解析 由题可得,点B2(0,b),A(a,0),F(c,0),∴⃗B2 A=(a,-b).
∵|B1D|=2|DF|,则点D 为线段B1F 靠近点F 的三等分点,
故D(2
3
c,-1
3
b),⃗OD=(2
3
c,-1
3
b),⃗B2 A=(a,-b),
由OD∥AB2得
2
3 c
a =
- 1
3 b
-b
,化简得e=c
a = 1
2 .故选B.
4.B 解析 由双曲线定义得,|AF1|-|AF2|=|BF1|-|BF2|=2a,|F1F2|=2c.
设|BF1|=|AB|=m,则|BF2|=m-2a,由图,|AF2|=|AB|-|BF2|=2a,|AF1|=4a,
在△ABF1中,由余弦定理得cos∠ABF1=m
2+m
2-16a
2
2·m·m
= 1
9
,
解得m=3a,
∴|BF2|=m-2a=a.在△BF1F2中,由余弦定理得cos∠F2BF1=cos∠ABF1=9a
2+a
2- 4 c
2
2×3a·a = 1
9
,
∴7a2=3c2,故离心率e=c
a =√
7
3 = √21
3 .故选B.
5.D 解析 抛物线y2=4√5x 的准线方程为x=-√5,则c=√5,则F1(-√5,0),F2(√5,0),
6
不妨设点A 为第二象限内的点,联立{
y =- b
a x,
x =-c,
可得{
x =-c,
y = bc
a ,
即点A(-c,bc
a
).
因为AF1⊥F1F2,且∠F1F2A=π
4
,
则△F1F2A 为等腰直角三角形,
且|AF1|=|F1F2|,即bc
a
=2c,可得b
a
=2,所以{
b
a =2,
c =√5,
c
2=a
2+b
2,
解得{
a=1,
b=2,
c =√5,
因此双曲线的标准方程为x2- y
2
4
=1.故选D.
6.ACD 解析 由双曲线的性质知,焦点到渐近线的距离为b,故A 正确;
当点P 为双曲线顶点时,直线PF1与PF2的斜率之积为0,故B 错误;
由题意点P 在圆x2+y2=c2上,又|PO|=|PF2|,所以xP=c
2
,代入圆的方程,可得yP=√3c
2
,将点
P(c
2 , √3c
2
)代入双曲线方程可得, c
2
4 a
2 - 3c
2
4 b
2=1,
即b
2
a
2=3+2√3,
所以e=c
a =√
1+ b
2
a
2 =√4 +2√3=√3+1,故C 正确;
直线l 的方程为x=c,与渐近线y=±b
a
x 相交于A(c,bc
a
),B(c,-bc
a
),
所以⃗F1 A=(2c,bc
a ),⃗F1O=(c,0),即cos
π
3 =⃗
F1 A ·⃗F1O
|⃗F1 A ||⃗F1O|
=
2c
2
c
2√
4+ b
2
a
2
= 1
2,化简可得b
2
a
2=12,
解得b
a
=2√3,所以双曲线渐近线方程为y=±2√3x,故D 正确.
故选ACD.
7.BCD 解析 由题得,82=2p×8,解得p=4,则C:y2=8x,F(2,0),
由题可设直线MN:x=ty+2,联立抛物线方程得y2-8ty-16=0,显然Δ>0,
7
所以y1+y2=8t,y1y2=-16,则|MN|=√1+t
2·√( y1+ y2)
2- 4 y1 y2
=8(1+t2)≥8,当且仅当t=0 时
等号成立,A 错误;
由抛物线的定义知|MN|=x1+x2+4,而线段MN 的中点横坐标为x1+ x2
2
,
所以线段MN 的中点与直线x=-2 的距离为x1+ x2
2
+2,即为|MN|的一半,
所以以线段MN 为直径的圆与直线x=-2 相切,B 正确;
若⃗MF=2⃗FN,且y1>0>y2,则y1=2|y2|,而y1y2=-16,
所以y1=4√2,y2=-2√2,
则y1+y2=8t=2√2⇒t=√2
4
,
所以x1+x2=t(y1+y2)+4=√2
4 ×2√2+4=5,则|MN|=x1+x2+4=9,C 正确;
由⃗OM ·⃗ON=x1x2+y1y2=(t2+1)y1y2+2t(y1+y2)+4=-16t2-16+16t2+4=-12,D 正确.
故选BCD.
8.2(答案不唯一,只要1<e≤√5即可)
解析 由题意知,双曲线C 的渐近线方程为y=±b
a
x,要使直线y=2x 与双曲线C 无公共点,
只需0<b
a ≤2 即可.由0<b
a ≤2,得0<c
2-a
2
a
2
≤4,所以1<e2≤5,故1<e≤√5.
9.4 解析 因为抛物线C:y2=4x 的焦点为F,所以F(1,0),
由题意可得∠APF=∠PFx,∠APF+∠AFP+∠FAP=π,
8
所以∠FAP=π-∠AFx=π-2π
3 = π
3
,
又由抛物线定义得|PA|=|PF|,
所以△PAF 为等边三角形,设准线与x 轴交于点F',在Rt△AFF'中,∠FAF'=30°,
所以|AF|=2|FF'|=4,
所以|PF|=|AF|=4.
10. √3
3
解析 由已知可设|F2B|=x,
则|AF2|=2x,|BF1|=|AB|=3x,
由椭圆的定义有|BF1|+|BF2|=2a=4x,故x=a
2 .
∴|AF2|=a=|AF1|,|BF1|=|AB|=3a
2
,故点A 为椭圆的上顶点或下顶点.
在△AF1B 中,由余弦定理推论得cos∠F1AB=
a
2+ 9a
2
4 - 9a
2
4
2·a· 3a
2
= 1
3 .
在△AOF2中,设∠OAF2=θ,
故cos∠F1AB=cos 2θ=1-2sin2θ=1
3
,得sin2θ=1
3
,
故e=c
a =|O F2|
| A F2| =sin θ=√3
3 .
11.A 解析 依题意,点A(-a,0),直线l 的方程为y=k(x+a),
圆(x-c)2+y2=(c-a)2的圆心为(c,0),半径为c-a,
由直线l 与圆(x-c)2+y2=(c-a)2相切,得|k (c +a)|
√k
2+1
=c-a,
令双曲线离心率为e,又√3
3 ≤k≤1,则e+1
e -1 = c +a
c -a = √k
2+1
k
=√
1+ 1
k
2,
因此1+ 2
e -1 =√
1+ 1
k
2 ∈[√2,2],即√2-1≤
2
e -1 ≤1,解得3≤e≤3+2√2,
所以C 的离心率的取值范围是[3,3+2√2].故选A.
12.ACD 解析 对于A,由C 的渐近线的斜率为±1
2,则b
2
a
2 = 1
4 ,
所以C 的离心率为√
1+ b
2
a
2 =√1+ 1
4 = √5
2 ,故A 正确;
9
对于B,由C 的渐近线方程为y=±√3
3
x,设C: x
2
3
-y2=k(k>0),
又点(2,√3
3
)在C 上,所以4
3 - 1
3
=1=k,即C: x
2
3
-y2=1,
所以a=√3,故B 错误;
对于C,由过点F2的直线与C 的右支相交于A,B 两点,不妨设|AF2|=m,|BF2|=n,
若|AB|=4a,∠F1AB=90°,
则|AF1|=2a+m,|BF1|=2a+n,
在Rt△AF1B 中,由勾股定理得(2a+m)2+(m+n)2=(2a+n)2,结合m+n=4a,解得m=a,n=3a,
故|AF1|=3a,|AF2|=a,
在Rt△AF1F2中,由勾股定理得(2c)2=(3a)2+a2,即4c2=10a2,
所以e=c
a = √10
2
,故C 正确;
对于D,设P(x0,y0)(x0≠±a),
则x0
2
a
2 - y0
2
b
2 =1,即y0
2= b
2
a
2 ( x0
2-a2),
又M(-a,0),N(a,0),
所以kPM·kPN=
y0
x0+a ·
y0
x0-a =
y0
2
x0
2-a
2 =
b
2
a
2 ( x0
2-a
2)
x0
2-a
2
= b
2
a
2
,故D 正确.
故选ACD.
10
13. √5
3
解析 由S△Q F1F2=2S△P F1F2,可得|QF2|=2|PF2|,设|PF2|=m,则|QF2|=2m,|PF1|=2a-
m,|QF1|=2a-2m,由PQ⊥F1Q,则| P F1|
2=|PQ|2+|Q F1|
2,即(2a-m)2=9m2+(2a-2m)2,解得
m=a
3
,所以|QF1|=2a-2× a
3 = 4 a
3
,|QF2|=2
3
a,
在Rt△QF1F2中,有| F1 F2|
2=|Q F1|
2+|Q F2|
2,即4c2=16a
2
9
+ 4 a
2
9
,解得c
2
a
2 = 5
9,所以椭圆
C 的离心率e=c
a = √5
3 .
14.ACD 解析 当y≥0 时有C: x
2
4
-y2=1,且渐近线为y=± x
2
,当y<0 时有C: x
2
4
+y2=1,如图
1.
图1
曲线上半部分为双曲线的一部分,下半部分为椭圆的一部分,且曲线关于y 轴对称,根据对
称性,只需讨论a≥0 的情况.
若a=0,
当b<-1 时,直线y=ax+b 与曲线无交点;
当b=-1 时,直线y=ax+b 与曲线有1 个交点;
当b>-1 时,直线y=ax+b 与曲线有2 个交点;
当0<a≤1
2
,b<-1 时,如图2.
11
图2
由图知,以直线y=ax+b 与椭圆部分相切为界,此时有1 个交点;
此时a 不变,b→-1,直线与曲线有2 个交点;b→-∞,直线与曲线无交点,
所以当0<a≤1
2
,b<-1 时直线与曲线的交点个数有0,1,2 三种可能;
当b≥-1 时,∀a∈(0,1
2
),直线y=ax+b 与曲线有2 个交点;
当a>1
2
,如图3,分别以直线y=ax+b 与曲线双曲线、椭圆部分相切为界,
图3
直线在双曲线部分相切线上方时,直线与曲线恒有1 个交点;
直线与双曲线部分相切时,直线与曲线恒有2 个交点;
直线在椭圆相切线下方时,直线与曲线无交点;
直线与椭圆部分相切时,直线与曲线有1 个交点;
直线在两条相切线之间时,直线与曲线有3 个交点.
综上,D(a,b)={0,1,2,3},A 正确;
对于直线y=ax+2 恒过点(0,2),随a 的变化与曲线位置,如图4.
图4
0≤a<1
2
时直线与曲线恒有2 个交点;a≥1
2
时,直线与曲线恒有1 个交点;
所以y=ax+2 与曲线的交点个数可能有1,2 两种可能,即D(a,2)={1,2},B 错误;
对于y=a(x-3),以直线与椭圆部分相切、直线与双曲线渐近线平行为界,
将直线方程与椭圆方程联立,消元得(1+4a2)x2-24a2x+36a2-4=0,且a≥0,
若Δ=576a4-4(1+4a2)(36a2-4)=0,可得a= 1
√5
,如图5.
12
图5
当0≤a< 1
√5
时,直线与曲线有2 个交点;
当a= 1
√5
或a>1
2
时,直线与曲线有1 个交点;
当1
√5
<a≤1
2
时,直线与曲线无交点;
所以y=a(x-3)与曲线的交点可能有0,1,2 三种可能,即D(a,-3a)={0,1,2},C 正确;
结合A 选项的分析,当a>1
2
时存在直线与曲线有3 个交点,而其他情况不存在,
此时,假设b≥0,显然直线y=ax+b 与曲线有且仅有1 个交点,不符合,
所以b<0,结合对称性,直线与曲线有3 个交点,必有|a|>1
2
且b<0,D 正确.
故选ACD.
