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非对称韦达定理 【知识拓展】 在解决直线与圆锥曲线的位置关系的问题中，我们通常要联立直线与圆锥曲线的 方程，消去x 或y，得到一个一元二次方程，例如消去y，得到一个两根分别为 x1，x2的一元二次方程Ax2＋Bx＋C＝0(A≠0)，则由根与系数的关系，得x1＋x2＝ －，x1x2＝，此即为韦达定理.对于诸如x＋x，＋，＋，|x1－x2|，…，之类的目标， 它们的结构特点是：将x1与x2互换之后结果不变，即具有“对称性”，此类问 题称之为“对称型韦达”问题，稍作变形，就可以直接利用韦达定理的结果整体 代入，快速求解. 但在某些问题中，我们会遇到两根不对称的结构，比如，λx1 ＋ μx2(λ≠μ)，，，…，之类的问题，就相对较难直接应用韦达定理来处理，我们把 这类问题称为“非对称韦达”问题. 【类型突破】 类型一 两根之比型 例1 (2024·青岛模拟改编)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，过点F 的直线 l 与椭圆相交于A，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，AF＝2FB，求椭圆C 的离心 率. 解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由题意知y1>0，y2<0， 直线l 的方程为y＝(x＋c)，其中c＝. 由 得(3a2＋b2)y2－2b2cy－3b4＝0， 由韦达定理得 y1＋y2＝，y1y2＝. 由AF＝2FB，得y1＝－2y2. 法一 由y1＝－2y2，即＝－2， 所以＋＝－，即＝－， 即＝－，整理得8c2＝3a2＋b2， 即8c2＝3a2＋a2－c2，9c2＝4a2，所以e＝. 法二 由y1＝－2y2得 得＝＝－， 将 代入上式得＝－， ·＝－，整理得e＝. 法三 将y1＝－2y2 代入得 消去y2得2＝， 整理得e＝. 规律方法 1.法一将＝－2 取倒数相加得到＋＝－，将不对称式转化为对称式， 用韦达定理整体代入求解. 2.法二利用条件y1＝－2y2得到y1＋y2与y1y2的关系，仍然是转化为对称式后利用 韦达定理求解. 3.法三则是利用y1＝－2y2，与y1＋y2，y1y2的表达式，代入消元求解. 训练1 (2024·德州质检改编)设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1 相交于 不同的点A，B，直线l 与y 轴的交点为P，且PA＝PB，求a 的值. 解 易得P(0，1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 故PA＝(x1，y1－1)，PB＝(x2，y2－1). 由C 与l 相交于两个不同的点， 联立得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0， 得x1＋x2＝－，x1x2＝－ 且1－a2≠0， 由PA＝PB知，(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)，则有x1＝x2， 即＝， 取倒数相加，得＋＝＋， 则＋＋2＝＝， 将x1＋x2＝－，x1x2＝－ 代入上式得－＝， 解得a＝. 类型二 系数不等型(如λx1＋μx2＝m(λ≠μ，m≠0)) 例2 (2024·郑州调研改编)已知椭圆＋＝1，设P(0，1)，A，B 为椭圆的左、右顶 点，过A 作斜率为k1的直线交椭圆于点E，连接EP 并延长交椭圆于点F，记直 线BF 的斜率为k2，若k1＝3k2，求直线EF 的方程. 解 由题意，直线EF 的斜率显然存在，设直线EF 的方程为y＝kx＋1，E(x1， y1)，F(x2，y2)， 由得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0， 由题意知Δ>0，所以x1＋x2＝－， x1x2＝， 因为k1＝3k2，所以＝， 将y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1 代入， 得＝， 化简得2kx1x2＋(2k＋3)x1＋(6k－1)x2＋8＝0，(*) 又因为2kx1x2＝－＝x1＋x2， 所以x2＝－－x1， 把其代入(*)式得(1－k)＝0， 所以1－k＝0 或x1＋＝0(舍去)， 所以k＝1，所以直线EF 的方程为y＝x＋1. 规律方法 利用韦达定理中隐含着2kx1x2＝x1＋x2＝－的关系，所以代入消元得 到(1－k)·＝0，从而求得k＝1. 训练2 (2024·西安调研改编)已知抛物线C：y2＝4x，过定点P(2，1)的直线l 与抛 物线交于A，B 两点，且有AP＝PB，求直线l 的斜率. 解 法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由条件AP＝PB可得7y1＋y2＝8， 即y2＝－7y1＋8， 存在系数λ，使得y2－1＝λ(y1－1)，易得λ＝－7， 即y2－1＝－7(y1－1)， 因为y1－1≠0， 所以＝－7，取倒数相加， 便得－7－＝＋ ＝， 所以－＝－2，(*) 设直线l：x－2＝m(y－1)，与抛物线C：y2＝4x 联立可得y2－4my＋4m－8＝0， 则y1＋y2＝4m，y1y2＝4m－8， 代入(*)式中可得＝－， 解得m＝2 或m＝－1， 所以直线l 的斜率为或－1. 法二 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 设直线l：x－2＝m(y－1)， 与抛物线C：y2＝4x 联立可得y2－4my＋4m－8＝0， 则y1＋y2＝4m，y1y2＝4m－8， 由条件AP＝PB可得y2＝－7y1＋8， 代入上面两式，得 y1＋y2＝－6y1＋8＝4m⇒y1＝， 所以y1y2＝－7y＋8y1＝4m－8， 所以－7＋8·＝4m－8， 解得m＝2 或m＝－1， 所以直线l 的斜率为或－1. 类型三 分式上下不对称型(如，(λ≠μ)) 例3 (2024·广州模拟改编)已知点F 为椭圆E：＋＝1 的右焦点，A，B 分别为其 左、右顶点，过F 作直线l 与椭圆交于M，N 两点(不与A，B 重合)，记直线AM 与BN 的斜率分别为k1，k2，证明：为定值. 证明 法一 (反设直线与积化和(变量y)) 由题，A(－2，0)，B(2，0)，设l：x＝ty＋1， M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则k1＝，k2＝， 联立 消x 得(4＋3t2)y2＋6ty－9＝0，且Δ>0， 则 则ty1y2＝(y1＋y2). ＝＝ ＝＝，为定值，得证. 法二 (配凑半代换(变量y)) 由题，A(－2，0)，B(2，0)， 设l：x＝ty＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则k1＝，k2＝， 联立 消x 得(4＋3t2)y2＋6ty－9＝0，且Δ>0， 则 因此＝ ＝＝＝，得证. 规律方法 此类问题的解决方案有： 方案一 和积转换——找出韦达定理中的两根之和与两根之积的关系； 方案二 配凑半代换——对能代换的部分进行韦达代换，剩下的部分进行配凑. 训练3 (2024·保定模拟改编)点A，B 是椭圆E：＋＝1 的左右顶点，若直线l：y ＝k(x－1)与椭圆E 交于M，N 两点，求证：直线AM 与直线BN 的交点在一条定 直线上. 证明 联立化简得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， Δ>0，x1＋x2＝，x1x2＝， 直线AM：y＝(x＋2)， 直线BN：y＝(x－2)， 联立得x＝. 法一(配凑半代换) 原式＝ ＝ ＝＝＝4. 故直线AM 与直线BN 交点在定直线x＝4 上. 法二(和积转换) 分离常数得x1＋x2＝＝2－， x1x2＝＝1－， 则有x1·x2＝(x1＋x2)－4， 代入得x＝ ＝2＝4. 【精准强化练】 1.(2024·武汉模拟)已知A1，A2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左右顶点，离心率 e＝，P 是椭圆E 的上顶点，且PA1·PA2＝－1. (1)求椭圆E 的方程； (2)若动直线l 过点(0，－4)，且与椭圆E 交于A，B 两点，点M 与点B 关于y 轴 对称，求证：直线AM 恒过定点. (1)解 由题意得A1(－a，0)，A2(a，0)，P(0，b)， 则PA1·PA2＝(－a，－b)·(a，－b)＝－a2＋b2＝－c2＝－1，所以c＝1， 又所以a＝，b＝1， 所以椭圆E 的方程为＋y2＝1. (2)证明 当直线l 的斜率不存在时，直线AM 过点， 当直线l 的斜率存在时，设直线l：y＝kx－4，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则M(－x2，y2)， 由 消去y 得(1＋2k2)x2－16kx＋30＝0. 由Δ＝(－16k)2－120(1＋2k2)>0，得k2>， 所以x1＋x2＝，x1x2＝. kAM＝＝＝， 直线AM 的方程为y－y1＝(x－x1)， 即y＝y1＋(x－x1) ＝kx1－4＋(x－x1) ＝ ＝ ＝x＋－4， 因为x1＋x2＝，x1x2＝， 所以－4＝－4＝－， 直线AM 的方程可化为y＝x－， 则直线AM 恒过定点. 综上知直线AM 恒过定点. 2.已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，且双 曲线E 经过点A(，2). (1)求双曲线E 的方程； (2)过点P(2，1)作动直线l，与双曲线的左、右支分别交于点M，N，在线段MN 上取异于点M，N 的点H，满足＝，求证：点H 恒在一条定直线上. (1)解 因为|F1F2|＝2c＝2，则c＝， 由双曲线的定义可得2a＝||AF1|－|AF2|| ＝ ＝4－2＝2， 所以a＝1，则b＝＝＝， 因此，双曲线E 的方程为x2－＝1. (2)证明 设点H(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则 可得 设＝＝λ， 则其中λ≠1， 即 整理可得 所以x－λ2x＝2(1－λ2)x， y－λ2y＝(1－λ2)y，将 代入y－λ2y＝(1－λ2)y， 可得2[x－λ2x－(1－λ2)]＝(1－λ2)y， 将x－λ2x＝2(1－λ2)x， 代入2[x－λ2x－(1－λ2)]＝(1－λ2)y， 可得2[(1－λ2)2x－(1－λ2)]＝(1－λ2)y， 即4x－y－2＝0， 所以点H 恒在直线4x－y－2＝0 上.
